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2010数学协作体夏令营讲义专题专题一—专题五

专题一数列与递推

江苏省盐城中学丁振华沈巍龑

一、基础知识

定义：对于任意的*

N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。求递归数列的常用方法：一．公式法

(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m

n )(-+=； (2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m

n q a a -=； (3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11

≥=?

??-=-n n S S S a n n n 。

二．迭代法

迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ；迭乘恒等式： 1

221

1a a a a a a a a n n n n n ????=

--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ；类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ；三．待定系数法

类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n

n ，求通项n a ；四．特征根法

类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n

n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2

，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为n

n B A x βα+=

（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1

)1([--+=n n

n B A x α

α（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。

证明：设特征根为βα,，则,p =+βαq -=αβ

所以12++-n n x x α=11++-+n n n x qx px α=n n qx x p +-+1)(α=n n x x αββ-+1=)(1n n x x αβ-+ 即}{1n n x x α-+是以β为公比，首项为)12x x α-的等比数列。所以1

21)(-+-=-n n n x x x x βαα，所以2

)(---+=n n n

x x x x βαα

(1)当βα≠时，则其通项公式为n n n B A x βα+=

，其中α

βαβ)(12--=x x A ，ββαα)(12--=x x B ； (2)当βα=时，则其通项公式为1

)]1([--+=n n

n B A x α

α，其中α

αα

21,x x B x

A -==

因此对于斐波那契数列n

n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12

+=x x ，其特征根为： 251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为n

n n B A F ???

? ??-+???? ??+=251251，利用初始条件2,121==F F 得???????=???? ??-+???? ?

?+=????

??-+???? ??+2

25125112512512

2B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以???

????????? ??--???? ??+=++1

125125151n n n F 。这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：

它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前n 项和12-=+n n F S ；（2）n

n n n F F F )1(22

1-=?-++；（3）n

n n F F F 6341<<+（3≥n ）；（4）1

11-++++=n m n m n m F F F F F （1,,*

>∈n N n m ）；（5）2

212-+-=n n n F F F （1,*

>∈n N n ）；五．代换法

代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下

类型五：已知c a b a ==21,，)0(11≠++=-+r r qa pa a n n n ，求通项n a 。六．不动点法

若αα=)(f ，则称α为)(x f 的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。类型六：(1)已知0

(1≠+

?+?=

+c d a c b a a a n n n ，且)0≠-bc ad ，求通项n a ； (2)已知c

a a b

a a a n n n +?+?=+22

1，求通项n a ；

七．数学归纳法八．构造法

二、范例选讲：

（一）递推数列

1、（德国）数列}{n a 的定义是)0(),7(1

,2,1,12

13321>+====+++n a a a a a a a n n n

n 证明：该数列中的项都是正整数。证明：由递推数列关系知： .7213+=+++n n n n a a a a .73

214+=++++n n n n a a a a 两式作差可得3221143+++++++-=-n n n n n n n n a a a a a a a a 即1

421323++++++++=+n n n n n n n n a a a a a a a a 化简可得

212++++++=+n n n n n n a a a a a a （*）

如果记1

+++=

n n n n a a a b ，那么由（*）可得

2+=n n b b （**）由2,1,13

21===a a a 和94=a 可知5,321=

=b b 再由（**）式，即得5,3212==-k k b b 从而k

k k k k k a a a a a a 21222122125,3-=-=++-+

利用2,1,13

21===a a a 由归纳法可知，}{n a 各项都是正整数。 2、（08全国联赛）设.2008,,2,1,0 =>k a k 证明：当且仅当∑=>2008

1k k

时，存在数列}

{n x 满足下列条件：

（1） ,3,2,1,010=<<=+n x x x n n ；（2）n n x ∞

→lim 存在；

（3） ,3,2,1,2007

120081

1=-=-∑

∑=++=+-n x a x a x x k k

n k k k n k n n 证明：必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为

200811

()n n k nk nk k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．

将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得

111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞

=，将上式取极限得

112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 2008112220082008

()k k b a a x a x a x ==?-+++∑ 20081

k k b a =

因此2008

11k k a =>∑．

充分性：假设2008

1k k a =>∑．定义多项式函数如下：

2008

()1k

k k f s a s

==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且

(0)10f =-<，2008

1(1)10

k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01

k n k x s ==

∑

，1,2,n

= ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且 100010

1n n

k n k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此1

00000

l i m l i m 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．

最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008

1k k k a s ==∑，从而

2008

20082008

0001

111

()()n

kn n k n n k k kn k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． 3、（05年上海竞赛试题）数列{}

n f 的通项公式为11515225n n

n f ??????+-??=- ? ? ? ?????????

