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《概率论与数理统计》习题二答案

《概率论与数理统计》习题及答案

习题二

1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3，4，5,在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的

最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】

3535

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

====

故所求分布律为

２.设在1５只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取１只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求： (１） X 的分布律；

（2）Ｘ的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<．

【解】

1331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ========== 故X 的分布律为

（２）当x <0时，F (x ）＝P (X ≤x )=０

当０≤x <1时，F (x )＝P (X ≤x )=Ｐ（Ｘ=0)=

2235

当1≤x <２时，F （x ）=P (Ｘ≤ｘ）=P （Ｘ=0）＋P （X =1)=3435

当x ≥2时，F (x )=P （Ｘ≤x ）＝1 故X 的分布函数

022

,0135()34,12351,2x x F x x x

（3)

1122

()(),

2235333434

(1)()(1)0

223535

3312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

<<=--==--=

3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0,1，2,３.

312

3(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x

=≤

≥??

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

４．（１）设随机变量X 的分布律为

P ｛X ＝k ｝＝!

k a

λ，

其中ｋ=0，1,2，…，λ＞０为常数，试确定常数ａ. (２）设随机变量Ｘ的分布律为

P {Ｘ=k }=a/N , k =1,2，…,N ，

试确定常数ａ.

【解】(1）由分布律的性质知

1()e !

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故 e

a λ

(2) 由分布律的性质知

1()N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

５.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.６,0.7,今各投3次，求: （1) 两人投中次数相等的概率； (2) 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b (3，０.６),Ｙ~b (3,0.7)

(1） ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=+＋

222233

33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

（2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==

123223

33C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 332212

(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+

=０.2４3

6．设某机场每天有２０0架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0．０1(每条跑道只能允许一架飞机降落）？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则Ｘ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道，则有

()0.01P X N ><

即 200

2002001

C (0.02)(0.98)

0.01k k k

k N -=+<∑

利用泊松近似

2000.02 4.np λ==?=

e 4()

0.01!k

k N P X N k -∞

=+≥<∑ 查表得N ≥９．故机场至少应配备9条跑道．

7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001，在某天的该时段内有100０辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理）?

【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b （1000，０.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.1

0.11e

0.1e --=--?

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数Ｘ满足P {Ｘ=1}=Ｐ{X ＝2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为ｐ，则

14223

55C (1)C (1)p p p p -=-

故 1

p =

所以 4451210(4)C ()33243

P X ===

. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， (１）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率; （2) 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】(1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则Ｘ~6（5,0．3)

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

（2) 令Ｙ表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b （7，０.3）

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10．某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（１）求某一天中午１２时至下午3时没收到呼救的概率； (2）求某一天中午12时至下午５时至少收到１次呼救的概率. 【解】（１)3

(0)e

P X -== （２) 52

(1)1(0)1e

P X P X -

≥=-==-

１1.设P {X =ｋ｝＝k

k k

p p --22)

1(C ， k =0，1,2

P {Y =m }＝m

p p --44)

1(C ， m =０，1，2,3,4

分别为随机变量Ｘ,Y 的概率分布，如果已知Ｐ{Ｘ≥1}=5

,试求P ｛Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=

，故4(1)9

P X <=．而 2

(1)(0)(1)P X P X p <===- 故得 2

(1),9

p -=

即 1.3

p = 从而 4

(1)1(0)1(1)0.8024781

P Y P Y p ≥=-==--=

≈ 12．某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.００1,试求在这20０0册

书中恰有5册错误的概率.

【解】令Ｘ为20００册书中错误的册数,则X~b (２000,0.０01).利用泊松近似计算,

20000.0012np λ==?=

得 25

e 2(5)0.00185!

