《常微分方程》期末试卷
《常微分方程》期末试卷(16)
班级 学号 姓名
得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．方程x x y x
y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．
3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．
5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．
得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解
7. x y x
y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x
9．0e =-'+'x y y
10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．
11．求下列方程组的通解．
???????+=+=y x t
y y x t x 4d d d d
得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．
13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程
y x x
y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
《常微分方程》期末试卷参考答案
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．),(∞+-∞
2．x x 2cos ,2sin
3．必要
4．充分
5．n
6．必要
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
7．解 齐次方程的通解为
x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为
x x C y 3e )(-=
代入原方程，确定出 C x C x +=
5e 51)( 原方程的通解为
x C y 3e -=+x 2e 51
8．解 由于x
N xy y M ??==??2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
103023d d )(C y y x xy x y x =++??
即 C y y x x =++42242 。
9．解 令t y ='，则原方程的参数形式为
???='+=t
y t x t
e
由基本关系式
t t x y y t d )e 1(d d +='=
积分有
C t t y t +-+=)1(e 2
12
得原方程参数形式通解
??
???+-+=+=C t t y t x t t
)1(e 21e 2 。 10．解 方程的特征根为01=λ，52=λ
齐次方程的通解为 x
C C y 521e += 因为i i 5±=±βα不是特征根。所以，
设非齐次方程的特解为
x B x A x y 5cos 5sin )(1+= 代入原方程，比较系数得 ?
??=--=+-025*******B A B A 确定出 501-=A ， 50
1=B 。 原方程的通解为 )5sin 5(cos 501e
521x x C C y x -++= 。 11．解 特征方程为
014
11=--=-λλ
λE A 即 0322=--λλ 。 特征根为 31=λ，12-=λ 。
31=λ对应特征向量应满足
??
????=??????????
??--0031413111b a 可确定出 ??
????=??????2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为
??
????-=??????2122b a 所以，原方程组的通解为 ??
????-+??????=??????--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。 三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条
件． 显然1±=y 是方程的两个常数解． 任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10 13．证明 如果)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程 0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，那么由刘维尔公式有 ?=-x 0d )(0e )()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有 C x W x W x W x t ==?=-)(e )()(0d 00x 0 。 常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程 的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。 《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。 第四讲常微分方程的思想方法 三、常微分方程的思想方法 数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及应用数学解决问题的指导思想。数学方法是指提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法。由此可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂. （1）挖掘、提炼和概括教材知识中的数学思想，实现由隐到显，体现规律性 一般来说, 由于教材的编排必须考虑学科内容的内在联系及逻辑系统性，故数学思想只能从相关内容中去体现，具有隐形态。知识教学虽然蕴含了思想方法，但是如果没有有意识地被数学思想方法作为教学对象，学生学习数学知识时并不一定注意到数学思想方法。因此教师应当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生对由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。 （2）抓住课程中知识发生的过程，及时强化数学思想 数学知识的发现过程，实际上也是数学思想方法的发生过程，但对于学生来说，这种发现或发生过程，往往被教材浓缩，甚至隐去。