大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标
准
The latest revision on November 22, 2020
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．1
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为
AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m
=（ ）
A ．31+
B ．21+
C ．231-
D ．221-
3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1
2
BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则
AE
AC
=（ ） A ．2
5
B ．3
5
C ．
3
7
D ．
47
4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ）
A ．23
B ．22
C ．4
D ．31+
5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，
有（ ） H
O
B
C
A
（第4题图）
（第2题图）
E
G
B D （第3题图）
A ．0对
B ．2对
C ．4对
D ．6对 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。
7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。若函数4
y x
=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。
8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。若1O ⊙、2O ⊙的半径都是r ，则
r = 。
9．若实数x 满足[][][]232018x x x ++=，则[]4x = 。其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：
把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n 个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成
A
B
O 1
O 2
C
D
（第7题图） （第8题图）
这n 个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．已知二次函数224y x bx c =-+的图像交x 轴于1(0)A x ，
、2(0)B x ，两点，且211226
5
x x x x +=。若函数224y x bx c =-+在13b x b +≤≤+上的最小值为6-，求b ，c 的值。
12．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB AD =，M 是BC 边的中点，点N 在对角线
BD 上，且满足BAN CAM ∠=∠。
求证：MN AC ∥。
（第12题图）
13．已知关于x的方程299990
--+=的两根都是素数，求k的值。
x kx k
14．一个由36个单位小方格组成的66
?的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．1 【答案】 A
【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。因此，2310m m ++=。 ∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为
AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m
=（ ）
A ．31+
B ．21+
C ．231-
D ．221- 【答案】 B
【解答】依题意，点C 坐标为()2m
m ，，点F 的坐标为
()2
m
n n -+
，。 由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得
2
22
()2
m am m n a n ?=???
?+=-??，消去a ，得2220n mn m --=。 （第2题
图）
∴ 2()210n n m m -?-=
，解得1n
m
=（舍负根）。
∴
1n
m
=。
3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1
2
BD BC =
，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AE
AC
=（ ）
A ．25
B ．35
C ．37
D ．47
【答案】 D
【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵ G 为ABC △的重心，且1
2
BD BC =
， ∴ F 为BC 中点，且2
1
AG GF =，DB BF FC ==。
过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M 。 则
13CM CF CE CD ==，2
1
AE AG EM GF ==。 设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =。 ∴ 7AC k =，
44
77
AE k AC k ==。 另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵ G 为ABC △的重心，且1
2
BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且2
1
AG GF =，DB BF FC ==。 ∴
23FD DC =，2
1
AG GF =。 在AFC △中，利用梅涅劳斯定理，得
1FD CE AG
DC EA GF
??=。 （第3题图）
（第3题答题图）
（第3题答题
∴ 22131CE EA ??=，34
CE EA =。
∴ 4
7
AE AC =。
4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径为2，则AH =（ ）
A
．
．．4 D
1 【答案】 B
【解答】如图，连结BO 并延长交O ⊙于点D ，连HC 、
CD 、DA 。
∵ O 为ABC △的外心，
