《四边形》讲义
四边形
知识梳理
1.四边形与特殊四边形的关系 （在箭头上填写适当条件）
正方形
菱形
矩形
平行四边形
四边形
D
D
C
B
A
B
C
D
C
B
A
D
C
B
A
C
B
D
A
A
2.平行四边形的性质、判定 （1）平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四边形
（2）平行四边形的判定
边
的四边形是平行四边形
角 对角线
【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD
相交于点O ，△AOB?的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______． 解题思路：运用平行四边形的对角线互相平分，AC+BD=2(AO+BO)=18
【例2】如图，在平行四边形ABCD 中， E 、F?是对角线AC 上的两点，请你再添加一个条件，使四边形DEBF 是平行四边形，你添加的条件是 ,说明你的理由。 解题思路：运用平行四边形的判定（对角线互相平分）AE=CF 或AF=CE 【练习】
1.下面命题中，正确的是（ ）
A. 一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 一组对角互补的四边形是平行四边形
C. 两组边分别相等的四边形是平行四边
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 2.平行四边形的一边的长为10,则这个平行四边形的两条对角线的长可以是
( )
A. 4,6cm cm
B. 6,8cm cm
C. 8,10cm cm
D. 10,12cm cm 3.已知：如图，E 、F 是平行四边行ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF 。求证： （1）△ADF ≌△CBE （2）EB ∥DF
答案： 1.D 2.D 3. 证明：(1)∵AE=CF
∴AE+EF=CF+FE 即AF=CE
又ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中
F
C
D
B
A
E
AF=CE AD=CB DAF= BCE ??
?
?∠∠?
∴△ADF ≌△CBE （SAS ） （2）∵△ADF ≌△CBE
∴∠DFA=∠BEC ∴DF ∥EB
3.特殊四边形的性质、判定 （1）特殊四边形的性质
边
角
对角线
对称性
面积公式
矩形
菱形
正方形
梯
形 直角梯形
等
腰梯形
（2）特殊四边形的判定：
是矩形
是菱形
是正方形
是等腰梯形
【例3】如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？写出理由。
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点
的四边形不存在？
解题思路：解探索性问题，一般借助直观、直觉或经验先猜测结论，再结合条件加以说明，要注意抓住图形的特殊性，要得到特殊条件，就要构造特殊图形．解：（1）四边形ADEF是平行四边形；
∵△AB D、△BC E为等边三角形
∴AB = BD = AD，BC = CE = EB，∠AB D = ∠CB E = 60°
∴∠DBE = ∠CBA
∴△EBD≌△CBA
∴DE = AC
又∵△ADC为等边三角形
∴C F = AF = AC
∴DE = AF
同理可得AD = EF
∴四边形ADEF 是平行四边形
（2）若四边形ADEF 为菱形，AD ＝AF ，所以AB ＝AC ．
所以当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形ADEF 是菱形；
（3）由（1）得∠BAC ＝∠BDE ＝60°＋∠ADE ，当∠ADE ＝0°时，以A 、D 、E 、
F 为顶点的四边形不存时，此时，∠BAC ＝60°．所以当∠BAC ＝60°时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．
【例4】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． （1）求证：CF AB =；
（2）当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．
解题思路：特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定一定要熟练不能混淆，根据题目的条件选择合适的判定方法。 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴CD AB CD AB =,//
∴FCE ABE CFE BAE ∠=∠∠=∠, ∵E 为BC 的中点 ∴EC EB = ∴FCE ABE ??? ∴CF AB =.
（2）解:当AF BC =时,四边形ABFC 是矩形.
理由如下: ∵CF AB CF AB =,// ∴四边形ABFC 是平行四边形 ∵AF BC =
∴四边形ABFC 是矩形.
【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠= ，2AD =，
F
E
D
C
B
A
A
D
42BC =，求DC 的长．
解题思路：解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
②“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“延腰”：构造具有公共角的两个三角形．
④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点.
解析一：如图1，分别过点A D ，
作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F
∴AE DF ∥ 又AD BC ∥
∴四边形AEFD 是矩形
2EF AD ∴==
AB AC ⊥ ，45B ∠= ，42BC = AB AC ∴=
1
222
AE EC BC ∴==
= 22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= 在Rt DFC △中，90DFC ∠=
2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+=
解析二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，
AB AC ⊥
90AED BAC ∴∠=∠=
AD BC ∥
18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=
A
B
C
D
F
E 图1
A
B
C
D
F
E
图2
在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，45B ∠= ，42BC =
2
sin 454242
AC BC ∴==?
