天之间有某种共同的东西(数字2)时,数学就诞生了。

当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。

——伯特兰·罗素

蔡天新：数学与人类文明(一) 数学的起源埃及和巴比伦

一、数学的起源

1、记数的开始

如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。本来，对食物的需求出自人类的生存本能。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。

在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法，即石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。

在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。这则故事告诉我们，很可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数学，正如诗歌起源于乞求丰收的祷告，这两项人类最古老的发明均源于生存的需要。

说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄，这比起如今缅甸某些少数民族的妇女所保持的相似的习俗多了审美以外的含义。从前，英国酒保往往用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数，而西班牙酒保则通过向顾客的帽子里投放小石子来做这一计数，这两种不同的计数方法似乎也反映出这两个民族不同的个性：谨慎和浪漫。

后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。再后来，随着书写方式的改良，就形成了代表这些数的书写符号。最初，在诸如两只羊和两个人所用的语音和用词也是不同的。例如，在英语中team of horses （共同拉车或拉犁的两匹马），yoke of oxen （共轭的两头牛），span of mules（两只骡），brace of dogs（一对狗），pair of shoes（一双鞋），等等。至于汉语里的量词变化，那就更多了，且一直保留至今。

可是，人类把数2作为共同性质抽象出来，并采用与大多数具体事物均无关的某个语音来替代它，或许是经过了很长时间才实现的。如同英国哲学家兼数学家伯特兰·罗素所说的，“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”而在我看来，数学的诞生或许要稍晚一点，即是在人们从“2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2 + 3 = 5”之时。

2、数基和进制

当需要进行更广泛的数字交流时，就必须将计数方法系统化。世界各地的人们不约而同地采取了以下方法：把从1开始的若干连续的数字作为基本数字，以它们的组合来表示大于这些数字的数。换言之，如果大于1的某个数b作为计数的进位制或基（base），并确定出数目1，2，3，……，b的名称，则任何大于b的数均可以用这b个数的一个组合表示。

有证据表明，2，3和4都曾被当作原始的数基。例如，澳大利亚昆士兰州的原住民是这么计数的，“1，2，2和1，两个2，……”。某些非洲矮人是这么称呼最前面的6个自然数的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”这两种计数均为2进制，它的应用后来导致了电子计算机的发明。而阿根廷火地岛的一个部落和南美的其他一些部落则分别以数字3和4为基。

不难设想，由于人类的每只手和脚均有5个手指或脚趾，5进制一度得到了广泛的应用。至今某些南美部落仍用手计数，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。直到1880年，德国的农历仍以5为数基。1937年，在捷克摩拉维亚地区出土的一块幼狼胫骨上，几十道刻痕明显是以5进制排列的。而西伯利亚的尤卡吉尔人居住在世界上最寒冷的地方（勒拿河下游），至今仍采用一种类似于5-10混合进制的方式计数。

12也常被用来作数基，这可能与它被6个数整除有关，也可能是因为一年有12个溯望月。例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英镑是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。有意思的是，直到上个世纪70年代，中国乡村的秤还刻有两种进制，包括16进制。与此同时，没有12进制的中国人的文字里也有“打”这个概念。而英语里除了dozen（打）以外，甚至还有gross（箩），一箩是12打，一打是12个。

20进制也曾被广泛使用，它使我们想起人类的赤脚时代，一双脚和一双手共有20个指头。美洲印第安人使用过它，包括高度发达的玛雅文明。在法语里，至今仍用4个20来表示80（quatre-vingts），4个20加10来表示90（quatre-vingt-dix）。丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也能发现这种痕迹，令人惊奇的是，这些地方并非都是温带。在英语里20（score）是个常用字，而汉语里也有“廿”这个字。至于古代巴比伦人使用的60进制，即使在今天仍在时间和角度计量单位中不可或缺。

可是，人类最终仍普遍接受了10进制。在有记载的历史中，包括古埃及的象形数字、中国的甲骨文数字和筹算数码、希腊的阿提卡数字、印度的婆罗门数字，等等，都采用了10进制。在我们的头脑里，10已成为数制的必然单位，正如2已被电脑特别拥有。原因十分简单，博学的希腊哲学家亚里士多德已经为我们指出，“10进制的广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学的事实结果。”

除了口说以外，用手指表达数也曾长期被采纳。英语里的digit原本是指手指或脚趾，后来才表示从1到9这些数字，如今我们正处于数字时代（digital age）。事实上，原始人甚或开化的人，在进行口头计数时往往同时做出一些手势。例如，当说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或民族，我们可以通过观察他们计数时的手语来判断其归属。在今天的中国，我们仍然可以通过一个人划拳的手势大致弄清楚他或她究竟来自哪个地区或省份。

3、阿拉伯数系

据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万年以前，经过极其缓慢的发展，大约在公元前三千多年，终于出现了书写记数和相应的数系。可能是受手指表达数的影响，最早的表示数1，2，3和4的书写符号大多是相应数目的竖或横的堆积。前者有古埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字和中国的纵式筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字（数4例外）。

有意思的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达前4个数的数系均不约而同的采用了10进制，而另外两种著名的数系，即巴比伦的楔形数字和玛雅数字，分别用一个个锐利的小等腰三角形和小圆点来表示，却采用了60进制和20进制。在数5和5以后，即使同属竖写的数系也有不同表达法，以10为例，古埃及人用轭或锺骨∩（集合论中的“并”），古希腊人用△（第4个希腊字母），而中国人则用4个竖上面加1横。

所谓阿拉伯数系是指由0，1，2，3，……，9这10个记号及其组合表达出来的10进制数字体系。例如，在911这个数中，右边的1表示1个，中间的1却表示1乘以10，而9

表示9乘以100。在今天世界上存在的数以千计的语言系统里，这10个阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母使用范围更广）。可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球范围内的科技、文化、政治、经济、军事和体育方面的交流将变得十分困难，甚至不可能进行。

阿拉伯数系也被称为印度-阿拉伯数系，这是因为它是印度人发明的，经由阿拉伯人改造后传递到西方。后一项文明的流通是在12世纪完成的，前一项发明的起源就不得而知了，只是由于近代考古学的进展，在印度的一批石柱和窑洞的墙壁上发现这些数字的痕迹，其年代大约在公元前250年到公元200年之间。值得一提的是，那些痕迹里并没有零号，而在公元825年前后，阿拉伯人花拉子密的著作《印度的计算术》里却描述了已经完备的印度数码，今日英文和德文里的零就是依据阿拉伯文音译的。

阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非和西班牙的，据说一位叫莱奥拉多的意大利人曾受教于西班牙的穆斯林数学家，还曾游历北非。他回到意大利以后，于1202年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外的欧洲的里程碑，对稍后的意大利文艺复兴时期的数学有一定的促进作用。有意思的是，也是在13世纪，威尼斯人马可·波罗实现了欧洲人对东方的首次访问。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡是个战乱纷争之地，这位旅行家也是经由北非和中东绕过地中海，不过是沿着与阿拉伯数字传播路线相反的方向。

4、形而几何学

数系的出现使得数的书写和数与数之间的运算成为可能，在此基础上加、减、乘、除乃至于初等算术便在几个古老的文明地区发展起来，而后来数系的统一则使世界数学的研究和应用插上了翅膀。与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别。可以想见，几何学便是建立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上。

一条直线只是一段拉紧了的绳子，来自希腊文的英文Hypotenuse（斜边、弦）的原意就是“拉紧”。我们可以设想，这是将一个直角的两臂拉紧后的联线，而arms（手臂）也就成了两条直角边。如此看来，三角形的概念是人们通过对自己身体的观察得到的。巧合的是，在古代中国也是这样，勾、股作为小腿和大腿同时也是直角三角形中较短或较长的直角边，因而我们才有勾股定理的称谓。在西安半坡出土的陶器残片上，我们可以看到完整的全等三角形图案，每条边由间隔相等的8个小孔连接而成。同样，圆、正方形、长方形等一系列几何形式的概念也来自于人们的观察和实践。

正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的馈赠”。早在公元前14世纪或更早，埃及的一个国王将土地分封给所有的国民，每个人都得到一块同样面积大小

的土地，然后据此纳税。如果一年一度的尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么它就必须向法老报告所受的损失。法老会派专人来测量所失去的土地，再按相应的比例减税。这样一来，几何学（geomerty）就产生并发展起来了，geo意指土地，metron是测量。这类专门负责测量事物的人有专门的名称，叫做“司绳”（rope-stretcher）。

巴比伦人的几何学也是源于实际的测量，它的重要特征是其算术性质，至少在公元前1600年，他们就已熟悉长方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面积计算。古印度几何学的起源则与宗教和建筑实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓绳法经，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及其求解。在古代中国，几何学的起源更多地与天文观测相联系，至晚在公元前2世纪成书的《周髀算经》讨论的正是天文测量中所用的几何方法。

插图说明：埃及故都底比斯的一幅古墓壁画。从中可以看到，一条绳子在四个男子的手中被拉直。

二、尼罗河文明

1、独特的地形

在欧洲人的地理概念中，近东是指地中海东岸，也包括土耳其的亚洲部分和北非，即从黑海到直布罗陀海峡之间的环地中海沿岸及附近。近东既是人类文明的摇篮，也是西方文化的发祥地。如同美国数学史家M·克莱因所指出的，“当那些喜欢四处迁徙的游牧民族远远离开其出生地，在欧洲平原上漫游时，与他们毗邻的近东人民却在致力于辛勤耕作，创造文明和文化。若干个世纪以后，居住在这片土地上的东方贤哲们不得不负担起教育未开化的西方人的任务。”

埃及位于地中海的东南角，处于中东和北非的交汇之地。它的西面和南面是世界上最大的撒哈拉大沙漠，东面、北面大部分被红海、地中海环绕，惟一的陆上出口是面积只有6万平方公里的西奈半岛。这座半岛的大部分被沙漠和高山覆盖，东西两侧又夹在亚喀巴湾和苏伊士湾之间。只有一条狭窄的通道连结以色列，古罗马的统治者如尤利西斯·凯撒便是沿着这条路入侵埃及的。而在远古时代，这种外敌的侵犯几乎是不可能的，因此，埃及得以维持长期的安定。

除了拥有天然的地理屏障之外，埃及还拥有一条清澈的河流，那便是世界上最长的尼罗河。这条自南向北贯穿埃及全境、最后注入地中海的河流两岸构成一条狭长而肥沃的河谷，素有“世界上最大的绿洲”之称，因为它的西边是浩瀚的撒哈拉沙漠，东边是阿拉伯沙漠。事实上，Nile这个词的希腊文原意便是谷地或河谷。正是由于上述两个优越的地理因素，才造就了以古老的象形文字和巨大的金字塔为标志的绵延三千年的古埃及文明。

埃及象形文字产生于公元前三千年以前，是一种完全图象化的文字，后来被简化成一种更易书写的僧侣文和通俗文。公元3世纪前后，随着基督教的兴起，不仅古埃及原始宗教趋于消亡，象形文字也随之同归于尽，现存资料中使用这种文字的最后年代是公元394年的一块碑铭。与此同时，埃及基督徒改用一种稍加修改的希腊字母（这种文字随着7世纪穆斯林的入侵又逐渐被阿拉伯文取代）。于是，这些神秘的古代文字就成了不解之谜。

1799年，跟随拿破仑远征埃及的法国士兵在距离亚历山大城不远的古港口罗塞塔发现一块面积不足一平方米的石碑，上面刻着用象形文字、通俗文和希腊文三种文字记述的同一铭文。在英国医生兼物理学家杨的工作基础上，最后由法国语言学家商博良完成了全部碑文的释读。这样一来，就为人们阅读象形文字和僧侣文文献，理解包括数学在内的古埃及文明打开了方便之门，而那块石碑也被后人命名为“罗塞塔石碑”，如今它被收藏在伦敦大英博物馆。

