2014年全国高考理科数学试题及答案-天津卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅰ卷

参考公式：

?如果事件A ，B 互斥，那么 ?如果事件A ，B 相互独立，那么

()()()P A B P A P B =+

()()()P AB P A P B =.

?圆柱的体积公式V Sh =. ?圆锥的体积公式1

3

V Sh =

. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，

h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

（1）i 是虚数单位，复数

734i

i

+=+（ ）

（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）

17312525i + （D ）172577

i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,

20,12,y x y y x +-?≥--≤≥?

???

则目标函数2z x y =+的

最小值为（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）

（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945

（4）函数()()

212

log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）

（A ）()0,+￥ （B ）(),0-￥ （C ）()2,+￥

（D ）(),2-?

E

D C

B

A

（5）已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的

一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）

（A ）

221520x y -= （B ）22

1205x y -= （C ）

2233125100x y -= （D ）22

33110025

x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC D的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的

圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF D；

②2

FB FD FA = ； ③AE CE BE DE ? ； ④AF BD

AB BF ? .

则所有正确结论的序号是（ ）

（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R ?，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ）

（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD

?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，

DF DC m =.若1AE AF

?，2

3

CE CF

?-，则l m +=（ ） （A ）

12 （B ）23 （C ）56 （D ）712

第Ⅱ卷

注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）

（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校

四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. （10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体

积为_______3

m .

（11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.

若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. （12）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知

1

4

b c a -=

，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______. （13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相

交于,A B 两点.若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________.

（14）已知函数()2

3f x x x =+，x R ?.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则

实数a 的取值范围为__________.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）

已知函数(

)2

cos sin 3f x x x x π?

?

=?+-+ ?

?

?，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ??

-????

上的最大值和最小值.

（16）（本小题满分13分）

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）

.

俯视图

侧视图

正视图

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，

2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.

（Ⅰ）证明 BE DC ^；

（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角

F AB P --的余弦值.

（18）（本小题满分13分）

设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知

12AB F =

. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该

圆相切. 求直线的斜率.

（19）（本小题满分14分）

已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,

q M =-，集合

{}112,,1,2,

,n n i A x x x x q x q x M i

n -+?==++

.

（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A ?，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中

（20）（本小题满分14分）

已知函数()x f x x ae =-()a R ?，x R ?.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明

2

1

x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.

x

参考答案

一、选择题

（1）i 是虚数单位，复数

734i

i

+=+（ ）

（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）

17312525i + （D ）172577

i -+ 解：A

()()()()73472525134343425

i i i

i i i i i +-+-===-++-. （2）设变量x ，y 满足约束条件0,

20,12,y x y y x +-?≥--≤≥?

???

则目标函数2z x y =+的最

小值为（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

解：B 作出可行域，如图。结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）

时，z 取得最小值3.

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945

解：B 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；

3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.

（4）函数()()

212

log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）

（A ）()0,+￥ （B ）(),0-￥ （C ）()2,+￥

（D ）(),2-?

解：D 2

40x ->，解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的

单调递增区间为(),2-?.

F

E

D C

B

A

（5）已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的

一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）

（A ）

221520x y -= （B ）22

1205x y -= （C ）

2233125100x y -= （D ）22

33110025

x y -= 解：A 依题意得22225b a c c a b

ì?=???=í???=+??，所以25a =，220b =，双曲线的方程为

221520x y -=. （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC D的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的

圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结

论：①BD 平分CBF D；②2

FB FD FA = ；③AE CE BE DE ? ；

④AF BD

AB BF ? .

则所有正确结论的序号是（ ）

（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：D 由弦切角定理得FBD

EAC BAE ?? ，又

BFD AFB ? ，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BD

AF AB

=，即AF BD

AB BF ? ，排除A 、C.

又FBD

EAC DBC ?? ，排除B.

（7）设,a b R ?，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ）

（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件

解：C 设()f x x x =，则()220,0

,x x x x f x ì?3-=í”是“a a b b >”的充要条件.

（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD

?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，

DF DC m =.若1AE AF

?，2

3

CE CF ?-

，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712

解：C 因为120BAD ?，所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-.

因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+，AF AB AD m =+. 因为1AE AF

?，所以()()1AB AD AB AD l m +?=，即3

222

l m l m +-=

① 同理可得23l m l m --=-

②，①+②得56

l m +=. 第Ⅱ卷

注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，

拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 解：60 应从一年级抽取4

604556

300?

+++名.

（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何

体的体积为_______3

m . 解：

203p

该几何体的体积为212042233

p p p ?鬃=3m . （11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1

a 的值为__________. 解：12

-

依题意得2214S S S =，所以()()2

1112146a a a -=-，解得112a =-

.

俯视图

侧视图

正视图

（12）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1

4

b c a -=

，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______.

解：1

4

-

因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32c b =，2a c =.

所以2221

cos 24

b c a A bc +-=

=-. （13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是

等边三角形，则a 的值为___________.

解：3 圆的方程为()2

2

24x y +-=，直线为y a =.