= 在Rt ADE △中，90AED ∠= ，45DAE ∠= ，2AD =
1DE AE ∴==
3CE AC AE ∴=-=
在Rt DEC △中，90CED ∠=
22221310DC DE CE ∴=+=+=
【练习】
1.如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ． 求证：四边形AECD 是菱形；
2.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝7，BC ＝12，求∠B 的度数．
3.在梯形ABCD 中，AB∥CD，090A ∠=，AB=2，BC=3，CD=1，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程。
答案：1. 解：AB CD ∥，即AE CD ∥，又CE AD ∥，∴四边形AECD 是平行四边形。AC 平分BAD ∠，CAE CAD ∴∠=∠，又A D C E
∥，ACE CAD ∴∠=∠，ACE CAE ∴∠=∠，AE CE ∴=，∴四边形AECD 是菱形． 2. 解：过点A 作AE ∥DC 交
BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 为平行四边形． ∴AD ＝EC ，AE ＝CD ．∵AB ＝CD ＝7，AD ＝5，BC ＝12，∴BE ＝BC －CE ＝12－5＝7，AE ＝CD ＝AB ＝7．∴ABE 为等边三角形．故∠B ＝60°． 3. 解：EC EB ⊥
略证：过点C 作CF AB ⊥于F ，则四边形AFCD 是矩形，在Rt BCF 中，可算得22CF =，则AD=22CF =，故DE=AE=
1
22
AD = 在Rt ABE 和Rt DCE 中
222222222063
990EB AE AB EC DE CD EB EC BC CEB EB EC
=+==+=+==∴∠=∴⊥
最新考题
本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题．中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注
考查目标一、图形的性质与判定
【例1】（09年南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（）
A.三角形
B.平行四边形
C.矩形
D.正方形
解题思路：运用梯形的中位线性质，熟悉平行四边形的特性
【例2】（09年南京）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE.求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形.
解题思路：运用全等、矩形的判定
解：（1）∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF
∴BF=CE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC
在△ABF和△DCE中
∵AB=DC,BF=CE,AF=DE
∴△ABF≌△DCE
（2）解法一：∵△ABF≌△DCE
∴∠B=∠C,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥C D
∴∠B+∠C=180°
F
E
D
C B
A
Q
P O
E
D
C
B A
∴∠B=∠C=90°
所以四边形ABCD是矩形.
解法二：连接AC,DB
∵△ABF≌△DCE
∴∠AFB=∠DEC
∴∠AFC=∠DEB
在△AFC和△DEB中
∵AF=DE, ∠AFC=∠DEB,CF=BE
∴△AFC≌△DEB
∴AC=DB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
【例3】（09年广东）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.
（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并
延长交AD于点Q.求证：BP=DQ
解题思路：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝3
∴224
OB AB OA
=-=，BD＝2OB=8
∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形
∴CE＝AD＝BC＝5，DE＝AC＝6
∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE＝8+10+6＝24.
（2）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD
∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ。
考查目标二、开放性问题
【例4】（09年广东）在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.
O
2
E
F
A
B
D C
G
M
N
1以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1，对角线相交于点1A ；再以C A B A 111、为邻边作第2个平行四边形C C B A 111，对角线相交于点1O ；再以1111C O B O 、为邻边作第3个平行四边形1211C B B O ……依此类推. （1）求矩形ABCD 的面积；
（2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的面积。
解题思路：（1）∵四边形ABCD 是矩形，AC=20，AB ＝12
∴∠ABC ＝９０o，2222201216BC AC AB =-=-= ∴ABCD AB BC 1216192S =?=?=矩形
（2）∵OB ∥1B C ，OC ∥1BB ，∴四边形OB 1B C 是平行四边形。 ∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OC ，∴四边形OB 1B C 是菱形。
∴221111111
OB BC A B BC 8OA OB OB A B 622
⊥====-=，，
∴11OB 2OA 12==，∴1OBB C 1S =1612962BC OB ?=??=1菱形1
2
同理：四边形A B C C １１１是矩形，∴848B C ??=１１１1111矩形ＡＢＣＣＳ＝A B =6 ‥‥‥ 第ｎ个平行四边形的面积是：2
S ｎｎ192
＝ ∴2
S =66
192
=12．
【例5】（08 江苏扬州）如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n
后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ．
（1） 以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
B
A
D
C
P
E （2） 若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD ）的面积为43
3
2cm ，求旋转的角度n ．
解题思路：（1）连结的两条相交且互相垂直的线段是AO 和DE ． 理由如下：AO DE ⊥
证明： 在Rt ADO △与Rt AEO △中，AD AE AO AO ==，
Rt Rt ADO AEO ∴△≌△
DAO OAE ∴∠=∠（即AO 平分DAE ∠） AO DE ∴⊥（等腰三角形的三线合一） 注：其它的结论也成立如GD BE ⊥． （2）030n =
证明： 四边形AEOD 的面积为
43
3
∴三角形ADO 的面积
23
23
AD DO ?=
23
23AD DO ==
，
3030DAO EAB ∴∠=∴∠= ，
考查目标三、与函数综合
【例6】如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC 上任取一点P ，连接DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E.（1）试确定当CP=3时，点E 的位置；（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式.