2、草纸书上的数学

如果你有机会到开罗旅行，那么除了造访金字塔、参观博物馆，在尼罗河上乘船、看肚皮舞表演以外，你的朋友或导游还会领你去看销售或制作纸莎草纸（Papyrus）的商店或作坊（通常它们是合二为一的）。原来，纸莎草这种植物生长在尼罗河三角洲中，采摘后，用其茎杆中心的髓切成细长的狭条，压成一片，经过干燥处理，形成薄而平滑的书写表面。古埃及人一直在这种纸上书写，并被后来的希腊人和罗马人沿用，直到3世纪才被价钱更低、可以两面书写的羊皮纸（Parchment，源自今土耳其）取代，而埃及人则一直使用到8世纪。

所谓草纸书即是用纸莎草书写并装订起来的书籍（确切的说是书卷），我们今天了解的关于古埃及人的数学知识，主要是依据两部草纸书。一部以苏格兰古董商人莱茵德命名，现藏于大英博物馆，另一部叫莫斯科草纸书，由一位俄国贵族购得，现藏于莫斯科普希金艺术博物馆。莱茵德纸草书又称为阿姆士纸草书，以纪念公元前1650年左右一位复制此书的抄写员。值得一提的是，该书卷长525厘米，宽33厘米，中间有少量缺失，其缺失的碎片现藏于纽约布鲁克林博物馆。

这两部纸草书均用僧侣文书写，年代已经十分久远，阿姆士在前言里称到那时为止此书至少流传了两个多世纪，而据专家考证，莫斯科纸草书的成书年代大约在公元前1890年。因此，这两部书堪称流传至今的最古老的用文字记载数学的书籍。从内容上看，它们只不过是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书的主体部分由85个问题组成，莫斯科纸草书则由25个问题组成。书中的问题大多来自现实生活，比如面包的成分和啤酒的浓度，牛和家禽的饲料比例及谷物储存，但作者却将它们作为示范性的例子编集在一起。

既然几何学是“尼罗河的赠礼”，那我们就来看看埃及人在这方面的成就。在一份古老的地方契约中，人们发现他们求任意四边形的面积公式，如果用a和b, c和d分别表示四边形的对边长度，S表示面积，则

S=(a+b)(c+d)/4

尽管这种尝试十分大胆，但却是相当粗略的近似，只有在长方形这个特殊情形下才是正确的。我们再来看圆面积的计算。在莱茵德纸草书第50题中，假设一直径为9的圆形，则其面积等于边长为8的正方形。如果比较圆面积计算公式，就会发现埃及人心目中的圆周率（如果有这个概念的话）相当于

（8·2/ 9）^2 ≈ 3.1605

让人惊讶的是，埃及人在体积计算（其目的是为了储存粮食）问题上达到了相当高的水平，例如他们已经知道圆柱体的体积是底面积乘高。又如，对高为h、上下底面分别是边长a 和b的正边形的平截头方锥体的体积公式，埃及人得到的公式是（莫斯科纸草书第14题），V = h/3 (a^2 + ab + b^2)

这个结论是正确的，这是一项非常了不起的成就。美国数学史家E·T·贝尔称其为“最伟大的金字塔”（注：在英文里，锥体和金字塔同一个字，即pyramid。）

3、埃及分数

在石器时代，人们只需要整数，但进入到更为先进的青铜时代以后，分数概念和记号便随之产生了。从纸草书中我们发现，埃及人有一个重要而有趣的特点，喜欢使用单位分数，即形如1/n的分数。不仅如此，他们可以把任意一个真分数（小于1的有理数）表示成若干不相同的单位分数之和。例如，

2/5 =1/ 3 + 1/15

7/29=1/6 + 1/24 +1/58+1/87+1/232

埃及人为何对单位分数情有独钟，我们就不得而知了，无论如何，利用单位分数，分数的四则运算得以进行了，尽管做起来比较麻烦。也正因为如此，才有了被后人称埃及分数(Egyptian fractions) 的数学问题，这也是莱茵德纸草书中最有价值的问题。埃及分数属于数论的一个分支——不定方程（也称丢番图方程，以古希腊最后一个大数学家命名），它讨论的是下列方程的正整数解

4/n = 1/x(1)+ 1/x(2) +L+ 1/x(k)

埃及分数引出了大量的问题，其中有许多至今尚未获得解决，同时它还不断产生新的问题。可以毫不夸张地说，每年世界各国都有硕士、博士论文甚至大师们的工作是围绕着这个

问题开展研究的。下面我们我们来举几个例子，20世纪匈牙利数学家爱多士（与陈省身分享沃尔夫奖）曾经猜测：

4/n = 1/x + 1/y + 1/z

当n>1 时总有解。英国数学家莫代尔（为了他的一个猜想的证明颁发了一枚菲尔茨奖）证明了，除了n 同等余于1,11^2,13^2,17^2,19^2,23^2 mod 840之外，此猜想皆成立。这里表示m整除a-b。还有人验证了，当n<10^8时猜想正确。接下来，数论学家要考虑的问题是

5/n = 1/x + 1/y + 1/z

有人验证了当n<10^9，或者n不是形如278460k + 1的数时，此方程均有解。

之所以在这里展开这个问题的部分细节无非是想表明，古埃及人的数学并不是我们所想象的那样简单明了。另一方面，也想借此说明，研读某些看似简单的经典问题，常常会给处于现代文明中的我们带来新的启示。费尔马定理便是一个很好的例子，那是一个17世纪的法国人阅读3世纪的希腊人的著作所产生的灵感。难怪20世纪抽象艺术的开创者、俄国画家康定斯基也说，“最古老的也是最现代的。”

三、在河流之间

1、巴比伦尼亚

尼罗河即使到入海处附近的首都开罗其水流依然是平缓的，可是流经巴格达的底格里斯河和与之比肩的幼发拉底河却是汹涌湍急，正如居住这块被称作美索不达米亚（希腊文的含意为在河流之间，即今天的伊拉克）的土地上的人民所经历的诸多战乱一样（和平时经济发展速度也快，是大型商队的必经之地）。自有历史记载以来，它先后被十多个外来民族所侵占，但却一直维持着高度统一的文化，并曾经三次达到人类文明的最高点。或许，这是因为一种特殊的被称作楔形文字的使用，成为文化统一的融合剂。

所谓巴比伦尼亚是指美索不达米亚的东南部，即巴格达周围向南直到波斯湾，巴比伦城是这一地区的首府，因此又简称巴比伦。和埃及人一样，巴比伦人也是居住在河流之滨，那里土地肥沃，易于灌溉。这里孕育出灿烂的文明，除了创造出楔形文字以外，还制订出最早的法典、建立了城邦，发明陶轮、帆船、耕犁等。同时，他们还是锲而不舍的建筑师，通天塔和空中花园便是这种精神的产物。正如大英百科全书的编者所写的，巴比伦人的文学、音乐和建筑式样影响了整个西方文明。

在计数方式上，巴比伦人更是独出心裁，与任何其他民族都不同，他们采用了60进制。有趣的是，巴比伦人只用了两个记号，即垂直向下的楔子和横卧向左的楔子。通过排列组合，

便可以表示所有的自然数。更有意思的是，巴比伦人把一天分成24小时，每小时60分钟，每分钟60秒。这种计时方式后来传遍全世界，并一直沿用了4000多年。

与埃及人在纸草书上书写的习惯不同，两河流域的居民用尖芦管在潮湿的软泥板上刻下楔形的文字，然后将其晒干或烘干，这样制作的泥版文书比纸草书易于保存，迄今已有50万块出土，成为我们了解古代巴比伦文明的主要文献和工具。只是，人们对楔形文字的释读比埃及象形文字要晚，大约在19世纪中期才完成，这有赖于一块叫贝希斯敦的石崖，它座落在今天伊朗西部邻近伊拉克的城市巴赫塔兰郊外。

和罗塞塔石碑一样，贝希斯敦石崖上也用三种文字刻着同一篇铭文，分别是巴比伦文、古波斯文和埃兰文，其中埃兰是古波斯的一个国家，连同它的语言一起消亡了。解破石碑上的巴比伦文的是一名叫罗林森的英国军官，他早年作为一名军校学生被派往印度，在英国的东印度公司任职。23岁那年，罗林森与其他英国军官奉命赴伊朗整编伊朗国王的军队，由此对波斯古迹发生兴趣。他利用古波斯文的知识，释读了楔形文字书写的巴比伦语。

原来，这篇铭文讲的是波斯帝国最负盛名的统治者大流士一世如何杀死国王的继承人、击溃反对者、取得王位的故事，那事发生在公元前六世纪。他的国土横跨亚欧非三大洲，自然也把巴比伦置于波斯的版图之内。值得一提的是，按照希罗多德的说法，大流士是在得知他的军队在著名的马拉松战役中溃败的消息之后去世的，那是他对希腊发动的第一次进攻。不过，即便破解了巴比伦语，对泥版书中数学部分的释读也要等到20世纪三、四十年代才取得突破。

2、泥版书上的根

在那50万块出土的泥版文书中，有300多块是数学文献。我们今天对于巴比伦人的数学了解，便是基于这些材料上的文字。如同前文所介绍的，巴比伦人创造了一套60进制的楔形文字记数体系（用重复的短线或圆圈表示），并把小时和分钟划分成60个单位。同时，还把昼和夜划分成12小时。与古埃及人相比，巴比伦人的数字符号有所不同，一个数处于不同位置可以表示不同的值，这种位置原理是一项突出的成就。稍后，他们甚至把这个原理应用到整数以外的分数。这样一来，他们在处理分数时就不会像古埃及人那样依赖于单位分数了。

比起埃及人来，巴比伦人更擅长算术。他们创造出许多成熟的算法，开方根即是其中的一例。这种方法简单有效，具体步骤如下：为求根号a的值，设为其a(1)近似值，先求出

b(1)=a/a(1), 令a(2)=(a(1)+b(1))/2；再求出b(2)=a/a(2)，令a(3)=(a(2)+b(2))/2；继续下去，这个数值会越来越靠近根号a，并在其正确值附近震荡。例如，在由美国耶鲁大学收藏的一块泥版书（编号7289）里，根号2的近似值是 1.414213，这是相当精确的估计。

巴比伦人在代数领域也取得了不错的成绩，埃及人只能求解线形方程，对于二次方程他们只会解ax^2=b这类最简单的情形。还是在耶鲁大学收藏的一块泥版书里，给出了二次方程x^2 –px–q = 0的求根公式，

X = 根号[(p/2)^2+q> + p/2

由于正系数二次方程没有正根，因此除了上述情形以外，还有另外两种类型，对此泥版书里也给出了正确的求解程序。这与16世纪法国数学家韦达发明的根与系数关系式如出一撤，只不过韦达考虑的是更一般的情形，即方程ax^2 +bx+c=0。遗憾的是，由于约定成俗，“韦达公式”没有更改成“巴比伦公式”。不仅如此，对于x^3=a 或x^3+x^2=a这类特殊的三次方程，巴比伦人虽然没有办法来求得一般的解法，但却制订出相应的表格（前者即立方根表）。

可是，在几何学方面，巴比伦人的成就并没有超过埃及人。例如，他们对四边形的面积估算与埃及人的计算公式一致，即同样的粗糙。至于圆的面积，他们通常认定其值为半径平方的三倍，相当于取圆周率为3，其精确度尚不及埃及人。不过，有证据表明，巴比伦人懂得用相似性的概念来求线段的长度。对于希罗多德所称赞的莫斯科纸草书中“最伟大的金字塔”，巴比伦也能推导出类似的公式。