，n ∈+Z ．记1212C +C ++C n

n n n n n

S f f f = ，求所有的正整数n ，使得能被8整除．

解：记1515,,22

αβ+-=

=则

()()()()10

0011S 5511115513535225n n i i i i i i

n n n i i n n n n

i i i i n n i i n n

C C C C αβαβαβαβ=====-=-????=-=+-+ ?????

??????+-??=- ? ? ? ?????????

∑∑∑∑ 注意到

35353535

3,1

2222

+-+-+=?=，可得 ()11211353535353535S 22222253S S n n n n

n n n

++++????????????????????+-+-+-??????=-+--?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?????????????????????????????

=-* 因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n 除以8的余数确定

112

11122122

,3S C f S C fC f ==+= ，故由(*)式可以算出{}n S 各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83n S n ?

故当且仅当38n n S 时，

4、（第五届东南奥林匹克）设数列}{n a 满足)3,2,1)(21(2,111 =++==+n n a a a n

n 试求通项n a 的表达式。

解：将所给递推关系的两边同除以1

+n 得：

2222111n n a a n n n n n ++=+++即22

22111n n a a n n n

n n +=-+++

所以，∑∑∑==+=+++=-n

i n i i i i

i i i i i a a 111

1112

2)22( 故∑=+++++=-n i i n n i n n a a 11

112

4)1(22即 ].221214)1([21

1∑=+++++=n i i

n n i

n n a 令.21∑==n

i i n i S 则.2

211∑=-=n i i n i

.222111∑∑==--=-=n

i n

i i

i n n n i

i S S S ∑∑+=-=---=!

1121

2n i i n

i i i i )21

2(211211

21111-=--+---+-+-=∑i n i i n i i i n ∑=-+-=n i i n n 21

21 ])21(1[2

11212

11---+-=n n n

n n n n 2

2211211+-=-+-=- 故)]2

22(21214)1([21

n n n n n a +-+++=++ )1](2

24)1(23[21

≥+-++=++n n n n n n 从而，)2(1)6(22

2≥--+-=-n n n n a n n 。（二）数列不等式的证明

5、（芬兰）设,11.,311211∑=++=+==n

k k

n n n n x a x x x x 试求整数.m 使得12008+≤≤m a m 。解：)1(2

n n n n x x x x x +=+=+ 化简可得：

111+-

=+n

n n x x x

111111

311)11(11+++==-=-=-=+=∴∑∑n n k n k k n

k k n x x x x x x a 由164

6585

)85(,858152,94

2432>=+>>==x x x 由递推关系可得数列单调递增可得12009>x

322009

2008

<-=<∴a a 即m 得值为2

6、（俄罗斯）数列}{n a 和}{n b 的定义是：n

n n n b b a a a b a ++===+1.2,11

n n n a b a b b ++=+11

，求证：52008>n n b a 下面用归纳法证明：

1111=+

-+n n b a （*） 1=n 时，显然有

111111=+

-+b a 假设等式对n 成立，我们来看1+n 时的情形：

11)1)(1(111111+-+=++-=+-+++n

n n n n n n n b a b a a b b a

由此即知（*）式对一切正整数n 都成立。如此一来，对每个n ，我们都有

116111>+

+=+n n b a 即5,61<<+n n a a 此即为证。（三）综合问题

7、（08女子奥林匹克）设正数列 ,,,,21n x x x 满足8)78(7

112=

-x x x 及)2()(7

81211≥-=----+k x x x x x x x k k k

k k

k k 。求正实数a ，使得当a x >1时，有单调性;21 >>>>n x x x 当a x <

k k x x x x x x x , 有

811

11--+-=-k k k k k k x x x x x x 即

71118

11281181=-==-=---+x x x x x x x x x k k k k k k 于是7

8>k x 时有,01<-+k k x x 即)1(1≥<+k x x k

k 而8187

7188

1887=≥+=-+k k k x x x ，当且仅当81

8=k x 时，等号成立。于是，取818=a ，则当8

8、（09全国联赛）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x p x q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()12

34n n n a p aq a n --=-= ，， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，1

q =

，求{}n a 的前n 项和．解：方法一：

(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ?=≠，又p αβ+=，所以 ()1212n n n n n a p x q x a a αβαβ

------=+-，()345n = ，，，整理得()112

n n n n a a a a βαβ

----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b

b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为： ()()2

121

b a a p q p ββαβαββαβα

()12n = ，，． ①当240p q ?=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，1

=，()12n = ，，．所以，数列n n a

α??????

成

公差为的等差数列，其首项为122a ααα

+………………………………………………………………………5分 ②当2

，()12n = ，，．所以，数列1n n a αβα+??+??-??