解题思路：（1）连接DP
∵CP=3 ∴BP=BC －CP=12－3=9
∵AD=9 ∴AD=DP
∵AD ∥DP ∴四边形ABPD 是矩形 ∴ DP ⊥BP
∵PE ⊥DP ∴点E 与点B 重合 （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ∴AD=BF=9 AB=DF=6 当点P 在BF 上：
∵∠BPE +∠EPD+∠DPF=180°，PE ⊥DP ∴∠BPE +∠DPF=90°
∵DF ⊥BC ∴∠PDF+∠DPF=90° ∴∠PDF =∠EPB ∴△PEB ∽△DPF ∴
DF
BP
PF BE =
∵CP=x BE=y ∴BP=12—x PF=PC —CF=x —3 ∴
6123x x y -=
-（6分） ∴)3615(6
1
2+--=x x y 当点P 在CF 上，同理可求得：)3615(6
12
+-=
x x y
过关测试
一、选择题
1．如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（? ）
A．三个正三角形，两个正方形 B．两个正三角形，三个正方形
C．两个正三角形，两个正方形 D．三个正三角形，三个正方形
2．使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（）
A．正六边形地砖 B．正五边形地砖
C．正方形地砖 D．正三角形地砖
3．下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．正六边形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形4．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm，则这个梯形的上，下底的长分别为（）
A．4cm，10cm B．8cm，20cm C．2cm，5cm D．14cm，28cm 5．如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
（第4题）（第5题）
6．顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（）
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
7．如图5，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，?要使中间阴影部分的小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（）
A．25 B．35 C．5 D．5
8.一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，则它的边数是（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9.四个内角都相等的四边形是（）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.平行四边形
10.符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（ ） A.四边都相等
B.两组邻边分别相等
C.对角线互相垂直平分
D.两条对角线分别平分一组对角
11.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，BD ⊥CD ，则∠C ＝（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
12.延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则 ∠AFC 的度数是（ ）
A. 112.5°
B. 120°
C. 122.5°
D. 135°
二、填空题
1．顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________． 3．平行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，?则较短的一条边的长为_______． 4．如图，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD?于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．
（第4题） （第5题） （第6题）
5．如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 与AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形，他判定方法是_______．
6．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P
A
D
F
E
C
B
不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，?PF?∥CD?交AD?于F，?则阴影部分的面积是______．
三、解答题
1．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB. （1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．
2．如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，?且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHG的度数．
3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，?试求此梯形的面积．
4．将一张矩形纸片沿直线折叠一次，折痕恰好把矩形分为面积相等的两部分．（1）这样的折痕有多少条？（2）这样的折痕具有什么特点？
5．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的A′处，DE为折痕，作DF平分∠A′DB，试猜想∠FDE等于多少度，并说明理由．
6.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
参考答案
一、选择题：
1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8.B 9.A 10.B 11.C 12.A 二、填空题：
1．平行 2．菱形 3．6 4．3 5．对角线平分内角的矩形是正方形等 6．2．5 三、解答题
1．解：（1）证明：ABC △与CDE △都是等边三角形
ED CD ∴=
60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠=
AB CD DE CF ∴∥，∥ 又 EF AB ∥
∴EF CD ∥
∴四边形EFCD 是菱形
（2）解：连结DF ，与CE 相交于点G 由4CD =，可知2CG =
∴22
4223DG =-=
43DF ∴=
2．（1）略 （2）100°
3．解：作AE ∥DB ，交CB 延长线于E ，作AF ⊥BC 于F ，易知ADBE 为平行四边形 ∴AE=DB=3 EB=AD=2
∴CE=6 设EF=x 有AE 2-EF 2=AC 2-CF 2
即32-x 2=52-（6-x ）2 x=53
∴AF=2253()3-=
2
3
14 S 梯=
1
2
AF （AD+BC ）=214． 4．（1）无数条 （2）过矩形对称中心． 5．猜想∠FDE=90°，理由略．
6. 如图所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行
线,且这些平行线两两相交于E
、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边
形.
初二几何--四边形练习题及答案
初二几何---四边形 一.选择题 (本大题共 20 分) 1.梯形中位线长15cm，一条对角线把中位线分成两线段之比为2:3，则此梯形的两底长分别是（） (A)14cm，16cm (B)12cm，18cm (C)12cm，20cm (D)8cm，22cm 2.下列说法不正确的是（） (A)正方形的对角线互相垂直且相等 (B) 对角线相等的菱形是正方形 (C)邻边相等的矩形是正方形 (D)有一个角是直角的平行四边形是正方形 3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（） (A)对角线互相平分(B)邻角互补(C)每条对角线平分一组对角(D)对角相等 4.有两个角相等的梯形一定是（） (A)等腰梯形(B)直角梯形(C)等腰梯形或直角梯形(D)以上都不对 5.如图已知：矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE:∠ECB=3:1，则∠ACE=（） (A)30°(B)45°(C)60°(D)40° 6.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） (A)平行四边形(B)等腰直角三角形(C)等边三角形(D)菱形 7.下列语句中不一定正确的是（） (A)对角线相等的梯形是等腰梯形 (B)梯形最多有两个内角是直角 (C)梯形的一组对角不能相等 (D)一组对边平行的四边形是梯形 8.如图，E、F是□ABCD两对边的中点，则图中平行四边形的个数是（） (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 9.下列说法正确的是（） (A)对角相等的四边形是矩形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形