3、普林顿322

有一些泥版文书上的问题说明巴比伦人对数学除了实用目的以外，还有理论上的兴趣，这一点是埃及人难以企及的。在一块叫“普林顿322”的泥版书上有很好的体现，这块泥版书的来历已经无法考证，只知道曾被一个叫普林顿的人收藏过，322是他个人的收藏编号，现存于纽约哥伦比亚大学图书馆。其实，普林顿322是一块更大的泥版文书的右半部分，因为其左边是断裂的，留有胶水的痕迹，这说明缺损部分是出土后丢失的。

现存的这块泥版面积很小，长度和宽度分别只有12.7厘米和8.8厘米。书写在上面的文字是古巴比伦语，因此年代至晚在公元前1600年。实际上，这块泥版只刻着一张表格，由4列15行60进制数字组成。因此，在相当长的时间内，它被人们误认为是一张商业帐目表而未受重视。直到1945年，时任美国《数学评论》编辑的诺伊格包尔发现了普林顿322的数论意义，才引起了人们对它的极大兴趣。

诺伊格包尔的研究表明，普林顿322与毕达哥拉斯数组有关。所谓毕达哥拉斯数组是指满足a^2 + b^2 = c^2 的任何正整数数组（a,b,c），它在古代中国也被称为整勾股数（最小的一组数是3，4，5）。从几何上讲，每一组毕达哥拉斯数皆构成某个整数边长的直角三角形（又称毕达哥拉斯三角形）的三条边长。诺伊格包尔发现，第2、3列的相应数字，恰好构

成毕达哥拉斯三角形的斜边c和一条直角边b。只有四行例外，诺伊格包尔认为那是笔误，并作了纠正。

在这张表上，第1、5和11行分别是数组（1，59；2，49），（1，5；1，37），（45；1，15），转化成10进制就是（120，119，169），（72，65，97），（60，45，75），这里每组第一个数是计算后得出来的另一条直角边a，它们恰好是整数。在补出空缺数字后，诺伊格包尔发现，第4列（第1列是序号）的数字是s=(c/a)^2，也就是说，s是b边所对的角的正割的平方。大约过了一千年以后，希腊人才知道，互素的毕达哥拉斯数可由一个参数公式导出。巴比伦人是如何计算出这些数字的，这无疑是一个谜。

由于诺伊格包尔天才的发掘，提升了巴比伦人的数学成就。因此，我想在这里介绍一下这位奥地利人。诺伊格包尔于19世纪的最后一年出生，自小父母双亡，由叔叔抚养成人。18岁那年，为了逃避毕业考试，他入伍当了炮兵。一战结束时，他在意大利的俘虏营里与同胞哲学家维特根斯坦成为狱友。战后他辗转于奥地利和德国的几所大学，学习物理学和数学，最后在哥廷根大学攻读数学史，毕业后先后执教布朗大学和普林斯顿大学。诺伊格包尔精通古埃及文和巴比伦文，他是德国和美国两家《数学评论》的创始人。

四、结束语

除了上面介绍的数学公式和成就以外，埃及人和巴比伦人还将数学大量地应用于实际生活中。他们在纸草、泥版书上记载着帐目、期票、信用卡、卖货单据、抵押契约、待发款项，以及分配利润等事项。算术、代数被用于商业交易，几何公式则用来推算土地面积，计算储存在圆形仓或锥形包中的粮食。当然，无论埃及人的金字塔，还是巴比伦的通天塔和空中花园，都凝聚着数学的智慧和光芒。

在数学和天文学被用于计算历法和航海之前，人类本能的好奇心和对大自然的恐惧存在已久，他们受一种不可抑制的冲动的驱使，年复一年地观察太阳、月亮和星星的运行。埃及人已经知道一年共有365天，他们对季节的变化也有所了解和掌握。人们通过对太阳方位和角度的观察，预计尼罗河水泛滥的时间；通过对星星的位置和方向的辨别，确定在海洋（地中海或红海）中航船的方向。

另一方面，在巴比伦和埃及，数学与绘画、建筑、宗教以及自然界的探究之间的联系，在密切性和重要性方面丝毫不逊色于数学在商业、农业等方面的应用。巴比伦和埃及的祭司掌握了的数学原理，但他们对这些知识秘而不宣。只用口头的方法传授这方面的知识，从而在人民大众中加剧了对统治阶级的敬畏。这样一来，尤其是与没有僧侣阶级统治的文明比较起来，显得不利于数学和其他文明的发展。

当然，宗教神秘主义本身也对自然数的性质产生了好奇，并将数作为表达神秘主义思想的一个重要媒介。一般认为，巴比伦的祭司发明了这种有关数的神秘甚或魔幻的学说，后来又为希伯来人加以利用并发展了。比如数字7，巴比伦人最早注意到了，它是上帝的威力和复杂的自然界之间的一个和谐点，到了希伯来人手里，7又成为一个星期的天数。《圣经》里说，上帝用六天时间造物和人，第7天是休息天。

可以说，是人类层出不穷的需要和兴趣，加上对天空的无法抑制的冥想，激发了自身的数学灵感和潜能。巧合的是，自然界本身也刚好存在数学的规律，或者说，是以数学的形式存在着的。这样一来，我们就更容易明白，数学不仅来源于人们生存的需要，最终也还是要返回到这个世界中去的。

数学与人类文明(二)希腊数学与希腊文明

一、数学家的诞生

1、希腊人的出场

大约在公元前7世纪，在今天的意大利南部、希腊和小亚细亚一带兴起了希腊文明，在许多方面不同于上一章讲述的埃及和巴比伦文明。按照英国作家韦尔斯的说法，巴比伦和埃及经过了长期的发展，从原始农业社会开始，围绕着庙宇和祭司缓慢地成长起来，而希腊牧民是外来的民族，他们侵占的土地上本来就有农业、航运、城邦甚至文字。因此，希腊人并没有产生自己的文明，而是破坏了一个文明，并在它的废墟上重新集合成另一个文明。也正因为这个原因，当后来被马其顿人攻占，希腊人也能坦然接受，并把入侵者同化了。

正如罗素在谈及埃及人和巴比伦人时所言，宗教的因素约束了智力的大胆发挥。埃及人的宗教主要是关心死后的日子，金字塔就是一群陵墓建筑；而巴比伦人对宗教的兴趣主要在于现世的福利，记录星辰的运动以及进行有关的法术和占卜，也都是为了这个目的。可是在希腊，既没有相当于先知或祭司那样的人，也没有一个君临一切的耶和华的概念。游牧出身的希腊人有着勇于开拓的精神，他们不愿意因袭传统，更喜欢接触并学习新鲜的事物。例如，希腊人把他们使用过的象形文字悄悄地改换成腓尼基人的拼音字母。

另一方向，每一个到过希腊的游客都会发现，这个国家的土地崎岖不平，贫瘠的山脉把国土分隔，陆路交通极为不便。没有通畅的河流和水网，仅有少量肥沃的平原。当无法容纳所有的居民时，有些人便渡海去建设新的殖民地。从西西里岛、南意大利到黑海之滨，希腊人的城镇星罗棋布。既然有如此多的移民，返乡探亲和贸易往来便不可缺少，于是定期航线

把东地中海和黑海的各个港口相连。（这一现象一直延续至今，雅典与爱琴海岛屿之间的航线密布。）加上早先由于地震移居到小亚细亚的克里特人，希腊人与东方的接触越来越多。

本来，希腊离开两大河谷文明不远，易于吸取那里的文化。现在，当大批游历埃及和巴比伦的希腊商人、学者返回故乡，他们带回了那里的数学和科学知识。在城邦社会特有的唯理主义氛围中，这些经验的算术和几何法则被上升到具有逻辑结构的论证数学体系中。人们常常这样发问，“为什么等腰三角形的两底角相等？”“为什么圆的直径能将圆两等分？”美国数学史家伊夫斯指出，古代东方以经验为依据的方法，在回答“如何”这个问题时，是自信满满的，但当答复更为科学的追问“为什么”时，就不那么胸有成竹了。

最后，我们来谈谈希腊的城邦和政治特色。如同前面提到的，希腊早就有了城邦，但与东方文明古国不同，这些城邦始终处于割据状态，这当然与它的地理因素有关，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上。再来看希腊的社会结构，它主要由贵族和平民两个阶级构成（有些地区有原住民充当农民、技工或奴隶），他们并不彼此截然分开，在战争中同属一个国王领导，而这个国王不过是某个贵族家庭中的首领。这样一来，这个社会便容易产生民主和唯理主义氛围。这一切，都为希腊人在世界文明的舞台上准备好了一个重要的角色。

2、论证的开端

在人类文明史上不乏接踵而至那样的巧合，古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期的意大利作家和艺术家一样。在大诗人但丁降生佛罗伦萨的第二年，这座城市又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托, 意大利人一般认为, 艺术史上最伟大的时代, 就是从他开始的。而按照贡布里奇爵士的说法，在乔托以前, 人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠和裁缝一样，他们甚至经常不在自己的作品上署名, 而在乔托以后, 艺术史就成了艺术家的历史。

相比之下，数学家却要幸运得多，第一个扬名后世的数学家是希腊的泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前625-前547），他生活的年代比乔托早了18个世纪。泰勒斯出生在小亚细亚的米利都城（今天土耳其亚洲部分西海岸一条叫门德雷斯的河口），其时它是希腊在东方最大的城市，周围的居民大多是爱奥尼亚移民，因此，那个地区也被称作爱奥尼亚。这座城市里商人统治代替了氏族贵族政治，因而思想较为自由和开放，产生了多位文学界和科学哲学界的著名人物，相传诗人荷马也来自爱奥尼亚，但不知他是否来自米利都。

对于泰勒斯的生平，我们主要依赖于后世哲学家的著作。他早年经商，曾游历巴比伦和埃及，很快便学会并掌握了那里的数学和天文学知识，他本人的研究除了这两个领域以外，还涉及物理学、工程和哲学。亚里士多德讲到一则故事，有一年，泰勒斯预见到橄榄必然获

得特大丰收，于是提前低价垄断了该地区的所有榨油机，后来果然如他所料，便高价出租，结果获得巨额财富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果你真聪明的话，为什么不发财呢？

柏拉图记述了另一桩轶事，有一次泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠，一位美丽的女子嘲笑说，近在足前都看不见，怎么会知道天上的事情呢？对此泰勒斯并未回应，倒是雅典执政官梭伦的发问刺痛了他。据传记作家普鲁塔克记载，有一天梭伦来米利都探望泰勒斯，问他为何不结婚。泰勒斯可能是许许多多终身独居的智者中的第一人，当时未予回答，几天以后，梭伦得到消息，他的儿子不幸死于雅典，这令他悲痛欲绝。这时候泰勒斯笑着出现了，在告之消息是虚构的以后，说明自己不愿娶妻生子的原因，就是害怕面对失去亲人的痛苦。

科学史上的第一个数学史家欧德莫斯曾经写道，“……（泰勒斯）将几何学研究（从埃及）引入希腊，他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理。”传说泰勒斯根据人的身高和影子的关系测量出埃及金字塔的高度，而柏拉图的一位门徒在书里写到，泰勒斯证明了平面几何中的四条命题：即圆的直径将圆分成两个相等的部分；等腰三角形的两底角相等；两条相交直线形成的对顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形全等。

当然，泰勒斯最有意味的工作是如今被称作“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。更为重要的是，他引入了命题证明的思想，即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题来论证，可谓开启了论证数学之先河，这是数学史上一次不同寻常的飞跃。虽然没有原始文献可以证实泰勒斯取得了所有这些成就，但以上记载流传至今，使得他获得了第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名，而“泰勒斯定理”自然也就成了数学史上第一个以数学家名字命名的定理。

