【数学】2018年山西省数学中考真题(解析版)

2018年山西省中考数学真题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下面有理数比较大小，正确的是（）

A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3 D．1＜﹣4

2．（3分）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）

A．

《九章算术》

B．

《几何原本》

C．

《海岛算经》

D．

《周髀算经》

3．（3分）下列运算正确的是（）

A．（﹣a3）2=﹣a6B．2a2+3a2=6a2

C．2a2?a3=2a6D．

4．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）

A．2﹣2=0 B．2+4﹣1=0 C．22﹣4+3=0 D．32=5﹣2

5．（3分）近年快递业发展迅速，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：万件）：

太原市大同市长治市晋中市运城市临汾市吕梁市3303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87 1～3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是（）

A．319.79万件B．332.68万件C．338.87万件D．416.01万件

6．（3分）黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（）

A．6.06×104立方米/时B．3.136×106立方米/时

C．3.636×106立方米/时D．36.36×105立方米/时

7．（3分）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）

A．B．C．D．

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）

A．12 B．6 C．D．

9．（3分）用配方法将二次函数y=2﹣8﹣9化为y=a（﹣h）2+的形式为（）

A．y=（﹣4）2+7 B．y=（﹣4）2﹣25 C．y=（+4）2+7 D．y=（+4）2﹣25

10．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）

A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）计算：（3+1）（3﹣1）=．

12．（3分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度．

13．（3分）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．

14．（3分）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；

②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD 为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：

（1）（2）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20．

（2）?﹣．

17．如图，一次函数y1=1+b（1≠0）的图象分别与轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2=的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当为何值时，y1＞0；

（3）当为何值时，y1＜y2，请直接写出的取值范围．

18．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．

请解答下列问题：

（1）请补全条形统计图和扇形统计图；

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？

（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？

（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

19．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目内容

课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离

测量示意图

说明：两侧最长斜拉索AC ，BC 相交于点C ，分别与桥面交于A ，B 两点，且点A ，B ，C 在同一竖直平面内．

测量数据 ∠A 的度数

∠B 的度数

AB 的长度 38°

28° 234米

…

…

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C 到AB 的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

20．2018年1月20日，山西迎了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的

（两列车

中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．

21．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办消去．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点和Y，使得A=BY=Y．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：

第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'

∥CA，交BD于点'，并在AB上取一点A'，使'A'=Y''．第三步，过点A作A∥A''，交BD于点．第四步，过点作Y∥AC，交BC于点Y，再过点Y作Y∥A，交AC于点．

则有A=BY=Y．

下面是该结论的部分证明：

证明：∵A∥A''，∴∠BA''=∠BA，

又∵∠A'B'=∠AB．∴△BA''～△BA．

∴．

同理可得．∴．

∵'A'=Y''，∴A=Y．

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AY的形状，并加以证明；（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成A=BY=Y的证明过程；

（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA''Y'放大得到四边形BAY，从而确定了点，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是．

A．平移B．旋转C．轴对称D．位似

22．综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：

证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．

∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

∴．（依据1）

∵BE=AB，∴．∴EM=DM．

即AM是△ADE的DE边上的中线，

又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B 都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

23．综合与探究

如图，抛物线y=﹣4与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM ⊥轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

【参考答案】

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．B

【解析】A，0＞﹣2，故此选项错误；

B，﹣5＜3，正确；

C，﹣2＞﹣3，故此选项错误；

D，1＞﹣4，故此选项错误；

故选：B．

2．B

【解析】A，《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；

B，《几何原本几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；

C，《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；D，《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；

故选：B．

3．D

【解析】A，（﹣a3）2=a6，此选项错误；

B，2a2+3a2=5a2，此选项错误；

C，2a2?a3=2a5，此选项错误；

D，，此选项正确；

故选：D．

4．C

【解析】A，△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；

B，△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；

C，△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；

D，△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；

故选：C．

5．C

【解析】首先按从小到大排列数据：319.79，302.34，332.68，338.87，416.01，725.86，3303.78 由于这组数据有奇数个，中间的数据是338.87

