高等数学练习题(附答案)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.
（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.
（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则
)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设2
)1(x x f =-，则=+)1(x f .
2. 若1
212)(11+-=
x
x
x f ，则=+→0
lim x .
3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=')3(g .
4. 设y
x
xy u +
=, 则=du . 5. 曲线3
2
6y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .
6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2
x f x
f x F f +==',则=')1(F . 7. 若
),1(2)(0
2x x dt t x f +=?
则=)2(f .
8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分
=-+∞?
dx e x 20
.
10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y
y x D
52
2
1,
1 .
三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算))
2(1
)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10
3
2
)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.
3. 求不定积分
dx x x ?
-)
1(1.
4. 计算定积分
dx x x ?
-π
53sin sin .
5. 求函数2
2
3
24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==
,围成，计算dxdy y
y
D
??
sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. 求微分方程y
x
y y 2-
='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）
1.
证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f
dt t f dt t f x F x x
b
??
+=0
)
(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；
2.× ；
3.×；
4.× ；
5.×；
6.× ；
7.× ；
8.× ；
9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.442
++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2
-++；
5. 2/3 ；
6. 1 ；
7.
3
36 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为 21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 2
1
n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，2
1
lim n n n →∞+=0
由迫敛性定理知： ))
2(1
)1(11(
lim 222n n n n ++++∞
→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10
1022111++++++='∴
x x x y y Λ )(
10()1(++='∴x x y Λ)10
10
2211++++++x x x Λ 3.解：原式=?
-x d x
112
=?
-x d x 2
)
(112
=2c x +arcsin
4.解：原式=
dx x x ?
π
23cos sin
=
?
-20
2
3
sin cos π
xdx x ?ππ
2
2
3sin cos xdx x
=
?
-
20
2
3sin sin π
x xd ?
ππ
2
2
3sin sin x xd
=2
025][sin 52πx ππ2
25
][sin 52x -
=4/5
5.解： 02832
=--='y x x f x 022=-='y x f y
故 ??
?==00y x 或???==2
2
y x
当 ??
?==0
y x 时8)0,0(-=''xx
f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------02)2()8(2>--?-=?Θ 且A=08<-
∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f
当 ?
?
?==22
y x 时4)2,2(=''xx
f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--?=?Θ ∴无法判断
6.解：D={}
y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(
????
=∴102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
=dy x y
y y y 2][sin 10? =
dy y y y )sin (sin 1
?-
=?
+
-1
1
cos ]cos [y yd y
=?-
+-1
1
0cos ]cos [1cos 1ydy y y
=1sin 1- 7.解：令xy u =，x
y
v =
；则21≤≤u ，31≤≤v v v
u
u v
v v u
uv y y x x J v u
v
u
212221
=-
==
∴ 3ln 21
2131===????D
dv v du d A σ 8.解：令 u y =2
，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222
c dx xe e y u dx
dx
+?
-?
==?-
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)4(22c dx xe e x x +-=?-
)2(222c e xe e x x x ++=--
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设 2
1arcsin
arctan )(x
x x x f +-=
2
2
22
2
2
2
11111111
)(x
x x x x x x
x f ++-+?
+-
-+='Θ=0
c x f =∴)( +∞<<∞-x
令0=x 00
00)0(=∴=-=c f Θ 即：原式成立。
2.解： ],[)(b a x F 在Θ上连续 且 dt t f a F a
b
?
=
)
(1
)(<0,dt t f b F b a ?=)()(>0
故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.
又 )
(1
)()(x f x f x F +
=' 0)(>x f Θ 2)(≥'∴x F
即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增
∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.
《高等数学》
专业 学号 姓名
一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.
2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.
3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.
4. 方程0=xyz 和02
2
2
=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点. 5. 设*
y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则
*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .
2. 设x
x x f 3arcsin )
21ln()(+=
，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.
3. 设xt
t t
x x f 2)11(lim )(+=∞
→，则)(x f '' .
4.
已
知
)
(x f 在
a
x =处可导，且
A
a f =')(，则
=--+→h
h a f h a f h )
3()2(lim
.