(C)对角互补的平行四边形是矩形 (D)三个角相等的四边形是矩形 10.顺次连结下列四边形各边中点所得的四边形是矩形的是（） (A)等腰梯形(B)矩形(C)平行四边形(D)菱形 二.填空题 (本大题共 30 分) 1.直角梯形一内角为120°，它的高与上底长都是√3cm，则它的腰长cm、cm，为中位线长cm。 2.□ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，ΔABO与ΔBCO的周长之差4cm，则AD= cm。 3.对角线的四边形是矩形。对角线的四边形是菱形。 4.在□ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠B=30°，则S□ABCD= cm。 5.若梯形的上底长为6cm，中位线长8cm，则此梯形的下底线长cm；连结两条对角线的中点的线段长cm。 6.平行四边形一边长为10，一条对角线长12，则它的另一条对角线的取值范围是。 7.等腰梯形的一条对角线分中位线为4cm和10cm两部分，腰长为12cm，则此梯形不在同一底的两内角为度、度，其面积为cm2。 8.顺次连结四边形各中点所得的四边形是形。如果新四边形的两邻边分别长3cm、4cm，那么原四边形的两条对角线之和为cm。 9.梯形一腰长4cm，这腰和底所成的角是30°，则另一腰长为cm。 10.如图已知：四边形ABCD中，AC、BD交于O，AC=BD，E、F为AB、CD中点，EF交BD、AC于MN。 求证：OM=ON 11.对角线的四边形是矩形。对角线的四边形是菱形。 12.矩形ABCD中，对角线交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，则AD= cm。 13.梯形ABCD中，AD∥BC，过D作DE∥AB交BC于E，梯形周长为42cm，AD=6cm，则△CDE的周长是cm。 14.如图已知：四边形ABCD中，AC、BD交于O，AC=BD，E、F为AB、CD中点，EF交BD、AC于MN。 求证：OM=ON 15.已知是菱形的边长为5cm，一对角线长8cm，则此菱形的另一条对角线长cm，它的面积为cm2。 三.判断题 (本大题共 5 分) 1.两条对角线相等的四边形是矩形。（） 2.四边形的内角和等于外角和。（）
平行四边形单元测试题(含答案)
平行四边形单元测试题 班别姓名学号分数 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）（A）36°（B）108°（C）72°（D）60° 2．如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（）． （A）9 （B）6 （C）3 （D）9 2 3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）．（A）4 F E D C B A 2008年中考数学试题分类汇编（中） 2008年中考数学分类汇编 四边形和平行四边形 一、选择题 1、（2008湖北武汉） 如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD 的大小是（ ） Ａ.150° Ｂ．300° Ｃ．210° Ｄ．330°． 2、（2008山东泰安）如图4，下列条件之一能使ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ 3、(2008 台湾)在五边形ABCDE 中，若∠A =100?，且其余四个内角度数相等，则∠C =？ ( ) (A) 65? (B) 100? (C) 108? (D) 110? 。 4、（2008泰州市）在平面上，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，且满足AB =CD ．有下列四个条件：（1）OB =OC ；（2）AD ∥BC ；（3） BO DO CO AO = ；（4）∠OAD =∠OBC ．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC =∠CDB 成立，这样的条件可以是 A ．（2）、（4） B ．（2） C ．（3）、（4） D ．（4） 5、（2008 永州市）．下列命题是假命题．．． 的是（ ） D A ．两点之间，线段最短; B ．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． C ．一组对应边相等的两个等边三角形全等; D ．对角线相等的四边形是矩形． 6、（2008四川达州市）如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN EF ，分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1234S S S S ，，，，若MN AB DC ∥∥，EF DA CB ∥∥，则有（ ） A ．14S S = B ．1423S S S S +=+ C ．1423S S S S = D ．都不对 7、（2008山东东营）只用下列图形不能镶嵌的是 （ ） A ．三角形 B ．四边形 C ．正五边形 D ．正六边形 8、（2008佳木斯）如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥ 且 12EF AB = ；②BAF CAF ∠=∠；③12 ADFE S AF DE =四边形；④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、（2008年陕西省）如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） F 红 紫 白 黄 D M A F E C N B A B C D （第4题） 四边形知识点总结归纳 大全 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 望牛墩中学四边形知识点总结大全 ※1．关于中心对称的两个图形是全等形. ※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. ※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点 对称. 三 公式： 1．S 菱形 =2 1ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =2 1（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识： ※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是： 2 ) 3n (n -. 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 正方形、矩形、菱形和平行四边形四者知识点串联汇总 正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形 平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质 图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分 菱形对边平行，四条边相等对角相等两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 正方形对边平行、四条边都相 等 四个角都是直角 两条对角线互相平分、垂 直、相等，每一条对角线 平分一组对角 平行四边形、菱形、矩形、正方形的判别方法图形判别方法 平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 矩形一个内角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 正方形一组邻边相等的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形 1.延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。 2.平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 3.作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。 