数学：2.3《幂函数》教案(新人教A必修1)

2.3幂函数

教学目的：使学生掌握幂函数的概念，会画幂函数的图象，能判定一个幂函数是增函 数还是减函数，能判断一个幂函数的奇偶性。

教学重点：幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。

教学难点：幂函数增减性的证明。

教学过程

一、新课引入

课本P90，p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 2

1,v=t -1,

上述问题中的函数具有什么共同特征？

二、新课

上述问题中涉及的函数，都是形如y ＝x a 的函数。

一般地，函数y ＝x a 叫做幂函数（power function ）。其中x 是自变量，a 是常数。 当a ＝1,2，3，21，－1时，得到下列的幂函数，画出它们的图象，并观察图象， 将你发现的结论写在下表中：

y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 2

1

y ＝x －1 定义域 R R R ［0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 值域 R ［0，＋∞） R ［0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 ［0，＋∞）增 增 增 （－∞，0）减

（－∞，0）减 ［0，＋∞）减

定点 （1,1） （1,1） （1,1） （1,1） （1,1）

例1、证明幂函数f （x ）＝x 在［0，＋∞）上是增函数。

证明：任取1x 、2x ∈［0，＋∞）,且1x ＜2x ，则

f(1x )－f(2x )＝21x x -＝212121)

)((x x x x x x ++-＝2121x x x x +-

因为1x －2x ＜0，21x x +＞0，

所以，f(1x )＜f(2x )

即幂函数f （x ）＝x 在［0，＋∞）上是增函数。

注意：证明函数的单调性时既可以用作差的方法，也可以用作比的方法，应用用比的 方法时应注意分母不为零，及去母时考虑符号问题。

作业：P92 1、2、3