有理数竞赛培优(无答案)

有理数（一）

一、考点、热点回顾

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m

n （0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2

(||0,0)a a ≥≥

③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、典型例题 若||

||

||

0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？

如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ D ）

A.相反数

B.倒数

C.绝对值

D.平方

已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求2200620()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。

例1 例2 例3

如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下

图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）

A.2a

B.2a -

C.0

D.2b

已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）

A.2

B.3

C.9

D.6

有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b

------中有几个负数？

设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ，b 的形式，求20062007a

b +。

三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac

=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？

例4 例5 例6 例7 例8

若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、课堂练习

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006

2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

3、计算：5

9

17

3365129

132********+++++-

4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。

例9

5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。

有理数（二）

一、【典型例题解析】： （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-

（2）若0x ，化简|||2|

|3|||x x x x ---

设0a ，且||a

x a ≤，试化简|1||2|x x +--

a 、

b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b =

（3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b =

例1 例2 例3

（5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b

若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？

设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。

abcde 是一个五位数，a b c d ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。

设1232006,,,,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++ 例4 例5 例6 例7 例8

2342006()a a a a ++++ ,1232006()N a a a a =++++ 2342005()a a a a ++++ ,试比较M 、

N 的大小。

二、【课堂备用练习题】：

1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++- 求()f x 的最小值。

2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

3、如果0abc ≠，求

||||||a b c a b c

++的值。

4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？ （1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）

|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-

5、化简下式：||||x x x