第5章 曲线拟合

样条曲线的使用方法完整版

样条曲线的使用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

创建高级曲线 曲线作为构建三维模型的基础，在三维建模过程中有着不可替代的作用，尤其是在创建高级曲面时，使用基本曲线构造远远达不到设计要求，不能构建出高质量、高难度的三维模型，此时就要利用UG NX中提供的高级曲线来作为建模基础，具体包括样条曲线、双曲线、抛物线、螺旋线等。 样条曲线是指通过多项式曲线和所设定的点来拟台曲线，其形状由这些点来控制。样条曲线采用的是近似的创建方法，很好地满足了设计的需求，是一种用途广泛的曲线。它不仅能够创建自由曲线和曲面，而且还能精确表达圆锥曲面在内的各种几何体的统表达式。在UG NX中，样条曲线包括般样条曲线和艺术样条曲线两种类型。 1．创建一般样条曲线 一般样条曲线是建立自由形状曲面（或片体）的基础。它拟合逼真、彤状控制方便，能够满足很人一部分产品设计的要求。一般样条曲线主要用来创建高级曲面，广泛应用于汽车、航空以及船舶等制造业。在“曲线”工具栏中单击“样条”按钮～，打开“样条”对话框，如图5-30所示。在该对话框中提供了以下4种生成一般样条曲线的方式。 ■根据极点 该选项是利用极点建立样条曲线，即用选定点建立的控制多边形来控制样条的形状，建立的样条只通过两个端点，不通过中问的控制点。 选择“根据极点”选项，在打开的对话框中选择生成曲线的类型为“多段”，并在“曲线阶次”文本框中输入曲线的阶次，然后根据“点”对话框在绘图区指定点使其生成样条曲线，最后单击“确定”按钮，生成的样条曲线如图5-31所示。

实验一 一元线性回归法拟合传感器的特性曲线

实验一一元线性回归法拟合传感器的特性曲线 一、 实验目的 1.了解应变传感器的特性、工作原理； 2.了解传感器的非线性修正方法； 3.掌握一元线性回归拟合的方法。 二、 实验内容 利用传感器实验台中的金属箔式应变片组成单桥电路，测出应变梁的变形量X，记下F/V表对应的输出值，然后按照一元线性回归法，求出回归方程，并判断回归方程的显著性。 测量系统的电路结构如图所示。 图（1） 三、 实验设备 直流稳压电源、电桥、差动放大器、双平行梁、测微头、一片应变片、F/V表、主、副电源。 备注：旋钮初始位置：直流稳压电源打到±2V档，F/V表打到2V档，差动放大器增益 最大。 四、 实验步骤 1.了解所需单元、部件在实验仪上的位置，观察梁上的应变片，应变片为棕色衬底箔式结 构小方薄片。上下两片梁的外表面各贴两片受力应变片和一片补偿应变片，测微头在双平行梁前面的支座上可以上、下、前、后、左、右调节。 2.将差动放大器调零：用连线将差动放大器的正（+）、负（—）以及“地”短接。将差动 放大器的输出端与F/V表的输入接口Vi 相连；开启主、副电源；调节差动放大器的增

益到最大位置，然后调整差动放大器的调零旋钮，使F/V表显示为零，关闭主、副电源。 3.根据上图（1）接线。R1，R2、R3为电桥单元固定电阻；Rx为应变片。将稳压电源的 切换开关置±4V档，F/V表置20V档，调节测微头脱离双平行梁，开启主、副电源，调节电桥平衡网络中的W1，使F/V表显示为零，然后将F/V表置2V档，再调电桥W1（慢慢地调），使F/V表显示为零。 4.将测微头转动到10mm刻度附近，安装到双平行梁的自由端（与自由端磁钢吸合），调 节测微头支柱的高度（梁的自由端跟随变化）使F/V表显示最小，再旋动测微头，使F/V表显示为零（细调零），这时的测微头刻度为零位的相应刻度。 5.往上或往下旋动测微头，使梁的自由端产生位移，记下F/V表显示的值。建议每旋动测 微头一周即△X=0.5mm记一个数值填入下表，根据所测得的结果找出它们之间的内在关系。 X (mm) Y(mV) X (mm) Y(mV) 五、 实验结果处理与分析 1.按照一元线性回归法，求Y对X的线性回归方程 2.确定回归方程的显著水平α和残余标准差σ； 3.用MATLab软件处理测量数据，并将传感器试验曲线与回归曲线同时绘制在一个坐标图 上。 六、 思考题 1.分析实验数据不在同一直线（拟合直线）上的原因。 2.观察测量数据间是否存在非线性因素的影响，分析其产生的原因，并提出提高回归分析 精度的途径与措施。