成公比为β

的等比数列，其首项为

2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以12

++-=-．………………………………………………10分

(Ⅱ)若1p =，14

q =

，则2

40p q ?=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}

n n n n s n ++=+++++ 以上两式相减，整理得1133

222

n n n s ++=-

所以3

n n n s +=-．…………………………………………………………………15分

方法二：

(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ?=≠，又p αβ+=，所以

1a αβ=+，222a αβαβ=

++．特征方程2

0p q λ

λ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()12

12n

n a A A n n α

=+= ，，由12a α=，223a α=得 ()()1222

12223A A A A αααα+=??

?+=??

解得121A A ==．故 ()1n

n a n α=

+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A An αβ

A A A A αβαβαβαβαβ+=+???+=++?? 解得1A αβα-=-，2A β

βα

=-．故

1111

n n n n n a αββαβαβαβα

++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．

三、强化训练

1、（09全国）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的

两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012? 【解析】易知：

(ⅰ)该数表共有100行；

(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为

11d =，22d =，232d =，…，98992d = (ⅲ)100a 为所求．

设第()2n n ?行的第一个数为，则

()22

111

222n n n n n n a a a a -----=++=+ 32

22222n n n a ---??=++?? 24223222222n n n n a ----??=++?+?? 32

3232n n a --=+?

…… ()12

212n n a n --=+-? ()212n n -=+

f x f f f f x ??=?????? ，则()()991f = ．【答案】

3、（10江苏初赛）设复数列}{n x 满足,0,1-=

a x n 且1

1+=+n n n x ax x 。若对任意*

N n ∈都有

,3n n x x =+则a

的值是________________ 解：由n n

n n n n n n n n x x a a x a x a x a x ax x x ax x =+++=++=+=+=++++++1)1(1)1(1,12

31122231恒成立。即0)1()1(2=-+++a x x a a n n 。因为1-≠a x n 或0，故012

a a a aa n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项解：其特征方程为2

441x x =-，解得1212x x ==，令()1212n

=+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=

5、已知数列{}n a 满足111

22,(2)

21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项解：其特征方程为221

x x x +=

+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=?++ 由12,a =得2

45a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ??-??+??

是以1111

13a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?+

??，3(1)3(1)n n n n n a --∴=+- 6、

已知数列}{n a 满足)1(1245,011≥++==+n a a a a n

n 试求数列}{n a 的通项公式。

解：将条件左右平方移项可得 0)1(102

1=-+-++n n n n a a a a 同理可得0)1(102

121=-+---n

n n n a a a a 由此可见11,-+n n a a 是方程0)1(102

2=-+-n n a x a x 的两根，从而有 )2(101

1≥-=-+n a a a n n n 该式的特征根方程为：01102

=+-x x ，两个特征根为625±

故可设通项n

n n

B A a )625()625(-++= 代入1,021=

=a a 解得)625(24

6),625(246

+-=-=B A 所以])625()625[(24

1----+=n n n

a 7、数列}{n a 定义如下：)1(,3,21

221221≥+===-+m a a a a a m m m )2(22

2122≥+=--m a a a m m m 求}{n a 的通项。解：由已知消去222,-m m x x 得32121224--+-=m m m x x x 令12-=m n ，则 1124-+-=n n n x x x 其中3,121=

