正切函数图像及性质
第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y
[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间
考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>
正切函数的图象与性质(习题)
1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习
A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，
江苏省致远中学高三数学 函数的单调性导学案 苏教版
函数的单调性 一、考纲要求： 函数的基本性质B 二、复习目标： 1.理解函数的单调性 2.能判断或证明函数的单调性 三、重点难点： 判断或证明函数的单调性 四、要点梳理： 函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ?， 如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ，当__________时，都有_____________，称()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的增区间 如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ，当__________时，都有_____________，称()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的减区间 五、基础自测： 1．（必修1第37页第7题）判断下列说法是否正确： （1）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的单调增函数； （2）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是单调减函数； （3）若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间[0,)+∞上是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数； （4）若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数． 2、下列函数 （1）2()(1)f x x =- （2）()x f x e = （3）()ln(1)f x x =+ （4） 111y x =- - （5）||y x x =在(,0)x ∈-∞是减函数的序号是_________________ 4．(1) 函数32()15336f x x x x =--+的单调递增区间为 ． (2) 函数20.7log (32)y x x =-+的单调减区间是____________________ 5、若2()2f x x a x =-+与1()2 ax g x x += +在区间(2,)-+∞上是减函数，则a 的取值范围是_______________ 六、典例精讲:
正弦、余弦、正切函数的图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对
8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．
高三二轮复习教学案函数
高三二轮复习教学案——函数（1） 班级 学号 姓名 一、考试内容及要求： 1．已知函数f (x)=2x+1，x ∈[1,5]，则f (2x －3)= ____________ 2．已知集合B={1，4}，若2:x x f →是A 到B 的函数，则满足条件的集合A 有_____个 3．若函数x x k k x f 2 12 )(?+-= （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k=____________ 4．已知函数f (x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，f (－1)=0，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则∑=∈2010 ))(2(k Z k k f 的值=____________ 5．设f (x)是定义在[－1，1]上的偶函数，f (x)与g (x)的图象关于直线x=1对称，且当x ∈[2,3]时，g (x)=a(x －2)－2(x －2)3 （a 为常数） (1)求f (x)的解析式 (2)若f (x)在[0，1]上是增函数，求实数a 的范围 (3)若a ∈[－6,6]，问能否使f (x)的最大值为4
6．已知函数),,()(R c b a c x b ax x f ∈++ =满足f(－1)=0， 并且对x>0，≤01)(-x f x x 2) 1(2 -≤恒成立． （1）求a ，b ，c 的值； （2）若x m x f x g 4)()(-=在(0，2]上是减函数，求实数m 的取值范围 7．已知函数x x x f --= 274)(2 ，x ∈[0，1]． （1）求f(x)的值域； （2）设a ≥1，函数g(x)=x 3－3ax 一2a ，x ∈[0，1]．若对于任意的x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求a 的取值范围．
正切函数的图像和性质-公开课教案
正切函数的图像和性质-公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数
正切函数的图像和性质
课题：正切函数的图象和性质 教学目的：1．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象。 2．理解正切函数的性质。 3．会用数形结合的思想理解和处理有关问题。 教学重点：正切函数的图象和性质。 教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象。 教学方法：探索+讲练结合 学法指导：学会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，探索性质，并会用性质解决相关问题。 教学过程 1．设置情境 前面我们学习了正弦、余弦函数的图像和性质，正切函数是不同于正弦、余弦函数的又一三角函数，我们今天要学习的就是正切函数的图象和性质。板书课题。 2．复习 请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出x y sin =图像的． 回答后联想画正切函数的图像的方法。 3．新知传授： （1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2 ,z k k R ∈+≠∈ππ αα，那么，角α的终边与单位圆交于 点),(b a P ，唯一确定比值 a b ，根据函数的定义，比值a b 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作αtam y =，其中)(2 ,z k k R ∈+≠ ∈ππ αα。 αααcos sin tan = ，)(2 ,z k k R ∈+≠∈ππ αα由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。我们统称为三角函数。 正切线：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的交点为：)0,1(A ，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点)0,1(A 作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。AT 为正切线。如下图， 正切线是AT ．(注意A 点的位置) （2）正切函数x y tan =的图象：
数学新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 学案