因为AOB D

是等边三角形，所以其中一个交点坐标为a 骣÷

÷÷，代入圆的方程可得3a =. （14）已知函数()2

3f x x x =+，x R ?.若方程

()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取

值范围为__________. 解：01a <<或9a >

显然0a >.

（ⅰ）当()1y a x =--与2

3y x x =--相切时，1a =，此时

()10f x a x --=恰有3个互异的实数根.

（ⅱ）当直线()1y a x =-与函数2

3y x x =+相切时，9a =，

此时()10f x a x --=恰有2个互异的实数根. 结合图象可知01a <<或9a >.

解2：显然1a 1，所以231

x x

a x +=-.

令1t x =-，则4

5a t t

=+

+.

t

因为(][),,4

44t t ?? +

+， 所以(][)4

5,19,t t

?ゥ+++.

结合图象可得01a <<或9a >.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）

已知函数()2

cos sin 3f x x x x π?

?

=?+-+ ?

?

?，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ??

-

????

上的最大值和最小值. （15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.

（Ⅰ）解：由已知，有()21cos sin 224

f x x x x x 骣

÷?÷=诅+-+

÷?÷?桫

21

sin cos 224

x x x =

?+

)1sin 21cos24x x =

-++

1

sin 24

x x =

- 1sin 223

x p

骣÷?=

-÷?÷?桫. 所以，()f x 的最小正周期22

T p

p =

=. （Ⅱ）解：因为()f x 在区间,412p p

轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌

上是增函数.

144

f p 骣÷?-=-÷?÷?桫，1

122

f p 骣÷?-=-÷?÷?桫，144

f p 骣÷?=÷?÷?桫.

所以，函数()f x 在闭区间,

44

p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为1

2-.

（16）（本小题满分13分）

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.

（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则

()12

03

3737310

4960

C C C C P A C ? =

=

. 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960

. 所以，()f x 的最小正周期22

T p

p =

=. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.

()346

3

10

k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以，随机变量X 的分布列是

随机变量X 的数学期望(

)1236

210305

0E X ? =+??.

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，

AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为

棱PC 的中点.

（Ⅰ）证明 BE DC ^；

（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值.

（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分. （方法一）

依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱

PC 的中点，得()1,1,1E .

（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ?. 所以，BE DC ^.

（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.

设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则0,

0,n BD n PB

ì???í

????即20,20.x y x z ì-+=??í?-=??

不妨令1y =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量.于是有

cos ,3

6n BE n BE n BE

×=

=

=

×所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为

3

. （Ⅲ）解：向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =.

由点F 在棱PC 上，设CF CP l =，01l

＃.

故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--. 由BF AC ^，得0BF AC

?，

C

因此，()()2122220l l -+-=，解得3

4

l =

.即113,,222BF 骣÷?=-÷?÷

?桫. 设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则110,

0,n AB n BF

ì???í

????即0,1130.2

22x x y z ì=??

?í?-++=??? 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则

121211

cos ,10

10n

n n n n n ×=

=

=-

×. 易知，二面角F AB P --. （方法二）

（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM .

由于,E M 分别为,PC PD 的中点， 故//EM DC ，且

1

2

EM DC =

，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM .

因为PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ， 因为AM ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，所以BE CD ^.

（Ⅱ）解：连接BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^.

又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，所以PD ^平面

BEM ，故平面

BEM ^平面PBD .

所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^

，可得EBM D为锐角，故

EBM D为直线BE

与平面PBD 所成的角.

依题意，有PD =，而

M 为PD 中点，可得AM =

BE =故在直角三角形BEM

中，tan EM AB EBM

BE BE ?==in s EMB ?.

所以，直线BE 与平面PBD

. （Ⅲ）解：如图，在PAC D 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .

因为PA ^底面ABCD ，故FH ^底面ABCD ，从而FH AC ^.又BF AC ^，得AC ^平面FHB ，因此

AC BH ^.

在底面ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =.

由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面. 由AB PA ^，AB AD ^，得AB ^平面PAD ，故AB AG ^. 所以PAG D为二面角F AB P --的平面角.

在PAG D 中，2PA =，14PG PD =

=

，45APG ?，

由余弦定理可得2

AG =

，os 0

c 1PAG ?.

所以，二面角F AB P --的斜率值为10

. （18）（本小题满分13分）

设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知

12AB F =

. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该

圆相切. 求直线的斜率.

（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代

数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .

由12AB F =

，可得2223a b c +=， 又2

2

2

b a

c =-，则221

2

c a =.

所以，椭圆的离心率2

e =

. ，所以22223a c c -=

，解得a =

，2

e =

. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2

2

2a c =，2

2

b c =.故椭圆方程为22

2212x y c c

+=.

设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =. 由已知，有11

0FP FB ?，即()000x c c y c ++=.又0c 1，故有

000x y c ++=. ①

又因为点P 在椭圆上，故

22

002212x y c c

+=. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-

，代入①得03

c

y =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷

?-÷?÷

?桫. 设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -

+=

=-，12323

c

c

y c +==，进而圆的半径

r =

. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.