=x x 由特征根方程可得1

1)22(4

24)22(424----+++=n n n

x n 为奇数同理可得n x n n n

,)22(4

122)22(4122---++=为偶数。 8、

n n n n n b a b b a a ,3,2,1,0=n ，求证：),3,2,1,0( =n a n

是完全平方数。解：由已知可得4,411=

=b a 且当1≥n 时 )347](3)12[(3)12(11++-=+-++n

n n n b a b a 以此类推可得n

n n n b a b a )347()347](3)12[(3)12(111+=++-=+-- 同理可知n

n b a )347(3)12(-=-- 从而2

)32()32(-++为偶数，故),3,2,1,0( =n a n

是完全平方数。

9、

已知)2(332,1,12

1210≥++==-=--n a a a a a n

n n n 求}{n a 的通项。解：设 +++++=n

n x a x a x a a x f 2

210)( 则 -----=--n

n x a x a x a x xf 12

10222)(2 +----=--n

n x a x a x a x f x 23

233)(3

------=--

n x x x x

333131122 以上四式相加，并利用条件得 2

x B x A x x x x f -+-++=-+-=

则43|)31)((,16

|)1)((3

=-=-=+==-=x x x x f C x x f A B

)31(1621)1(167)(x x x x f -+--+-= n

n n x n ]167)1(3)34([0

∑∞

=+?--?-= 故]7)1(3)34[(16

组合几何问题是高级别数学竞赛中较常见的一类新颖有趣的问题类型。简而言之，它是几何中的组合问题，这类问题的求解需要的平几知识少之又少，更多的是需要聪敏与智慧。

以下，我们以实例分析来了解组合几何问题处理的一些基本方法与技巧。

例1，设A 、B 都是平面上的有限点集，A B φ= ，A B 中无三点共线，{}

m a x ,5

A B ≥. 求证：存在一个三角形，它的顶点全在A 中或全在B 中，且它的内部不含另一集合中的点。

分析：记符合题中要求的三角形为“好三角形”。不妨设5A ≥

先对5A =的情形讨论，设{}12345

,,,,A A A A A A =，连接这五点的凸包，针对凸包形状进行分析：

（1）凸包为五边形（如图1）

若△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4，△A 1A 4A 5这三个三角形至少有一个为“好三角形”，则问题已解决；若△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4，△A 1A 4A 5都不是“好三角形”，则这三个三角形的每个都至少含B 中的一个点，依次记为B 1、B 2、B 3，连接而成△B 1B 2B 3必是“好三角形”.

（2）凸包为四边形（如图2）若△A 1A 2A 5，△A 2A 3A 5，△A 3A 4A 5-，△A 4A 1A 5这

四个三角形至少有一个为“好三角形”，则问题已解决；

若△A 1A 2A 5，△A 2A 3A 5，△A 3A 4A 5-，△A 4A 1A 5均不是“好

三角形”，则这四个三角形的每个都至少含B 中的一个

点，依次记为B 1、B 2、B 3、B 4，由于A ∪B 中无三点共

线，则△B 1B 2B 3与△B 1B 2B 4至少有一个为“好三角

形”. （3）凸包为三角形（如图3）

若△A 1A 2A 4，△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 5-，△A 3A 5A 1，△A 1A 4A 5这五个三角形至少有一个为“好三角形”，则

问题已解决；若△A 1A 2A 4，△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 5-，△A 3A 5A 1，

△A 1A 4A 5均不是“好三角形，则它们中的每个都至少

含B 中一个点，依次记为B 1、B 2、B 3、B 4、B 5. 由于A ∪B 中无三点共线，则上述中5点必有3个点位于直线A 4A 5的同侧，将其连接成△，此△必是“好三角形”.

对5A >的情形，我们总可找到一个五点集A′（先取A 中两点A 1，A 2，不妨设直线A 1A 2右下方再无A 中点，将置两点A 1与A 2于A′中，作射线A 1A 2，将A 1A 2按逆时钟方向旋转至经过A 中五点即止，可得A′），对A′利用上述寻找“好三角形”的方式即可。

点评：问题的关键是针对不同的情形找出“好三角形”，“找”是需要技巧和智慧的，不同的环境，“找”法不一样，值得好好体会。

例2.已知一个凸多边形，它的任意两边都不平行，对它的每一条边都取距它所在直线最远的一个顶点。证明：所有顶点对相应的边的张角和为180°。分析：记P a 为凸多边形的边a 所在直线与凸多边形顶

点距离最大的顶点.

在平面上任取一点O ，设a 边两端点A,B 过O 作一对顶角，使两直线分别与PaA 、PaB 平行，于是凸多边形的每一边均对立着一个对顶角区域. 首先证明：不同边的对应角互不重叠：反设存在两边a 、b ，它们对应的两个对应角出现重叠，

在重叠区域内取一条射线过Pa 作与平行的直线交a 边于 D.

由Pa 性质知，PaD 是凸多边形顶点中自顶点引与平行的直线与a 边所在直线相交所得线段中最长的线段，并且凸多边形位于直线AB 与过Pa 与AB 平行的

直线m 之间，相对于b 边来说，重复前述过程也可得到PaC 为与平行且相对于b 边最长的线段，而由Pa 相对于a 的惟一性知，a 与b 为同一边，矛盾！其次，再证明构造的这些对顶角区域覆盖整个平面：

若不然，则存在以O 为顶点的某个角不被我们所构造的任何一个角区域覆盖。在这个角中，取以O 为端点的射线n ，使它不平行多边形的任意一条边和对角线取所有的n 的平行线截多边形所得线段中的最长的线段，显然，它的一个端点P 是多边形的

一个顶点，而它的另一端点A 必位于多边形的某a 边上，设a 边所在直线a ，过P 作直线l p //a l ，我们来证明凸多边形的顶点不可能落到l p 与l a 所夹带形区域外。