4.平移一条对角线 作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和 （2）S 梯形ABCD =S △DBE 5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。 作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S 梯形ABCD =S △ABF 。 四边形综合提高练习题 1、十二边形的内角和为（ ） A.1080° B.1360° C 、1620° D 、1800° 2、能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）． （A ）AB ∥CD ，AD=BC; （B ）∠A=∠B ，∠C=∠D; （C ）AB=CD ，AD=BC; （D ）AB=AD ，CB=CD (D) 3、菱形ABCD 的对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为（ ） A.12， B.24 C.36 D.48 4．下列说法不正确的是（ ） （A ）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B ）对角线互相垂直平分的四边形是菱形; （C ）对角线垂直的菱形是正方形;（D ）底边上的两角相等的梯形是等腰梯形 5、如图1，在平行四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果 125A =o ∠，则BCE =∠（ ） Ａ．55o Ｂ．35o Ｃ．25o Ｄ．30o 6、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___． 7、如图4 ，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．则△EFG 形状为 8、如图5，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，419045==?=∠?=∠BC AD C B ，，， 则AB= 9．如图6，AC 是正方形ABCD 的对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 交AC 于点F ，若BE=2，则CF 长为 1．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF ． （1）求AB,AC 的长；（2）求证：AE=DF ； （3）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由． （4）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由. 2．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连接CE ． （1）求证：四边形BECD 是平行四边形； （2）若∠E =60°，AC =43,求菱形ABCD 的面积． 3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝45o.△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到，连接BE ，CF 相交于点D . （1）求证：BE ＝CF ； （2）当四边形ABDF 是菱形时，求CD 的长. 4．如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，F 分别在BC ，AB 上，点M 在BA 的延长线上，且CE=BF=AM ，过点M ，E 分别作NM ⊥DM ，NE ⊥DE 交于N ，连接NF ． （1）求证：DE ⊥DM ； （2）猜想并写出四边形CENF 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． F （8题图） A O 第六章平行四边形测试题 班级 姓名 一、细心选一选： 1、平行四边形ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长为22cm ，则AC 的长为 （ ） A .6cm B .12cm C .4cm D .8cm 2、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等 3、如图，在 ABCD 中，对角线A C ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC 上的两点，当点E ，F 满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形 （ ） A .AE =CF B .DE =BF C .∠ADE =∠CBF D . ∠AED =∠CFB 4、两条对角线互相垂直的四边形是（ ） （A ）矩形 （B ）菱形 （C ）正方形 （D ）以上都不对 5、能够判定一个四边形是矩形的条件是（ ）。 （A ） 对角线互相平分且相等（B ）对角线互相垂直平分 （C ） 对角线相等且互相垂直（D ）对角线互相垂直 6、顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ） （A ）菱形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）等腰梯形 7.如图，ABCD 、AEFC 都是矩形，而且点B 在EF 上，这两个矩形的面积分别是S 1 ， S 2 ， 则S 1 ， S 2的关系是（ ） A. S 1＞S 2 B. S 1＜S 2 C. S 1=S 2 D. 3S 1=2S 2 8、 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE =DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列 结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO =OE ；（4）AOB DEOF S S ?=四边形中正确的有（ ） A O F E D C B 第3题图 《四边形复习课》 执教：萧山区新湾小学平燕 教学目标： 1、梳理四边形和平行四边形特征，知道长方形、正方形和平行四边形的区别和联系，初步形成有关四边形的知识结构，提升学生的整体认知能力。 2、能正确计算长方形和正方形的周长，并学会初步的运用。 3、在解决生活实际问题的过程中，激发他们对后继相关知识的学习兴趣。引导学生在经历中学会与他人合作、分享共同成长。 教学重点：在梳理四边形特征的过程中，建构知识结构，学会用周长计算的多种方法解决实 际问题。 突破难点的关键：认识并理解四边形以及周长。 教学设计： 一、设前置性作业，整理回顾 课前学生用自己喜欢的方式，对四边形这一单元的知识和学习过程进行回忆和整理，亲手绘制自己心中的“知识树”（独立尝试或小组合作等多种方式。） 二、梳理成网，提升认知， 1、导入：观察身边的物品，当用数学的眼光审视这一切时，你发现了什么？（它们都是由各种各样的几何图形组合而成，有平面也有立体，其中就有很多很多的四边形，四边形还有哪些我们不知道的秘密呢？） 2、集体探究寻“源”，说一说对于四边形你都知道些什么？采用或说或猜或画等方式汇报。 如“我说你猜”： （1）它是一个平面图形，你想到了什么图形？有的学生想到长方形，有的想到正方形，有的想到三角形、圆等等， （2）如果这个平面图形有4条边呢？学生想到了长方形、正方形、平行四边形、梯形等。（3）若这个四边形的对边相等，它可能是谁？有的学生说长方形，有的说正方形，有的说平行四边形，有的学生说这几个图形都符合要求。 （4）若四边形只有四个直角？ （此环节主要是想通过设置问题情景打开学生的想象，在师生的互相追问中对自己认识的平面图形作一个简单的回顾或梳理。） 3、交流生“智” 四边形知识点总结 第一部分、特殊四边形的性质与判定 1.四边形的基础知识： ①．过多边形的一个顶点可画（n-3）条对角线. ②．多边形的对角线条数公式是：2) 3n (n -条. ③．n 边形内角和是（n-2)*180° ④．任意多边形的外角和是360° 2．平行四边形的性质： 因为ABCD 平行四边形????????????.54321点对称中心是对角线的交 ）中心对称图形，（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 平行四边形的判定： 是平行四边形 ）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD ????? ? ? ? ?? 54321 3.矩形的性质： 因为ABCD 是矩形?????? ????.4.3;2;1有两条对称轴 形，）中心对称和轴对称图（）对角线相等 （）四个角都是直角（有性质）具有平行四边形的所 （ 矩形的判定： ??? ? ? ?? +四边形）对角线平分且相等的（边形）对角线相等的平行四（边形）三个角都是直角的四（一个直角 ）平行四边形（4321?ABCD 是矩形. 4．菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ?? ?? ? ??????.)5(24321亦可）（对角线垂直的四边形算面积可用对角线乘积的一半条对称轴有形）中心对称和轴对称图 （角）对角线垂直且平分对（）四条边都相等； （有性质；）具有平行四边形的所 （ 菱形的判定： ??? ? ? ?? +四边形）对角线平分且垂直的（边形）对角线垂直的平行四（形）四条边都相等的四边（一组邻边相等）平行四边形（4321?ABCD 是菱形. 5．正方形的性质： 因为ABCD 是正方形 ??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四条边都相等，四个 （有性质；）具有平行四边形的所 （ 正方形的判定： ?? ? ? ? ?? ++++对角线互相垂直矩形一组邻边相等矩形一个直角）菱形（对角线相等 ）菱形（)4()3(21?ABCD 是正方形. 四边形测试题 一、选择题（24分） 1．下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）． A ．一组对边相等; B ．两条对角线互相平分 C ．一组对边平行; D ．两条对角线互相垂直 2．下列命题中正确的是（ ）． A ．对角线互相垂直的四边形是菱形; B ．对角线相等的四边形是矩形 C ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形; D ．对角线相等的平行四边形是矩形 3．如图所示，四边形ABCD 和CEFG 都是平行四边形,下面等式中错误的是（ ）． A ．18180O ∠+∠= B ．28180O ∠+∠= C ．46180O ∠+∠= D ．15180O ∠+∠= G F 87654321 C B A E D 2y y x x 2x 4y 卫 生间 厨房 客厅卧室 第3题图 第8题图 4．在正方形ABCD 所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 5．菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（平方单位）（ ）． A ．12 B ．6 C ．5 D ．7 6．矩形两条对角线的夹角为60O ，一条对角线与短边的和为15cm ，则矩形较短边长为（ ） A ．4cm B ．2cm C ．3cm D ．5cm 7．下列结论中正确的有（ ） ①等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且有三条对称轴； ②矩形既是中心对称，又是轴对称图形，且有四条对称轴； ③对角线相等的梯形是等腰梯形； ④菱形的对角线互相垂直平分． A ．①③； B ．①②③; C ．②③④； D ．③④ 8．小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买 《四边形》单元测试题 一、选择题 1. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 （ ） A 、一组对角相等 B 、两条对角线互相平分 C 、两条对角线互相垂直 D 、一对邻角的和为180° 2. 中， 的值可以是（ ） A ．1：2：3：4 B ．1：2：2：1 C ．2：2：1：1 D ．2：1：2：1 3.用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A 、①④⑤ B 、②⑤⑥ C 、①②③ D 、①②⑤ 4.如图1，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，则图中面积相等的三角形有（ ）。 A ．3对 B ．2对 C ．1对 D ． 4对 5.如图2，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，使点C 落在C′处，BC′交AD 于F ，下列不成立的是（ ）。 A ．AF ＝C′F B ．BF ＝DF C ．∠BDA ＝∠ADC′ D ．∠ABC′＝∠ADC′ 6.如图3，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ．则∠CDF 等于（ ）。 Ａ．80° B ．70° C ．65° D ．60° 图1 图2 图3 图4 7.如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm 8.如图5，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是（ ） （A ）7.5 （B ）30 （C ）15 （D ）24 9.如图6，在菱形ABCD 中，6cm,8cm AC BD ==，则菱形AB 边上的高CE 的长是（ ）。 A ． 245cm B ．48 5 cm C ． ５cm D ．１０cm 10.如图7，任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为20cm ，则四边形EFGH 的周长是（ ）。 A ．80cm B ．40cm C ．20cm D ． 图5 图6 图7 图8 11．如图8，四边形ABCD 中，cm DA cm BC cm AB 13,4,3===， cm CD 12=，且090=∠ABC ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．84 B ．36 C ．2 51 D ．无法确定 12．如图9，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同 的花卉，其中3块面积分别是2 20m ，2 30m ，2 36m ，则第四块 土地的面积是（ ）2 cm A ．246m B ． 2 50m C ． 2 54m D ． 2 60m 图9 图10 图11 C 八年级下册章末复习---平行四边形 一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。 三、本章知识结构图 1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。 2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。 3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。 4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。 四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质： （1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。 2、平行四边形的判定： （1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（定义） （2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。 （3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。 （4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。 （5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。 【基础练习】 1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____． 2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __. 3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜4 4.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.AB CD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC 5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24 【典型例题】 例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F D A O A B C D O A B C D 特殊的平行四边形复习 1. 矩形（长方形） （1）矩形的性质 边 : 矩形的两组对边分别 且 ; 角 : 矩形的四个角 ;（既相等又互补） 对角线 : 矩形的对角线 且 ； 对称性 ：矩形既是 图形又是 图形。 （2）矩形的判定 ①有三个角是 的四边形是矩形； ②有一个角是 的 四边形是矩形； ③对角线 的平行．．四边形是矩形； （3）矩形的周长和面积 C 矩形 = ， S 矩形 = （用a 、b 分别表示矩形的两边）。 例 ： 在矩形ABCD 中，BC = 2，AE ⊥BD ，垂足为E ， ∠BAE = 30°，那么ΔECD 的面积是多少？ 