数学知识的教学是数学认识活动结果的教学，具有静态点型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作。所谓数学活动过程是指：数学概念的形成过程，数学结论的推导过程，数学方法的思考过程，数学规律的被揭示过程，这些过程是数学思想的体现并受某种数学思想的指导，离开数学活动过程，思想方法也就无从谈起。 （3）把握知识的内在联系，注意数学思想方法的内在结构，使之系统化 数学思想方法的教学与具体的数学知识的教学一样，只有成为系统，建立自己的结构，才能发挥它的整体效益。同时，系统的数学思想体系是良好的数学观念形成的物质基础。教材中的许多知识，从思想方法角度去分析，更容易把握其本质联系，是原来看似孤立和静止的知识点成为有机联系的动态的知识发展过程。因此在教学过程中，应突出数学思想，把对方法的认识提升到数学思想运用的高度，这有利于沟通知识联系，把握方法本质，是学生从整体结构上，从更深层次上，从事物内在的本质联系上，去把握知识，形成系统、完成的知识结构。 （4）加强应用，内化数学思想 应用数学知识解决问题的过程是诸多数学思想方法中和运用的过程。一方面应把重点放作应用数学思想方法解决数学本身的问题；另一方面应该注意它的实际背景和应用，应用数学思想方法解决实际问题，逐渐将从数学知识挖掘出来的数学思想加以内化。 方程的思想 方程，尤其是目的在于求出解的方程，最初是作为解决实际问题的数学模型出现的，即用来表达“数量关系”，这时方程思想的基本点。常微分方程的思想方法是代数方程思想方法的发展，但其基本点是一致的，即把问题归结为求未知量。用含未知量的式子建立等量关系，由此求得未知量。方程的基础是平衡原理。 （1） 概念 微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶： 2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：3 2 2 43x y x y xy x ''''''+-= 四阶：() 4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：() ( ),,,,0n F x y y y '=L 。这里的()n y 是必须出现。 （2）微分方程的解 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? L 则()y x ?=称为微分方程()() ,,,,0n F x y y y '=L 的解。 注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。 导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。 函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则 称函数()f x 在点0x 连续。 左连续：()() ()0 00lim x x f x f x f x - - →== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()() ()0 00lim x x f x f x f x + + →== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是 指函数在右端点左连续，在左端点右连续。 函数在0x 点连续?()()()()0 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+ →→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在 常微分方程教学设计 第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的 阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程 常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。 (4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。 常微分方程课程教学 大纲 常微分方程课程教学大纲 英文名称：Ordinary differential equation 课程类 型： 专业基础课 理论学时：64实验学 时： 学分： 4 开课学 期： 第3学期 适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方 式： 考试 先修课 程： 数学分析、高等代数与解析几何 一、课程简介 常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程. 二、课程教学目标 本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 第一章绪论 主要内容： 1、常微分方程基本概念; 2、导出微分方程的实例; 3、微分方程的几何意义。 基本要求和教学重点： 1、了解常微分方程的基本概念； 2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容； 3、了解常微分方程的实际背景及应用。 第二章初等积分法 主要内容： 1、变量分离方程； 2、齐次方程； 3、一阶线性方程与常数变易法； 4、全微分方程与积分因子； 5、一阶隐式微分方程。 基本要求和教学重点： 1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法. 2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力； 3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。 第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容： 1、解的存在性与唯一性定理 2、解的延拓 3、解对初值和参数的连续依赖性 4、解对初值和参数的可微性 基本要求和教学重点： 1、熟悉和理解定理证明方法； 2、掌握逐步逼近法。 第四章高阶线性微分方程 主要内容： 1、高阶线性微分方程的一般理论； 2、高阶常系数线性齐次方程的解法； 3、高阶常系数线性非齐次方程的解法； 4、变系数线性微分方程。 