§4.5 双曲面
§4.5 双曲面
一、单叶双曲面
1. 在直角坐标系下, 由方程
＋－＝1
所表示的曲面叫做单叶双曲面, 该方程叫做单叶双曲面的标准方
程, 其中a, b, c是任意的正常数.
2. 单叶双曲面的图形(如图4-5).
(1) 曲面的对称性：单叶双曲面关于三坐标平面、三坐标轴
以及坐标原点都对称. 单叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做单叶双曲面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点：单叶双曲面与z轴不交, 与x轴与y轴分别交于点(±a, 0, 0)与(0, ±b, 0), 这四点叫做单叶双曲面的顶点.
(3) 被坐标面截得的曲线：单叶双曲面被三坐标面所截得的曲线方程分别为
①②③
①为xOy坐标面上的腰椭圆, ②,③分别为xOz, yOz坐标面上的双曲线, 这两条双曲线的虚轴都是z轴, 虚轴的长都等于2c.
(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平面z＝h来截割, 得截线方程为
④单叶双曲面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线②、双曲线③上.
如果用平行于xOz坐标面的平面y＝k来截割, 得截线方程为
,
此曲线当|k|
用平行于yOz坐标面的平面来截割, 情况类似.
若a＝b, 方程即为旋转单叶双曲面.
3. 单叶双曲面的参数方程为
二、双叶双曲面
1. 在直角坐标系下, 由方程
＋－＝－1
所表示的图形, 叫做双叶双曲面,该方程叫做双叶双曲面的标准方程, 其中a, b, c为正常数.
2. 双叶双曲面的图形(如图4-6):
(1) 曲面的对称性：双叶双曲面关于三坐标面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 双叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做双叶双曲面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点：双叶双曲面与x轴、y轴都不相交, 只与z轴相交于两点(0, 0,±c), 这两点叫做双叶双曲面的顶点
(3) 曲面的存在范围：双叶双曲面在两平行平面z＝±c之间没有曲面上的点, 曲面分成两叶, 一叶上点的坐标都有z≥c, 另一叶上点的坐标都有z≤－c.
(4) 被坐标面所截得的曲线：坐标平面z＝0与曲面不相交, 而坐标面y＝0与x＝0分别截曲面得截线为双曲线
⑤⑥它的实轴都是z轴, 实轴长都等于2c.
(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线: 用平行于xOy坐标面的平面z＝h ( |h|≥c ) 来截割得截线方程为
⑦当 |h|＝c时, 截得的图形为一点；当 |h|>c时, 截线为椭圆. 双叶双曲面可看成是由椭圆族⑦所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线⑤,⑥上.
用平行于x坐标面或yOz坐标面的平面来截割双叶双曲面都得到双曲线.
若a＝b, 方程即为旋转双叶双曲面.
3. 双叶双曲面参数方程为
4．理解以下结论：设有标准形式
Px2+Qy2+Rz2＝1, PQR≠0.
则有 (1) P, Q, R均正表示椭球面；
(2) P, Q, R两正一负表示单叶双曲面；
(3) P, Q, R两负一正表示双叶双曲面；
(4) P, Q, R均负表示虚椭球面.
它们都有中心, 统称为有心二次曲面.
例1. 给定方程＋＋＝1 (A>B>C>0), 试问当λ取异于A, B, C的各种数值时, 它表示怎样的曲面?
解：由思考题2的结论, 有
(1) 当λ (2) 当C<λ (3) 当B<λ (4) 当λ>A时, P, Q, R全负, 无图形或表示虚椭球面. 例2. 试求单叶双曲面+－＝1与平面x－2z＋3＝0的交线对xOy平面的射影柱面. 解：单叶双曲面与平面的交线为 从中消去z得所求的射影柱面方程为 (x－12)2＋20y＝260, 即＋＝1. 例3. 设动点到(4, 0, 0)的距离等于这点到平面x＝1的距离的两倍,求这动点的轨迹. 解：设动点为P(x, y, z), 依题意有 , 化简得－－＝1. 它是以x轴为对称轴的旋转双叶双曲面. 例4. 设直线l与m为互不垂直的两条异面直线, C是l与m公垂线的中点, A、B两点分别在直线l、m上滑动, 且∠ACB＝90?, 试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面. 证明：取两异面直线l、m的公垂线为z轴, 公垂线的中点C为坐标原点, x轴与两异面直线成等角, 并设两异面直线间的距离为2a,夹角为2α≠90?, 则有 l: m: A(t1 cosα, t1 sinα, a), B(t2 cosα, －t2 sinα, －a). 由于⊥, 故有t1t2cos2α－t1t2sin2α－a2＝0, t1t2cos2α＝a2, 因为 2α≠ 90?, 于是cos2α≠0, 从而 t1t2＝. ①又直线AB方程为 ②由①,②两式消去参数u, t1, t2得AB的轨迹方程为 －＋＝1. 它是一个单叶双曲面. 例5. 用一族平行平面z＝h (h为参数)截割双叶双曲面－ －＝1得一族双曲线, 求这些双曲线焦点的轨迹. 解：所截得的双曲线族方程为 , 即 所以它的焦点坐标为 y=0, z=h. 消去参数h得焦点的轨迹方程为 这是一条在xOz坐标面上的双曲线, 其实轴为x轴, 虚轴为z轴. 作业题： 1. 已知双曲线的方程为－＝1, y＝0, 设有长短轴之比是常数的一族椭圆, 它 们的中心在z轴上, 它们所在的平面与z轴垂直,它们长轴的两个端点在给定的双曲线上, 试求这族椭圆所形成的轨迹. 2. 求准线为且母线平行于z轴的柱面方程. 3. 给定方程 ++＝1 (a>b>c>0). 试问k取何值(异于a2, b2, c2)时, 这方程表示椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面？