2. 菱形 （1）菱形的性质 边 : 菱形的两组对边分别 , 四条边都 ; 角 : 菱形的两组对角 （四对邻角 ）； 对角线 : 菱形的对角线 ； 对称性 ：菱形既是 图形又是 图形。 （2）菱形的判定 ①四条边 的四边形是菱形； ②有一组邻边 的 四边形是菱形； ③对角线 的四边形是菱形； （3）菱形的面积 S 菱形 = （用a 表示菱形的边，h 表示这条边上的高）； S 菱形 = （用m 、n 表示菱形的两条对角线）。 例：若菱形的边长为1cm ，其中一个内角为60°，则它的面积S 菱形 = 。 3. 正方形 （1）正方形的性质 边 :正方形的两组对边分别 , 四条边都 ; 角 :正方形的四个角都是 （既相等又互补）; 对角线 :正方形的对角线 且 ；（ 、 、 ） 对称性 ：正方形既是 图形又是 图形。 （2）正方形的判定 ①有一组邻边相等的 是正方形； ②有一个角是直角的 是正方形 ； ③对角线互相垂直平分的 是正方形…………… （3）正方形的面积 C 正方形 = ， S 正方形 = （用a 表示正方形的边长）。 例1．如图，边长为2 cm 的正方形ABCD 的顶点B 在x 轴上，C 在y 轴上，且∠OBC = 30°， 求A 、D 两点的坐标 。 例2．在ΔABC 中，AB = AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，求证：①DE = DF ②当∠A=90°时，四边形AEDF 是正方形。 例3．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ⊥BO 于E ，且DE ：EB=3：?1，OF ⊥AB 于F ，OF=3.6cm ，求矩形对角线长． 例4．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、G 、F 、H 分别是AB 、BD 、DC 、AC?的中点，EF 分别交BD 、AC 于G 、H ，AD=4cm ，BC=6cm ，求GH 的长． 例5．矩形ABCD 中，E 、F 分别在对角线AC 、BD 上，且AE=DF?，?求证：四边形EBCF 是等腰梯形． 例2图 例3图 例4图 例5图 第19章 四边形单元测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、□ABCD 中，∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D 的值可以是（ ） A 、1﹕2﹕3﹕4 B 、3﹕4﹕4﹕3 C 、3﹕3﹕4﹕4 D 、3﹕4﹕3﹕4 2、如果等边三角形的边长是4，那么连接各边中点所成的三角形的周长是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 3、已知平行四边形的一条边长为12，则下列各组数据中能分别作为它的两条对角线的长的是（ ） A 、6和10 B 、8和14 C 、10和16 D 、10和40 4、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直 C 、对角线互相平分 D 、对角线平分一组对角 5、若菱形的周长是40，两邻边所夹的锐角为30°，则菱形的面积为（ ） A 、20 B 、30 C 、40 D 、50 6、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥,对角线AC 平分∠BAD ，∠B=60°，CD=2㎝，则此梯形的面积为（ ） A 、33㎝2 B 、60㎝2 C 、36㎝2 D 、12㎝2 图1 图2 图3 7、从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线所形成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的（ ） A 、周长 B 、周长的一半 C 、腰长 D 、腰长的两倍 8、如图2，在菱形ABCD 中，B E ⊥AD,B F ⊥CD,点E 、F 是垂足，AE=ED ，则∠EBF 等于（ ） A 、75° B 、60° C 、50° D 、45° 9、如图3，在矩形ABCD 中，AD=30，AB=20,若点 E 、 F 三等 分对角线AC ，则△ABE 的面积为（ ） A 、60 B 、100 C 、150 D 、200 10、如图4，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于（ ） A 、45° B 、60° C 、70° D 、75° 图4 二、填空题：（每小题3分，共27分） 11、若一个多边形的每个外角都等于90°，则这个多边形是 边形，内角和是 ； 12、已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是 （填一个你认为正确的条件即可）； 13、依次连接菱形各边中点，所得的四边形是 ； 14、菱形的周长为12㎝，较大的一个内角为120°，那么较短的对角线长为 ㎝； 15、如图5，矩形ABCD 的长为8㎝，宽为6㎝，O 是对称中心，则途中阴影部分的面积 是 ； 图5 图6 图7 16、已知等腰梯形的两底分别是10㎝和20㎝，腰长为89㎝，则此梯形的面积为 ； 17、如图6，在□ABCD 中，DB=DC ，∠C=70°，A E ⊥BD 于点E ，则∠DAE= ； 18、如图7，矩形ABCD 的周长为20㎝，两条对角线相较于点O ，过点O 作E F ⊥AC,分别 交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，则△CDE 的周长为 ； 19、如图8，在梯形ABCD 中，A B ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点， 若EF=18㎝,MN=8㎝，则AB 的长为 ； 三、解答题：（共43分） 20、如图，D 是AB 上一点，CF ∥AB ，DF 交AC 于点E ， AE=EC ，求证：四边形ADCF 是平行四边形。（6分） D C B A F E D C B A A F E D C B E D C B A 图8 N M F E D C B A D C A B O F E A B F E C D E B C A D F E O · A B C D E F 四边形基础练习题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm 2.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点， AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可 选择的是（ ）A 、AD BC = B 、CD BF = C 、A C ∠=∠ D 、F CDE ∠=∠ 3. 下列命题中正确的是( ) A 、矩形的对角线相互垂直 B 、菱形的对角线相等 C 、平行四边形是轴对称图形 D 、等腰梯形的对角线相等 5. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A 、2 B 、4 C 、23 D 、43 6. 如图，要使 ABCD Y 成为矩形，需添加的条件是（ ） A 、A B B C = B 、A C B D ⊥ C 、90ABC ∠=° D 、12∠=∠ 7. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=（ ）A 、35° B 、45° C 、50° D 、55° D A B C O E F H 第9题图 1 2 B C D A O （第6题） O D C A B 第5题 E B A F C D A B C D （第1题图） E 8如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠D=90o ，AD=DC=4，AB=1，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、1 9. 在矩形ABCD 中，13AB AD AF ==，，平分DAB ∠，过C 点作CE BD ⊥于E ，延长AF EC 、交于点H ，下列结论中：AF FH =①；BO BF =②；CA CH =③；④3BE ED =，正确的是（ ）A 、②③ B 、③④ C 、①②④ D 、②③④ 10. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路 程x 之间的函数图象大致是（ ）。 二．填空题（每题3分，共30分） 2.将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____． 3. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度． 4. 若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为 ． 5. 如图，l ∥m ，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则∠α= 度. 6. 