在数学以外，泰勒斯也成就非凡。他认为，阳光蒸发水分，雾气从水面上升而形成云，云又转化为雨，因此断言水是万物的本质。虽然此观点后来被证明是错误的，但他敢于揭露大自然的本来面目，并建立起自己的思想体系（他还认定地球是个圆盘，漂浮在水面上），因此被公认为是希腊哲学的鼻祖。在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。有着“历史之父”美誉的史学家希罗多德声称，泰勒斯曾准确地预测过一次日食。欧德莫斯则相信，他已经知道按春分、夏至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。

3、毕达哥拉斯

在泰勒斯的引导下，米利都接连又产生了两位哲人，阿那克西曼德和阿那克西米尼，还有一位作家赫卡泰奥斯（他不仅用简洁优美的文笔写出了最早的游记，同时也是地理学和人

种学的先驱）。阿那克西曼德认为世界不是由水组成的，而是由特殊的不为我们熟知的某种基本形式组成的，他认为地球是一个自由浮动的圆柱体。不仅如此，他还创造出一种归谬法，并由此推断出人是由海鱼演化而来的。阿那克西米尼的观点又有所不同，他认为世界是由空气组成的，空气的凝聚和疏散产生了各种不同的物质形式。

在离开米利都城只有一箭之遥的爱琴海上，有一座叫萨摩斯的小岛。岛上的居民比陆地上保守一些，盛行一种没有严格教条的奥尔菲主义，经常把有共同信仰的人召集在一起。这或许是让哲学成为一种生活方式的开端。这种新哲学的先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前580-前500），他成年后离开萨摩斯岛，到米利都求学，可是泰勒斯却以年事已高为由拒绝了他，但建议他去找阿那克西曼德。毕达哥拉斯不久发现，在米利都人眼里，哲学是一种高度实际的东西，这与他本人超然于世界的冥想习惯相反。

按照毕达哥拉斯的观点，人可以分三类，最低层是做买卖交易的，其次是参加（奥林匹克）竞赛的，最高一层是旁观者，即所谓的学者或哲学家。之后，毕达哥拉斯离开了米利都，独自一人一路游历来到埃及，在那里居住了十年，学习了埃及人的数学。后来，他在埃及作了波斯人的俘虏，又并被掳到了巴比伦，在那里又住了五年，掌握了更为先进的数学。加上旅途的停顿，当毕达哥拉斯乘船返回自己的故乡，时间已经过去了19年，比后来中国的法显和玄奘法师到印度取经所用时间还久。

没想到的是，保守的萨摩斯人仍无法容纳毕达哥拉斯的思想，他只好再度漂洋过海，到意大利南部的克罗内托，在那里安顿下来，娶妻生子并广收弟子，形成了所谓的毕达哥拉斯学派。尽管这个社团是个秘密组织，有着严格的纪律，但他们的研究成果并没有被宗教思想所左右，反而形成了一个传递两千多年的科学（主要是数学）传统。“哲学”( )和“数学”( )这两个词本身便是毕达哥拉斯本人所创造的，前者的意思是“智力爱好”，后者的意思是“可以学到的知识”。

毕达哥拉斯学派的数学成就主要包括：毕达哥拉斯定理，特殊的数和数组的发现如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数，正多面体作图，的无理性，黄金分割，等等。这些问题中有的保留至今（完美数、友好数），有的被应用日常生活的方方面面，有的如毕氏定理则提炼出了费尔马大定理这样深刻而现代的定律。与此同时，毕达哥拉斯学派注重和谐与秩序，并重视限度，认为这即是善，同时强调形式、比例和数的表达方式的重要性。

毕达哥拉斯曾用诗歌描述了他发明的第一个定理：

斜边的平方，

如果我没有弄错，

等于其他两边的

平方之和。

这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的，据说他当时紧紧抱住哑妻大声喊道，“我终于发现了！” 毕达哥拉斯还发现，三角形的三个内角和等于两个直角的和，同时证明了，平面可以用正三角形、正四边形或正六边形填满。用后来的镶嵌几何学可以严格推导出，不可能用其他正多边形来填满平面。

关于自然数，毕达哥拉斯最有趣的发现和定义是亲和数（amicable number）和完美数（perfect number）。所谓完美数是这样一个数，它等于其真因子的和，例如6和28，因为6 = 1+2+3，28 = 1+2+4+7+14。《圣经》里提到，上帝用6天的时间创造了世界（第7天是休息日），而相信地心说的古希腊人认为，月亮围绕地球旋转所需的时间是28天。必须提到的是，迄今为止，还没有人找到一对奇完美数，当然也没有人能够否定它的存在。

而亲和数是指这样一对数，其中的任意一个是另一个的真因子之和，例如，220和284。后人为亲和数添加了神秘色彩，使其在魔法术和占星术方面得到应用，《圣经》里提到，雅各送孪生兄弟以扫220只羊，以示挚爱之情。直到两千多年以后，第二对亲和数（17926，18416）才由法国数论学家费尔马找到，他的同胞、数学家兼哲学家笛卡尔则找到了第三对。虽然运用现代数学技巧和计算机，数学家们发现了一千多对亲和数，不过第二小的一对（1184，1210）却是在19世纪后期才由一位16岁的意大利男孩找到的。

更为难得的是，毕达哥拉斯的思想持续影响了后世的文明。在中世纪时，他被认为是“四艺”（算术、几何、音乐、天文）的鼻祖。文艺复兴以来，他的观点如黄金分割、和谐比例均被应用于美学。16世纪初期，哥白尼自认为他的“日心说”是属于毕达哥拉斯的哲学体系，稍后，自由落体定律的发明者伽利略也被称之为毕达哥拉斯主义者，而17世纪创建微积分学的莱布尼兹则自认为是继承毕达哥拉斯传统的最后一位哲学家和科学家。

谈到音乐，这在毕达哥拉斯看来，是最能对生活方式起到净化作用的。他发现了音程之间的数的关系。一根调好的琴弦如果长度减半，将会奏出一个高八度音。同样地，如果缩短到三分之二，就奏出一个第四音，如此等等。调好的琴弦和和谐的概念在希腊哲学中占据重要地位。和谐意味着平衡，对立面的调整和联合，就像音程适当调高调低。罗素认为，伦理学（又称道德哲学）里中庸之道等概念，可以溯源到毕达哥拉斯的发现。

音乐上的这类发现也直接导出了“万物皆数”的理念，这可能是毕达哥拉斯哲学最本质的东西，它区别开了米利都的三位先哲。在毕达哥拉斯看来，一旦掌握了数的结构，就控制了世界。在此以前，人们对数学的兴趣主要源于实际的需要，例如埃及人是为了测量土地和建

造金字塔，而到了毕达哥拉斯那里，却是（按希罗多德的说法）“为了探求”。这一点从毕达哥拉斯对“数学”和“哲学”的命名也可以看出，又如，“计算”一词的原意是“摆布石子”。

二、柏拉图学园

1、芝诺的乌龟

毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，因而在希腊民主力量高涨时受到冲击并逐渐瓦解，毕达哥拉斯本人也逃离了克罗托内，不久被杀。在持续不断的波（斯）希（腊）战争之后，雅典成为获胜的希腊的政治、经济和文化中心，希腊数学和哲学也随之走向繁荣，并产生了许多学派。第一个著名的学派叫伊利亚学派，创建人是毕达哥拉斯学派成员巴门尼德，他居住在意大利南部伊利亚（今那波利东南一百多公里处），代表人物是他的学生芝诺（Zeno, 约公元前490-430），师徒俩堪称前苏格拉底时期最有智慧的希腊人。

巴门尼德是少数几个用诗歌的形式表达哲学观点的希腊哲学家之一，他留下的诗集《论自然》残片第一部分叫《真理之路》，包含了后来的哲学家们十分感兴趣的逻辑学说。巴门尼德认为，存在物的多样性及其变化形式和运动，不过是惟一永恒的存在之现象而已，于是产生了“一切皆一”的巴门尼德原理。巴门尼德认为无法想到的东西不能存在，因此能存在的是可以被想到的，这就与前辈哲学家赫拉克利特的“它存在又不存在”相对抗。他还引入理性证明的方法，作为论断的基础，因而被看作形而上学的创立者。

柏拉图在对话《巴门尼德》篇里，记叙了巴门尼德和他的弟子芝诺去雅典的一次访问，其中写到：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发灰白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的人了。”虽然后世的希腊学者推测这次访问是柏拉图虚构的，但却认为书中对芝诺观点的描写是准确可靠的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”作了辩护，但是不像他的老师那样从正面去证明存在是‘一’而不是“多”，他用归谬法去反证：“如果事物是多数的，将要比‘一’的假设得出更可笑的结果。”

这一方法就成了所谓“芝诺悖论”的出发点，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个不同的悖论。可惜由于著作失传，至今只留下来8个，其中以4个关于运动的悖论最为著名，这依赖于亚里士多德的《物理学》等著作的记载。即便是这几个悖论，后人的领会也是不得要领，他们认同亚里士多德的引述，认为它们只不过是些有趣的谬见而加以批判。直到19世纪下半叶，学者们重新研究芝诺的悖论，才发现它们与数学中连续性、无限性等概念紧密相关。

下面我们来依次介绍芝诺的4个运动悖论，括号内的是文字是亚里士多德《物理学》中的原话。

一、二分说。“运动不存在。原因在于，移动事物在到达目的地之前必须先抵达一半处。”

二、阿基里斯追龟。阿基里斯（荷马史诗《伊利亚特》中善跑的猛将）永远追不上一只乌龟，因为阿基里斯每次必须首先跑到乌龟的出发点。

三、飞箭静止说。“如果移动的事物总是在‘现在’占有一个空间，那么飞驰的箭也是不动的。”

四、运动场。空间和时间不是由不可分割的单元组成。例如，运动场跑道上有三排队列

A、B、C，令A往右移动，C往左移动，其速度相对于B而言均是每瞬间移动一个点。这样一来，A就在每个瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。

前两个悖论针对的是事物无限可分的观点，而后两个则蕴涵着不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要高等数学的知识，尤其是极限、连续和无穷集合等概念，这在当时的希腊人看来是无法理解的，因此包括亚里士多德在内的智者也不能给出解释。可是，亚里士多德分明注意到了，芝诺是从对方的论点出发，再用反证法将其论点驳倒，因此，他称芝诺是雄辩术的发明者。当然，这一切首先是由于希腊的言论自由和学派林立的氛围给了学者们探求真理的机会。

芝诺自幼在乡村长大，运动是他所热爱的，也许他提出这些悖论纯粹出于好奇和好胜，并非要给城里的大人物们制造恐慌。可是，正如E·T·贝尔所言，芝诺曾“以非数学的语言，记录下最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”在2400年以后的今天，人们已经明白，芝诺的名字将永远不会从数学史或哲学史中消除。黑格尔指出，芝诺主要是客观而辨证地考察了运动，因此他称芝诺是“辨证法的创始人。”

2、柏拉图学园

现在我们要谈论古希腊三大哲学家之一的柏拉图（Plato，公元前427-347），还有两位分别是他的老师苏格拉底和学生亚里士多德。这三位都与雅典有关，苏格拉底和柏拉图出生在雅典，亚里士多德则在那里学习之后又执教。苏格拉底既无著作流传后世，也没有建立什么学派，有关他的生平和哲学思想我们主要通过柏拉图和另一位弟子色诺芬来了解。后者是一位将军，同时也是历史学家和散文家。苏格拉底在数学方面并无太大的建树，但正如两位弟子所评价的，他在逻辑学上有两大贡献，即归纳法和一般定义法。