由l

r =

3

=

， 整理得2

810k k -+=

，解得4k = 所以，直线l

的斜率为4+

或4-

（19）（本小题满分14分）

已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合

{}112,,1,2,

,n n i A x x x x q x q x M i

n -+?==++

.

（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A ?，112n n s a a q a q -=++

+，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M ?，

1,2,,

i n =. 证明：若n n a b <，则s t <.

（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.

（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i

==+?+.

可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =. （Ⅱ）证明：由,s t A ?，112n n s a a q a q -=++

+，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M ?，

1,2,,

i n =及n n a b <，可得

()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-+

+-+-

()()()21111n n q

q q q q q --?+-++--

()()

11111n n q q q q

----=

--

10=-<. 所以，s t <.

（20）（本小题满分14分）

已知函数()x f x x ae =-()a R ?，x R ?.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明

2

1

x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.

（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （Ⅰ）解：由()x f x x ae =-，可得()1x f x ae ￠=-.

下面分两种情况讨论： （1）0a ￡时

()0f x ￠>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意. （2）0a >时，

由()0f x ￠=，得ln x a =-.

当x 变化时，()f x ￠，()f x 的变化情况如下表：

这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+￥.

于是，“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°()ln 0f a ->；2°存在()1,ln a s ??，满足()10f s <；

3°存在()2ln ,a s ?

+ ，满足()20f s <.

由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得1

0a e -<<，而此时，取10s =，满足

()1,ln a s ??，且()10f s a =-<；取222

ln s a a

=

+，满足()2ln ,a s ?+ ，且

()22222ln 0a a f s e e a a 骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫

. 所以，a 的取值范围是()1

0,e

-.

（Ⅱ）证明：由()0x f x x ae =-=，有x

x a e =

. 设()x x g x e =，由()1x

x

g x e -￠=，知()g x 在(),1-￥上单调递增，在()1,+￥上单调递减. 并

且，当(],0x ?

时，()0g x ￡；当()0,x ? 时，()0g x >.

由已知，12,x x 满足()1a g x =，()2a g x =. 由()1

0,a e -?，及()g x 的单调性，可得

()10,1x ?，()21,x ? .

对于任意的()1

120,,a a e -?，设12a a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；

()()122g g a h h ==，其中1201h h <<<.

因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似可得

22x h <.

又由11,0x h >，得

222

111

x h h x x h <<

. 所以，

2

1

x x 随着a 的减小而增大. （Ⅲ）证明：由11x

x ae =，22x

x ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+.

故2

21211

ln ln ln

x x x x x x -=-=. 设

2

1

x t x =，则1t >，且2121,ln ,

x tx x x t ì=??í?-=??解得1ln 1t x t =-，2

ln 1t t x t =-.所以，

()121ln 1

t t

x x t ++=

-. ①

令()()1ln 1

x x

h x x +=

-，()1,x ? ，则()()

2

1

2ln 1x x x h x x -+-

￠=

-.

令()1

2ln u x x x x

=-+-，得()2

1x u x x 骣-÷?￠=÷?÷

?桫. 当()1,x ?

时，()0u x ￠>.因此，()u x 在()1,+￥上单调递增，故对于任意的

()1,x ? ，()()10u x u >=，由此可得()0h x ￠>，故()h x 在()1,+￥上单调递增.

因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大.

而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.

2014年高考四川理科数学试题及答案(详解纯word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．已知集合2 {|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6 (1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 A ．向左平行移动 12个单位长度 B ．向右平行移动1 2 个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c < 5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =， c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)(附详细答案)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（共12小题，每小题5分） 1．（5分）=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（） A．f（x）?g（x）是偶函数B．|f（x）|?g（x）是奇函数 C．f（x）?|g（x）|是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数 4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（） A．B．3C．m D．3m 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（） A．B．C．D． 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）

A．B． C．D． 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（） A．B．C．D． 8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题： p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（） A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3

2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c

2014年高考理科数学试题及参考答案(新课标Ⅱ)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ） 理科数学 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?= A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ?b = A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1， ，则AC= A. 5 B. C. 2 D. 1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13

2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析

2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )

A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题

17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点

2014年浙江高考理科数学试题及答案_word版本

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm 4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π 个单位 B.向左平移4π 个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π 个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ， 则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）

2018年高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+

2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标1理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的一项。 1. 已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2. 32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4. 已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B .3 C D .3m 5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动 的概率

A .18 B .38 C .58 D .78 6. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158 8. 设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A .32 π αβ-= B .22 π αβ-= C .32 π αβ+= D .22 π αβ+= 9. 不等式组1 24x y x y +≥??-≤? 的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P 10. 已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5

2018年数学高考全国卷3答案

2018年数学高考全国卷3答案

参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =

（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==

2014年高考新课标全国2卷数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3

2013年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

2014年全国高考理科数学试卷及答案(大纲卷)

2014年普通高等学校统一考试（大纲） 理科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ） A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]- 3.设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 4.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ） A ．2 B C ．1 D 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女 医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的 直线交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为（ ） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．22 1124 x y += 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

2018年高考全国二卷理科数学试卷

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB

2013年高考理科数学全国卷1有答案

数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________

2014年高考理科数学全国卷1有答案

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ----------------