2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.

过椭圆C ：x 24＋y 2

＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭

圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．

本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线

存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1的左顶点为A ，

P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．

(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →

为定值；

(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R

.

图34-1

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T

的方程为x 2

2＋y 2

＝1.

设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →

＝cos θOA →＋sin θOB →.

(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2)求OA 2＋OB 2的值．

(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2

9＋

y 2

5＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.

图34-2

求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距

离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．

图34－3

(1)求椭圆C的方程；

(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；

(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．

(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.

①若m＝0，求k1k2的值；

②若k 1k 2＝－1

4，求实数m 的值．

(1)x 24＋y 2

3＝1； (2)①－3

4；②m ＝1.

因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2

c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2

＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝

1. …………………………3分(求出椭圆方程)

①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，

由x 204＋y 203＝1，得y 20

＝3－3x 204

…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式

y 20＝3－

34x 2

0)

所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20

x 20－4＝3－3x 204x 20

－4＝－

34.

…………………………

8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．

设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，

联立???

x 24＋y 2

3

＝1y ＝k 1(x ＋2)

，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 2

1－12

＝0，

所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)

浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案

第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0

椭圆中的最值问题与定点、定值问题

椭圆中的最值问题与定点、定值问题 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围； （4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。 一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。 推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -， 2 2 01)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(2202 0a x b y -=，将其代入 2 0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a c PF += 01||。所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a c PF +=+?= max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a c PF -=+-?= )(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。 1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12 22 =+y x 不同的点A 、B 关于直线2 1 + =mx y 对称。 （1）求实数m 的取值范围； （2）求AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）。 解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立?? ???+-==+b x m y y x 1122 2，消y 去，得012)121(222=-+- +b x m b x m 。 因为直线b x m y +-=1与椭圆 12 22 =+y x 有两个不同的交点， 所以04 222 2 >+ +-=?m b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2 4221+= +m mb x x ，

椭圆中的常见最值问题.

椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时,P 点的坐标是.P （0，3)或（０,-3） 例２、已知椭圆方程122 22=+b y a x (222,0c b a b a +=>>）ｐ为椭圆上一点,2 1,F F 是椭圆的二焦点,求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=,)|(|a x ≤ 当a x ±=时,min 21||||PF PF ＝222b c a =-，当0=x 时,2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ ２、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点，最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点,Ｐ为椭圆上一动点, 则||||2PF PA -的最大值是，此时P 点坐标为。||||2PF PA -的最小值是，此时P 点坐标为。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例４、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则

||||1PF PA +的最小值是，此时P 点坐标为。||||1PF PA +的最大值是,此时Ｐ点坐 标为。 分析:||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当Ｐ是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当Ｐ是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。 ４、椭圆上的点Ｐ到定点A 的距离与它到椭圆的一个焦点F 的距离的e 1倍的和||1 ||PF e PA +的最小值(e 为椭圆的离心率）,可通过 e d PF =| |转化为d PA +||(d 为P 到相应准线的距离）最小值,取得最小值的点是Ａ到准线的垂线与椭圆的交点。 例5、已知定点)3,2(-A ,点F 为椭圆112 162 2=+y x 的右焦点,点M 在该椭圆上 移动，求||2||MF AM +的最小值,并求此时M 点的坐标． 例6、已知点椭圆19 252 2=+y x 及点)0,3(),2,2(-B A ,),(y x P 为椭圆上一个动点， 则||5||3PB PA +的最小值是。 ５、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。 例7、过椭圆122 22=+b y a x (222,0c b a b a +=>>)的中心的直线交椭圆于B A ,两 点,右焦点)0,(2c F ,则2ABF ?的最大面积是． 例8、已知F 是椭圆22525922=+y x 的一个焦点,PQ 是过原点的一条弦，求PQF ?面积的最大值。 ６、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转

与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法 例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值 和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， 则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2 =(x-a)2 +y 2 =(x-a)2 +1-x 212 =2)2(2 1 a x -+1-a 2 由椭圆方

椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题 邢志平 本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。 1. 几何化方向 画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。 例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。 解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。 因为， 所以。 由椭圆第二定义，知， 即， 所以， 这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。 过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以 P点坐标为。