5、幂级数解法 基本要求和教学重点： 1、理解和掌握关于线性方程解的基本性质； 第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？ 毕业论文文献综述 信息与计算科学 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、前言部分 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。 二、主体部分 2.1微分方程概念介绍 常微分方程第三版答 案 习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 毕业论文开题报告 信息与计算科学 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、选题的背景、意义 1、选题的背景 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的形成及发展与力学、天文学、物理学、生物学，以及其他科学技术的发展密切相关.在数学学科内部的许多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，微分方程进一步发展的需要，有推动着其它数学分支的发展；相反，常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响.当前计算机的发展更是为微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.时至今日，可以说微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.只要能够列出相应的微分方程，有了解方程的方法，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律.从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效. 2、选题的意义 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数 习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. 《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方 向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程） 关于常微分方程配置方法的总结 常微分方程配制方法当然离不开配置解，那我们就来谈谈配置解的一些特 性，在区间I 上定义的一个泛函方程（例如：常微分方程或者是一个沃尔泰拉积分方程）的配置解h u ，它是一些有限维泛函空间（配置空间）的一个元素，其中I 是配置点的集合，这个配置解满足于在区间I 上的一个适当的有限子集上的方程，并且这个配置解的维数在本质上等同于这个配置空间的维数。如果方程的初值条件或者边界条件给出的话，那么这个配置解也就通常要求满足于上面所说的这些条件。 对于边界值问题的近似解的多项式空间或者分段多项式空间的应用起源于二十世纪三十年代，而对于常微分方程的初值问题的方法如配制方法最早进行系统的研究在二十世纪六十年代末，随后在连续的分段多项式空间中的配置，成为关于隐式高阶的龙格库塔尼斯特仑法的重要的一类。 下面我们来介绍常微分方程的分段多项式配置，我们首先考虑初值问题， ()()()[]()0 ,,:0,,y 0y t f t y t t I T y '=∈== ，假设函数f 满足李普希兹条件并且连 续，这个处置问题有一个唯一解y ，并且y 位于区间I 上具有一阶导数，在这里，把区间I 进行了分割，即{}01::0h n N T t t t t I ==<<<= ，这个分割没有必要是 均匀的，下面是定义了两个子集以及这个分割的直径，在时步长里面，这个直径我们把它叫做步长，现在我们最关心的就是这个唯一解的求法，当然，此时我们可以把初 值问题的解，用h u 来近似代替，其中h u 是分段多项式空间 () ()()(){}0::01h m m v C I v n N s I σπ=∈∈≤≤-中的元素，而这个近似值可以通过 配置方法来找到，那么什么是配置呢，也就是这个近似值满足于在给定的适当的有限子集上的方程，并且和这个方程的准确解具有共同的初值条件，很清楚，这个子集的定义如下：{}()1::0101h n i n m t n N t c h c c X ==+≤<<≤≤≤- ，这个适当的子集的维数与配置点的个数都是相同的，为了更加精确，我们可以要求这个子集进行带有参数的替代，当然这里面的配置参数就完全决定了这个子集，接下来就可以把原来的给定的微分方程用含有配置解的配置方程来替换， 常微分方程课程教学大纲 英文名称：Ordinary differential equation 课程类型：专业基础课 理论学时：64实验学时：0 学分： 4 开课学期：第3学期 适用对象：数学与应用数学专业本科生考核方式：考试 先修课程：数学分析、高等代数与解析几何 一、课程简介 常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程. 二、课程教学目标 本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础. 三、教学内容及要求 第一章绪论 主要内容： 1、常微分方程基本概念; 2、导出微分方程的实例; 3、微分方程的几何意义。 基本要求和教学重点： 1、了解常微分方程的基本概念； 2、领会常微分方程所讨论问题的基本内容； 3、了解常微分方程的实际背景及应用。 第二章初等积分法 主要内容： 1、变量分离方程； 2、齐次方程； 3、一阶线性方程与常数变易法； 4、全微分方程与积分因子； 5、一阶隐式微分方程。 基本要求和教学重点： 1、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法. 2、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力； 3、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。 第三章一阶微分方程的解的存在定理主要内容： 1、解的存在性与唯一性定理 2、解的延拓 3、解对初值和参数的连续依赖性 4、解对初值和参数的可微性 基本要求和教学重点： 1、熟悉和理解定理证明方法； 2、掌握逐步逼近法。 文献综述 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、前言部分 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。 