实验数据与曲线拟合

实验数据与曲线拟合 1. 曲线拟合 1. 曲线拟合的定义 2. 简单线性数据拟合的例子 2. 最小二乘法曲线拟合 1. 最小二乘法原理 2. 高斯消元法求解方程组 3. 最小二乘法解决速度与加速度实验 3. 三次样条曲线拟合 1. 插值函数 2. 样条函数的定义 3. 边界条件 4. 推导三次样条函数 5. 追赶法求解方程组 6. 三次样条曲线拟合算法实现 7. 三次样条曲线拟合的效果 4. 12.1 曲线拟合 5. 12.1.1 曲线拟合的定义 6. 曲线拟合(Curve Fitting)的数学定义是指用连续曲线近似地刻画或比拟平面上一组离散点所表示的坐 标之间的函数关系，是一种用解析表达式逼近离散数据的方法。曲线拟合通俗的说法就是“拉曲线”，也就是将现有数据透过数学方法来代入一条数学方程式的表示方法。科学和工程遇到的很多问题，往往只能通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，如果能够找到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程，使得实验数据与方程的曲线能够在最大程度上近似吻合，就可以根据曲线方程对数据进行数学计算，对实验结果进行理论分析，甚至对某些不具备测量条件的位置的结果进行估算。 7. 12.1.2 简单线性数据拟合的例子 8. 回想一下中学物理课的“速度与加速度”实验：假设某物体正在做加速运动，加速度未知，某实验人员 从时间t0 = 3秒时刻开始，以1秒时间间隔对这个物体连续进行了12次测速，得到一组速度和时间的离散数据，请根据实验结果推算该物体的加速度。 9. 表 12 – 1 物体速度和时间的测量关系表 10. 在选择了合适的坐标刻度之后，我们就可以在坐标纸上画出这些点。如图12–1所示，排除偏差明显 偏大的测量值后，可以看出测量结果呈现典型的线性特征。沿着该线性特征画一条直线，使尽量多的测量点能够位于直线上，或与直线的偏差尽量小，这条直线就是我们根据测量结果拟合的速度与时间的函数关系。最后在坐标纸上测量出直线的斜率K，K就是被测物体的加速度，经过测量，我们实验测到的物体加速度值是1.48米/秒2。

基于BP神经网络的曲线拟合

神经网络实验报告 基于BP网络的曲线拟合 学院：控制学院 姓名：李嘉頔 学号: 09423021 2015年6月

一、实验目的 ⑴ 掌握BP 神经网络的权值修改规则 ⑵ 利用BP 网络修改权值对y=sin(x)曲线实现拟合 二、实验要求 人工神经网络是近年来发展起来的模拟人脑生物过程的人工智能技术，具有自学习、自组织、自适应和很强的非线性映射能力。在人工神经网络的实际应用中，常采用BP 神经网络或它的变化形式，BP 神经网络是一种多层神经网络，因采用BP 算法而得名，主要应用于模式识别和分类、函数逼近、数据压缩等领域。 BP 网络是一种多层前馈神经网络，由输入层、隐层和输出层组成。层与层之间采用全互连方式，同一层之间不存在相互连接，隐层可以有一个或多个。BP 算法的学习过程由前向计算过程和误差反向传播过程组成，在前向计算过程中，输入信息从输入层经隐层逐层计算，并传向输出层，每层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。如输出层不能得到期望的输出，则转入误差反向传播过程，误差信号沿原来的连接通路返回，通过修改各层的神经元的权值，使得网络系统误差最小，最终实现网络的实际输出与各自所对应的期望输出逼近。 三、实验内容 3.1 训练数据导入 要对BP 网络进行训练，必须准备训练样本。对样本数据的获取，可以通过用元素列表直接输入、创建数据文件，从数据文件中读取等方式，具体采用哪种方法，取决于数据的多少，数据文件的格式等。 本文采用直接输入100个样本数据的方式，同时采用归一化处理，可以加快网络的训练速度。将输入x 和输出y 都变为-1到1之间的数据，归一化后的训练样本如下图： -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 3.2 网络初始化