5. 若2)]([cos )(2x f dx
d
x x f =，并且1)0(=f ，则)(x f . 6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<， 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g
7. 若2
sin x y =，则=)(2
x d dy ；=dx
dy
. 8. 设?=
x x tdt x f 2
ln )(，则=')2
1
(f .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. 设y
x e
z 2=，则=)
1,1(dz
.
10. 累次积分
dy y x f dx x R R )(20
20
22-?
?
-化为极坐标下的累次积分为 .
三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）
1. ??+→x
x t
x dt
t t dt
t 0sin 0
10
sin )1(lim
; 2. 设1
ln 22-=x
x
e e y ，求y '; 3. dx x x x ?+-2sin 1cos sin ;
4.
?
-20
2
2
4dx x x
; 5. 设22y
x x
z +=
, 求 y x z y z ?????2,. 6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy . 7. 设平面区域D 是由x y x y ==
,
围成，计算dxdy y
y
D
??
sin . 8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y
x ==1
下的特解.
四、（7分）
已知bx ax x x f ++=2
3
)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.
五、应用题（每题7分，共14分）
1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小？
2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------六、证明题（7分）
设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明
x
x f x g )
()(=
在a x <<0上单调增加.
高等数学参考答案
一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.
二、填空题
1. 36 ；
2. 3
2 ； 3. x
e x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<； 7. 22
cos 2,
cos x x x ； 8. 2ln ； 9. dy dx +2 ；
10.
?
?20
)2cos (π
θθR
rdr r f d .
三、计算题
1. 原式x
x
x
x x
x sin cos )sin 1(lim
sin 10+=→
e e
==
1
2.2
222222222)1(2)1(21
21
11-?--?
-?
-=
'x x
x x x x
x
x
x
e e e e e e e e e y
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 22222)
1(221--?-=x
x
x x e e e e x
e 211
-=
3．原式=dx x x x
x ?
+-2
)cos (sin cos sin )cos (sin )cos (sin 1
2x x d x x ++-=?
C x
x ++=
cos sin 1
4．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2= 原式=
?
??20
2cos 2cos 2sin 4π
tdt t t
??=20
22cos sin 16π
tdt t
??-==20
20
2
)4cos 1(22sin 4π
π
dt t tdt
ππ
=-=20)4sin 4
1(2t t 5．2
3222
222)
(22y x xy y x y x y x y
z +-
=++?
-=??
3
2221
222
32
2
2
)(2)(23
)(y x x y x xy y x y y x z +?+?-+-=??? 3
22
2
232)
()2(y x y x y y x ++-=
6．两边同时微分得：
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ )(1
)
()ln()(2dy dx y
x y x y x dy dx dx dy ---+--=- 即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=-
故 dx y x y x dy )
ln(3)
ln(2-+-+=
（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）
7．
????=102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
?-=1
)sin (sin dy y y y
?-+-=1
1
010cos cos cos ydy y y y
1
0sin 1cos 1cos 1y -+-=
1sin 1-=
8．原方程可化为
y
x y y dy dx 1ln 1=+ 通解为 ]1
[ln 1
ln 1
C dy y
e e
x dy y y dy
y y +???=?-
]1
[ln ln ln ln C dy y
e e
y y
+?=?-
]ln 1[ln 1C ydy y y +=
?])(ln 21[ln 12C y y += y
C y ln ln 21+=
e y x ==1代入通解得 1=C
故所求特解为： 01ln 2)(ln 2
=+-y x y
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------四、解： b ax x x f ++='23)(2
因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f 解得： 3,
0-==b a
于是 x x x f 3)(3
-= )1(3)(2
-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而
06)1(>=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f
五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为
)96(1
3+=
kx x
y 又10=x 时，6103
=?k 故得006.0=k ， 所以有
)96006.0(1
3+=
x x
y ，),0(∞+∈x 令 0)8000(012.03
2
=-=
'x x
y ， 得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航
行km 1的耗费最少，其值为2.720
96
20006.02
min =+
?=y （元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为
1
00
-x y ， 又因为22
-=x y 上的切线斜率满足12='?y y ，在),(00y x 上即有120='y y 所以11
200
0=-?