∴ BD 为O ⊙直径，DC BC ⊥，DA AB ⊥。 又H 为ABC △的垂心， ∴ AH BC ⊥，CH AB ⊥。 ∴ AH DC ∥，CH DA ∥。
∴ 四边形AHCD 为平行四边形，AH DC =。 ∵ 45BAC ∠=?，ABC △外接圆的半径为2， ∴ 45BDC BAC ∠=∠=?，4BD =。 ∴
AH DC ==
5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对 【答案】 C
【解答】方程22419151x xy y -+=化为22(2)15115x y y -=-。 依题意，215115A y =-为完全平方数。 由2151150A y =-≥，得2151
15
y ≤
。结合y 为整数，得210y ≤。故，20y =，1，4，9。 当20y =时，215115151A y =-=，不是完全平方数。 当21y =时，215115136A y =-=，不是完全平方数。 当24y =时，21511591A y =-=，不是完全平方数。 当29y =时，2215115164A y =-==。
（第4题图）
∴ 方程化为22
9
(2)16
y x y ?=??-=??，即23(6)16y x =??-=?，或23(6)16y x =-??+=? ∴ 364y x =??-=?，或364y x =??-=-?，或364y x =-??+=?，或3
64y x =-??+=-?。
∴ 103x y =??=?，或23x y =??=?，或23x y =-??=-?，或103
x y =-??=-?。
∴ 满足方程的整数对有(103)，、(23)，、(23)--，、(103)--，，共4对。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。
【答案】 1297
【解答】依题意，设2(1)b c n +=-，则2a c n +=，2(1)a b n +=+，n 为正整数，且
1n >。
∴ 2
2
2
2
2()(1)(1)32a b c n n n n ++=-+++=+，可见n 为偶数，且232
2
n a b c +++=。
∴ 242n n a +=，222n b +=，242
n n
c -=。
可见，6n ≥，且当n 增大时，222a b c ++的值也随之增大。 又6n =时，30a =，19b =，6c =符合要求。 ∴ 222a b c ++的最小值为222301961297++=。
7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。若函数4
y x
=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。
【答案】 8
【解答】设()D D D x y ，，()E E E x y ，，则4D D E E x y x y ==。
作EF AB ⊥于F ，由E 为AC 中点，得F 为AB 中点，且11
22
EF BC AD =
=。 ∴ 2D E y y =。结合2E E D D D E x y x y x y ==?，得2E D x x =。 ∴ OA AF =，222D AB AF OA x ===。 ∴ 矩形ABCD 的面积28D D S AB AD x y =?==。
（第7题图）
8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。若1O ⊙、2O ⊙的半径都是r ，则
r = 。
【答案】
【解答】如图，设1O ⊙切ACD △的三边AC 、CD 、DA 依次于点G 、H 、E ，边DB 切2O ⊙于点F ，CD 、CB 的延长线切
2O ⊙于点M 、N 。
则由1O ⊙、2O ⊙的半径都是r ，ABC △为正三角形，以及切线长性质定理，得
AG AE ==
，8CH CG ==
，3
BF BN r ==
，83
CM CN r ==+
。 ∴
(8)(8)33
EF HM CM CH r r ==-=+
-= ∴
333
AB AE EF FB r r r =++=++=。 ∴
83
r =
，r =
9．若实数x 满足[][][]232018x x x ++=，则[]4x = 。其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
【答案】 1346
【解答】设x a m =+，其中a 为整数，01m ≤<。
则[][][][][][][][]232()3()623x x x a m a m a m a m m ++=+++++=++。
A
（第7题答题图）
（第8题图）
A
∵ 当103m ≤<时，[][]23000m m +=+=；当11
32
m ≤<时，[][]23011m m +=+=；
当
1223m ≤<时，[][]23112m m +=+=；当2
13
m ≤<时，[][]23123m m +=+=。 ∴ 对任意实数x ，[][][]23x x x ++的值具有形式：6k ，61k +，62k +，63k +，k 为整数。
∵ 201863362=?+，[][][]232018x x x ++=。 ∴ 336x m =+，其中
12
23
m ≤<。 ∴ [][][]44(336)43364134421346x m m =+=?+=+=。
10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：
把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n 个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n 个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 。
【答案】 9
【解答】设这n 个凸多边形中，有3k 个三角形，4k 个四边形，5k 个五边形，…，m k 个
m 边形。
则这n 个凸多边形的内角和为
345(32)180(42)180(52)180(2)180m k k k k m ?-??+?-??+?-??+
+?-??。
另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为360?。矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180?。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为90?。因此，这n 个凸多边形的内角和为63608180490??+??+??。
∴ 345(32)180(42)180(52)180(2)180m k k k k m ?-??+?-??+?-??+
+?-??
