2014广州二模理
图1俯视图
侧视图
正视图广州二模 数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为( )
A ．2-
B ．2
C ．2-i
D ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x
y =的反函数，则12f ??
???
的值为( ) A ．2log 3- B ．3log 2- C ．
1
9
D
3．命题“对任意x ∈R ，都有3
2
x x >”的否定是( )
A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >
B ．不存在0x ∈R ，使得32
00x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32
x x ≤
4. 将函数(
)2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6
π
个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x = ( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数，也不是偶函数
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A ．
16 B ．13 C ．12 D ．38
6．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF
的中点在y 轴上，若1230PF F ?
∠=，则椭圆C 的离心率为( )
A ．
16 B ．1
3 C
．
6 D
．3
7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体 的体积为
8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行
排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若
2014ij a =，则i j +的值为
A ．257
B ．256
C ．254
D ．253
表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．不等式2
210x x --<的解集为 .
10．已知312n
x x ?
?- ??
?的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .
11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ?的值 为 .
12．设,x y 满足约束条件 220,
840,0,0.x y x y x y -+≥??
--≤??≥≥?
若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值
为8，则ab 的最大值为 .
13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ??=??， 当[)0,(x n n ∈∈N *
)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-??=?
为参数)与
圆1cos ,
(sin x y θθθ
=+??
=?为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .
15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 1
2
AE EB =
，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2
.
D C
B A a 图3
重量/克
0.032
0.0245
2515O 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）
如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==
，BD =
. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样
本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；
（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,
,i n =，
则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内
的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
F
E
D
C
B
A 18．（本小题满分14分）
如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，
1EF =，,90FB FC BFC ?
=∠=
，AE =
（1）求证：AB ⊥平面BCF ；
（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图4
19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .
(1) 求曲线E 的方程;
(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.
21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()
1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0k
f x x
+
<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *
，且2n ≥时，
2211
1322ln 23ln 3
ln 22n n n n n n
--+++>+.
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9
．1,12??- ???
10．8 11．2
a
12．4 13．222n n -+ 141 15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，
BD =
， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=
??2
22
1112113
+-??==??. ……………4分 （2）解：由（1）知，1
cos 3
A =，且0A <<π，
∴sin 3
A ==.
……………6分 ∵D 是边AC 的中点，
∴22AC AD ==.
在△ABC 中，222222121
cos 22123
AB AC BC BC A AB AC +-+-=
==????，………8分 解得BC
=
……………10分 由正弦定理得，
sin sin BC AB
A C
=
， ……………11分 ∴1sin sin AB A
C BC
?
?=
== ……………12分
17．（本小题满分12分）
(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++?=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为