矩形内一点P 到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为 平方单位． 7. 如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是______________。 8. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，（第5题） 1 （第3题） A B C O x y 3 1 13 O x y 3 1 1O x y 3 3 O x y 3 12 A B C D E A′ P D C B A 四边形单元测试题（附参考答案） 一、填空题 1．如图(1)，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，圈中共有_______个平行四边形． 2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，?那么这个正方形的边长为______cm． 3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm． 4．平行四边形ABCD，加一个条件__________________，它就是菱形． 5．如图(2)，长方形ABCD是篮球场地的简图，长是28m，宽是15m，则它的对角线长约为________m．（精确到1m） 6．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为______cm． (1) (2) (3) (4) 二、选择题 7．如图(3)，□ABCD中，AE平分∠DAB，∠B = 100°，则∠DAE等于（）． A．100°B．80°C．60°D．40° 8．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，?从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（）．A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形 10．如图(4)，图中的△BDC′是将矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（）对． A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题． 11．在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm?的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？ 12．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C 分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG = 55?，求∠AEG和∠ECB的度数． 13．如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少？ 四边形 【课前热身】 1.下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（） A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分 C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直 2.平行四边形四内角平分线所围成的四边形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3.四个内角都相等的四边形是（） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形 4.由菱形两条对角线交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 5.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（） A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直 6.下列说法不正确的是（） A．有一个角是直角的菱形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形 【考点链接】 1.平行四边形的性质,判定: 2.菱形的性质,判定: 3.矩形的性质,判定: 4.正方形的性质,判定: 【典例精析】 1.已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 2.如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60o，求证：BE＝DF； (2)如图2，若∠EAF＝60o，求证：△AEF是等边三角形． 3.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为矩形ABCD 外一点，且AE⊥CE，求证：BE⊥DE. A B C D 4.已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O. ①若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证:OE=OF ②若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长线交DB延长 线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？请说明理由. F A D 图1 F A D 图2 个性化教学辅导教案 学科:数学 任课教师：黄老师 授课时间： 2014 年 05 月 02(星期五 ) 姓名 郭梓晴 年级 九年级 性别 女 总课时____第___课 教学 目标 知识点：四边形相关概念、特殊四边形的判定及其性质 考点：特殊四边形的判定及其性质 难点 重点 重点:平行四边形的判定、性质，矩形，菱形，正方形的性质 难点：平行四边形的判定、性质，矩形，菱形，正方形的应用。 课 堂 教 学 过 程 课前 检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 过 程 一、关系结构图： 二、知识点讲解： 1．平行四边形的性质（重点）： ABCD 是平行四边形????? ????. 54321 ）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定（难点）： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行 （ABCD 54321?? ? ? ? ? ? ?? . 3. 矩形的性质： A B D O C A B D O C C D A B A B C D O 因为ABCD 是矩形?? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 4矩形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形?? ? ??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形. 7.正方形的性质： ABCD 是正方形?? ? ??.321 分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ?? ? ?? ++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321 【课后练习】 1．如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（? ） A ．三个正三角形，两个正方形 B ．两个正三角形，三个正方形 C ．两个正三角形，两个正方形 D ．三个正三角形，三个正方形 2．使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ） A ．正六边形地砖 B ．正五边形地砖 C ．正方形地砖 D ．正三角形地砖 3．下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．正六边形 B ．平行四边形 C ．正五边形 D ．等边三角形 4．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm ，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ） A ．4cm ，10cm B ．8cm ，20cm C ．2cm ，5cm D ．14cm ，28cm A D B C A D B C O C D B A O C D B A O四边形复习
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