高一下学期数学期末考试难点总结及详解
高一（下）补充作业3
班学号 姓名
1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.
(1) 求cos B 的值；
(2)若|CA →－CB →|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.
解： (1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C
，C cos B ＋b cos C ＝3a cos B ，得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B ，(3分)
则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A.(5分)
又A ∈(0，π)，则sin A>0，(6分)
则cos B ＝13
.(7分) (2) 因为B ∈(0，π)，则sin B>0，sin B ＝
1－cos 2B ＝1－????132
＝223.(9分) 因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝2，(10分)
所以S ＝12ac sin B ＝12a ×2×223
＝22，得a ＝3.(12分) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13
＝9，则b ＝3.(14分) 2、在 △ABC 中，设 a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知向量 m ＝ (a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .
(1)求角 C 的大小；
(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．
解： (1)由m ∥n 及m ＝(a ，sin A － sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )
得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0，(2分) 由正弦定理，得：a ????a 2R ＋b 2R －(b ＋c )????c 2R －b 2R ＝0， 所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ，
由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab co C ，
所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以ab ＝－2ab cos C ，(5分) 因为ab >0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3
.(7分) (2)在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3
＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9.(9分) 所以ab ＝(a ＋b )2－9≤????a ＋b 22，所以
3（a ＋b ）24≤9， 即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)