P X -=≈= 13．进行某种试验，成功的概率为

34,失败的概率为1

.以Ｘ表示试验首次成功所需试验的次数,试写出Ｘ的分布律,并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,

X k =

113

()()44

k P X k -==

(2)(4)(2)P X P X P X k =+=+

+=+

321131313()()444444

k -=

++++

21314145

1()4

==- 14．有２500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.0０2，每个参加保险的人在1月1日须交1２元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取２000元赔偿金.求: （1) 保险公司亏本的概率;

(2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

(1）在1月１日,保险公司总收入为２5０0×12=3000０元. 设1年中死亡人数为X ，则X ～b (2５00,0.002),则所求概率为

(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤

由于n 很大，p 很小，λ=ｎp =5,故用泊松近似，有

514

e 5(15)10.000069!k

k P X k -=>≈-≈∑

(2） P （保险公司获利不少于1０000)

(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤

510

e 50.986305!k

k k -=≈≈∑

即保险公司获利不少于１００00元的概率在98%以上

P （保险公司获利不少于20００0)(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤

e 50.615961!k

k k -=≈≈∑

即保险公司获利不少于20000元的概率约为６2％

15.已知随机变量X 的密度函数为

ｆ（x ）=A e -｜x ｜， -∞＜x <+∞,

求:（１）Ａ值;(2）Ｐ{0

()d 1f x x ∞

-∞

得

||0

1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞

---∞

===??

故 1

A =

. （２) 11

011(01)e d (1e )22

x p X x --<<==-?

(３) 当x <0时，11

()e d e 22

x x x F x x -∞==?

当x ≥0时,0||0111()e d e d e d 222

x x x

x F x x x x ---∞-∞==+???

11e 2

-=-

故 1e ,0

()11e 0

x x F x x -?

?-≥??

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为

f （x ）=?????<≥.100,

100,1002

x x x

求：（1）在开始１5０小时内没有电子管损坏的概率； (２）在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F (x ). 【解】

(1） 150

1001001

(150)d .3P X x x ≤=

=? 33128

[(150)]()327p P X =>==

(２） 12

23124C ()339

p ==

(3) 当x <1０0时Ｆ（x ）=0

当x ≥10０时()()d x

F x f t t -∞

100

()d ()d x

f t t f t t -∞

=+?

100100100

d 1x

t t x

=-? 故 100

1,100()0,

0x F x x

x ?-

≥?=??

意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X 的分布函数．【解】由题意知X ~∪［0,a ]，密度函数为

,0()0,

x a

f x a

?≤≤?=???其他故当x <０时F (x ）=０当0≤x ≤a 时0

1()()d ()d d x

x x

F x f t t f t t t a a

-∞

===?

当x ＞ａ时,F （x ）＝1 即分布函数

0,0(),

01,

x x F x x a a x a

?? １8.设随机变量X 在［2，5］上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的

观测值大于３的概率. 【解】X ~Ｕ[2,5]，即

,25

()3

0,x f x ?≤≤?=???其他 53

(3)d 33

P X x >==?

故所求概率为

223333

21220C ()C ()33327

p =+= 1９.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计）服从指数分布1

()5

E ．某顾客在窗

口等待服务，若超过１0分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未

等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1｝. 【解】依题意知1~()5

X E ，即其密度函数为

1e ,0()50,x

x f x -?>?=??≤?

x 0

该顾客未等到服务而离开的概率为

101(10)e d e 5

x P X x -∞

->==?

2~(5,e )Y b -,即其分布律为

225525

()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5

(1)1(0)1(1e )0.5167

k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走．第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服

从N （40,1０2)；第二条路程较长,但阻塞少，所需时间X 服从Ｎ（50,42）．（1) 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些? （2）又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(１）若走第一条路,X ～N (40,102）,则

406040(60)(2)0.9772710

10x P X P Φ--??

<=<== ???

若走第二条路,X~N （５0，42),则

506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--??

<=<== ???

故走第二条路乘上火车的把握大些. （2）若X ～N (４0，10２

)，则

404540(45)(0.5)0.691510

10X P X P Φ--??

<=<== ???

若X ～N (50,42),则

504550(45)( 1.25)4

4X P X P Φ--??

<=<=- ???

1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.

２1.设X ～N (３,２2），

(1) 求P {２２｝，P {X >3}; (2) 确定c 使Ｐ{X ＞c }＝Ｐ{X ≤c }. 【解】(1） 23353(25)2

22X P X P ---??

<≤=<≤

???

11(1)(1)1220.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ????

=--=-+ ? ?