苏格拉底对柏拉图的影响是无法估量的，尽管后者出生于显赫家庭，而前者的双亲分别是雕刻匠和助产士。苏格拉底貌不惊人，且不修边幅，却对肉体有着惊人的克制力，有时说话时突然停下来陷入沉思。尽管很少饮酒，但每饮必有酒友滚倒在桌子底下而他自己毫无醉意。苏格拉底之死（因受指控腐蚀雅典青年的灵魂而被判服毒），以及临死前表现出来的大

无畏精神，给了柏拉图以深深的刺激，使他放弃了从政的念头，终其一生投入哲学的研究，他称他的导师是“我所见到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。

苏格拉底死后，柏拉图离开了雅典，开始了长达10年（或许是12年）的漫游，先后游历了小亚细亚、埃及、昔兰尼（今利比亚）、南意大利和西西里等地。途中柏拉图接触了多位数学家，并亲自钻研了数学。返回雅典之后，柏拉图创办了一所颇似现代私立大学的学园（Academy，这个词现在的意思是科学院或高等学府）。学园里有教室、饭厅、礼堂、花园和宿舍，柏拉图自任园（校）长，他和他的助手们讲授各门课程。除了几次应邀赴西西里讲学以外，他在学园里度过了生命的后四十年，而学园本身则奇迹般地存在了9百年。

作为哲学家，柏拉图对欧洲的哲学乃至整个文化、社会的发展有着深远的影响。他一生共撰写了36本著作，大部分用对话的形式写成。内容主要关于政治和道德问题，也有的涉及形而上学和神学。例如，在《国家篇》里他提出，所有的人，不论男女，都应该有机会展示才能，进入管理机构。在《会饮篇》里这位终生未娶的智者也谈到了爱欲，“爱欲是从灵魂出发，达到渴求的善，对象是永恒的美。”用最通俗的话讲就是，爱一个美人，实际上是通过美人的身体和后嗣，求得生命的不朽。

虽然柏拉图本人并没有在数学研究方面作出特别突出的贡献（有人将分析法和归谬法归功于他），却是那个时代希腊数学活动的中心，大多数重要的数学成就均由他的弟子取得。例如，一般整数的平方根或高次方根的无理性研究（包括由无理数的发现导致的第一次数学危机的解脱），正8面体和正20面体的构造，圆锥曲线和穷竭法的发明（前者的发明是为了解决倍立方体问题*），等等，甚至连大数学家欧几里德早年也来阿卡德米攻读几何学，这一切使得柏拉图及其学园赢得了“数学家的缔造者”的美名。

对数学哲学的探究，也起始于柏拉图。在他看来，数学研究的对象应该是理念世界中永恒不变的关系，而不是感觉的物质世界的变化无常。他不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，也把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格区分。举例来说，三角形的理念是惟一的，但存在许多三角形，也存在相应于这些三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体。这样一来，就把起始于毕达哥拉斯的对数学概念的抽象化定义又向前推进了一步。

在柏拉图的所有著作中，最有影响的无疑要数《理想国》了。这部书由10篇对话组成，核心部分勾勒出形而上学和科学的哲学。其中第6篇谈及数学假设和证明。他写到，“研究几何、算术这类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及诸如此类的东西是已知的。……从已知的假设出发，以前后一致的方式向下推，直至得到所要的结论。”由此可见，

演绎推理在学园里已经盛行。柏拉图还严格把数学作图工具限制为直尺和圆规，这对于后来欧几里德几何公理体系的形成有着重要的促进作用。

谈到几何学，我们都知道那是柏拉图极力推崇的学问，是他构想的要花费10年学习的精密科学的重要组成部分。柏拉图认为创造世界的上帝是一个“伟大的几何学家”，他本人对五种正多面体的特征和作图有过系统的阐述，以至于它们被后人称为“柏拉图体”。从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学园门口刻着，“不懂几何学的人请勿入内”。无论如何，柏拉图充分意识到了数学对探求人类理想的重要性，在他晚年的一部著作中，他甚至把那些无视这种重要性的人形容为“猪一般”。

（* 倍立方体是所谓古希腊三大几何问题之一，另外两个问题是化圆为方、三等分角。直到19世纪，数学家们才弄清楚，这三个问题实际上是不可解的。）

3、亚里士多德

公元前347年，柏拉图在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世，享年80岁。虽然没有记载，但参加他葬礼的人中间，应该有他亲自教诲过的学生亚里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）。自从17岁那年被监护人送入柏拉图学园，他跟随老师已经整整20年了。亚里士多德无疑是学园培养的最出色的学生，他后来成为世界古代史上最伟大的哲学家和科学家，对西方文化的取向和内容有着深远的影响，是其他任何思想家无法相比的。

亚里士多德出生在希腊北部哈尔基季基半岛上，当时是马其顿的领土（如今是希腊北部的旅游中心），其父曾担任马其顿国王的御医。或许是受父亲的影响，他对生物学和实证科学饶有兴趣，而在柏拉图的影响下，他后来又迷恋上哲学推理。在柏拉图死后，亚里士多德开始了漫游（正像苏格拉底去世后柏拉图开始漫游一样）。他和他的同学兼好友先到小亚细亚的阿苏斯停留了三年，接着到附近莱斯沃斯岛上的米蒂利亚创办了一个研究中心（这两处地方的地理位置恰如南面的米利都和萨摩斯岛），开始了生物学的研究。

42岁那年，亚里士多德应马其顿国王菲力二世的邀请，来到首都培拉担任13岁的王子亚历山大的家庭教师。他试图依照荷马史诗《伊利亚特》中的英雄塑造王子，使其体现希腊文明的最高成就。三年之后，亚里士多德返回了故乡。直到公元前335年亚历山大继承了王位，他又来到了雅典，并创办了自己的学园（吕园）。此后的12年间，除了研究和写作，他把自己的精力投入到吕园的教学和管理事务上。据说亚里士多德授课时喜欢在庭园里边走边讲，以至于今日英文里演讲或论述一词（discourse）的原意就是“走来走去”。

小班数学：有趣的数字

目标：1、感受数字的丰富变化，体验数字给生活带来的方便与有趣。2、复习9以内的数字、数数，并区分6与9。准备：1、几何图形组合画三幅（还有小动物）。2、幼儿每人一份数字卡片3、每组提供白色纸条、浆糊、记号笔。过程：一、看图编电话号码。（1）我们将要去春游了，我想邀请小动物一起去请大家想想办法用什么方法通知它们？（幼儿泛讲）师：你们真会动脑筋，想了很多办法，那么，用什么方法最好呢？（2）打电话要查电话号码，我们来查一查动物家的电话。教师分别出示图形卡。（小猴、小熊、小兔）师：这是小猴家的电话。让幼儿观察发现小猴家只有图形，没有号码。（3）引导幼儿看图数数编号码。（三家全部观察后，人人翻译号码）（人手一份操作用具。可以用数字贴号码，也可用笔写号码）请各组派代表在黑板上贴数字集体念号码 583469 583496 582734验证号码的正确性，老师拨打电话。二、感知数字的丰富变化。（1）思考：这些号码都有6个数字，为什么电话号码是不一样的？（数字排列的顺序不同）（2）观察：在三个电话号码中有哪些是不一样的？（小猴家的号码是有9、6，小熊家是6、9；小兔家没有这两个数子，有的是2、7）相同的是什么？（三个号码都是六位数，前两位数都有5、8）（3）区分6和9，问：老师也常把6和9搞错，请你们帮助我记住它。（让幼儿说出6的圆圈在下面，9的圆圈在上面。）根据幼儿的讲述出示数字23456789三、交流所收集的电话号码。增强幼儿有关电话方面的知识（1）请幼儿大声地读自己带来的电话号码。了解电话号码是多位数的。（2）你们知道的电话是几位数的？（请幼儿根据自己的生活经验讲述）（上海地区的家庭电话是8位数的，手机是11位数的；常用的较特殊的电话是3位数的。）四、给小动物编电话号码（1）有许多小动物家还没有电话，我们用数字来帮它们编个电话号码吧。提示：可以用贴数字的方法，也可以用笔写。有意识地请几个孩子上来念所编的号码。（2）教师巡视后提出新的要求。提示幼儿是否每个数字都用了，数数你编的电话是几位数的。延伸活动：把小朋友编的电话号码做成电话簿。

(完整)二年级思维数学按规律填数

我们经常看到按一定规律排列起来的一列数，如果要在一列数后面再续写几个数，就要仔细观察这列数中已经出现的几个数之间有没有规律，找准了规律，就能按照规律填数了。 例1．按规律填数 （1）15,5,12,5,9,5，（），（）写一写你发现的规律： （2）5,9,10,8,15,7，（），（）写一写你发现的规律： 举一反三1：按规律填数。 1.（1）（），（），7,34,7,36,7,38 规律： （2）（），（），5,4,9,6,13,8 规律： 2.（1）25,4,20,4,15,4，（），（）规律： （2）8，7，10,6,12,5,（）,（）规律： 3.（1）1,16,3,8,9,4，（），（）规律： （2）40,16,20,8,10,4，（），（）规律： 例2.仔细观察，找规律填数 0,1,2,3,6,7，（），（）写一写你发现的规律： 举一反三2：仔细观察，找规律填数。 1. 3，6，12,（）,（）规律： 2. 1,2,4,5,10，（），（）规律： 3. 3,6，5,10,9，（），（）规律： 4. 30，15,14,7,6，（），（）规律： 5. 2，3,4,3,5，4,5,4,5,6（），（）规律： 例3.仔细观察，找规律填数 （1）0,1,4,9，（），（），36 写一写你发现的规律： （2）2,4，（），（），32,64 写一写你发现的规律： （3）1,3,7，（），31,63 写一写你发现的规律： 举一反三3.按规律填数 1. 4,9,16，（），（），49 写一写你发现的规律： 2. 81，（），49,36，（）写一写你发现的规律： 3. 1,2,4,8，（），（）写一写你发现的规律：

小学一年数学：数的认识与运算

小学一年数学：数的认识与运算 导语：小学一年级学习资料和学习重点###已经整理出来了，想要了 解更详细的小学生一年的学习资料，请注重###最新资料。 数的理解 (1)强调数物体个数的方法：按照一定的顺序和方向数数、做记号、根据物体摆放的规律按群数数等。 (2)增强区分几个和第几个，在表示第几个时要注意说明方向、 顺序。如：从左往右数，第2个是 (3)按顺序填数，按规律填数 (4)加深对0的理解：在不同情境中，0的含义是不同的。一般情况下0表示没有，还表示“起点”和温度计上的“基准”0度。要依据具体情况，判断0的含义。 (5)重视比较方法的梳理：一一对应比较(P17、(1)(2))、 三者之间的比较(先两两比较，再选出、多、小、少的) 利用参照物实行比较(P17(4)和P19、5、6) 注意题目规定的符号别标错了 数的运算 (1)利用学具摆一摆、捆一捆，加深对数位和数的组成的理解。 (2)用丰富的游戏活动使本版块的复习变得不枯燥。游戏是一年 级儿童最喜欢的活动。游戏让学生在玩中复习，在复习中玩，在玩与 复习相结合中发展。如复习20以内数的理解，让学生玩猜数(小棒有 多少根)等游戏，加深数感。又如加减法计算的复习，避免出现单纯的 题海练习，让学生厌倦。能够设计爬梯子、找朋友、对口令、开火车、