最佳曲线拟合

第２７卷第１期２００９年２月江西 ＪＩＡＮＧＸＴ 科学 ＳＣＴＥＮＣＥ Ｖ０１．２７Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２０（）９ 文章编号：１１３０１—３６７９（２００９）Ｏｌ一００２５一０３ 最佳曲线拟合 巨正平１”，郭广礼１”，张书毕１’２，齐建伟１?２ （１．中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州２２１００８； ２．中国矿业大学资源环境信息工程重点实验室，江苏徐州２２１００８） 摘要：针对数字化地图曲线拟合的特点，提出了将采集点的纵、横坐标均看作观测值，依据各观测点到估计曲线的正交距离残差平方和最小作为拟合准则，采用附有参数的条件平差模型求观测值及参数的改正数。通过实例分析得出，此类方法不仅提高了曲线拟合精度，而且得到的结果更为真实、可靠。 关键词：最小二乘法；曲线拟舍；条件平差 中图分类号：Ｐ２０８文献标识码：Ａ ＴｈｅＢｅｓｔＣｎｒｖｅＦｉｔｔｉｎｇ ｊｕＺｈｅｎｇ—ｐｉｎ９１?２，ＧＵＯＧｕａｎｇ．１ｉ１’２，ＺＨＡＮＧＳｈｕ—ｂｉｌ＇２，ＱＩＪｉａｎ．ｗｅｉｌ，２ （１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｎｖｉｍｎｍｅｎｔＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＳｐａｔｉａｌＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣＵＭＴ，ＪｉａｎｇｓｕＸｕｚｈｏｕ２２１００８ＰＲＣ； ２．ＪｉａｎｇｓｕＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＲｅｓｏｕｒｃｅｓａｎｄＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣＵＭＴ，ＪｉａｎｇｓｕＸｕｚｈｏｕ２２１００８ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｆｏｒｄｉｇｉｔｉｚｉｎｇｍａｐ，ａｎｅｗｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｓｓｅｔｕｐ，ｗｈｉｃｈｉｓｒｅｇａｒｄｉｎｇｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓＸａｎｄＹａｓｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｖａｌｕｅａｎｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｈｅｓｑｕａｒｅｓｕｍｏｆｔｈｅｓｈｏｒｔｅｓｔｄｉｓｔａｎｃｅｆｒｏｍｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｓｃｕｒｖｅｔｏｔｈｅｍｉｎｉｍｕｍａｎｄｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｅｘａｍｐｌｅｓ，ｓｕｃｈｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｅｎｈａｎｃｅｄｃｕｌ＂ｖｅｆｉｔｔｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｍｏｒｅｔｒｕｔｈｆｕｌａｎｄｒｅｌｉａｂｌｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ，Ｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ，Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ—ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ０引言 在数字化地图的编绘中，常常会涉及到曲线的处理问题，常见的如等高线的绘制，水系、道路等不规则形状的表示，均要用到曲线。由于野外采集的数据总是有限的，因此，对曲线的处理，常用的方法有插值和拟合的两种。插值法是将采集的数据均当作无误差的状态来处理，而在测绘行业中，凡涉及到测量数据一般总存在误差，并且很多的时候又无法重新采集数据，如果利用插值法求曲线的近似表达式，当数据量相当大时，插值法不仅会导致数据计算上的诸多麻烦，而且高次插值会引起数据振荡，所以对曲线的处理应该采用拟合的方法。 目前的曲线拟合方法多采用最小二乘拟合法，拟合方向一般选择ｘ方向，而将ｙ坐标作为真值（如图ｌ所示）。实际上，无论是ｘ坐标还是】，坐标这两者均是观测值，都有偶然误差的影响，而且选择某一特定方向拟合值得商榷（特别是当采集的数据在拟合方向剧烈变化时，如图ｌ中的点８、９、１０、“、１２等）。对于曲线的最佳拟合，应综合考虑观测值在２个方向的联合影响，并使模型误差和测量误差对曲线拟合的影响减至最小。 收稿日期：２００８—１１一Ｏｌ；修订日期：２００８—１２—２９ 作者简介：巨正平（１９８２一），男，甘肃镇原人，在读硕士研究生，主要从事空间数据处理的学习与研究。