????=-+=

433103(410)2

22X P X P ----??

-<≤=<≤ ???

770.999622ΦΦ????=--=

? ?????

(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-

323323222215151122220.691510.99380.6977

X X P P ΦΦΦΦ-----????

=>+< ? ?

????????????=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=

333

(3)(

)1(0)0.522

X P X P Φ->=>=-=- （2) c ＝3

22．由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ～Ｎ(1０.05,0.062），规定长度在1０．０５±0.１2内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?

->=>

???

1(2)(2)2[1(2)]

0.0456

ΦΦΦ=-+-=-=

23.一工厂生产的电子管寿命X （小时)服从正态分布Ｎ(1６0,σ２

），若要求P {120<Ｘ≤20０=

≥0.8，允许σ最大不超过多少? 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---??

<≤=<≤

???

404040210.8ΦΦΦσσσ-??????

=-=-≥

? ? ???????

故

31.251.29

σ≤

= 24.设随机变量X 分布函数为

F （ｘ）=e ,0,

(0),00.xt A B x ,

x λ-?+≥>?

（1）求常数A ,B ；

（2) 求P {X ≤２}，Ｐ{X ＞３}; (３) 求分布密度f （x ）.

【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞

→+

→-=???=??得11A B =??=-?

（2) 2(2)(2)1e

P X F λ

-≤==-

33(3)1(3)1(1e

)e P X F λ

λ-->=-=--=

（３) e ,0

()()0,

0x x f x F x x λλ-?≥'==?

2５.设随机变量Ｘ的概率密度为

ｆ(x )=??

??<≤-<≤.

,0,21,

2,10,其他x x x x 求X 的分布函数Ｆ(x )，并画出ｆ(x )及F （ｘ)．

【解】当ｘ<0时F （ｘ）=0

当0≤x <1时0

()()d ()d ()d x

F x f t t f t t f t t -∞

-∞

=+?

0d 2

x t t ==?

当1≤x<2时()()d x

F x f t t -∞

010

()d ()d ()d d (2)d 13222221

x f t t f t t f t t

t t t t

x x x x -∞==+=+-=+--=-+-?

????

当x ≥2时()()d 1x

F x f t t -∞

故 22

0,0,01

()21,1221,

x x x F x x x x x

26.设随机变量Ｘ的密度函数为

（1) f (ｘ)＝a ｅ-|x |，λ＞０;

(2) f （x )＝?????<≤<<.

,0,21,

,10,2其他x x

x bx 试确定常数a ,b ,并求其分布函数F (x )．【解】(1）由

()d 1f x x ∞

-∞

知||

21e

d 2

e d x x a

a x a x λλλ

∞

---∞

===

故 2

a λ

即密度函数为 e ,02

()e 02

x x f x x λλλλ-?>??=??≤??

当x ≤０时1

()()d e d e 22

x x F x f x x x λλλ

-∞

-∞=

==?

当x ＞0时0

()()d e d e d 2

x F x f x x x x λλλ

--∞

-∞

=+?

11e 2

x λ-=-

故其分布函数

11e ,02

()1e ,02

x x F x x λλ-?->??=??≤??

（２) 由12

1()d d d 22

b f x x bx x x x ∞

-∞

=+=+?

得 b =1

即Ｘ的密度函数为

2,011(),120,

x x f x x x

=≤

当ｘ≤0时F （x ）=0 当０

()()d ()d ()d x

F x f x x f x x f x x -∞

-∞

=+?

d 2

x x x ==?

当1≤x <2时0

1()()d 0d d d x

F x f x x x x x x x -∞

-∞

=++?

???

312x

- 当x ≥2时Ｆ(x )=１故其分布函数为

20,0,01

()31,1221,2

x x x F x x x x ≤???<

27.求标准正态分布的上α分位点，（1)α=0．０1，求z α；（2）α=０．003,求z α，/2z α. 【解】（１) ()0.01P X z α>=

即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= (2) 由()0.003P X z α>=得

1()0.003z αΦ-=

即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得

/21()0.0015z α-Φ=

即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=

求Y =的分布律.