例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆 上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。 解如图1，连结PF 1、PF 2 及F 1 R、F 2 Q，所以得到△PRF 1 及△PQF 2 ，根据题意可知， 圆心恰好为椭圆的两个焦点。 在三角形中 |PR|<|PF 1|+|F 1 R|， |RQ|<|PF 2|+|F 2 Q|， 所以， 即。 当P、F 1、R与P、F 2 、Q都共线时， ， 所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。 在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。 2. 代数化方向 先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。

例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。 解在椭圆上取一点P（x，y），。 当P点在短轴顶点时，|y|最大为b， 所以。 又， 所以。 先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。 例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0， ）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。 分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。 解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为

椭圆中最值问题习题2013.08.04

椭圆中最值问题 1.已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两 点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程 （2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ?的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>， 由交点的坐标得：1c =，---------------（1分） 由||3PQ =，可得2 23b a =----------------（2分） 解得23a b ==，---------------（3分） 故椭圆的方程是22 143 x y +=-----------（4分） （2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><， 设1F MN ?的内切圆半径是R ，则1F MN ?的周长是48a =， 1111 ()42 F MN S MN F M F N R R ?=++=， 因此1F MN S ?最大，R 就最大-----------------------（6分） 11212121 ()2 F MN S F F y y y y ?= -=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+， 由22114 3x my x y =+???+=??得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分） 解得221222361361 3434 m m m m y y m m -++-++==++， 则212122 1121()234 AMN m S AB y y y y m ?+=-=-=+-----------------（9分）

椭圆中的定点、定值问题

解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。 例1、（2017盐城高三三模18）已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆 C 上一动点，当PF x ⊥轴时，2AF PF =. （1）求椭圆C 的离心率； （2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积； （3）记圆2 2 22 :ab O x y a b += +为椭圆C 的“关联圆”. 若b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证：2234 m n +为定值.学科*网 解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程， 得2 2221P y c a b +=，解得2P b y a =±. 又2AF PF =，所以2 2b a c a +=，解得12e =. （2）因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ a =且//PF x 轴， 所以2P a x = ，代入椭圆C 的方程，解得P y =， 因为点P 在第一象限，所以2P y = ，同理可得2Q a x =- ，2 Q y b = 所以2 22 2()22 AP OQ b k k a a a a =?=----，由（1）知12c e a ==，得2234b a =，所以34AP OQ k k =-. （3）由（1）知12c e a == ，又b =2a =，所以椭圆C 方程为 22 143 x y +=， 圆O 的方程为2 2 x y += ①. 连接,OM ON ，由题意可知，OM PM ⊥， ON PN ⊥， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，

椭圆综合题中定值定点、范围问题总结1

椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?= ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

(完整版)解答椭圆中最值问题策略

解答椭圆中最值问题策略 椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决. 一、建立目标函数，利用函数性质 例1 设P(x ，y)是椭圆x 264＋y 228＝1上的一点，F 1为椭圆的左焦点，求|PF 1|的最大值和最小值. 分析：由于点F 的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P 的坐标(x ，y)，结合椭圆方程即可建立|PF 1|关于横坐标x 的目标函数，再结合函数的即可求解. 解：椭圆的左焦点F 1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得 |PF 1|＝(x ＋6)2＋y 2＝(x ＋6)2＋(28－716x 2)＝916(x ＋323)2＝34|x ＋323 |， 由已知，得x ∈[－8，8]，函数34|x ＋323 |在[－8，8]上为增函数， 故|PF 1|max ＝34|8＋323|＝14，|PF 1|min ＝34|－8＋323 |＝2. 点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点. 二、利用定义转化，结合平面几何性质 例2 已知A (4，0)、B (2，2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求|MA |＋|MB |的最大与最小值. 分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对|MA |＋|MB |转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题. 解析：如图所示，由题意，知点A (4，0)恰为椭圆右焦点，则A 关于O 的对称点A 1(－4，0)(左焦点)， 由椭圆的第一定义，得|MA |＋|MA 1|＝2a ，|MA |＝2a －|MA 1|， ∴|MA |＋|MB |＝(2a －|MA 1|)＋|MB |=2a ＋(|MB －|MA 1|)， 在△A 1BM 中，||MB |－|MA 1||≤|A 1B |＝210，－210≤|MB |－|MA 1|≤210， 又2a ＝10.故|MA |＋|MB |的最大值是10＋210，最小值为10－210. 点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值. 三、巧妙设角，利用三角函数有界性 例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，如果曲线C 上存在一点Q ，使F 1Q ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。 分析：根据条件可采用多种方法求解，但是若借用三角函数 的有界性求解，会有不错的效果.由于F 1Q ⊥F 2Q ，因此可设∠PF 1F 2 ＝α，然后表示出相应的焦半径|QF 1|、|QF 2|，结合定义即可建立离 心率关于α的三角函数.