样条插值和曲线拟合

第三章 样条插值和曲线拟合 1．x y = 有如下的函数表 8。 解 先作差商表 4 167 1210 13 9 3 42015 11008 16012 4 60 13 1611 1 10 0-?- -- 故：8.2)48(5 1 2)8(1=-+=p 819047619.2) 98)(48(210 1 )48(512)8(2=----+=p 844444.2)98)(48)(18(3 4201) 48)(18(601 )18(311)8(3=---?+----+=p 6222.2)1(4781008 1478601) 18(86 1 )08(10)8(4=-???-??+---?+=p 已知 828427.28=，因此选定 )8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。 利用Neville 方法得: xi 8-xi f(xi) 2.8284271 8 0 8 1 7 1 -1.33333333 3.3333333 2.4 4 4 2 2.866666667 2.6222222 2.8 2.8444444 9 -1 3 2.819047619 2.8571429 16 -8 4 f(8)= 2.828427125 xi 8-xi f(xi) 8 0 8 1 7 1 -1 1/3 3 1/3 2 2/5 4 4 2 2 13/15 2 28/45 2 4/5 2 38/45 9 -1 3 2 86/105 2 6/7 16 -8 4 已知 828427.28=，故选定)8(,16,9,42321 p x x x ====2.819047619最接近8.

matlab曲线拟合人口增长模型及其数量预测·优选.

实验目的 [1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； [2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解 其中的数学模型； [4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。 应用实验（或综合实验） 一、实验内容 从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示： 表综2.1 用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。 二、问题分析 1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程： ?????==0 )0(d d x x rx t x 2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人 口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程： ?? ???=-=0)0()1(d d x x x x rx t x m

曲线拟合算法

曲线拟合算法： 本人进行测试通过，完全正常使用。 #region splined private void splined(PointF[] temp, ref ArrayList splinedPt) { double x, y, t; double px, py; int q = 3; int phi; int kaw; int naw; int n = temp.Length; int add; phi = 5; naw = n; add = 5 * (naw + q - 1) + 1; for (t = -phi + 1.0; t < naw + phi; t = t + 0.2) { x = 0.0; y = 0.0; for (kaw = -2 * phi + 1; kaw < naw + 2 * phi; kaw++) { px = 0; py = 0; if (kaw < 1) { px = temp[0].X; py = temp[0].Y; } if (kaw > naw) { px = temp[naw - 1].X; py = temp[naw - 1].Y; } if (kaw > 0 && kaw <= naw) { px = temp[kaw - 1].X; py = temp[kaw - 1].Y; } x = x + nqt(q, t - kaw) * px; y = y + nqt(q, t - kaw) * py; } PointF Point1 = new PointF((float)x, (float)y); splinedPt.Add(Point1);

动力学方程拟合模型(DOC)

