江苏省海安高级中学高一数学试卷()
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一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 在正三角形ABC 中,D 是BC 上的点,AB =3,BD =1,则AB AD ?=u u u r u u u r
▲ . 【答案】152
2. 已知向量()
1,3=-a ,则与a 反向的单位向量是 ▲ . 【答案】31,2??
- ???
3. 若()
π3sin 25θ+=,则cos2θ= ▲ .
【答案】725
- 4. 在△ABC 中,若sin sin sin a A b B c C +<,则△ABC 的形状是 ▲ . 【答案】钝角三角形
5. 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2sin c a C =,bc =4,则△AB C
的面积等于 ▲ . 【答案】1
6. 如图,在直角梯形ABCD 中,AB //CD ,AB =2,AD =DC =1,P 是线段BC 上一动点,
Q 是线段DC 上一动点,DQ DC λ=u u u r u u u r ,()1CP CB λ=-u u u r u u u r ,则AP AQ ?u u u r u u u r
的取值范围是
▲ .
【答案】[0,2]
7. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A 、B 、C 的对边,若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=,则角B 为 ▲ . 【答案】30°
8.若5π3π,42θ??
∈????1sin 21sin 2θθ-+可化简为 ▲ .
【答案】2cos θ
9. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且7453n n A n B n +=
+,则使得n n
a
b 为整数的正整数n 的个数是 ▲ . 【答案】5
10.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中,则第20行第3列的数字与第20行第2列数
字的和为 ▲ .
【答案】312
11.正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中,如图所示,设A α∠=,若1441S =,
2440S =,则sin2α= ▲ .
【答案】110
12.已知函数()()10,0f x ax x a x =+>>在x =2时取得最小值,则a = ▲ .
【答案】14
13.已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域是[)0,+∞,则19a c +的最小值是 ▲ .
【答案】3
14.如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和()
11,b a
,那么称这两个不
A
B
C
D
E
F
S 1
α
A
B
C
P
N
F S 2
α
M
Q
等式为“对偶不等式”.如果不等式220x x θ-?+<与不等式224sin 210x x θ+?+<为“对偶不等式”,且()
π,π2
θ∈,那么θ= ▲ .
【答案】5π6
二、解答题:本大题共6小题,计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)
已知平面向量()1,x =a ,()23,x x =+-b ,x ∈R . (1)若a ⊥b ,求x 的值; (2)若a ∥b ,求|a -b |的值.
【答案】(1)x =-1或x =3;(2)2或 16.(本小题满分14分)
已知函数()2cos sin cos f x x x x =+,x ∈R . (1)求()
π6
f 的值;
(2)若3sin 5α=,且()π,π2α∈,求()
π224f α+.
【答案】(1;(2
17.(本小题满分14分)
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,且()
2cos cos b A C =. (1)求角A 的大小;
(2)若角π6B =,BC 边上的中线AM ,求△ABC 的面积.
【答案】(1)π6;(2
18.(本小题满分16分)
设函数()2f x x a =-,a ∈R .
(1)若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<,求a 的值; (2)若存在0x ∈R ,使()003f x x +<,求a 的取值范围. 【答案】
(1)a =1;(2)32a <
19.(本小题满分16分)
某校要建一个面积为450平方米的矩形球场,要求球场的一面利用旧墙,其他各面用钢筋网围成,且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口(如图).设矩形的长为x 米,钢筋网的总长度为y 米.
(1)列出y 与x 的函数关系式,并写出其定义域; (2)问矩形的长与宽各为多少米时,所用的钢筋网
的总长度最小?
(3)若由于地形限制,该球场的长和宽都不能超过25米,问矩形的长与宽各为多少米
时,所用的钢筋网的总长度最小?
【答案】(1)()900
30150y x x x
=
+-<< (2)长为30米,宽为15米,所用的钢筋网的总长度最小. (3)长为25米,宽为18米时,所用的钢筋网的总长度最小 20.(本小题满分16分)
已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且满足()
22n n S a n n *=-∈N . (1)求数列{}n a 的通项n a ;
(2)若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+,n T 为数列2n n b a ????+??
的前n 项和,求证:12n T ≥.
【答案】(1)122n n a +=-;