华师版九年级数学下册27.1.2 第2课时 垂径定理教案与反思
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东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》
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古之学者必严其师，师严然后道尊。欧阳修
1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)
2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
一、情境导入
你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代开皇大业年间(605～18)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．
它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？
二、合作探究
探究点一：垂径定理
【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度
如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝
6cm 则直径AB 的长是( )
A ．23cm
B ．32cm
C ．4r(2)cm
D ．43cm
解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DP ＝3.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DP 中，根据勾股定理列程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝2错误!未定义书签。，∴A ＝4 3.故选D.
方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．
【类型二】 垂径定理的实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的错误!)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半
径是________m.
解析：∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
【类型三】 垂径定理的综合应用
如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD .
(1)求证：点E 是OB 的中点；
(2)若AB ＝8，求CD 的长．
解析：(1)要证明E 是OB 的中点，只要求证OE ＝12OB ＝12
OC ，即∠OCE ＝30°；(2)在Rt △COE 中，根据勾股定理可以解得CE 的长，进而求出CD 的长．
(1)证明：连接AC .如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC ︵＝AD ︵，∴AC
＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥AD ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的垂直平分线，∴AC ＝CD ，∴AC ＝AD ＝CD ，即△ACD 是等边三角形，∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝12OC ，∴OE ＝12
OB ，∴点E 为OB 的中点； (2)解：在Rt △OCE 中，AB ＝8，∴OC ＝OB ＝12
AB ＝4.又∵BE ＝OE ，∴OE ＝2，∴CE ＝OC 2－OE 2＝16－4＝23，∴CD ＝2CE ＝4 3.
方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
探究点二：垂径定理的推论
【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数
如图，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则
∠MON 的度数是( )
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对
的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.
【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度
如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，求EF 的长．
解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．
解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中
位线，∴EF ＝12AB ＝12
×10＝5(cm)． 方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要学会把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．
【类型三】 动点问题
如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 长度的取值范围．
解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥
AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．
解：如图，作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝1 2 AB
＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长，∴OP长度的取值范围是3cm≤OP≤5cm.
方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理
求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．
三、板书设计
垂径定理
1．垂径定理
2．垂径定理的推论
垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.
【素材积累】
1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
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２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。