二、主体部分 2.1微分方程概念介绍 2.1.1 微分方程概况 教学大纲 一、教学目的、任务 常微分方程历来是综合性大学数学系各专业的核心基础课程，不仅是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用. 通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力. 实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析，培养学生的动手能力和创新意识. 二、教学内容的结构 分为六章内容讲解，具体地： 1.微分方程建模（8学时）; 2.初等积分法(12学时); 3.线性系统(8学时); 4.常系数线性系统(12学时，包括若干振动问题4学时); 5.一般理论(12学时); 6.定性理论初步(12学时). 三、单元教学目标与任务 第一章绪论 1、基本内容 (1) 常微分方程模型（含Duffing机械振动、Van de Pol电磁震荡、天 文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）; (2) 微分方程求解思想（解的定义、高阶方程与一阶方程组的互化， 微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）; (3) 微分方程的基本问题（通解的概念，“线性”与“非线性”微分方程）. 2、基本要求 (1) 了解微分方程的背景和建模过程; (2) 理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件; (3) 掌握高阶方程与一阶方程组的互化; (4) 理解等倾线与方向场与解的关系. 3、建议课时（8学时） (1) 常微分方程模型(2学时); (2) 微分方程求解思想(4学时); (3) 基本问题(1学时); (4) 习题课(1学时). 第二章初等积分法 1、基本内容 (1) 变量分离形式（含初等变换应用、一阶线性方程、伯努里方程、 齐次方程和线性分式方程求解）; (2) 恰当方程形式（对恰当方程求通积分，以及积分因子法）; (3) 隐式方程（微分法与参数法）; (4) 初等积分法的一些应用（奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问 题，Clairaut方程，高阶微分方程，平面保守系统，Riccati方程）. 2、基本要求 (1) 掌握分离变量法和积分因子法; (2) 理解恰当方程的条件; (3) 掌握一阶线性方程和伯努里方程求解，掌握求解隐式微分方程微 分法与参数法; (4) 了解奇解与包络. 3、建议课时（12学时） (1) 变量分离形式及习题课(4学时); (2) 恰当方程形式及习题课(3学时); (3) 隐式方程(2学时); (4) 初等积分法的一些应用及习题课(3学时). 第三章线性方程 1、基本内容 (1) 存在性与唯一性; (2) 齐次线性方程组的通解结构（含叠加原理、Wronsky行列式及 Liouville定理）; 《常微分方程》教学大纲 一、课程的基本信息 课程名称：《常微分方程》 英文名称：Ordinary Differential Equations 课程性质：学科基础必修课 课程编号：1610203002 周学时：3学时 总学时：48学时 学分：3学分 适用专业： 适用于信息与计算科学专业 预备知识：数学分析、高等代数 课程教材： 东北师范大学微分方程教研室主编，《常微分方程》（第二版），高等教育出版社出版、2005年4月 参考书目： [1] 王高雄主编，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社、2001年． [2] 丁同仁，李承治主编，《常微分方程》(第二版)，高等教育出版社、2004年. [3]叶彦谦主编，《常微分方程》(第二版)，人民教育出版社、1979年. 考核方式：考试 制定时间：2013年10月制定 二、课程的目的与任务 《常微分方程》是高等院校信息与计算科学专业的学科基础课之一。通过常微分方程的教学，使学生了解和掌握常微分方程这一学科的基本概念、理论，培养学生的理论思维能力，为从事信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。 本课程主要学习各种基本类型的常微分方程解的性质、方程的解法及其某些应用。通过该课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，深入掌握基本理论和主要方法，具有一定的分析问题、解决问题的能力，为学习本课程的近代内容与后继课程打下基础。在本课程的学习中，通过对数学分析、高等代数、解析几何和简单的力学、电学等知识的应用，使学生对已学过的知识得到巩固与深化；通过 该课程的学习，使学生了解常微分方程可应用于现代工程技术中的某些问题，从而有助于树立学生的数学来源于实践又服务于实践的辩证唯物主义观点。 第一章初等积分法（18学时） 一、本章基本要求 1．掌握常微分方程的基本概念：微分方程、通解与特解、初值问题、初等积分法；2．掌握可用初等积分法求解的四类方程的基本解法：变量可分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程、全微分方程； 3．了解一阶隐式微分方程、可降阶的高阶方程、一阶微分方程的应用。 二、教学内容 1．微分方程和解 2．变量可分离方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．一阶隐式微分方程 6．几种可降阶的高阶方程 7．一阶微分方程应用举例 第二章基本定理（8学时） 一、本章基本要求 1．掌握常微分方程的线素场与欧拉折线； 2．理解微分方程解的存在与唯一性定理； 3．了解微分方程的奇解与包络。 二、教学内容 1．常微分方程的几何解释 2．解的存在与唯一性定理常微分方程知识点总结
常微分方程教学大纲
常微分方程的思想与方法
(整理)常微分方程总结
常微分方程教学设计
常微分方程基本知识点
常微分方程课程教学大纲知识分享
常微分方程教材
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]
常微分方程第三版答案教学文稿
开题报告-浅谈常微分方程的数值解法及其应用
常微分方程课后答案(第三版)王高雄
《常微分方程》课程大纲
关于常微分方程配置方法的总结
常微分方程课程教学大纲
浅谈常微分方程的数值解法及其应用文献综述
《常微分方程》教学大纲
常微分方程教学大纲