x y y ，即1200
-='x y
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------又因为),(00y x 满足202
0-=x y ，解方程组
?????-=-=2
1
2020020x y x y 得 ???==1300y x
所以切线方程为 )1(2
1
-=
x y 则所围成图形的面积为： 6
1
)]12(2[10
2=
+-+=
?
dy y y S （2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：
6)2()1(41321
02π
ππ=---=??
dx x dx x V 六、证： 2
2)]
0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=
-'=' 在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-
代入上式得 2
)
()(])([x
f x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>',
于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([
>'x
x f ，故x x f )
(在),0(a 内单调增加.
《高等数学》试卷
专业 学号 姓名
一、填空题（每小题1分，共10分）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
．函数y =的定义域为_______________。
2．函数x
y x e =+ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 3．设()f x 在0x 可导且0()f x A '=，则000
(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--＝ _______。
4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)x y 的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是_________。 5．
41x
dx x -?＝_____________。
６．1
lim sin
x x x
→∞
＝___________。 7．设(,)sin f x y xy =，则(,)x f x y ＝____________。 8
．累次积分
220
()R
dx f x y dy +?
化为极坐标下的累次积分为________。
9．微分方程322
323()0d y d y dx x dx
+=的阶数为____________。
10．设级数
1
n
n a
∞
=∑发散，则级数
1000
n n a ∞
=∑
_______________。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．设函数 1
(),()1f x g x x x
==-，则(())f g x ＝ （ ） ①11x -
②11x + ③11x
- ④ｘ 2．0x → 时，1
sin
1x x
+ 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
3．下列说法正确的是 （ ）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ①若()f x 在 0x x =连续， 则()f x 在0x x =可导 ②若()f x 在0x x =不可导，则()f x 在0x x =不连续 ③若()f x 在 0x x =不可微，则()f x 在0x x =极限不存在 ④若()f x 在 0x x =不连续，则()f x 在0x x =不可导
4．若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''<>，则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为 （ ）. ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
5．设()()F x G x ''=，则 （ ） ①()()F x G x + 为常数 ②()()F x G x -为常数 ③()()0F x G x -= ④
()()d d
F x dx
G x dx dx dx
=??ｘ 6．
1
1
x dx -?
＝ （ ）
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
7．方程231x y ==在空间表示的图形是 （ ） ①平行于xOy 面的平面 ②平行于Oz 轴的平面 ③过Oz 轴的平面 ④直线
8．设3
3
2
(,)f x y x y x y =++，则(,)f tx ty = （ ）
①(,)tf x y ②2
(,)t f x y ③3
(,)t f x y ④
2
1
(,)f x y t 9．设0n a ≥，且1
lim n n n
a a →∞+ ＝ｐ，则级数 1n n a ∞
=∑ （ ）
①在1p >时收敛，1p <时发散 ②在1P ≥时收敛，1p <时发散
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ③在1p ≤时收敛，1p >时发散 ④在1p <时收敛，1p >时发散
10．方程2
36y xy x y '+=是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程
11．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①x
y e = ②3
1y x =+ ③3
cos y x x = ④ln y x =
12．设()f x 在(,)a b 可导，12a x x b <<<，则至少有一点(,)a b ξ∈使 （ ） ①()()()()f b f a f b a ξ'-=- ②21()()()()f b f a f x x ξ'-=-
③21()()()()f x f x f b a ξ'-=- ④2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 13．设()f x 在 0x x = 的左右导数存在且相等是()f x 在0x x = 可导的 （ ） ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件
14．设22()cos [()]d
f x x f x dx
=
，则(0)1f =，则()f x = （ ） ①cos x ②2cos x - ③1sin x + ④1sin x -
15．过点（１，２）且切线斜率为 3
4x 的曲线方程为ｙ＝ （ ） ①ｘ4
②ｘ4
＋ｃ ③ｘ4
＋１ ④3
4x
16．设幂级数
n
n n a x
∞
=∑在0x （00x ≠）收敛， 则
n
n n a x
∞
=∑ 在0x x < （ ）
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与n a 有关
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 17．设Ｄ域由2
,y x y x ==所围成，则 sin D
x
d x σ=?? （ ） ①1
10sin x x
dx dy x ?