动力学方程拟合模型 动力学方程拟合模型主要分为幂函数型模型和双曲线型模型。 在幂函数型动力学方程中，温度和浓度被认为是独立地影响反应速率的，可以表示为： 在双曲线型动力方程中强调模型方程中的吸附常数不能靠单独测定吸附性质来确定，而必须和反应速率常数一起由反应动力学实验确定。这说明模型方程中的吸附平衡常数并不是真正的吸附平衡常数，模型假设的反应机理和实际反应机理也会有相当的距离。双曲线型动力学方程的一般表达形式为 上述两类动力学模型都具有很强的拟合实验数据的能力，都既可用于均相反应体系，也可用于非均相反应体系。对气固相催化反应过程，幂函数型动力学方程可由捷姆金的非均匀表面吸附理论导出，但更常见的是将它作为一种纯经验的关联方式去拟合反应动力学的实验数据。虽然，在这种情况中幂函数型动力学方程不能提供关于反应机理的任何信息，但因为这种方程形式简单、参数数目少，通常也能足够精确地拟合实验数据，所以在非均相反应过程开发和工业反应器设计中还是得到了广泛的应用。 1.幂函数拟合 刘晓青[1]等人研究了HNO3介质中TiAP萃取Th（Ⅳ）的动力学模式和萃取动力学反应速率方程。 对于本萃取体系，由反应速率方程的一般形式可知： 可用孤立变量法求得各反应物的分反应级数a、b与c，从而确立萃取动力学方程。

第一步：分级数的求算 1.求a 固定反应物中TiAP和HNO3的浓度， 当TiAP的浓度远远大于体系中Th的初始浓 度时，可以认为体系中TiAP浓度在整个萃 取过程中没有变化而为一定値，则速率方程 可以简化为 两边取对数后得： ln{-d[Th-]/dt}=aln[Th]+ln1，用ln{-d[Th-]/dt} 对ln[Th]作图得到一条直线(r=0.9973)，其斜率即为a。结果如图1所示，从图中可知斜率为1.05，即此动力学速率方程中Th（Ⅳ）的分反应级数a=1.05。 2.求b和c 同求Th（Ⅳ）分反应级数类似，固定反应物中Th（Ⅳ）和HNO3的浓度，则速率方程可以简化为 固定反应物中Th（Ⅳ）和TiAP的浓度，则速率方程可以简化为 画图可得：

Bezier曲线和BSpline曲线拟合问题

. .. Bzeier曲线和BSpline曲线的插值拟合问题 目录 一、问题重述 (1) 二、Bezier曲线的插值和拟合 (1) 2.1 Bezier曲线的定义 (1) 2.2 Bezier曲线的性质 (2) 2.3 三次Bezier曲线的插值 (2) 2.3.1 工程应用中常用的三次Bezier插值的算法 (2) 2.3.2 改进的三次Bezier插值的算法 (3) 2.3.3 两种Bezier插值的算法比较 (4) 2.4 Bezier曲线的拟合 (4) 三、BSpline曲线的插值和拟合 (4) 3.1 BSpline曲线的定义 (4) 3.2 B样条性质 (5) 3.3 均匀B样条 (5) 3.4 三次B样条插值算法 (6) 3.4 结合实际情况的三次样条插值算法改进 (7) 3.5 两种BSpline插值的比较 (8) 四、Bezier曲线与BSpline曲线的区别和联系 (8) 五、上述算法在实际血管提取中的应用 (9)

一、问题重述 在图像中任意点两个点，软件能自动提取出以这两点为端点的一段血管，要求提取到的血管必须经过客户所点的两点作为提取血管的两个端点。 在OnGetEdge()的函数里，首先通过自动增长获取血管两条边缘的采样点数据，接下来的问题就是要拟合这些采样点，生成两条比较光滑的血管边缘曲线。得到的拟合（插值）曲线有以下4点要求： 1、精确插入客户所点的起始点终点，作为曲线的两个端点； 2、拟合的曲线具有较好的光滑性 3、具有较高的拟合精度和较快的拟合速度 4、要求拟合曲线点八连通 上述的实际问题转化为有序离散点的插值拟合问题。所谓插值拟合，就是通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做拟合。插值是曲线必须通过已知点的拟合。常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条函数插值等。 其中，样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。三次B 样条插值不仅运行速度较快，而且因为其分段连续带来的特有的卓越的性能，有效提高了血管边缘的平滑程度，锯齿状的现象大大减少。本文接下来将主要介绍Bezier 曲线和B 样条的插值拟合。 二、Bezier 曲线的插值和拟合 2.1 Bezier 曲线的定义 【定义1】n 次Bezier 曲线是由n+1个控制点和以Bernstein 多项式为基底共同生成的参数曲线，其数学表达式为：，其中， 0()(),[0,1]n n i i i B t d b t t ==∈∑为控制点，为Bernstein 基。 (0,...,)i d i n =()(1),0,...,n n i i i n b t t t i n i -??=-= ???Fig.1是一条三次的Bezier 曲线，有四个控制点。工程应用上常使用二次或三次Bezier 曲线做采样点的插值拟合以及制图设计。

多元线性回归与曲线拟合

多元线性回归与曲线拟合

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ?

