难点二 立体几何中的探索性与存在性问题
(对应学生用书第65页)
数学科考试大纲指出,通过考试,让学生提高多种能力,其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成.立体几何中的探索性与存在性问题实质是对线面平行与垂直性质定理的考查.
探究性与存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立,立体几何中的探究性与存在性问题既能够考查学生的空间想象能力,又可以考查学生的意志力及探究的能力.
1.对命题条件的探索
探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么.对命题条件的探索常采用以下三种方法:
(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再给出证明;
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;
(3)把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.
【例1】 如图1,在四棱锥P -ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =∠PAB =90°,BC =CD =12
AD ,E 为棱AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.
在平面PAB 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PBE ,并说明理由.
【导学号:56394092】
图1
[解] 在梯形ABCD 中,AB 与CD 不平行.如图,延长AB ,DC ,相交于点M (M ∈平面PAB ),点M 即为所求的一个点.
理由如下:
由已知,知BC ∥ED ,且BC =ED ,
所以四边形BCDE是平行四边形,
从而CM∥EB.
又EB?平面PBE,CM?平面PBE,
所以CM∥平面PBE.
(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
[思路分析] 证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;(2)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行的性质定理,三是利用面面平行的性质;(3)证明两个平面垂直,首先考虑直线与平面垂直,也可以简单记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似,掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键.
[点评] 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件,所以解这类题采用下列二种方法:(1)通过各种探索尝试给出条件;(2)找出命题成立的必要条件,也证明充分性.
2.对命题结论的探索
探索结论,即在给定的条件下命题的结论是什么.对命题结论的探索,常从条件出发,探索出要求的结论是什么,另外还有探索的结论是否存在.求解时,常假设结论存在,再寻找与条件相容还是矛盾的结论.
【例2】如图2,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
图2
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
[解](1)证明:因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,且PC∩AC=C,
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.
理由如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF.
又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.
又因为PA?平面CEF,且EF?平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
[点评] 对于立体几何的探索性与存在性问题一般都是条件开放性的探究问题,采用的方法一般是执果索因的方法,假设求解的结果存在,寻找使这个结论成立的充分条件,运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决.如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件,或出现了矛盾,则不存在.
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖,形式多样,近年来在高考中频频出现,而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色,它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具,应用空间向量这一工具,为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法.下面借“题”发挥,透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略,希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢,化解自如.1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点,它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐.此类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:如果存在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由.这类问题常用“肯定顺推”的方法.求解此类问题的难点在于:涉及的点具有运动性和不确定性.所以用传统的方法解决起来难度较大,若用空间向量方法来处理,通过待定系数法求解其存在性问题,则思路简单、解法固定、操作方便.解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下 进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直,利用两法向量数量积为零,得参数p 的方程.即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题. 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题,常利用空间向量法解决,可以避开抽象、复杂地寻找角的过程,只要能够准确理解和熟练应用夹角公式,就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.事实说明,空间向量法是证明立体几何中存在性问题 的强有力的方法. 【精选名校模拟】 1. 在四棱锥E ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC 底面ABCD ,F 为BE 的中点.(Ⅰ)求证:DE ∥平面ACF ; (Ⅱ)求证:BD AE ;
难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟,大体是三道左右的小题和一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.(★★★★★)一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20米的桥上, 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进(如图), 现在小船在水平P 点以南的40米处,汽车在桥上 以西Q 点30米处(其中PQ ⊥水面),则小船与汽车间的最短距离为 .(不考虑汽车与小船本 身的大小). 2.(★★★★★)小宁中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:(1)洗锅盛水2分钟;(2)洗菜6分钟;(3)准备面条及佐料2分钟;(4)用锅把水烧开10分钟;(5)煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除(4)之外,一次只能进行一道工序,小宁要将面条煮好,最少用分钟. 3.(★★★★★)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品x (百台),其总成本为G (x )万元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. (1)要使工厂有盈利,产品x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少? ●案例探究 [例1]为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为a 米,高度为b 米,已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料 60平方米,问当a 、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)? 命题意图:本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力,属★★★★级题目. 知识依托:重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析:不能理解题意而导致关系式列不出来,或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法:关键在于如何求出函数最小值,条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ,则由条件y = ab k (k >0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值,只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a >0,b >0)且ab =30–(a +2b )
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
难点 12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解 决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.
●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,求它的前 3m 项的 和为_________. ●案例探究
[例 1]已知函数 f(x)= 1 (x<-2). x2 4
(1)求 f(x)的反函数 f--1(x);
(2)设 a1=1, 1 =-f--1(an)(n∈N*),求 an; a n 1
(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25
成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,
属★★★★★级题目. 知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单
调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题. 错解分析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,
(2)问以数列{
1 an2
}为桥梁求
an,不易突破.
技巧与方法:(2)问由式子 1 an1
1 an2
4得
1
a
2 n1
1 an2
=4,构造等差数列{
1 an2
},从而
求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.
解:(1)设 y=
1 ,∵x<-2,∴x=- x2 4
4
1 y2
,
即 y=f--1(x)=-
4
1 y2
(x>0)
(2)∵ 1 an1
4
1 an2
,
1 an12
1 an2
4,
∴{
1 an2
}是公差为
4
的等差数列,
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖,形式多样,近年来在高考中频频出现,而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色,它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具,应用空间向量这一工具,为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法.下面借“题”发挥,透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略,希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢,化解自如. 1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点,它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐.此类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:如果存在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由.这类问题常用“肯定顺推”的方法. 求解此类问题的难点在于:涉及的点具有运动性和不确定性.所以用传统的方法解决起来难度较大,若用空间向量方法来处理,通过待定系数法求解其存在性问题,则思路简单、解法固定、操作方便.解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直,利用两法向量数量积为零,得参数p 的方程.即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题. 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题,常利用空间向量法解决,可以避开抽象、复杂地寻找角的过程,只要能够准确理解和熟练应用夹角公式,就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.事实说明,空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法. 【精选名校模拟】 1. 在四棱锥ABCD E -中,底面ABCD 是正方形,AC 与BD 交于点O ,⊥EC 底面ABCD ,F 为BE 的中点. (Ⅰ)求证:DE ∥平面ACF ; (Ⅱ)求证:AE BD ⊥;
难点34 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定义,常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 [例1]求函数的导数: )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图:本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型,属于★★★★级题目. 知识依托:解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数. 错解分析:本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法:先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求导法则进行求导.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解:y =μ3,μ=ax -b sin 2ωx ,μ=av -by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av -by )′ =3μ2(av ′-by ′)=3μ2(av ′-by ′γ′) =3(ax -b sin 2ωx )2(a -b ωsin2ωx ) (3)解法一:设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v -21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二:y ′=[f (12+x )]′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′