如果顶点P′在带形区域外，由于A 是a 边上的内点（非端点）.连p p '，则一定存在点p ''，使p ''在线段p p '上，B 是a 边的内点，

满足//PB n ''且P B P A

''>这与PA 性质相违。这样一来，我们构造的对角区域既不重叠又覆盖整个平面，它们的和等于360°，而这正是问题中角度和的2倍。

本题我们将问题中的各角分别去对应一个对角区域的想法需要有敏锐的洞察力，这种能力是一个数学竞赛爱好者所必须的。

例3 平面上任给n 点12,,,n PP P ，其中任意三点不共线，将每个点(1)i P

i n ≤≤任染红蓝两色之一，设S 是顶点集合为{}12,,,n

P P P 的三角形的集合，且具有性质：对任意两条线段i j P P 及u v P P ，S 中以i j P P 为边的三角形的个数与以u v P P 为边的三角形的个数相同。试求最小的ｎ，使得在Ｓ中总有两个三角形，每一个三角形的顶点有相同的颜色。

分析：设S 中以i j P P 为边的三角形的个数是k ，则k 是正整数且与,i j 无关。因i j P P 共有2

n k C 个三角形)。设S 中有x 个顶点同色的三角形，则S 中不同色的三角形的个数是21

n kC x -。同时，每个顶点不同色的三角形产生两条端点异色的线段，故S 中端点异色的线段共有2

12()3

n kC x -条。

另一方面，设1,,n P P 中n 个点染红，2n 个点染蓝，12n n n +=。由假设知每条端点异色的线段在S 的全体三角形中出现k 次，

"P P ＇ l P

A a l a

故这样的线段共有12k n n 条。因此2

n k k x C n n nn n n =-=-- 2212

(3())(1)

6264nn k k n n n n +≥--=- (4)24

n x n ?≥-≥=> (因1k ≥)，即2x ≥。所以8n ≥。

当7n =时结论不一定对，例如将1、2、4三点染红，3、5、6、7染蓝，则三角形集合

{}{}{}{}{}{}{}

1,2,4,2,3,5,3,4,6,4,5,7,5,6,16,7,2,7,1,3符合要求(每条边出现在一

个三角形中)，但没有两个同色顶点三角形。

题解中组合计数是基本的要求，不等式放缩这类代数功夫又是问题解决的关键。例4 在平面上给定一点O 和一个之边形F ，F 不一定是凸的，P 为F 的周长，D 为O 点到

F 的顶点的距离之和，H 为O 点到F 的各边所在直线的距离之和。证明：

p D H -≥。分析：设F 各顶点依次为1

2A 、…、n A ，O 点到边1k k A A -所在直线的垂线的垂足为

,1,2,,k

H k n = (视11n A A -=)，由勾股定理，有 222222

11,k k k k k k k k

O A O H A H O A O H A H ++-=-= ∴224()D H -

[()()][()()]

D H D H D H D H =+++?-+- 11

[()()]n n n n

k k k k

k k k k O A O H O A O H +=====+++∑∑∑∑

111

[()()]n n n n

k k k k

k k k k O A O H O A O H +====?-+-∑∑∑∑ 11

[()()]n

k k k k

k k O AO H O A O H +===+++∑∑

[()()]n n

k k k k

k k O AO H O A O H +==?-+-∑∑ 2

111

[()()()()]n

k k k k k k k k

k k O A O H O A O H O A O H O A O H ++==≥+-++-∑∑(柯西不等式)

111

()n n

k k k k k k A H A H +===+∑∑ 2

()n

k k k AA p +=≥=∑即2

4p D H -≥ 例5 平面上(3)n n ≥条不共点的直线将平面划分为若干块，记含有2条边的区域的个数为，求的最大值。

，求的最大值。分析：作一充分大的圆O ，使直线交成的所有交点都在圆O 内，设圆O 与n 条直线的交点按逆时针方向依次为122,,,n A A A 。记与圆交于A 的直线为(1)i a i n ≤≤，它与圆的另一个交点分别为n i A +(因为每条直线与其他1n -个点)，我们证明a 与1

+同时相交，设交点为Q 、R(如图)。不防设点Q 在射线i

P A

上，注意到1A A i i a +不穿过弧,从而点R 在射线i P A 上，所以a 同时与射线i P A 、1i P A +相交，

从而a 与1

i a

+最多交成一个角形区域1n i n i A P A +++∠，所以2F n ≤。

其次，如图，作n 条直线011,,,n aa a - 交于同一点P ，再将其中一条直线0a 平移到，使不过点P ，则n 条直线12,,,n a a a 划

分的平面块中，有2F n =，故的最大值为n 。使不过点P ，则n 条直线12,,,n a a a 划分的平面块中，有2F n =，故的最大值为n 。

本题所用的组合极值问题最常用的方法：先证明2F n ≤，再构造一个2F n =的实例。

例6 求证：平面上存在一个点，它到平面上各个格点的距离互异。

分析：我们先想法求出一个点(,)P a b ，使它到平面上各个格点的距离互异，假定(,)P a b 合乎条件，我们来寻找满足的一个充分条件，使对任何两个互异的格点1122