抢答等游戏活动，学生边玩边熟练加减法的准确计算。在本期结束时，学生要达到每分钟能准确计算8道题左右。 (3)重视逆向思维题型的训练，如：+6=15，尤其是-7=7，学生容 易填成0。 在○里填上“+”或“-”9○6=1516○5=11 (4)对于解决简单实际问题的复习： ①从类型上分包括求和、求差、求部分数。并注意体现三种类型 之间的联系，注重系统练习。 如：8个苹果，5个梨，苹果和梨一共多少个? 苹果比梨多多少个? 梨比苹果少多少个? 一共13个水果，苹果有8个，剩下的是梨梨有多少个? 一共13个水果，梨有5个，剩下的是苹果苹果有多少个? 再如：看图列四道算式 ②从表现方式上看可分为形象图、情境图、部分抽象的文字表示。 注意强调计算为问题服务的意识，看清题上要求的是什么。允许 部分学生用表示要求的数。 如：P38，4图1 ③应用连加、连减、加减混合解决问题，学生容易理解的是如： P45，1题，动态的表现形式， 包括去掉一部分又来了一部分。较难理解的是P47，4题，这种 静态表现的。 ④增强培养学生提问的意识和水平。

一年级数学上册 数一数(2个课时)教案(新版)新人教版

第1单元准备课 1.本单元的主要内容分两部分：数一数、比多少。一年级的学生在入学前已经过了学前教育，能数出100以内的数，甚至会写。但在孩子的头脑中10以内的概念很模糊。本单元主要帮助孩子建立10 以内数的概念，为以后学习数学的知识打下基础。 2.学生在学习“比多少”之前，已经熟悉了数数，有了一定的数学基础，书中以小猪盖房子的故事开始，激发学生的学习兴趣，通过“在情境图中找一找、比一比”，让学生自己寻找可比的对象，选择比较的标准，知道比较的结果，体现“以人为本，以发展为宗旨”的素质教育新理念和目标。 1.使学生通过数数活动，初步学会数出个数在10以内的物体或人，初步学会口头用1～10各数表示相应物体的个数。 2.使学生在数数的过程中，初步感受分类、一一对应等数学方法，感受用“数”描述现实生活问题的重要性和独特性。 3.激发学生的学习兴趣，使学生初步感受数学与生活的联系，产生喜欢数学的积极情感。 （1）数一数 (1) 课时 （2）比多少 (1) 课时 本单元的教学中教师注意培养学生的观察兴趣、动口动手能力、合作交流的能力，让学生在学习中玩、玩中学习。

第1课时数一数

练习。（5分钟） 老师说数字,学生伸出手 指头。例如，老师说：“4在哪 里？”，学生伸出4根手指头， 抖抖手指头说：“在这里”。 2.完成教材第8页1、2题。 2.独立完成后全班交 流订正。 老师的疑问： 四、 课堂小结，拓展延伸。（4分钟） 1.说一说本节课的收获。 2.你会数日常生活中10以内的 物体的数目吗？ 1.说说本节课的收获。 2.自由谈一谈。 五、教学板书 六、教学反思 本节课由于是新生入学的第一堂课，学生会出现紧张情绪，首先运用轻松的谈话提高学生学习兴趣。然后引导学生观察主题图说说看到了哪些实物，通过同桌、小组合作交流数一数它们的数量，提高了学生数数的能力、观察能力。许多学生没入学前就会数数，这里学生需要的是掌握数数的正确方法，通过一定的方法和技巧来达到不重复、不遗漏的目的。最后，通过说一说、数一数身边的事物等例子将数与学生生活紧密联系在一起，让学生知道了数学就在我们身边。 教师点评和总结：

二年级举一反三(含答案)-第03讲--按规律填数

按规律填数. 1、15，5，12，5，9，5，（），（） 2、5，9，10，8，15，7，（），（） 3、25，4，20，4，15，4，（），（） 4、8，7，10，6，12，5，（），（） 5、（），（），7，34，7，36，7，38 6、（），（），5，4，9，6，13，8 7、16，3，8，9，4，（），（）8、40，16，20，8，10，4，（），（） 9、0，1，2，3，6，7，（），（） 10、1，2，4，5，10，（），（） 11、3，6，5，10，9，（），（） 12、3，6，12，（），（） 13、30，15，14，7，6，（），（） 14、2，3，4，3，4，5，4，5，6，（）（） 1．在空格里填上适当的数。 2．在空格里填上适当的数。 3．根据下左图内四个数字之间的关系，填出下右图空格内的数字。 4．按规律填图。 在空格中填入合适的数。 1．按规律填空。 2．按规律填空。 3．按规律填空。

应用题（一） 专题简析 我们已经会解答一般计算的应用题了，如果改变条件的说法，由直接告诉的条件变为需要计算才知道的条件，那么一步应用题就变为两步应用题了。 解答两步应用题时，先要找出条件和所求问题，再根据已知条件，找到隐蔽的条件，最后解决题中的问题，两个量进行比较时，一定要弄清谁多谁少，是求多的数量，还是求少的数量，再确定正确的方法。 例题1 二（1）班有59个同学，二（2）班有25个女生，26个男生，二（1）班比二（2）班多几个同学？ 【思路导航】二（2）班女生有25个，男生有26个，可以求出二（2）班一共有25＋26 =51（个）同学，而二（1）班有59个同学，二（2）班有51个同学。59－51=8（个），这就是二（1）班比二（2）班多的同学的个数。列式如下： 59－（25＋26） = 59－51 = 8（个） 答：二（1）班比二（2）班多8个同学 练习一 1．解放军某部长途行军，第一天走40千米，第二天上午走18千米，下午走15千米，比第二天多走几千米？ 2．城中小学五月份用电1530度电，六月份上半月用电780度，下半月用电660度，城中小学五月份比六月份多用多少度电？ 3．红星村去年栽果树350棵，今年，又栽了200棵杨树和170棵柳树，今年栽的树比去年栽的树多多少棵？ 例题2 王奶奶家养了45只鸭子、70只鸡，养的鹅的只数和鸭同样多，鸡、鸭、鹅共多少只？ 【思路导航】因为鹅的只数和鸭同样多，鸭子45只，鹅因此也是45只。鸡、鸭、鹅共多少只也就是把鸡、鸭、鹅的只数合起来。 45＋70＋45 = 115＋45 = 160（只） 答：鸡、鸭、鹅共160只。 练习二 1．妈妈买了10斤苹果，8斤梨，买的橘子和苹果一样重，共买来水果多少斤？ 2．图书室有连环画128本，文艺书96本，买来的故事书比连环画与文艺书的总和少80本。图书室有故事书多少本？

小学数学数的运算练习题

小学数学数的运算练习 题 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

（2）数的运算 一、口算： 36＋48＝ 920－460＝ 570÷10＝÷＝ 4－＝×8＝×25％＝1 2 × 1 3 ＝ ＋＝÷＝2 5 ÷3＝ 1 2 ÷ 1 8 ＝ 298＋405≈ 802－396 ≈ 38×51≈ 432÷48≈二、估一估下面各题的结果，并把错误的改过来。 3500－700＝3200 791＋118＝809 110×41＝410 204÷2＝12 29×49＝1501 986÷22＝53 三、在横线上填上适当的数，并在括号里写出所用的运算定律。（1）、＋＋=＋＋ ( ) （2）、＋＋=＋( ＋ ) ( ) （3）、××4=×( × ) ( ) （4）、×( 1 6 ＋ 7 8 )= ×＋× ( ) 四、在下面括号内填上合适的数，使各题能用简便的方法计算 10－4 7 －（）（ 5 8 ＋ 2 3 ）×（） 5（）× 7 13 ×（） 7 9 ÷（）＋ 5 11 × 2 9 五、算一算。 ①、三个连续偶数的和是12，它们的积是多少 ②小明把3（X－6）错写成3X－6，结果比原来少多少 ③已知一个质数P与一个奇数Q之和等于12，求P、Q的值。 ④一个小数的小数点向右移动一位，比原数大，原来这个的小数是多少 ⑤一个分数的分母比分子大13，分子增加3以后，得到一个新的分数，把这个 分数化成最简分数是1 3 ，原来的分数是多少 六、计算（能简算的要用简便的方法计算）。 （54 ＋ 9 13 ）÷9 276× 2 7 ÷×＋%

＋＋＋÷÷××25×8－－××32 （－×）÷ （7 20＋ 11 50 ＋ 6 25 ）÷ 2 5 ÷×2－ 11 16＋ 8 13 －（ 11 16 － 5 13 ）（ 3 4 ＋ 2 5 ）×20＋ 5 12 2500÷5 6 ＋2500× 4 5 375＋(5706－5706)÷48 3 5÷( 4 5 ＋ 5 8 × 2 15 ) （ 2 3 ＋ 7 9 × 9 28 ）÷ 11 12 105×13－1890÷18 18×25%＋1 4 ×60＋42× ×[ ÷（－）] 9 36 ÷[ 3 4 －（ 7 16 － 1 4 ）] 七、应用题 1、根据算式补充条件，编成不同的简单应用题。 某农场二月份生产牛奶吨，，三月份生产牛奶多少吨

中班数学教案《有趣的数字》

中班数学《有趣的数字》 设计意图：数字对幼儿来说是枯燥的，为了激发幼儿对数字的兴趣，我设计这堂以游戏为主的课，并通过对实物的观察，让幼儿了解数字在生活中是无处不在的，以激发幼儿在生活中观察数字的兴趣。 活动目标： 1.激发幼儿对数字的兴趣 2.发现生活中的数字，知道数字无处不在。 3.运用数字进行游戏活动，从中体验活动的乐趣。活动准备: 1.两行五列表格一张，藏有数字的表格一张。 2.数字排列图若干. 3.数字连线画、笔人手一份. 活动过程：一：猜想数字，激发兴趣 1.出示空表格，让幼儿数数有几个格子。（10 个）“小朋友你们喜欢捉迷藏吗？喜欢。今天有几个数字宝宝要和我们捉迷藏，你们想不想玩？（想）” 2.出示藏有数字的表格“你们看每个格子里都躲着一个不同的数字，它要小朋友的亮眼睛给找出来，谁来找一找。” 3.老师引导幼儿逐一寻找藏着的数字. 4.幼儿完整地读数字两遍。二：用不同的方法给数字排队 1.让小朋友找出最大和最小的数字。 “小朋友这 10个数字中谁最大，谁最小？（9 最大，0最小）” 2.让小朋友给数字从小到大排序 “小朋友我们来给数字排排队，要求从小到大排，谁来排一排？” 3.让小朋友给数字从大到小排 “刚才小朋友真能干，把数字从小到大排队，现在谁能它倒过来排一排？” 4.让小朋友想想还有什么不同的排法 “小朋友你们还想到什么排法吗？”老师出示几张排列图标，问幼儿像什么？三：在日常生活中数字的用处 1.让小朋友找出平时接触的数字 “小朋友你们平时在家里或其它位子看到过，用到过这些数字吗？谁来讲一件。” 2.老师出示相关的数字实物 “小朋友你们看这些是什么？上面有数字吗？你知道这些数字有什么用吗？”小朋友逐一回答后老师总结（有些数字是告诉我们时间的，比如说闹钟上的数字，日历上的数字.有些数字是告诉我们位子的，比如说小朋友在幼儿园茶杯摆放的位子，书目录上的数字。有些数字是告诉我们数量多少的，比如说药瓶上的数字，饮料上的数字.） 四、玩一玩，体验数字的有趣 1. 如果老师把数字用一种画画的方式画下来，会发生什么情况？ 2. 小朋友们看看，这是什么东西？（小鸡）找找小鸡身上有数字吗？看 3 又跑到别的地方去了，找一找（冰淇淋）我们再来看一个，这次数字娃娃多起来了，小朋友仔细找找。 3.用数字来画画竟然能画出这么多好玩的东西，看，这幅图上画的是什么？。

【免费】小学二年级数学下册按规律填数-奥数(全)