所以这组数据的中位数是338.87

故选：C．

6．C

【解析】1010×360×24=3.636×106立方米/时，

故选：C．

7．A

【解析】画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，

∴两次都摸到黄球的概率为，

故选：A．

8．D

【解析】连接B'B，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，

∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，

∴△AA'C是等边三角形，

∴∠AA'C=60°，

∴∠B'A'B=180°﹣60°=60°=60°，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，

∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°﹣60°=30°，

∴△BCB'是等边三角形，

∴∠CB'B=60°，

∵∠CB'A'=30°，

∴∠A'B'B=30°，

∴∠B'BA'=180°﹣60°﹣30°=90°，

∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，

∴AB=12，

∴A'B=AB﹣AA'=AB﹣AC=6，

∴B'B=6，

故选：D．

9．B

【解析】y=2﹣8﹣9

=2﹣8+16﹣25

=（﹣4）2﹣25．

故选：B．

10．A

【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=﹣×4×2=4π﹣4，

故选：A．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．17

【解析】原式=（3）2﹣12

=18﹣1

=17

故答案为：17．

12．360

【解析】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，

故答案为：360°．

13．55

【解析】设长为8，高为11，

由题意，得：19+20≤115，

解得：≤5，

故行李箱的高的最大值为：11=55，

答：行李箱的高的最大值为55厘米．

故答案为：55

14．2

【解析】∵MN∥PQ，

∴∠NAB=∠ABP=60°，

由题意得：AF平分∠NAB，

∴∠1=∠2=30°，

∵∠ABP=∠1+∠3，

∴∠3=30°，

∴∠1=∠3=30°，

∴AB=BF，AG=GF，

∵AB=2，

∴BG=AB=1，

∴AG=，

∴AF=2AG=2，

故答案为：2．

15．

【解析】如图，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，

∴CD=BD=AB=5，

连接DF，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD=90°，

∴BF=CF=BC=4，

∴DF==3，

连接OF，

∵OC=OD，CF=BF，

∴OF∥AB，

∴∠OFC=∠B，

∵FG是⊙O的切线，

∴∠OFG=90°，

∴∠OFC+∠BFG=90°，

∴∠BFG+∠B=90°，

∴FG⊥AB，

∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，

∴FG===，

故答案为．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解：（1）原式=8﹣4+×6+1

=8﹣4+2+1

=7．

（2）原式=

=

=．

17．解：（1）∵一次函数y1=1+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），

∴，

解得．

∴一次函数的表达式为y1=+2．

∵反比例函数的图象经过点D（2，4），

∴．

∴2=8．

∴反比例函数的表达式为．

（2）由y1＞0，得+2＞0．

∴＞﹣2．

∴当＞﹣2时，y1＞0．

（3）＜﹣4或0＜＜2．

18．解：（1）由条形图知，男生共有：10+20+13+9=52人，

∴女生人数为100﹣52=48人，

∴参加武术的女生为48﹣15﹣8﹣15=10人，

∴参加武术的人数为20+10=30人，

∴30÷100=30%，

参加器乐的人数为9+15=24人，

∴24÷100=24%，

补全条形统计图和扇形统计图如图所示：

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是．答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%．

（3）500×21%=105（人）．

答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人．

（4）．

答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为．

19．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D．

设CD=米，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=38°．

∵，∴．

在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠B=28°．

∵，∴．

∵AD+BD=AB=234，∴．

解得=72．

答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．

（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）

20．解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要小时，

根据题意得：=+40，

解得：=，

经检验，=是原分式方程的解，

∴+=．

答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时．

21．解：（1）四边形AY是菱形．

证明：∵Y∥AC，Y∥A，

∴四边形AY是平行四边形．

∵A=Y，

∴平行四边形AY是菱形．

（2）证明：∵CD=CB，

∴∠1=∠3．

∵Y∥AC，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴YB=Y．

∵四边形AY是菱形，

∴A=Y=Y．

∴A=BY=Y．

（3）通过作平行线把四边形BA''Y'放大得到四边形BAY，从而确定了点，Y的位置，此时四边形BA''Y'∽四边形BAY，所以该变换形式是位似变换．

故答案是：D（或位似）．

22．解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．

依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．

②答：点A在线段GF的垂直平分线上．

理由：由问题情景知，AM⊥DE，

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE∥FG，

∴点A在线段GF的垂直平分线上．

（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，

∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，

∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，

∴∠BCE+∠BEC=90°．

∵四边形CEFG为正方形，

∴CG=CE，∠GCE=90°，

∴∠BCE+∠BCG=90°．

∴∠2BEC=∠BCG．

∴△GHC≌△CBE．

∴HC=BE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，BE=AB，

∴BC=2BE=2HC，