高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用
第1讲 集合思想及应用
一、知识梳理
1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为?．
2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a
?A ． 3．集合表示法
列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．
描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．
4．集合的关系
子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．
真子集：如果集合A ?B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．
集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．
集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{}
)(x q x ．
如果A ?B ，则)()(x q x p ?．如果 )()(x q x p ?，则A ?B ．
5．集合的运算
交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．
并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．
补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：?U A ，读作：A 在U 中的补集．
二、方法归纳
1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{}
)(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．
2．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ，则有A ＝?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论．
3．数集的运算往往用数轴法．
4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ?B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （?）＝0．
5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )
Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )
－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )
6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1． 三、典型例题精讲
【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )
A ．4
B ．2或－2
C ．－2
D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，
但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．
答案：C
【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 又例:若3?{1，a ，2a }，求实数a 的范围．
答案：a ≠0，±1，3，±3
【例2】已知{}1+==x y y M ，{}
1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．
解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，
{}
1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ?．
答案：A
【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．
又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}
1),(22=+=y x y x B ，
则B A 的子集的个数是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．
答案：D
【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )
A ．A ?C
B ．
C ?A C ．A ≠C
D ．A ＝?
解析：∵A ?(A ∪B )，(B ∩C )? C
又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ?C ， 故选A ．
答案：A
【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ?(A ∪B )，(B ∩C )?C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．
集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )
解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，
∴N M ?U ．答案：B ．
【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．
解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，
将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，
从而A ＝{－3，4}．
将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．
∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ?A ．
∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．
∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，
∴?????
3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，
∴b ＝6，c ＝9．
故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．
【技巧提示】 由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．
【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ?A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )
A ．(2，＋∞)
B ．[0,1]∪[2，＋∞)
C ．[0,1)∪(2，＋∞)
D ．[0,1]∪(2，＋∞)
解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，
∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．
答案：A
【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5
x ＋2≥1}．
(1)求A 、B ；
(2)求(?U A )∩B ．
解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴?????
3－x ≤4
3－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}． 由5
x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．
∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．
(2)由(1)可得?U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(?U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．
【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．
又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(?U B )等于 (
) A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}
C ．{y |y ≥－2}
D ．{y |y ≤0}
解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，?R B ＝(－∞，0]，
所以A ∩?R B ＝{y |－2≤y ≤0}．
答案：A
【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．
(1)若A ?B ，求a 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝?，求a 的取值范围；
(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．
解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．
(1)当a ＝0时，B ＝?，不合题意．
当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足??? a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，
当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足??? 3a ≤2
a ≥4即a ∈?．
∴当A ?B 时，43≤a ≤2．
(2)要满足A ∩B ＝?，
当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；
当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，
∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝?，A ∩B ＝?也成立．
综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝?．
(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，
∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，
故所求a 的值为3．
【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．
(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来． 又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．
(1)若A 是空集，求m 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；
(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．
解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．
(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．
(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．
若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；
若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．
∴m ＝0或m ＝13．
(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足????? m ≠0△>0，
即????? m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．
四、课后训练
1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ?P ，则实数m 的数值为( )
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0，1或－1
2．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )
A ．M ∩N ＝{4，6}
B ．M ∪N ＝U
C ．(?U N )∪M ＝U
D ．(?U M )∩N ＝N
3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是
A ．?I S 1∩（S 2∪S 3）＝?
B ．S 1?（ ?I S 2∩?I S 3）
C．?I S1∩?I S2∩?I S3＝?D．S1?（?I S2∪?I S3）
4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____
5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?U A)∪(?U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n
6．设集合A＝{x|－1
2＜x＜2}，B＝{x|x
2≤1}，则A∪B＝()
A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－1
2＜x≤1}
C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}
7．设全集为U，且2011∈U，与2011?（A∪B）意义相同的是()
A．2011∈A∪B B．2011?A或2011?B
C．2011∈(?U A)∩(?U B)D．2011∈(?U A)∪(?U B)
8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()
A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}