【解】Y 可取的值为0,1，4,9

1(0)(0)5

117(1)(1)(1)61530

1(4)(2)511

(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X ==

===-+==+====-=

====

29．设P ｛X =k }=(

）ｋ

, k =1,2,…,令 1,1,.

X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时

求随机变量X 的函数Ｙ的分布律．【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=+

+=+

242111()()()222

111()/(1)443

k =++++=-=

(1)1(1)3

P Y P Y =-=-==

30．设X ~N （0,1)．

(１) 求Y ＝e X 的概率密度；

（2）求Y ＝2X 2+１的概率密度；（３) 求Y =|Ｘ|的概率密度.

【解】(1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=

当ｙ＞0时,()()(e )(ln )x

Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤

ln ()d

X f x x -∞

故 2/2

ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2）2

(211)1P Y X =+≥=

当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=

当y ＞1时2

()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+

≤

12y P X P X ?-??=≤=≤≤ ? ?

()d

X f x x =

故 d ()()d Y Y X

X f y F y f f y ?

?==+?

???

(1)/4

,1y y --=>

（3) (0)1P Y ≥=

当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=

当y ＞0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d y

X y

f x x -=

故d

()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y

=+-

2/2

,0y y -=

> 31.设随机变量X ~U (0,1），试求:

（1） Y =ｅX 的分布函数及密度函数; (2） Z ＝-2ｌn Ｘ的分布函数及密度函数. 【解】(１) (01)1P X <<=

故 (1e e)1X

P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=

当1

Y F y P y P X y =≤=≤

ln 0

d ln y

x y ==?

当ｙ≥e 时()(e )1X

Y F y P y =≤=

即分布函数

1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??

故Y 的密度函数为

1e ,()0,Y y y f y ?<

=???

其他

(２) 由P （0<Ｘ＜1）=1知

(0)1P Z >=

当z ≤0时,()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时,()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤

(ln )(e

z z P X P X -=≤-=≥

/2e

d 1

e z z x --=

=-?

即分布函数

-/2

0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0

故Z 的密度函数为

1e ,0

()20,

z Z z f z z -?>?=??≤?0

3２．设随机变量X 的密度函数为

f （ｘ)=22,0π,π0,

x ?<

试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=

当y ≤０时，()()0Y F y P Y y =≤=

当0<ｙ<1时,()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤

(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<

arcsin π220πarcsin 22d d ππy

y x x x x -=

+??

2211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）

arcsin π

y =

当y ≥1时,()1Y F y = 故Ｙ的密度函数为

,01π()10,Y y f y y

其他 33.设随机变量X 的分布函数如下:

???

??≥

<+=.

)3(,

)2(,

)1(,11

)(2

x x x x F

试填上（1)，(２),(3)项.

【解】由lim ()1x F x →∞

=知②填1。

由右连续性+

0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。从而③亦为0。即

,0()11,

0x F x x x ?

=+??≥? 34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现６点为止,求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点｝。(i=1,２），P (A i )＝

.且A 1与A 2相互独立。再设C =｛每次抛掷出现6点}。则

21212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+-

111111

666636=

+-?=

故抛掷次数X 服从参数为11

的几何分布。

３5．随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于０.９? 【解】令Ｘ为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字,则

X ～b （n ,0．1）

00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9n

n P X P X ≥=-==-≥

即 (0.9)0.1n

≤ 得 n ≥22 即随机数字序列至少要有2２个数字。 3６.已知

Ｆ（x )＝????

????≥<≤+<.

1,1,21

21,0,0x x x x

则Ｆ（x ）是（）随机变量的分布函数.

(Ａ）连续型； (Ｂ）离散型; (Ｃ）非连续亦非离散型.

【解】因为Ｆ（x ）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞

lim ()1x F x →+∞

=，所以F (x )是一个分布函数。

但是F （x )在x =0处不连续,也不是阶梯状曲线,故Ｆ（x )是非连续亦非离散型随机变量

的分布函数。选（C ） 37.设在区间［a ,ｂ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=s ｉn x ,而在［a ,b ]外,f (ｘ）=0,则区间 [ａ,b ]

等于（）

（A ) ［0,π/2]; (B ) ［0,π］;

(C ) ［-π/2,0]; （D) [0，

π2

］. 【解】在π

[0,]2

上sin x ≥0,且π/20sin d 1x x =?．故ｆ（x )是密度函数。

在[0,π]上π

sin d 21x x =≠?