?
；
②10y x dy dx x ?；
③
1
x
x
dx dy x ?
；
④10x x dy dx x
?.
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．设y =
求 y ' .
２．求 243
sin(916)
lim 34x x x →-- .
３．计算 2(1)x dx
e +?.
４．设10
(cos )arctan ,(sin )arctan t t x u udu y u udu ==?
?，求
dy
dx
.
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.
６．设
sin x z
u e =，求 ｄｕ .
７．计算
sin 0
sin x a r drd θ
θθ??
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
８．求微分方程 2
1()1
y dy dx x +=+的 通解 . ９．将 3
()(1)(2)
f x x x =
-+ 展成的幂级数.
四、应用和证明题（共15分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为0k > ）求速度与时间的关系。
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1
时，1
3x
>-
。
高等数学参考答案
一、填空题（每小题1分，共10分）
１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2
＋１ ５．
21
arctan 2
x c + ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ） ８．
220
()d f r rdr π
π
θ?
? ９．三阶 １０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（ ）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③ 11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③ 16．① 17．②
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．解： 1
ln [ln(1)ln ln(3)]2y x x x =
---+ 11111()213
y y x x x '=---+ 111
()13
y x x x '=
---+
２．解： 原式＝ 243
18cos(916)
lim 3x x x →-
＝244
18()cos(9()16)333
-＝８
３．解： 原式＝2
(1)(1)
x x x e e dx
e +-+? ＝(1)x dx e +?-2
(1)
(1)
x x d e e ++? ＝(1)1x x x e e dx e +-+?1
1x
e
++ ＝1ln(1)1x
x
x e c e
-++++ ４．解：因为(cos ),(sin )dx t arctgtdt dy t arctgtdt ==-
(sin )(s )dy t arctgtdt tgt dx co t arctgtdt
-==- ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ 所求直线方程为
112
103
x y z ---==- ６．解：
sin (sin )x z
du e
d x z =
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
sin (s )x z
e
dx co zdz =+
７．解：原积分＝
sin 2300
01
sin sin 2
a d rdr a d π
θ
πθθθθ
=?
?
?
＝2
32
20
2sin 3
a
d a πθθ=
? ８．解：两边同除以 2
(1)y + 得 22
(1)(1)
dy dx y x =++ 两边积分得
22(1)(1)dy dx y x =++?? 亦即所求通解为
1111
c x y -=++ ９．解：分解，得 ()f x ＝
11
12x x
+
-+ =
111
1212
x
x +
-+ ＝0
01(1)22n
n
n n n n x x ∞
∞==+-∑∑ （ 1x <且12x < ） ＝10
1[1(1)]2n n
n n x ∞
-=+-∑ （ 1x <）
四、应用和证明题（共１５分）
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足du
m mg ku dt
=
=- 解方程得1
()kt u mg ce k
-=
- 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得(1)kt mg
u e k
-=
- ２．证：令()f
x 1
3x
=- 则()f x 在区间［１，＋∞］连续
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高数 下 期末考试试卷及答案
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
高数一试题(卷)与答案解析
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大学高数学习方法
一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，尤其是作为数学系的学生，在面对 着“数学分析”之类的课程时，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢？ 学习数学首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学时尤为重要。 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，使得我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现（比如考试不及格），这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，可能会有很多同学花很多时间来思考引入这个定理的目的是什么，但往往因为当时根本没什么基础，所以对于这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。直到后来学到了多元部分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f . 9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续; 高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||2 2)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan += 的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1 ) 1(1n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 2 22 y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 22≥≤++z z y x 则三重积分??? Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4? ? ?20201 3 cos sin ππ ???θdr r d d ； （B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 大一高数试题及解答 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ关于高等数学方法与典型例题归纳
高等数学(A)下期末试卷及答案
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
(完整word版)大一高数练习题
高等数学上册复习要点及解题技巧
高等数学下册期末考试试题附标准答案75561
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
大一高数试题及解答