第十章:多元线性回归与曲线拟合―― Regｒessioｎ菜单详解(上) 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中,此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系,人的体表面积与身高、体重有关系;等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。 §1０.１Lineaｒ过程 1０．1.1 简单操作入门 调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中,用户还可根据需要,选用不同筛选自变量的方法(如:逐步法、向前法、向后法,等）。 例１０.１:请分析在数据集Ｆat sｕrｆａctant.sav中变量fａt对变量spovl的大小有无影响? 显然，在这里spovl是连续性变量,而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法-－回归分析来解决它。 回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中,因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似,下面大家很快就会看到。 这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求,它必须是正态分布的变量才可以,我们可以用直方图来大致看一下,可以看到基本服从正态,因此不再检验其正态性,继续往下做。 １0．1.1.1 界面详解 在菜单中选择Regｒｅssiｏｎ＝=>liner，系统弹出线性回归对话框如下：

除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。 【Depｅndenｔ框】 用于选入回归分析的应变量。 【Blocｋ按钮组】 由Prevｉｏus和Ｎexｔ两个按钮组成,用于将下面Ｉnｄependｅnt框中选入的自变量分组。由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。下面的例子会讲解其用法。 【Indepenｄent框】 用于选入回归分析的自变量。 【Method下拉列表】 用于选择对自变量的选入方法,有Enteｒ(强行进入法)、Sｔeｐwisｅ(逐步法）、Reｍovｅ（强制剔除法)、Bacｋwａrd（向后法）、Ｆorwaｒd（向前法）五种。该选项对当前Independenｔ框中的所有变量均有效。

1、曲线拟合及其应用综述

曲线拟合及其应用综述 摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。 关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断 1背景及应用 在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。 曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。 2 基本原理 2.1 曲线拟合的定义 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2 曲线拟合的方法 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2.1 有理论模型的曲线拟合 有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。 2.2.1.1 线性模型的曲线拟合 线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为： ε β β+ + =x y 1 （1） 式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。 将n个实验点分别带入表达式（1）得到： i i i x yε β β+ + = 1 （2） 式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。 根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小： 2 1 1 ) ( i i n i i x y Jε β β- - - =∑ = （3） 将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即： ) ( 2 1 1 = - - - - = ? ?∑ = i i n i i x y J ε β β β （4）

第五章数据拟合.

第五章 数据拟合 这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y = f (x )，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近， 曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB 软件进行曲线拟合。 §1 最小二乘法 给定平面上的点(x i, y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。最小二乘法的原理是： 求 ∑∑==-==n i i i n i i y x f x f 1212])([),(δδ使 达到最小 如图1所示，其中δi 为点(x i ,y i )与曲线y=f (x )的距离。曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f (x )，使f (x )在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。最小二乘准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。拟合时选用一定的拟合函数f (x ) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等） )(),...,(),(10x x x m ???来线性表示： )(...)()()(1100x c x c x c x f m m ???+++= 图1 曲线拟合示意图 现在要确定系数c 0，c 1，…，c m ，使d 达到极小。为此，将f (x )的表达式代入d 中，d 就成为c 0，c 1，…，c m 的函数，求d 的极小，就可令d 对 c i 的偏导数等于零，于是得到m +1个方程组，从中求解出c i 。通常取基函数为1，x ，x 2，x 3，…，x m ，这时拟合函数f (x )为多项式函数。当m =1时，f (x ) = a + bx ，称为一元线性拟合函数，它是曲线拟合最简单的形式。除此之外，常用的一元曲线拟合函数还有双曲线f (x ) = a + b/x ，指数曲线f (x ) = a e bx 等，对于这些曲线，拟合前须作变量代换，转化为线性函数。