(,)(,)x y x y ≠，有2

1122()()()()a x b y a x b y -+-≠-+-。若存在互异的格点1122

(,)(,)x y x y ≠，使2222

1122()()()()a x b y a x b y -+-=-+-，则由2

1122

()()()()a x b y a x b y -+-=-+-，得 2222

12121122

2()2()a x x b y y x y x y -+-=+-- (*) 这里我们只须找到一组(,)a b ，使(*)式不成立。为此，取a 为无理数，b 为有理数，则由于2

1122x y x y +--、122()b y y -都为有理数，所以由(*)式可知，122()a x x -为有理数。又a 为无理数，必有120x x -=。于是(*)式变为1212122

()()()b y y y y y y -=-+。注意到1122

(,)(,)x y x y ≠，而12x x =，所以12y y ≠，于是122b y y =+，所以2b 为整数。

由上可知，取a 为无理数，b 为有理数，则必有2b 为整数。我们要破坏这一性质是很容易的，只需取适当的无理数a ，有理数b ，使2b 不是整数。比如，取1

2,3

a b ==，则得到合乎条件的点1(2,)3

P 。

例7 求最小常数1a >，使得正方形ABCD 内部任一点P ，都存在△PAB ，△PBC ，△PCD ，

△PDA 中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间1

[,]a a -。

分析：我们首先证明min 152a +≤

，记15

?+=，不防设正方形边长为2，对正方形ABCD 内部一点P ，

令1234,,,S S S S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的面积，则1224S S S S +=+，不防设1324,S S S S ≥≥，且12S S ≥，则43S S ≥，于是1243

1S S μ=-，得21S μμ=+。故21211111

11S S λμλ??λμ?μ?

==>>==++++，矛盾。故{

}m i n ,λμ?≤，这表明min a ?≤。反过来对于任意(1,)a ?∈，取定15(,)2

t a +∈，使得2819t b t =

>+。我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b

15(,),22(1)4(1)S SS b b t a a S S St b b +==∈=>>>--，由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有

1[,]i

S a a S -?。这表明min a ?=。例8 将边长为正整数,m n 的矩形划分成若干个边长为正整数的正方形，每个正方形的边均

平行于矩形的边，求正方形边长之和的最小值。分析：记所求最小值为(,)f m n ，可以证明(,)(,)(*)

f m nm n m n =+- 其中(,)m n 表示m 和n 的最大的公约数。事实上，不妨设m n ≥。

(1) 对m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，

使所得正方形边长之和恰为(,)m n m n +-。当1m =时，命题显然成立。

假设当m k ≤时，结论成立(1)k ≥，当1m k =+时，若1n k =+，则命题显然成立。若1n k <+，从矩形ABCD 中切去正方形11AA D D (如图)，由归纳假设矩形11A BCD 有一种分法使得所得正方形边长之和恰为(,)(,)m n n m n n m m n -+--=-，于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为(,)m n m n +-。

(2)对m 归纳可以证明(*)成立。

D 1

A 1

当1m =时，由于1n =，显然 (,)(,)fm nm nm n =+-。假设当m k ≤时，对任意1n m ≤≤有(,)(,)fm nm nm n =+-。若1m k =+当1n k =+时显然(,)1(,)f

m n k m n m n =+=+-。当1n k ≤≤时，设矩形ABCD 按要求分成了P 个正方形，其边长分别为12,,,p a a a 。不妨12p

a a a ≥≥≥ ，显然1a n =或1a n <。若1a n <，则在AD 与BC 之间的与AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界)。于是12p

a a a +++ 不小于AB 与CD 之和。所以122(,)p

a a a m m n m n +++≥>+- 。若1a n =，则一个边长分别为m n -和n 的矩形可按题目要求分成边长分别为2,,p

a a 的正方形，由归纳假设2(,)(,)p

aa m n n m n n m m n ++≥-+--=- ，从而12(,)p

a a a m n m n +++≥+- ，于是当1m k =+时，(,)(,)fm n m nm n ≥+-，再由(1)可知(,)(,)fm nm nm n

=+-。先由一些初始的结论归纳出一般的结论，再用数学归纳法完成证明是处理一类有关正整数命题最常见的方法。

例9 平面上每个点被染为n 种颜色之一，同时满足：

(1) 每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上； (2) 至少有一条直线上所有的点恰为2种颜色。求n 的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆。

分析：由已知4n ≥，若4n =，在平面上取一定圆O 及上面三点A 、B 、C ，将弧AB(含A 不含B)，弧BC(含B 不含C)，弧CA(含C 不含A)，分别染为1、2、3色，平面上其他点染为4色，则满足题意且不存在四个互不同色的点共圆，所以5n ≥。