小学二年级数学下册按规律填数-奥数（全） 我们经常会看到按一定规律排列起来的一列数，如果要接在一列数后面再写几个数，就要仔细观察这列数中已经出现的几个数之间有什么规律，找准了规律，就能按规律接下去填数了。 按规律填数不是很容易就填对的，要运用数的顺序和加、减、乘法的知识，通过仔细观察，根据同组数排列的顺序和前后、上下之间的相互关系，才能找出数与数间的排列规律。 例题1 按规律填数。 （1）15，5，12，5，9，5，（），（） （2）5，9，10，8，15，7，（），（） 【思路导航】 （1）第一个数15减去3是第三个数12，第三个数12减去3是第五个数9，第二、四、六个数不变，根据这一规律，第七个数是9－3 = 6，第八个数还是5。 （2）第一个数5加上5的和是第三个数10，第三个数10加上5的和是第五个数15，第二个数9减去1的差是第四个数8，第四个数8减去1是第六个数7，根据这一规律，第七个数应是15＋5 = 20，第八个数应是7－1 = 6，即20和6。 练习一

1．找规律填数。 25，4，20，4，15，4，（），（） 8，7，10，6，12，5，（），（） 2．找规律填数。 （），（），7，34，7，36，7，38 （），（），5，4，9，6，13，8 3．找规律填数。 16，3，8，9，4，（），（） 40，16，20，8，10，4，（），（） 例题2 仔细观察，找规律填数。 0，1，2，3，6，7，（），（） 【思路导航】这里第一个数加上1得到第二个数（0＋1 = 1），第二个数乘2得第三个数（1×2 = 2），这里第三个数加上1得到第四个数（2＋1 = 3），第四个数乘2得第五个数（3×2 = 6），.即根据加1，乘2；加1，乘2……的规律，可以确定括号内应填7×2 = 14，14＋1 = 15，即14，15这两个数。 练习二 按规律填数。 1．1，2，4，5，10，（），（） 2．3，6，5，10，9，（），（） 3．3，6，12，（），（）

小学数学数的运算练习题

小学数学数的运算练习题 一、口算： 36＋48＝ 920－460＝ 570÷10＝ 12.5÷0.5＝ 4－2.4＝ 0.125×8＝ 3.6×25％＝ 12 ×13 ＝ 3.5＋4.7＝ 0.23÷0.1＝ 25 ÷3＝ 12 ÷18 ＝ 298＋405≈ 802－396 ≈ 38×51≈ 432÷48≈ 二、估一估下面各题的结果,并把错误的改过来。 3500－700＝3200 791＋118＝809 110×41＝410 204÷2＝12 29×49＝1501 986÷22＝53 三、在横线上填上适当的数,并在括号里写出所用的运算定律。 （1）、4.65＋6.39＋5.35=4.65＋ ＋6.39 ( ) （2）、32.58＋3.4＋6.6=32.56＋( ＋ ) ( ) （3）、0.25×7.65×4=7.65×( × ) ( ) （4）、4.8×( 16 ＋78 )= × ＋ × ( ) 四、在下面括号内填上合适的数,使各题能用简便的方法计算 10－47 －（ ） （58 ＋23 ）×（ ） 5（ ） ×713 ×（ ） 79 ÷（ ）＋511 ×29 五、算一算。 ①、三个连续偶数的和是12,它们的积是多少？ ②小明把3（X －6）错写成3X －6,结果比原来少多少？ ③已知一个质数P 与一个奇数Q 之和等于12,求P 、Q 的值。 ④一个小数的小数点向右移动一位,比原数大5.4,原来这个的小数是多少？ ⑤一个分数的分母比分子大13,分子增加3以后,得到一个新的分数,把这个分数化成最简分 数是13 ,原来的分数是多少？ 六、计算（能简算的要用简便的方法计算）。 （54 ＋ 913 ）÷9 276×27 ÷27.6 9.25×9.9＋92.5% 5.48＋8.73＋4.52＋1.27 9.7÷1.25÷0.8 0.4×1.25×25×8 17.5－4.25－5.75 0.125×0.25×32 （6.3－6.3×0.9）÷6.3

大班数学-有趣的数字宝宝

大班数学－有趣的数字宝宝 XX大班数学：有趣的数字宝宝设计意图:生活中处处有数字，可以说我们生活在一个数字的世界中。 《指南》中指出：教师应引导幼儿关注周围与自已生活密切相关的数的信息，了解和感受数用在不同的地方，表示的意义是不一样的，从中体会数字的用处。 大班幼儿已经对数字有了一定的认识，但对数字可以按怎样的顺序排，在我们的生活中有什么作用概念是模糊的，在这一精神的指导下，我构思了大班数学活动《有趣的数字宝宝》。 那么如何让神奇的阿拉伯数字凸显它的有趣呢？在《指南》的引领下，结合大班初期幼儿的年龄特点，在《有趣的数字宝宝》活动中，我以数字宝宝为载体，以趣字为切入口，为幼儿创设了一个有准备的环境，把抽象枯燥的数学内容变成有趣的游戏活动，通过藏数字—排数字—玩数字—说数字—画数字这个游戏主线，使幼儿在轻松自由的环境中主动去探索学习，运用不同的方法进行排序，在动手操作中观察比较体验理解，并内化迁移为自己的概念知识。 活动目标：．在认识数字-的前提下，探索运用不同的方法进行排序。 ．在观察比较中，了解发现数字在生活中的运用。 ．感知数字排列的有趣和有用。 活动重点：探索运用不同的方法进行排序。 活动准备：课件人手一份-数字操作卡黑板纸笔活动过程：一情景

导入，整体感知出示，以游戏《数字王国大闯关》激发幼儿兴趣。 第一关游戏：数字宝宝捉迷藏．出示，幼儿观察。 提问：数一数，一共有几个格子？．出示，幼儿猜数字宝宝。 教师根据幼儿回答，点击课件验证结果。 师：每个格子里都藏着一个不同的数字宝宝，请你猜一猜，它们分别是数字几？二自主操作，大胆探索第二关游戏．第一次幼儿探索操作请小朋友按从小到大从大到小的顺序排列。 ．第二次幼儿探索操作幼儿操作后，集中讨论，请幼儿说一说自己的排列方法．展示各种排列方式幼儿观察，了解顺时针三角形等各种排列法三师幼互动，实践运用第三关游戏：我是数字宝宝将幼儿分成黄绿两队，每个幼儿当数字宝宝，根据指令进行排队。 四拓展思维，延伸迁移幼儿交流讨论，说说生活中的数字。 教师展示各类生活用品，引导幼儿理解数字的意义。 教师小结颁发奖品五课后延伸——画数字画XX

最新二年级数学找规律练习题及答案

数学找规律练习题 1．按照下面所绘图形的排列规律;第25个图形是________．（画出草图）□△○△□△○△□△○△…… 2．仔细观察下面的图;想一想;第3幅图问号处应填什么图形？ 3．仔细观察下面的图形;想一想;第4幅图应画怎样的图形？ 4．根据下面前三幅图的变化规律;在第4幅图中画出阴影部分． 5．想一想;方框内应有多少个小圆点？

6．按照图形的变化规律;在“？”处画出相符的图形． 7．观察图的排列规律;在“？”处填上恰当的图形． 8．下面哪个图形和其他几个图形不一样;找出来;并打上“√”． 9．观察下列黑白小球的排列规律;然后回答方框内有几个白球;几个黑球？

10．四个小动物排座位;如下图：一开始;小老鼠坐在第1号;小猴子坐第2号;小兔坐第3号;小猫坐第4号．以后它们多次地交换位子：第一次上下两排交换;第二次（在第一次交换之后）左右两列交换;第三次上下两排交换;第四次左右两列交换;……这样换下去;问：第十次交换后;小兔子坐在第几号位子上？ 答案 1．□ 提示：在这列图形中出现的图形有：正方形、三角形、圆;且三种图形出现的规律是：按照正方形→三角形→圆→三角形的顺序4个一组循环出现．因25÷4＝6……1;所以横线上应填第一个图形;即正方形． 2．☆△

提示：观察前两组图形可知;第一、二组都是由□○☆△组成;但顺序不同．第一组中的左边两个;在第二组中变为右边两个;而另外三个按原来的顺序移到了最左边．按此规律;“？”处应分别填上“☆”“△”． 3．提示：观察前三幅图;大圆内都是■○△◇组成的;第一幅图中的图形按逆时针方向旋转可得到第二幅图形;第二幅图形按逆时针方向旋转可得到第三幅图形;同理可推得第四幅图形． 4．提示：第一幅图的阴影部分均按顺时针方向旋转一格便可得到第二幅图;第二幅图中的阴影部分均按顺时针方向旋转一格便可得到第三幅图;由此;第三幅图中的阴影部分均按顺时针方向旋转一格便可得到第四幅图． 5．方框内应填25个圆点． 6．提示：观察前三幅图可知;前一幅图按逆时针方向旋转一格便可得到下一幅图．

幼儿园大班数学教案《有趣的数字》

幼儿园大班数学教案《有趣的数字》活动目标： 1. 喜欢数学活动，感受数字的有趣。 2. 能有意识地观察生活中的数字。 3. 能发挥想象给数字变出更多的造型。 4. 培养幼儿的尝试精神，发展幼儿思维的敏捷性、逻辑性。 5. 初步培养观察、比较和反应能力。 活动准备： 1. 两组数字卡片 2. 三张卡纸，上面有10种颜色的小方形。 3. PPT课件 活动过程： 一、巩固数字0—9 1. 师：今天老师带来了一张纸，上面有很多不同颜色的方格，我请小朋友说说上面有几个格子。(请小朋友说完之后大家一起数一数) 2. 师：小朋友，橙色的格子上是数字几?(1)每个不同颜色的格子上都有不一样的数字宝宝，我请小朋友来猜一猜。 3. 师：小朋友把数字宝宝都猜出来了，考验下朋

友的时候到了，现在我点到一个数字小朋友要快速得把它念出来。 二、数字的队形 1. 师：这10个数字中，哪个数字最大?哪个数字最小?如果让你来给这10个数字排队你会怎么排?(引导小朋友从大到小和从小到大) 2. 师：数字宝宝除了可以像刚才一样有规律的进行排队之外，它还有很多种排法，我们一起来看看。(播放PPT，圆形、三角形、长方形) 三、生活中的数字 1. 师：我想小朋友对这些数字应该都是非常熟悉的，因为它总是在我们的生活中出现。现在我要请小朋友说说你在生活的什么地方见过数字宝宝，它们又有什么作用呢? 2. 师：老师也带来了一些数字宝宝，我们一起看看它们都出现在什么地方。(播放PPT，日历、药瓶、体温计、目录) 3. 总结：生活中的数字有的是告诉我们时间，有的是告诉我们力量、温度或者是长度。生活中出现不同的数字都有不一样的用处。 四、数字变变变 1. 师：现在数字宝宝要跟你玩一个数字变变变的

小学数学加减乘除计算运算法则

运算法则 1. 整数加法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则： 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