3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大(小)值 【素养目标】 1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象) 2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象) 3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析) 4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理) 5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析) 【学法解读】 1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质． 2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用． 3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练． 第1课时函数的单调性 必备知识·探新知 基础知识 知识点1函数的单调性 前提条件设函数f(x)的定义域为I，区间D?I __?x1，x2∈D__，x1f(x2) 图示 结论f(x)在区间D上单调__递增__f(x)在区间D上单调__递减__ 特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递当函数f(x)在它的定义域上单调递
增时，我们就称它是__增函数__ 减时，我们就称它是__减函数__ 思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 提示：不能，不能用特殊代替一般． 知识点2 函数的单调性与单调区间 函数y ＝f (x )在__区间D __上是单调递增或单调递减，则函数在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数的单调区间． 思考2：区间D 一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念． 基础自测 1．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是减函数，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( B ) A ．f (x 1)f (x 2)，故选B ． 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( B ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1 x D ．y ＝－x 2 [解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B ． 3．若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有 f (a )－f (b ) a －b >0成立，则必有( A ) A ．f (x )在R 上是增函数 B ．f (x )在R 上是减函数 C ．函数f (x )是先增后减 D ．函数f (x )是先减后增 [解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a 、b ，总有f (a )－f (b ) a － b >0成立， 则f (x )在R 上是增函数，故选A ． 4．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (3 4)的大小关系为__f (a 2 －a ＋1)≤f (3 4 )__. [解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3 4 ，
高一数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1函数的基本性质单调性与最大小值学案2新人教版必修1
1.3.1 单调性与最大（小）值（2）学案 目的：使学生进一步掌握函数的单调性，理解函数的最大值和最小值的意义，会求函数的最大值和最小值。 重点：求函数的最大值和最小值。 难点：求函数的最大值和最小值。 过程： 一、新课引入 二、新课 f（x）＝x2有最低点，这时x＝0，f（0）＝0，对于任意的x都有f（x）≥f（0）这个最低点的函数值就是函数的最小值。f（x）＝x无最低点，无最小值。 思考：f（x）＝－x2有最大值还是最小值？ 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对任意的x∈I，都有f（x）＜M； （2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M。那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值。（maximum value）。你会给出最小值的定义吗？（minimum value）例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点（大约在距地面高度25m到30m处）时爆裂。如果在距地面高度18m的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s。
（1）写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式。 （2O 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？（精确 到1m ） 分析：根据物理知识，高度的公式为：h ＝－ 2 1gt 2＋v 0t ＋h 0（g ＝9.8） 抛物线的顶点坐标为（－a b 2，a b ac 442-） 例4、求函数1 2-=x y 在区间［2,6］上的最大值和最小值。 分析：画出它的图象可知，函数在所给的区间上是递减的，因此在两个端点上分 别取得最大值和最小值。解题过程中，可先证明它在给定的区间上是减函数。 解：设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个数，且x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝121221---x x ＝) 1)(1()(22112---x x x x 则2＜x 1＜x 2＜6得：012>-x x ，)1)(1(21--x x ＞0 所以，f(x 1)＞f(x 2)，因此，函数1 2-=x y 在区间［2,6］上是减函数。 当x ＝2时，函数取得最大值为2； 当x ＝6时，函数取得最小值为0.4。 练习：P38 2、3、4 作业：P45 5、6、7、8 补充练习：
7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题类比y＝sin x ，y＝cos x的图像与性质． （1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图像是连续的吗？ 提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的． 函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论
解析式 y ＝tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）都是增函数 对称中心 ? ???? k π2，0（k ∈Z ） 零点 x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗 [微判断] 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×） 提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2. 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√） 4．函数y ＝2tan x ，x ∈??? ???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√） [微训练] 与函数y ＝tan ? ? ???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ） A ．x ＝π2 B ．x ＝－π 2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 8 解析 ∵2x ＋π4≠π 2＋k π（k ∈Z ）， ∴x ≠π8＋k π 2（k ∈Z ），故选D.