当5n =时，假设不存在四个互不同色的点共圆，由条件(2)知，存在直线上恰有两种颜色的点(设上仅有颜色1,2的点)，再由条件(1)知存在颜色分别为3,4，5的点A 、B 、C 不共线，设过A 、B 、C 的圆为O (如图)。

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第21讲从三角形的内切圆谈起

第二十一讲从三角形的内切圆谈起和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法．当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ．请读者给出证【例题求解】【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、

BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．

南京市2019年联合体二模数学

2019年中考模拟试卷（二）数学注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．下列运算结果正确的是 2．下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是 A ． B. C. D. 3．若式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上可表示为 4．一组数据2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是 A ．方差 B ．平均数 C ．中位数 D ．众数 5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 、B 为圆心，以相同的长（大于1 2 AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接CD ，则下列结论错误的是 A ．AD ＝BD B ．BD ＝CD C ．∠A ＝∠BE D D ．∠ECD ＝∠EDC 6．如图①，某矩形游泳池ABCD ，BC 长为25 m ，小林和小明分别在游泳池的AB 、CD 两边，同时沿各自的泳道朝另一边游泳，设他们游泳的时间为t （s ），离AB 边的距离为y （m ）， A ．2a －3a ＝a B ．(a 3)3＝a 6 C ．||2－3＝1 D ．2－1＝－2 A B C D 图② （第6题）图① D （第5题） A B C D E M N

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题）（4 （陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

2019年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

2019年我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分. 第一试 1、已知当x 的值分别为 2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2 －cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论. 2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2 =(AC+BD)(AC －CD). 3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数 (2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法. 第二试 1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n － 1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n), 则a n +a n －1+…+a 1+a 0= . 2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 . 3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 . 4、已知a 为整数,关于x 的方程1 ||41224+- +x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中, 和谐数的个数是 . 6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为 x 3x -70万元(0

2019全国高中数学联赛模拟试题(二

A A 1 1 1 图1 2019全国高中数学联赛模拟试题（二）第一试一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知集合()??????+=--=123,a x y y x A ，()()(){} 1511,2=-+-=y a x a y x B ．若?=B A ，则a 的所有取值是（A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4， 25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为（A ） 43 （B ）45 （C ）47 （D ）4 9 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个（B ）252个（C ）324个（D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则c b a a b ++-的最大值是（A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2 6、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况均有可能

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第14讲图第14讲图表信息问题51

第十四讲图表信息问题 21世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的基本要求．图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题．图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题．表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息，解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题．【例题求解】【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题： (1)慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车早小时到达6地； (2)快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时； (3)A、B两地间的路程是．思路点拨对于(2)，设快车追上慢车需t小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t的方程．注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取．【例2】已知二次函数c + =2的图象如图，并设M=b y+ ax bx + + - + 2， +2 - - + a a- a c b b b c a 则( ) A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0 思路点拨由抛物线的位置判定a、b、c的符号，并由1 x，推出相应y值的正负性． = ±

2019-2020学年联合体数学七年级试卷

2019-2020学年江苏省南京市联合体七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）|﹣3|结果为（） A．﹣3B．3C．D．﹣ 2．（2分）一袋面粉的质量标识为“100±0.25千克”，则下列面粉质量中合格的是（）A．100.30千克B．99.51千克C．99.80千克D．100.70千克3．（2分）下列合并同类项结果正确的是（） A．2a2+3a2＝5a2B．2a2+3a2＝6a2 C．2xy﹣xy＝1D．2x3+3x3＝5x6 4．（2分）如图正方体纸盒，展开后可以得到（） A．B． C．D． 5．（2分）某种商品的进价为100元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润16元，则标价为（） A．116元B．145元C．150元D．160元 6．（2分）下列等式成立的是（） A．﹣a﹣b＝﹣（a﹣b）B．（a﹣b）2＝（a+b）2

C．（﹣a﹣b）3＝﹣（a+b）3D．（﹣a﹣b）4＝﹣（a+b）4 7．（2分）下列说法错误的是（） A．同角的补角相等 B．对顶角相等 C．锐角的2倍是钝角 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8．（2分）下列说法： ①﹣a＜0；②|﹣a|＝|a|；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（） A．①②B．②③C．①③D．③④ 二、填空题（每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9．（2分）﹣2的相反数是，﹣2的倒数是． 10．（2分）点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和5，则线段AB的长度为．11．（2分）下列三个日常现象： ①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上； ②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程； ③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩．其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（填序号）． 12．（2分）已知x＝1是方程ax﹣5＝3a+3的解，则a＝． 13．（2分）马拉松（Marathon）国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为． 14．（2分）已知﹣1＜x＜0，则x、x2、x3的大小关系是．（用“＜”连接）15．（2分）若∠A＝68°，则∠A的余角是． 16．（2分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝62°，则∠DEF ＝°．

