高一数学竞赛试题及答案
时间: 2016/3/18
注意:本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.
1.(本小题满分15分)
设集合{}
()()
{
}
2
2
2
320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈,
(1)若{}2A B =求a 的值; (2)若A
B A =,求a 的取值范围;
(3)若(),U U R A
C B A ==,求a 的取值范围.
2.(本小题满分15分)设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== (1)求证:;N M ?
(2))(x f 为单调函数时,是否有N M =?请说明理由.
已知函数4
4
4
)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2
,0[π
∈x 有最大值5,
求实数m 的值.
已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明你的结论.
已知二次函数)0,,(1)(2
>∈++=a R b a bx ax x f ,设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .
(1)如果4221<< 如图,直三棱柱111C B A ABC -中,12 1 AA BC AC = =,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1。 (1) 证明:BC DC ⊥1; (2) 求二面角11C BD A --的大小。 A B C D 1 A 1 B 1 C 7.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,设二次函数 f(x)=x2+2x+b(x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点.经过三点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围; (2)求圆C的方程; (3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论. 8.(本小题满分20分) 设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x=1对称, 对任意x 1,x 2∈[0, 21 ]都有).()()(2121x f x f x x f ?=+且f (1)=a >0. (Ⅰ));4 1 (),21(f f 求 (Ⅱ)证明)(x f 是周期函数; (Ⅲ)记),21 2(n n f a n +=求).(ln lim n n a ∞→ 9.(本小题满分20分)设)(x f 是R 上的奇函数,且当0>x 时,)10lg()(2 +-=ax x x f , R a ∈. (1)若5lg )1(=f ,求)(x f 的解析式; (2)若0=a ,不等式0)14()2(>+++?k f k f x x 恒成立,求实数k 的取值范围; (3)若)(x f 的值域为R ,求a 的取值范围. 高一数学竞赛试题参考答案 1、解:{ }2,1=A (1)∵{}2A B = ∴B ∈2 即,0)5(2)1222 2 =-+?+?+a a ( ,解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时, {} {}2044|2 ==+-=x x x B ② 当1-=a 时, {} {}2,204|2 -==-=x x B 综上{}3,1--∈a (2)∵A B A = ∴A B ? ① 当φ=B 时,则该一元二次方程无解,即△<0, ∴()[]0)5(4122 2 <-?-+a a ,即3- ② 当φ≠B 时,则该一元二次方程有解,即△≥0,即3-≥a 1. 当3-=a 时,{}2=B 2. 当3->a 时,该一元二次方程有两个不同实数根1和2 ∴ )1(221+-=+a ,即2 5- =a 5212 -=?a ,即7±=a (舍) ,∴综上(]3,-∞-∈a (3)∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A ① 当△<0时,即3-0时,即3->a ,所以只需B B ??21且 将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或 所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、 综上,a 的取值范围为 ()()()()() +∞+-+------ ---∞-,3131,11,3131,33 , 2、 3、解:4 2 2 2 2 2 )cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+= 4 2 )cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4 sin(2cos sin ∈+ = +=π x x x t , 则1cos sin 22 -=t x x ,从而12)1()1(2)(2 4 4 2 2 ++-=+--=t t m mt t x f 令]2,1[2∈=t u ,由题意知12)1()(2 ++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5. 当01=-m 时,12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5,故1=m 符合条件; 当01>-m 时,5122)2()(max =+?>≥g u g ,矛盾! 当01<-m 时,512)(≤+ 4、解 (1)若y =f (x )为偶函数, 则f (-x )=f (2-(x +2))=f (2+(x +2))=f (4+x )=f (x ), ∴f (7)=f (3)=0,这与f (x )在闭区间[0,7]上, 证明:(1)若M φ=,显然有;M N ? 若M φ≠,则存在0x M ∈,满足()00f x x =, 所以()()000f f x f x x ==???? ,故0x N ∈,所以;M N ? (2).M N =用反证法证明 假设M N ≠,由于M N ?,必存在1,x N ∈ 但1x M ?,因此()11f x x ≠, ① 若()11f x x >,由于()f x 为单调增函数, 所以()()11f f x f x >????,即()11x f x >,矛盾; ②若()11 f x x <,由于()f x 为单调增函数, 所以()()11f f x f x ???,即()11x f x <,矛盾。 综合①、②可知()11f x x =,因此1,x M ∈与假设矛盾, 所以假设不能成立,即.M N = 只有f (1)=f (3)=0矛盾;因此f (x )不是偶函数. 若y =f (x )为奇函数,则f (0)=f (-0)=-f (0), ∴f (0)=0,这些f (x )在闭区间[0,7]上, 只有f (1)=f (3)=0矛盾;因此f (x )不是奇函数. 综上可知:函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数. (2)∵f (x )=f [2+(x -2)]=f [2-(x -2)]=f (4-x ), f (x )=f [7+(x -7)]=f (7-(x -7))=f (14-x ), ∴f (14-x )=f (4-x ),即f [10+(x -4)]=f (4-x ) ∴f (x +10)=f (x ),即函数f (x )的周期为10. 又∵f (1)=f (3)=0,∴f (1)=f (1+10n )=0(n ∈Z), f (3)=f (3+10n )=0(n ∈Z), 即x =1+10n 和x =3+10n (n ∈Z)均是方程f (x )=0的根. 由-2 011≤1+10n ≤2 011及n ∈Z 可得n =0,±1,±2,±3,…,±201,共403个; 由-2 011≤3+10n ≤2 011及n ∈Z 可得n =0,±1,±2,±3,…,±200,-201,共402 个;所以方程f (x )=0在闭区间[-2 011,2 011]上的根共有805个. 5、解:设1)1()()(2