数学活动：有趣的数字

数学活动：有趣的数字 活动目标 1、发现生活中的数字，初步了解它们的不同用途。 2、学习运用数字解决生活中的一些实际问题，从中体验活动的乐趣。 3、激发对数字的兴趣，培养幼儿积极关注身边事物的情感态度。 活动准备 1、收集生活中常见的有数字的物品进行展览。 2、教具：0~9数字卡若干套，与幼儿人数相等的“我的名片”，水彩笔等。 3、拍摄生活中有数字的场景录像资料：如汽车牌照、公共汽车站牌、居民住宅楼、钟楼、红绿灯、邮编。。。。。 活动过程： 一、找一找：发现物品上的数字 1、通过参观展览的形式让小朋友发现物品上的数字。 2、相互交流： ①你发现这些物品上都有什么？（数字——出示字卡） ②你发现了哪些数字？（出示0-9数字） 二、猜一猜：了解数字的用途 1、这些物品上的数字有什么用呢？（幼儿结合具体的物品，凭借自身生活经验，互相交流、猜测这些物品上数字的用途） 师小结：原来，数字就在我们身边，我们的周围到处都有数字，小朋友还在哪些地方看到过数字呢？ 2、幼儿回忆、讲述生活中见过的数字。 3、观看录像，了解生活中更多的数字。 师：你们还看到过这些地方的数字吗？这些数字又表示什么意思呢？ ①幼儿再次发现、寻找并思考：数字的用途。 ②交流：鼓励幼儿积极提问，老师和幼儿一起解答疑问并出示相关的图片。 4、小结：原来，数字的用处还真多呢！它们有的用来编号，有的用来表示时间、地址，有的用来表示时间、地址，有的用处表示商品的价格，说明物品的生产日期、保质期、重量等等，给我们的生活带来了许多方便。数字的用处还有好多呢，我们以后再去找一找，好吗？ 三、玩一玩：数字组合游戏 师：其实，这些数字早就悄悄地来到小朋友的椅子底下，小朋友把它请出来吧！ 1、游戏准备：看一看，你拿到的是哪两个数字？把小卡片上的数字贴在椅子上，大卡片上的数字拿在手里，数字朋友要来跟我们玩游戏呢！ 2、游戏“找座位”：要求找到比手里的数字多1的座位号坐下。 3、发现问题：“9”找不到座位，怎么办？ 4、导出数的组合：发现1和0可以组合成“10”，让9找到组合成的数字“10”的座位。 1 2 下一页 5、想一想：数字的其他组合法： “1、1、0”可以组合成“110”。。。。。表示特殊的电话号码。“0、1、2、5、8。。。。。”可以组合成58210285的电话号码。“1、4、6、8”可以组合成数字1468，表示数的多少，也可以表示家庭电话号码，还可以表示你的生日呢！ 6、幼儿分组来数字组合游戏： 你还想用这些数字组合成一个什么特别有意义的编码呢？看谁组合得多？

二年级举一反三含答案第讲按规律填数

二年级举一反三含答案第讲按规律填数 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

按规律填数 二年级第03讲. 专题简析 我们经常会看到按一定规律排列起来的一列数，如果要接在一列数后面再写几个数，就要仔细观察这列数中已经出现的几个数之间有什么规律，找准了规律，就能按规律接下去填数了。 按规律填数不是很容易就填对的，要运用数的顺序和加、减、乘法的知识，通过仔细观察，根据同组数排列的顺序和前后、上下之间的相互关系，才能找出数与数间的排列规律。 . 例题1 按规律填数。 （1）15，5，12，5，9，5，（），（） （2）5，9，10，8，15，7，（），（） 【思路导航】 （1）第一个数15减去3是第三个数12，第三个数12减去3是第五个数9，第二、四、六个数不变，根据这一规律，第七个数是9－3=6，第八个数还是5。 （2）第一个数5加上5的和是第三个数10，第三个数10加上5的和是第五个数15，第二个数9减去1的差是第四个数8，第四个数8减去1是第六个数7，根据这一规律，第七个数应是15 ＋5=20，第八个数应是7－1=6，即20和6。 . 练习一 1．找规律填数。 25，4，20，4，15，4，（），（） 8，7，10，6，12，5，（），（） 2．找规律填数。 （），（），7，34，7，36，7，38 （），（），5，4，9，6，13，8 3．找规律填数。 16，3，8，9，4，（），（） 40，16，20，8，10，4，（），（） . 例题2 仔细观察，找规律填数。 0，1，2，3，6，7，（），（） 【思路导航】这里第一个数加上1得到第二个数（0＋1=1），第二个数乘2得第三个数（1× 2=2），这里第三个数加上1得到第四个数（2＋1=3），第四个数乘2得第五个数（3×2=6），.即根据加1，乘2；加1，乘2……的规律，可以确定括号内应填7×2=14，14＋1=15，即14，15这两个数。 . 练习二 按规律填数。 1．1，2，4，5，10，（），（） 2．3，6，5，10，9，（），（）

人教版小学数学六年级下册《数的运算》教学设计

人教版小学数学六年级下册《数的运算》教 学设计 【学习内容】人教版小学数学六年级下册第80-81页。【学习目标】： 1、归纳整理整数、小数、分数四则运算的意义，计算方法和运算定律。 2、能运用法则熟练计算。 3、对知识归类整理、比较异同、形成知识结构。 4、运用所学知识解决简单的实际问题的能力。 【学习重点】：归类整理、熟练计算。 【学习难点】：归类整理、比较异同、形成知识结构。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。 【设计特色】： 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代

二年级按规律填数

按规律填数 数学是奇妙的，他的奇妙性不仅体现在内容的有趣性、丰富性。还有就是数学奇妙的规律性。经过小学生严谨的推理思考，你会发现数学的各种各样的规律。今天跟大家一起来看一下，规律性的填数（寻找图形的规律会在下周一跟大家一起探索）。 找规律填数是学生正确、迅速地从己给的一些数中找出它们变化的规律，填上空缺的数，这就需要根据这些数之间的关系，仔细观察前后两个数或间隔的两个数之间的关系，进行合理的分析、推算，找出规律，得到应该填的数。通过这样的练习，学生们不仅感到学数学有无穷的乐趣，而且还长了知识、长了智慧。 例1：按规律填数 1、2、3、4、（） 观察本组数字规律，会发现，这是一个自然数序列的一部分。每个数都比前一个数大1，所以，（）内应该填5 例2：2、4、6、8、（） 本组数字中，每个数字都比前一个数字多2，所以（）应填10.并且本组数都是偶数，他们分别是2的1倍、2倍、3倍、4倍和5倍。 例3：1、4、7、10、（） 本组数字中每个数比前一个数大3，所以（）应填13。 那我们一起来小试牛刀吧 ①1、3、5、7、（） ②0、5、10、15、（） ③20、15、10、（） ④19、16、13、（） 前面几个题相信大家都热过身了，下面一起来接受高难度的挑战吧！ 例4：1、2、4、7、11、（） 这一排数的规律是：第二个数2比第一个数1多1，第三个数4比第二个数2多2，第四个数7比第三个数4多3，第五个数11比第四个数7多4，也就是按1、2、3、4…一次增加，那么第六个数就应该比第五个数11多5. 来吧，战胜下面几个题就证明你很好的掌握了这个规律 ⑤1、2、5、10、（） ⑥0、2、6、12、（） ⑦1、2、3、5、8、（）

小学二年级奥数第3讲 按规律填数(含答案)

第3讲按规律填数 【专题简析】 我们经常会看到按一定规律排列起来的一列数，如果要接在一列数后面再写几个数，就要仔细观察这列数中已经出现的几个数之间有什么规律，找准了规律，就能按规律接下去填数了。 按规律填数不是很容易就填对的，要运用数的顺序和加、减、乘法的知识，通过仔细观察，根据同组数排列的顺序和前后、上下之间的相互关系，才能找出数与数间的排列规律。【例题1】 按规律填数。 （1）15，5，12，5，9，5，（），（） （2）5，9，10，8，15，7，（），（） 思路导航:（1）第一个数15减去3是第三个数12，第三个数12减去3是第五个数9，第二、四、六个数不变，根据这一规律，第七个数是9－3 = 6，第八个数还是5。 （2）第一个数5加上5的和是第三个数10，第三个数10加上5的和是第五个数15，第二个数9减去1的差是第四个数8，第四个数8减去1是第六个数7，根据这一规律，第七个数应是15＋5 = 20，第八个数应是7－1 = 6，即20和6。 练习1 1．找规律填数。 25，4，20，4，15，4，（），（） 8，7，10，6，12，5，（），（） 2．找规律填数。 （），（），7，34，7，36，7，38 （），（），5，4，9，6，13，8 3．找规律填数。 16，3，8，9，4，（），（） 40，16，20，8，10，4，（），（）

【例题2】 仔细观察，找规律填数。 0，1，2，3，6，7，（），（） 思路导航:这里第一个数加上1得到第二个数（0＋1 = 1），第二个数乘2得第三个数（1×2 = 2），这里第三个数加上1得到第四个数（2＋1 = 3），第四个数乘2得第五个数（3×2 = 6），.即根据加1，乘2；加1，乘2……的规律，可以确定括号内应填7×2 = 14，14＋1 = 15，即14，15这两个数。 练习2 按规律填数。 1．1，2，4，5，10，（），（） 2．3，6，5，10，9，（），（） 3．3，6，12，（），（） 4．30，15，14，7，6，（），（） 5．2，3，4，3，4，5，4，5，6，（），（） 【例题3】 在空格中填上合适的数。 思路导航:表格中的数分上下两排，每排的数各有自己的规律，上排的数是从4开始依次加2，加3，加4得到，这样最后一个数就是13＋5 = 18。下排的数是从5开始依次加4，加6，加 8得到，这样下排最后一个数就是23＋10 = 33，所以空格中应填。 练习3 1．在空格里填上适当的数。

小学数学数的运算法则

小学数学数的运算法则 数的运算法则 一整数四则运算的法则 1、整数加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 加数+加数=和一个加数=和-另一个加数 2、整数减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 3、整数乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 一个因数× 一个因数 =积一个因数=积÷另一个因数 4、整数除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数 5、乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如3 × 3 =32 二小数四则运算 1、小数加法： 小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2、小数减法： 小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3、小数乘法： 小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 4、小数除法： 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 三分数四则运算 1、分数加法： 分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2、分数减法： 分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3、分数乘法： 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 4、分数除法： 分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 四运算定律 1、加法运算定律

大班数学活动 有趣的数字

大班数学活动有趣的数字 活动目标： 1、正确认读10以内的阿拉伯数字，能发现生活中数字的多种用途，以及在人们生活中的实际意义。 2、感受数字的丰富变化，体验观察、思考的乐趣。 3、会制作自己的号码牌。 活动准备： 1、5组电话号码和5个不同动物。 2、幼儿在日常生活中收集的有数字的物品。 活动过程： 1、巩固对1～10数字特征的认知。 （1）欣赏数字笑话，引发幼儿对数字外形特征的兴趣。 师：一天，0跟8在路上相遇，0不屑地看了8一眼，说：“胖就胖呗，还系什么裤腰带啊？” 0遇到了10，很同情地说：“哎，怎么拄上拐杖啦？” 2对5说：“该把肚皮收一收啦。” 6碰到了9，6不屑地说：“走就走呗，还玩什么倒立啊！” （2）出示1～10数卡，请幼儿找出外形相象的数字，如：1和7、6和8等，并谈谈它们的区别。 2、数字变变变。 （1）游戏：上幼儿园。图上的小动物今天没来上幼儿园，是什么原因？我们怎么与它们联系呢？（引出打电话的方式） （2）将电话号码与小动物匹配。出示5组数字相同、排列不一的电话号码，与5只小动物相匹配，引导幼儿观察，寻找共同点，发现相同的数字可以用不同的排列方式。（3）提问：这些是5个小动物家的电话号码，它们有什么相同的地方？5个电话号码由相同的5个数字组成，为什么能打到不同的小动物家呢？ 小结：相同的几个数字，经过不同的排列可以变化出不同的电话号码。 3、结合自己收集的材料，谈谈材料上有哪些数字，这些数字有什么作用。（1）师：在数字王国里有几个朋友？是哪几个朋友？小游戏：你会读吗？（2）师：生活中有那么多的数字，你在哪里发现了数字，这些数字有什么作用呢？ 讨论：如果生活中没有数字会怎么样？ （3）制作号码牌。 师：我们班一共几组？每组有多少人呢？（6组、6人）。 请每组幼儿分别站起来报数：1～6号。 师：第一组有3号，第二、三、四、五、六组也都有3号，有什么方法可以区分呢？让大家清楚地知道是第几组的3号。 幼儿讨论：为自己制作一个特别的号码牌。幼儿自制号码牌。交流讨论：谁的方法最好。