.故f (x ）不是密度函数。

在π

[,0]2-

上sin 0x ≤,故f (x ）不是密度函数。在3[0,π]2上,当3

ππ2

x <≤时，s ｉｎｘ<0，f (x )也不是密度函数。

故选(A )。

38.设随机变量X ～N （０，σ２

），问:当σ取何值时,X 落入区间(１，3)的概率最大? 【解】因为2

~(0,),(13)(

X N P X P σσ

<<=<

(

)()()g σσ

=Φ-Φ令

利用微积分中求极值的方法，有

311()()()()g σσ

σσσ

'''=-

Φ+Φ

9/21/21/28/2[13e ]0σσσσ----=+=

-=令

得2

ln 3σ=

则0σ=,又 0()0g σ''<,

故0σ<为极大值点且惟一。

故当σ=

Ｘ落入区间(1,３)的概率最大。 39．设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布Ｐ(λ),每个顾客购买某种物品

的概率为ｐ,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律．

【解】e (),0,1,2,!

P X m m m λλ-==

设购买某种物品的人数为Y ,在进入商店的人数X =m 的条件下，Ｙ～ｂ(m ,p )，即

(|)C (1),0,1,,k k m k

P Y k X m p p k m -===-=

由全概率公式有

()()(|)m k P Y k P X m P Y k X m ∞

======∑

(1)

e C (1)!e

(1)!()!()[(1)]e

()!()e e

()e ,0,1,2,

m k k

m k

m m k

m k

m k k m k m k

k p k p p p m p

p k m k p p k m k p k p k k λλ

λλλλλλλλλ-∞

-=∞

--=-∞

-=---=-=---=-===∑∑

∑

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布,购买这种物品的人数仍服从泊松分布,但参数改变为λｐ.

４0.设随机变量Ｘ服从参数为２的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布. (19

９5研考)

【证】Ｘ的密度函数为

22e ,0

()0,

0x X x f x x -?>=?≤?

由于P (X >0）=1,故０＜1-e -

２Ｘ

<1，即P （0

当ｙ≤0时，F Y （y )＝0 当y ≥1时,ＦY （y )=１

当0＜ｙ＜1时，2()()(e 1)x

Y F y P Y y P y -=≤=≥-

ln(1)220

(ln(1))

22e d y x P X y x y

---=≤--==?

即Ｙ的密度函数为

1,01

()0,Y y f y <

?其他

即Ｙ~Ｕ(０，1)

４１．设随机变量X 的密度函数为f (x )=????

?????≤≤≤≤.,

0,63,9

,10,31

其他x x 若k 使得P ｛X ≥k }＝2／3,求k

的取值范围. （2000研考)

【解】由P （X ≥k )=

知P (X ＜k )＝13

若k ＜0,P (Ｘ

11d 333

k x =≤?

当k =1时Ｐ（X

若１≤k ≤３时P （Ｘ

0111

d 0d 33k x x +=??

若3

d d 39933

k x x k +=-≠??

若k >6,则P (X

故只有当1≤ｋ≤3时满足P （X ≥k )=2

. 42．设随机变量X 的分布函数为

F (ｘ)=???????≥<≤<≤--<.3,

1,31,8.0,11,4.0,1,

0x x x x

求X 的概率分布． (1９9

１研考)

４3．设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知Ａ至少出现一次的概率为1９／27，

求A 在一次试验中出现的概率. (1９88研考)

【解】令X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P （Ａ)=p ,则

X ~b (３，p )

由P (X ≥1)=1927知Ｐ（X =0)=(1-p ）3=827

故ｐ＝

44.若随机变量X 在(1,6）上服从均匀分布,则方程y 2＋X ｙ+1＝0有实根的概率是多少？（19８9研考）【解】

,16

()5

0,x f x ?<

(40)(2)(2)(2)5

P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=

4５.若随机变量Ｘ～N (2,σ2）,且P {2