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

CO2响应曲线拟合方程

CO2响应曲线拟合方程 收集了5个CO2响应曲线拟合方程，供大家分享。 注意，Farquhar 的生化改进模型，Bernacchi 等（2003）还有一篇关于讨论活体参数的修正。 谢谢张老师，Bernacchi 等人一系列的文章我大多看过了。Stephen Long 这个实验室在光合作用方面的研究的确很出色，他们活体参数的修正方法使得光合参数的简便许多，大部分参数（如Г*）都是25oC 条件下获得，而我自己的试验材料大多是低温环境下生长的，一般在20oC 条件下测定。Stephen Long 等人还有一些文章讨论光合作用测定时需要注意的问题（如Journal of Experimental Botany ， 2003，54：2393-2401；Journal of Experimental Botany ，1996，47, 1629–1642），对初学者有很大帮助。 Charles Warren 和Ülo Niinemets 近年光合生态方面的研究异常出色，也有一些相关研究方法的探索。 很佩服无为在光合模型方面的见解和对生态学的热爱，希望以后能够有机会向你学习和请教。不知无为可否给个机会，我的qq ：114435505，emai ：wangkb313@https://www.wendangku.net/doc/04899485.html,. 呵呵，很诚心，勿见笑！ 自己学艺不精，想恶补一下，请问关于光响应曲线和CO2响应曲线的测定、拟合及相关参数的计算等方面有没有什么好的中文文献或中文教材？ 知道的请指点一下，万分感谢！ 我想算最大羧化速率但是我查了几个文献的米氏常数在25度时都不一样,郁闷! 谁能帮个忙,谢谢给我指路! 无为：非常抱歉迟到的回复，因前段时间一直在野外出差。我很愿意与大家共同交流学习。email: sbzhang@https://www.wendangku.net/doc/04899485.html, . 相关的中文文献或教材很少，上海植物生理生态研究所许大全老师在光合作用研究方面有极高的造诣。附件中是许大全老师的两篇论文，希望对你有用。另外我有他的一本专著，但因文件比较大，上传不了，如需要可以留下email ，我发给你。

曲线拟合方法浅析

曲线拟合方法概述 工业设计张静1014201056 引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行 比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 1 曲线拟合的概念 在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。 曲线拟合(Curve Fitting) ，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对(X i,y i), i=1 , 2, 3…，m，其中各X i是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y=f(x)来反映量x与y之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图 像称作拟合曲线。 2 曲线拟合的方法 2.1 最小二乘法 最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和 最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数 所表示的曲线的距离和最小即：

以曲线拟合预测我国经济发展和工资增长

关键词：最小二乘法；经济发展；工资增长；预测 中图分类号：f249.24 文献标识码：a 文章编号：1001-828x（2012）02-000-02 一、问题的重述 经济发展是伴随着经济结构、社会和政治体制变革的经济增长，即不仅意味着产出的增长，还意味着随着产出的增加而出现的产出与收入结构的变化以及经济条件、政治条件、文化条件的变化。在经济学中，常用gdp来衡量该国或地区的经济发展综合水平。这也是目前各个国家和地区常采用的衡量手段。而收入水平也在很大程度上影响着国家经济的发展，于是gnp也被看成是衡量国民经济发展情况的一个重要指标。 职工平均工资是反映一个国家或地区劳动者收入水平的重要指标。该指标在经济运行中的作用体现在以下几个方面：职工平均工资指标关系到劳动者目前乃至退休后的切身利益，对人口就业起到导向作用；职工平均工资数据也是政府部门制定最低工资标准、计算各项社会保险(基本养老保险、基本医疗保险、失业保险)、住房公积金缴费基数的依据；是法院在判定突发事件如工伤、车祸等对受害人给予经济补偿的参考依据。同时，通过各单位、地区或行业不同时期职工平均工资的对比，可以看出平均工资水平增减变动及存在差距。对企业来说，职工平均工资与企业平均利税、劳动生产率等有密切的联系。平均工资与平均劳动效率比较，可以判断工资水平和增长速度是否合理。可见，它既是反映职工生活水平高低的“晴雨表”，也是衡量是否正确处理国家、企业与个人三者利益关系的测量器。准确的职工平均工资，能正确地反映职工生活水平的高低，衡量出国家经济的发展状况。 二、需要解决的问题及问题分析 将在中国统计年鉴中收集到的1978-2009年全国gdp、gnp的相关数据转化为曲线，并通过对比曲线趋势图，简单、合理的预测未来我国经济发展态势。 作为收益与成本的复合指标――工资，是经济增长的一个决定因素，因此，工资的变动必然会影响经济增长。而在经济增长过程中，中国工资的变动及其调节与经济理论有很多出入的地方，需要进行有效的措施加以校正。以山东为例，通过对山东以前的经济增长与工资增长之间的关系进行相关研究中梳理得出，经济增长与工资增长之间存在内在关系，并对此关系进行了合理的分析与假设，从而对2011年至2035年的山东省职工的年平均工资作了简化、合理的假设。 三、模型的建立与求解 模型的假设：假定职工的平均工资与人均gdp保持同等的增幅。 (一)对未来中国经济、工资增长情况的分析与预测 1.对于未来中国经济发展和工资增长的形势，我们收集了相关资料，也进行了分析与讨论。 gdp：国内生产总值(gross domestic product)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标，是衡量一国经济发展的重要指标。 gnp：国民生产总值，是最重要的宏观经济指标，它是指一个国家地区的国民经济在一定时期(一般1年)内以货币表现的全部最终产品(含货物和服务)价值的总和，是衡量全国平均收入水平的重要指标。 在中国统计年鉴中收集到了1978-2009年全国gdp、gnp的相关数据，为了更清晰地了解该信息，将抽象的数据转化为了直观的曲线图，对比如下：

