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汪荣鑫版数理统计习题答案chapitre1

100

==∑

i i x n x 34

11222

=-=∑

=n i i x x n s *i x i m 第一章

1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。

解：

2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布

求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。

解：

411

*==∑=l

i i i x m n x

67.181122*2

=-=∑=l

i i i x x m n s

32.467.18==s

3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差

为2

x ε。作变换c

x y i i -=

，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2y s 。试证：222

,y x s c s y c a x =+=。

解：由变换c

x y i i -=

，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n

i i

i i +=+=∑∑==,1

y c a x +=∴

而()()()

∑∑∑====-=--+=-=n

i y i n i i n i i x

s c y y n c y c a cy a n x x n s 1

22221212211

1 3 6 26 8 40 10 2

x i

m 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）：

1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然

后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。

解：作变换2000-=i i x y ，2000=a

44.24021649

11=?==∑=n i i y n y

444.2240=+=y a x

247.1970321122

22=-==∑=n i i y

y y n s s

5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下：

79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。

解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a

22913

11=?==∑=n i i y n y

02.80100280=+=+=y c a x

4122

2222103.5-=?=-==∑n i i y

y y n c s c s

6.容量为10的子样频数分布为

试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2

x s 的数值。

解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a

()5.11510

11*-=-?==∑=l i i i y m n y

23.5 26.1 28.2 30.4

85.2610)5.1(27=-+=+=y c a x

4025.4122*2222=-==∑=l

i i i y

y y m n c s c s

7.下面是100个学生身高的测量情况（以厘米计算）身高 154~158 158~162 162~166 166~170 170~174 174~178

178~182

学生数

试计算子样平均数和子样方差（各组以组中值作为子样中的数值）

解：

16611*==∑=l i i i x m n x ，44.3311

22*2

=-=∑=l i i i x x m n s

8.若从某母体中抽取容量为13的子样：1.2-,3.2,0,1.0-,1.2,4-,2.22,2.01,1.2,1.0-,

3.21,1.2-,0。试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。

解：顺序统计量为4-,1.2-,1.2-,1.0-,1.0-,0, 0，1.2，1.2，2.01,2.22，3.2, 3.21

0=me

21.7)4(21.3=--=R

添加2.7后，2.1=me

9.从同一母体抽得的两个子样，其容量为1n 和2n ，已经分别算出这两个子样的平均数

1X 和2X ，子样方差21s 和2

s 。现将两个子样合并在一起，问容量为21n n +的联合子样的平均数与方差分别是什么？

解：∑∑====

1,n i i

n i i

x x x x

∑∑==-=-=21122222

21212121

1,1n i i n i i x x n s x x n s

()

22112

x n x n n n x ++=

()

()2

22211212212

21211

1s n s n n n x x n n n n x x s n n i i +++-+=

∑

身高 156 160 164 168 172 176 180 学生数 10 14 26 28 12 8 2

10.某射手进行20次独立、重复的设射击，击中靶子的环数如下表所示：

试写出子样的频率分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

解：频率分布；

????????

?≥<≤<≤<≤<≤<=10

109,9.097,75.076,3.064,1.04,0)(*

20x x x x x x x F

11.利用第7题中数据作出学生身高的子样直方图。解：

12.设n X X X ,,,21?是参数为λ的泊松分布的母体的一个子样，X 是子样平均数，试求X E 和X D 。

解：λλλ=?==??? ??=∑∑--n n Ex n x n E X E p x n

i i n i i 111),(~1

n n n Dx n x n D X D n

i i n i i λλ=?==??? ??=∑∑==21

21111

13.设n X X X ,,,21?是区间)1,1(-上均匀分布的母体的一个子样，试求子样的平均数的均值和方差。

环数

4 频数 2 3 0 9 4 0 2

环数 10 9 8 7 6 5 4 频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1

解：3

122,0211),1,1(~2===+-=-Dx Ex U x

01111===??? ??=∑∑==Ex Ex n x n E x E n

i i n i i

n Dx n

x n D x D n i i 311

11=?=??? ??=∑=

14.设n X X X ,,,21?是分布为),(2σμN 的正态母体的一个子样，求

()∑=-=

i i X Y 1

μσ

的概率分布。解：()2

,~σμN

X ，则)1,0(~N x y

i i

，且n Y Y ,,1?之间相互独立

()∑∑∑====??? ?

?-=-=n

i n

i i i n

i i y x x Y 112

σμμσ

由2

χ分布定义)(~

2n Y χ，Y 服从自由度为n 的2χ分布。

15.设母体X 具有正态分布)1,0(N ，从此母体中取一容量为6的子样

),,,,,(654321X X X X X X 。又设()()2

6542321X X X X X X Y +++++=。试决定常数C ，

使得随机变量CY 服从2

χ分布。

解：)1,0(~N X ，)3,0(~3211N X X X Z ++=

)1,0(~3

1N Z ，()1~32

1χZ

6542X X X Z ++=亦服从)3,0(N 且与1Z 相互独立，且2χ相互独立。

)1,0(~3

2N Z ，()1~322

2χZ

由2

χ分布可加性

()

()2~3

1313322

2212

221χY Z Z Z Z =+=+，31=∴c

16.设()n X X X ,,,21?是分布为()

2,0σN 的正态母体中的一个子样，试求下列统计量的分布密度：

∑==n

i i X Y 12

1)1(； ∑==n i i X n Y 12

21)2(； 21

3)()3(∑==n

i i X Y ；

)(1)4(∑=n

i i X n 。

解：

)1,0(~,

),0(~2N X N X i

i σ

)1,0(~1),

,0(~1

N X

n n N X

i i

∑∑==σ

()()

1~;1~~;

~22

χσ

Y n Y n nY n Y

()()()()??

??<≥=???

??<≥=????

???<≥Γ=????

???<≥Γ=------0

,00,21

)4(0,00,21)3(0,00,)

2(2)2(0,00,)

2(2)1(2423222122221222212x x e x x f x x e x n x f x x e n x n x f x x e n x x f x

Y x

Y nx n n n

n Y x n n n Y σπσσ

σσ

πσ

πσσ

17.已知)(~n t X ，求证),1(~2

n F X 。

证：令)(~2

n t n

X χ=

，其中)1,0(~N U

)(~22n χχ，且U 与2χ独立，2U 亦与2χ独立

U X 22

χ=

，由F 分布定义知),1(~2

n F X

18.设m n n n X X X X X ++??,,,,,,121是分布为),0(2σN 的正态母体容量为m n +的子样，试求下列统计量的概率分布：

∑∑++===

n n i i

i i

X n

X m Y 1

11)1(；

∑∑++===

n n i i

i i X n X m Y 12

2)2(。

解：(1))1,0(~1

N n X n

i i ∑

=σ

，且)(~21

m m X m

n n i i χσ∑++=???

)(~)

1m t m

X n X Y m

n n i i n

i i ∑∑++==???

??=

∴σσ

(2))(~212

n n X n

i i χσ∑=?

)(~21

m m X m

n n i i χσ∑++=??? ??

)

,(~1

212

2m n F m X n X Y m

n n i i n

i i ∑∑++==??? ????? ??=∴σσ

19.利用2

χ分布的性质3近似计算()902

01.0χ。

解：26.12133.21809090290)90

(01.0201.0=?+=??+≈u χ 20.设()n X 2~

χ，试证：当n 很大时，对0>c 有{}??

??-Φ≈≤n n c c X P 2 其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数。

证：当n 很大时，X 近似服从)2,(n n N ，于是

)1,0(~2N n

X - {}??

??-Φ≈??

????-≤-=≤∴n n c n n c n n X P c X P 222