63608180490=??+??+??。
34523(2)22m k k k m k +++
+-=。 ……… ①
再考虑这n 个凸多边形的边数。
由于每个凸m 边形有m 条边，因此，这n 个凸多边形的边数和为
345345m k k k mk +++
+。
另一方面，由条件知，在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这n 个凸多边形的边数和为1821248?+=。
∴ 34534548m k k k mk ++++=。 ………②
由①、②，消去3k ，得452(3)9m k k m k ++
+-=。
∴ 49k ≤。
又如图所示的划分符合要求，此时，34k =，49k =。 ∴ 4k 的最大值为9，即这n 个凸多边形中，最多有9个四边形。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．已知二次函数224y x bx c =-+的图像交x 轴于1(0)A x ，
、2(0)B x ，两点，且211226
5
x x x x +=。若函数224y x bx c =-+在13b x b +≤≤+上的最小值为6-，求b ，c 的值。 【解答】∵ 函数224y x bx c =-+的图像交x 轴于1(0)A x ，
、2(0)B x ，两点， ∴ 1x ，2x 是方程2240x bx c -+=的两个实根。 ∴ 122x x b +=，122
c
x x =
。 ………………………… 5分 又22
22211212121212121212()2()2625
x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++===-=， ∴ 2426
252
b c -=，2109b c =。………………① ………………………… 10分 ∵ 222242()2y x bx c x b c b =-+=-+-，在13b x b +≤≤+上的最小值为6-。 ∴ 1x b =+时，6y =-。
∴ 2226c b +-=- …………② ………………………… 15分 由①、②，解得10c =，3b =±。
∴ 3b =±，10c =。 ………………………… 20分
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB AD
=，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足BAN CAM
∠=∠。
求证：MN AC
∥。
【解答】∵AB AD
=，
∴ADB ABD
∠=∠。
∴ACM ADB ABD ABN
∠=∠=∠=∠。
又CAM BAN
∠=∠，
∴ABN ACM
△∽△。
∴AB BN
AC CM
=…………①。
…………………… 5分
设AC、BD相交于点E，
∵BAE CAB
∠=∠，ABE ACB
∠=∠。∴ABE ACB
△∽△。
∴AB BE
AC CB
=。…………………②
…………………… 10分
又M为BC边中点，
∴CM BM
=，结合①，得AB BN BN AC CM BM
==。
结合②，得BE AB BN
CB AC BM
==，
（第12题图）
（第12题答题
图）
∴
BM BN
BC BE
=
。 …………………… 15分 ∴ MN EC ∥，即MN AC ∥。 …………………… 20分
13．已知关于x 的方程299990x kx k --+=的两根都是素数，求k 的值。 【解答】设方程299990x kx k --+=的两根分别为p 、q ，
则由韦达定理，知9999
p q k
pq k +=??=-+?，9999pq p q ++=。
∴ 44(1)(1)1000025p q ++==? ………… ① …………………… 5分 显然p ，q 都不等于2，因此，p ，q 都是奇数。 ∴ 2411
2522
p q ++?=?。 …………………… 10分 若
12p +，12q +中有一个数为奇数，不妨设12
p +为奇数，则 152
m
p +=，其中1m =，2，3，4。 当1m =时，9p =，不是素数，舍去； 当2m =时，49p =，不是素数，舍去； 当3m =时，249p =，不是素数，舍去。 当4m =时，1249p =是素数。此时，
21
22
q +=，7q =，也是素数。 ∴ 1249p =，7q =，1256k p q =+=，符合要求。 …………………… 15分 若12p +，12q +都是偶数，则
4
11544p q ++?=，不妨设p q ≤，则 当
0154p +=，4
154
q +=时，3p =，2499q =，q 不是素数，舍去；
当
1154p +=，3
154q +=时，19p =，499q =，p ，q 都是素数； 当
2154p +=，2
154
q +=时，99p =，99q =，p ，q 都不是素数，舍去； ∴ 19p =，499q =，518k p q =+=，符合要求。
综上所述，518k =，或1256k =。 …………………… 20分
14．一个由36个单位小方格组成的66?的方格表中的n 个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n 的最大值。
【解答】n 的最大值为8。
先考虑一个33?的方格表，其中有k 个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚举可以知道，k 的最大值为2。 ………………… 10分
并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。
将一个66?的方格表分成4个33?的方格表，由于每个33?的方格表中至多有2个红色小方格，于是248n ≤?=。 ………………………… 15分
另一方面，如下图所示的染色恰有8个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。
R
R
R
R R
R
R
R
R
R
R
R
综上所述，n的最大值为8。………………………… 20分