数据拟合

数据拟合 数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数()y f x =，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用Matlab 软件进行曲线拟合。 最小二乘法 给定平面上的点(,)i i x y ，(1,2,)i n =……，进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。最小二乘法的原理是： 求()f x ，使2 211[()]n n i i i i i f x y δδ====-∑∑达到最小。 如图1所示，其中i δ为点(,)i i x y 与曲线()y f x =的距离。曲线拟合的实际含义是寻求一个函数()y f x =，使()f x 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。最小二乘准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。拟合时选用一定的拟合函数()f x 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等）01(),(),()m x x x ???…… 来线性表示： 0011()()()()m m f x c x c x x ???=++……+c 图1 曲线拟合示意图 现在要确定系数01,,m c c c ……,，使δ达到极小。为此，将()f x 的表达式代入δ中，δ就成为01,,m c c c ……,的函数，求δ的极小，就可令δ对i c 的偏导数等于零，于是得到1m +个方程组，从中求解出i c 。通常取基函数为231,,,,,m x x x x ……，这时

数学建模曲线拟合

曲线拟合 摘要 根究已有数据研究y关于x的关系，对于不同的要求得到不同的结果。 问题一中目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小，利用MATLAB中t lsqcurvefi函数在最小二乘法原理下拟合出所求直线。 问题二目标为使绝对偏差总和为最小，使用MATLAB中的fminsearch函数，在题目约束条件内求的最优答案，以此方法同样求得问题三中最大偏差为最小时的直线。 问题四拟合的曲线为二阶多项式，方法同前三问类似。 问题五为求得最佳的曲线，将之前的一次曲线换成多次曲线进行拟合得到新的结果。经试验发现高阶多项式的阶数越高拟和效果最好。 ) 关键词：函数拟合最小二乘法线性规划 | < ￥

一、问题的重述 已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下： （1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。 （2）求拟合以上数据的直线a bx y +=，目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。 （3）求拟合以上数据的直线，目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。 （4）求拟合以上数据的曲线a bx cx y ++=2，实现（1）（2）（3）三种目标。 } （5）试一试其它的曲线，可否找出最好的？ 二、问题的分析 对于问题一，利用MATLAB 中的最小二乘法对数据进行拟合得到直线，目标为使各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。 对于问题二、三、四均利用MATLAB 中的fminsearch 函数，在题目要求的约束条件下找到最佳答案。 对于问题五，改变多项式最高次次数，拟合后计算残差，和二次多项式比较，再增加次数后拟合，和原多项式比较残差，进而找到最好的曲线。 ~