正切函数的图像和性质 公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-
说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：
最新高三第一轮复习——函数的基本性质
函数的基本性质之一——单调性 【基本概念】 1.函数单调性 ①正向结论：若() y f x = 在给定区间上是增函数，则当 12 x x <时， 12 ()() f x f x <；当12 x x >， 12 ()() f x f x >； ②逆向结论：若() y f x =在给定区间上是增函数，则当 12 ()() f x f x <时，_________；当12 ()() f x f x >时，_________。 当() y f x =在给定区间上是减函数时，也有相应的结论。 2.函数最值的求解 求函数最值的常用方法有单调性与求导法。此处重点讲解二次函数的最值。 求二次函数的最值有两种类型：一是函数定义域为R，可用配方法求出最值；二是函数定义域为某一区间，此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。 3.易混淆点：对单调性和在区间上单调两个概念理解错误 【考点一】单调性的判断与证明 1.下列函数() f x中，满足“对任意 12 ,(0,) x x∈+∞，当 12 x x <时，都有 12 ()() f x f x >”的是（） A． 1 () f x x = B. 2 ()(1) f x x =- C. ()x f x e = D. ln(1) y x =+ 2.给定函数① 1 2 y x =;② 1 2 log(1) y x =+;③1 y x =-;④1 2x y+ =,其中在区间（0,1）上单调 递减的函数的序号是（） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.证明y=[0,) +∞是增函数 4.证明 4 y x x =+在[2,) +∞是增函数。 【学案编号】数学总复习学案5 【编辑】韩晶飞【审核】马省珍 【主题】函数的基本性质
正切函数的图像与性质说课稿
《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？
3.2函数关系的建立 教案 学案
第三章：函数的基本性质 第二节：函数关系的建立 【知识讲解】 A.掌握建立函数关系的步骤 1、分析题意.找出自变量和因变量。 2、列出相关的等量关系. 3、等式变形得出因变量关于自变量的函 数解析式. 4、根据问题的实际意义给出函数的定义域. B.在实际问题建立一系列函数关系。包括分段函数的建立。 建立函数关系常用方法：（1）代入法；（2）构造法；（3）待定系数法；（4）换元法；（5）函数方程法． 例题分析 例1.要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖的长方体储水池，已知池底的造价为每平方米1500元，池壁的造价为每平方米1000元。试将该储水池的总造价y 表示成池底一边长x 的函数。 例2.某服装厂生产一种服装，每件成本为40元，出厂价为60元，该厂鼓励销售商订购，决定当一次定量超过100件时，每多定一件，订购的全部服装的出厂价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件。 （1）设一次定量为x 件，服装实际出厂价为p 元，写出)(x f p 的表达式； （2）当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大？最大利润是多少？
例3.如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y =f （x ）. （1）求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式； （2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值. 【课堂练习】 1、正三角形的边长为x ，周长为C ，面积为S ，那么周长C 关于边长x 的函数关系是 ，面积S 关于边长x 的函数关系是 。 2、有一块边长为10厘米的正方形铁皮，在它的四个角上各截取一块边长为x cm 的小正方形铁皮，剩余部分围成一个无盖的长方形盒子，将盒子的体积记作y 3 cm ，那么y 关于x 的函数关系是 。 3、某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系是3000201.02++-=x x y ，若每台售价为25万元，则生产者不亏本时（即销售收入不小于总成本）的最低产量为 台。
正切函数的图像与性质
1 正切函数的图象和性质教学案例的实践与认识 温州中学 孔 娣 一、教学设计过程 1．教学设计思路 由于学生在本节课之前刚学习了正余弦函数的图像和性质，我想以此为基础让学生自主探究正切函数的图像和性质，尽量以学生为主体，发挥学生的主动性。因此采取了如下的教学设计思路： 教学方法：探究式教学——“变教学为诱思，以诱达思促发展”。在教学中，要让学生在学习过程中实现自主学习、合作学习和探究学习，教师充当引导者的角色，引导、帮助学生检视和反思自我，明了要学习什么和获得什么；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的意义；帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价。 教学手段：多媒体辅助教学———采用PowerPoint 幻灯片，几何画板和实物投影仪辅 助教学，这样可以减少板书时间，利用幻灯片中一些有意思的小动画营造轻松活泼的课堂氛围，利用几何画板作图增强学生对图形形成的直观理解，利用实物投影仪展示学生作品。 教学思路：问题开路→温故知新→师生讨论→动手做图→一起评价→发现问 题→获得性质→性质运用→课外拓展。 2．教学设计内容 I ．课题：正切函数的图象和性质（1） II ．教学目标：①．了解利用正切线画出正切函数图象的方法； ②．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； ③．掌握正切函数的性质。 III ．教学重、难点：①．正切函数图象的作法； ②．正切函数的性质。 IV ．教学过程： （一）情境设置（问题开路）： 前面我们研究了正余弦函数的图像和性质，这节课开始研究正切函数的图像和性质。问怎样作正切函数的图像？→（启发问题）做函数图像的常用方法？→描点连线。→如何找点？→找点的横纵坐标→写出特殊点的横纵坐标，发现直接描点不精确。→有什么方法精确找点？ （二）温故知新（问题导学）： 问题：(1)正弦曲线是怎样画的？（学生回答，利用多媒体演示回顾） （2）如何作一个角的正切线？（学生回忆，教师演示，注意特殊角情形） 问：现在你能否作出正切函数的图像？（发给学生每人一张准备好的有直角坐标系和单位圆的纸，让学生快速动手作图） （三）评价成果，正确作图： 教师巡视，待大部分学生完成作图后，教师有目的的收上学生的各种作品，利用实物投影仪展示学生作品，对其进行评价，就学生暴露的问题进行讨论，寻找原因。 就学生作图出现的问题一起讨论正确作图步骤： (1)学生作图错误：在2π= x 处有图像。 教师问：为什么错？