初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义

初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形 2018/4/7 一、基础知识： 1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接三角形或者平行四边形问题二、例题分析例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。

例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点在什么位置上，DE的中点M的位置不变。例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证：四边形ABCD是梯形。例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证： MP=QN。

高二数学竞赛模拟试题及答案

高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是（） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个可能的值是（） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（）（A ）相离（B ）相交（C ）相切（D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（）

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第15讲统计的思想方法

第十五讲统计的思想方法 20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求．统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学．随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律．【例题求解】【例1】现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示． (1)由观察所得，班的标准差较大； (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获分才可以及格．思路点拨对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．注：平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的： (1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势．【例2】已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A ．2a+3b B ．b a +3 2 C ．6a+9b D ．2a+b 思路点拨运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111，试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.

2019湖北重点高中联考协作体数学(理)

2019年秋湖北省重点高中联考协作体期中高三数学（理）试卷班级____________ 姓名_____________ 分数__________ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1.已知全集U={ -2，-1，0，1，2 }，集合 M= {N x 0,<2|2 ∈--x x x }，则=M C U （） A.{-2,1,2} B.{-2，-1,2} C.{-2} D.{2} 2.已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且2,222 21 21-=+=+z z z z ，则=||1z （） A.1 B. 2 C. 3 D.2 3.下列函数既不是奇函数又不是偶函数的是（） A. x y 2sin = B. x x e e y 1 += C. |1||1|++-=x x y D. x x y +=|| 4. 双曲线14 2 2 22=+--m m y m x (m>0)的离心率最小时，双曲线的渐近线方程为（） A. 02=±y x B. 02=±y x C. 03=±y x D. 03=±y x 5.执行如图所示的程序框图，若输入x 的数值是9,则输出的y 值为（） A. 1 B.9 C. 8 D.7 6.若7cos 3)3 cos(2+=- απ α，则=αtan （） A. 23 B. 23 - C. 23 D. 2 3 - 7.第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有A ，B ，C ，D ，E5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且A 和B 是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了 2人的概率是（） A. 21 B. 31 C. 4 1 D. 1 8.直三棱柱ABC —A1B1C1中，底面ABC 为等腰直角三角形且斜边BC = 2，D 是BC 的中点，若21=AA ，则异面直线A 1C 与AD 所成的角为（） A.30° B.45° C.60° D.90° 9.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量工(单位:克）与药物功效y(单位！药物单位)之间具有关系2 10x x y -=，检测这种药品一个批次的5个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为槡克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（） A.22药物单位 B.20药物单位 C.12药物单位 D.10药物单位 10.函数ωπ ω)(3 sin()(+ =x x f >0)，当],0[π∈x 时函数)(x f 的值域为]1,2 3 [ ，则函数)(x f 的最小正周期的取值范围是（） A. ]3,[ππ B. ]6,[ππ C.]6,3[ππ D. ]12,6[ππ 11.等腰三角形ABC 中，点D 在底边BC 上，AB⊥AD，BD = 8，CD=1，则△ABC 的面积为（） A. 4 7 9 B. 74 C. 47 27 D. 78 12.已知31 4,)11(,)11(=+=+=c b e a e π π ，其中e 是自然对数的底数，则的大小关系是（） A. c ＜a ＜b B. a ＜b ＜c C. c ＜b ＜a D.b ＜a ＜c 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知向量7||,3||),2,1(=-= -=b a c b a ，则=+||b a . 14.已知实数y x ,满足条件?? ? ??≥≥≤-+1 10 3y x y x ，则x y z =的最小值为 . 15.已知点A ，B 都在抛物线x y 42 =上，且关于直线0=-+m y x 对称，若4||=AB ，则实数=m . 16.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点在球O 的球面上，SA 丄平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，SA=AB=AC=2，D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.) 17.(12分）已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，首项1a >0,若54,3,a a a n 成等差数列且422+=a a n . (1)求数列{n a }的通项公式； (2) λ为整数，是否存在正整数n 使λπ210+=n n S a 成立？若存在，求正整数n 及λ;若不存在，请说明理由. 18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面A)CD ， AD//BC ， AB ⊥AD ，AD=2AB= 2BC=2,PA = 2,点 M 满足MD=2PM. （1）求证:PB//平面MAC; （2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（）个（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（）（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（）（A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（）个（A ）8个（B ）9个（C ）7个（D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于． A B F C E D · D C O B A

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第8讲由常量数学到变量数学

第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程．注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求．【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h．注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个。思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==。

全国初中数学竞赛模拟试题及答案

全国初中数学竞赛初赛模拟试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图）（第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是

A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有条. （第10题图） D F B A E C C

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算 [知识点击] 1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2．已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。解：