椭圆综合题中定值定点范围问题总结

椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?= ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.

二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

2016高考数学考点：椭圆的最值问题

2016年高考数学考点：椭圆的最值问题 一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值 例1.已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。 分析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范围限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。 解：设点P(x，y)是椭圆上的一点，则由两点公式可知 当，即时，x取， 当，即时，x取， 当，即时，， 点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同学会忽视这一情况。 例2.已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A(4，1)，P为椭圆上的任意一点，试求的最大值。 分析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。 解：设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”)，所以 =。 说明：由上述求解过程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A 及一焦点F的距离之和存在最大值，这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。

二.利用椭圆的定义或几何性质求最值(取值范围) 例3.已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范围。 分析：要求离心率e的取值范围，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。 解：由题设知设点，则有 化简得 由椭圆的几何性质知利用得， 解得 点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的大小也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB达到最大。因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。 练一练：直线总有公共点，试求m的取值范围。 答案： 精心整理，仅供学习参考。

椭圆问题中最值得关注的基本题型

椭圆问题中最值得关注的基本题型 [题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解. 常考题型精析 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12 ，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →的最大值 和最小值. 点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程. 变式训练1 (2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233 ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.

题型二 直线与椭圆相交问题 例2 (2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32 ，左，右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求OQ OP 的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式. 变式训练2 (2014·四川)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点 P ，Q .①证明OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当TF PQ 最小时，求点T 的坐标.

椭圆考点中的定值与最值问题

第1练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1 2 ，F ，A 分别是椭圆的一个 焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A → 的最大值和最小值． 破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出PF →·P A → ，根据椭圆的性质确定变量的取值范围． 解 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2 ＝3. 所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A → ＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 2 0－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A → 取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. 题型二 直线与椭圆相交问题 例2 已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦|MN |的长． 破题切入点 根据条件写出直线l 的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出． 解 由? ???? y ＝2(x －1)，8x 2＋9y 2 ＝72，得11x 2－18x －9＝0. 由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811，x M ·x N ＝－911 . 由弦长公式|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝5·(1811)2＋4×9 11 ＝ 3 600112＝60 11 . 题型三 点差法解题，设而不求思想 例3 已知椭圆x 22＋y 2 ＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程． 破题切入点 设出弦的两端点，利用点差法求解．

椭圆的最值问题

关于椭圆的最值问题 1．定义法 例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值 和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 122a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， 则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2 =(x-a)2 +y 2 =(x-a)2 +1-x 212 =2)2(2 1 a x -+1-a 2 由椭圆方程知x 的取值范围是[- 2,2] （1） 若︱a ︱≤ 2 2 ,则x=2a 时︱P A ︱min = 2 1a - F 2 F 1 M 1 M 2 o

最新衡水中学自用精品资料——椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题 主标题： 副标题：为学生详细的分析椭圆中的最值问题的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：椭圆，椭圆中的最值问题 难度：5 重要程度：4 考点剖析：1.理解椭圆中的最值问题； 2．会处理有关椭圆中的最值问题， 命题方向： 椭圆中的最值问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度．主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。 规律总结： 圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。 知识梳理 （1） 设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 （2） 设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 （3） 椭圆122 22=+b y a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自 变量的取值范围。 （4） 若椭圆122 22=+b y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。 （5） 椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别 式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。

最新专题26--椭圆中定值和最值问题

专题26--椭圆中定值和最值问题 一、椭圆中的定值问题 由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面： 1．与椭圆有关的直线过定点 (1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程； (2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程． 2．与椭圆有关的圆过定点 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程． 3．与椭圆有关的参数的定值问题 二、椭圆中的最值问题 1．参数的取值范围 由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解． 2．长度和面积的最值 由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值． 要点热点探究

? 探究点一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题． 例1 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条 互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点． (1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标； (2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． 【解答】 (1)当直线AM 的斜率为1时， 直线AM 的方程为y ＝x ＋2， 代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ? ?? ??－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)， 则????? y ＝k x ＋2，x 2 4 ＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋ 16k 2－4＝0. 因为此方程有一根为－2，所以x M ＝ 2－8k 21＋4k 2，