《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
第一章 随机事件和概率
第一节 基本概念
1、排列组合初步 （1）排列组合公式
)!
(!
n m m P n m -=
从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!
(!!
n m n m C n m -=
从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程
x
x x C C C 765107
11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？
(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？
例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？
例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法
A．120种B．140种 C．160种D．180种
(4)一些常见排列
①特殊排列
②相邻
③彼此隔开
④顺序一定和不可分辨
例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？
①3个舞蹈节目排在一起；
②3个舞蹈节目彼此隔开；
③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？
例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？
①重复排列和非重复排列（有序）
例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？
②对立事件
例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？
例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？
例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
③ 顺序问题
例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）
2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示，例如n
ωωω ,,21（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母
A ，
B ，
C ，…表示事件，它们是Ω的子集。
如果某个ω是事件A 的组成部分，即这个ω在事件A 中出现，记为A ∈ω。如果在一次试验中所出现的ω有A ∈ω，则称在这次试验中事件A 发生。
如果ω不是事件A 的组成部分，就记为A ∈ω。在一次试验中，所出现的ω有
A ∈ω，则称此次试验A 没有发生。
Ω 为必然事件，?为不可能事件。
（2）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B
A?
如果同时有B
A?，A
B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B
A，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
∞
=
∞
=
=
1
1i
i
i
i A
A
B
A
B
A
=，B
A
B
A
=
例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间Ω。若A表示取到的两只球是白色的事件，B表示取到的两只球是红色的事件，试用A、B表示下列事件：
（1）两只球是颜色相同的事件C，
（2）两只球是颜色不同的事件D，
（3）两只球中至少有一只白球的事件E。
例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若A
i
表示第i次正面朝上，用
A i 表示下列事件：
（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C ， （2）至少有一次正面朝上的事件D ， （3）前两次正面朝上的事件E 。 3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义
设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有
∑∞=∞==???? ??11)(i i i i A P A P
常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型） 1° {}n ωωω 21,=Ω， 2° n
P P P n 1
)()()(21=
==ωωω 。 设任一事件A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有
P(A)={})()()(21m ωωω =)()()(21m P P P ωωω+++
n
m =
基本事件总数所包含的基本事件数A =
例1．18：集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素与B 中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。
例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ 例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是
A ．
14
1 B ．
13
1 C ．
12
1 D ．
11
1 例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） 例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） 例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）
注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。
4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
A ＝“三个数字中不含0或者不含5”。
（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B )=1- P(B)
例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A +B ). 例1．26：对于任意两个互不相容的事件A 与B ， 以下等式中只有一个不正确，它是：
(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A ∪B )-1 (C) P(A -B)= P(A )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A -B)]=P(A) (E)p[B A -]=P(A) -P(A ∪B )
（3）条件概率和乘法公式
定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称
)
()
(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=
)/(A B P )
()
(A P AB P 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =
更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有
21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。
例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。
例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
（4）全概公式 设事件n B B B ,,,21 满足
1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，
2° n
i i
B A 1=?，
则有
)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。
此公式即为全概率公式。
例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：
A ．0.5625
B ．0.5
C ．0.45
D ．0.375
E ． 0.225
例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？
（5）贝叶斯公式
设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足
1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i 1，2，…，n ，
2° n
i i
B A 1=?，0)(>A P ，
则
∑==
n
j j
j
i i i B A P B P B A P B P A B P 1
)
/()()
/()()/(，i=1，2，…n 。
此公式即为贝叶斯公式。
)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，（1=i ，2，…，
n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n
B 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C 表示被检验者的确患有肝癌的事件，A 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知95.0)/(=C A P ，
98.0)/(=C A P ，004.0)(=C P 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确
患有肝癌的概率)|(A C P 。
5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性
设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。
若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有
)()()
()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。（证明）
由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）
同时，?与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性
设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。 对于n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？
例1．33：已知)/()/(A B P A B P =，证明事件A 、B 相互独立。 例1．34：A ，B ，C 相互独立的充分条件：
（1）A ，B ，C 两两独立
（2）A 与BC 独立
例1．35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。
（3）伯努利试验
定义 我们作了n 次试验，且满足
◆ 每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； ◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
◆ 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
例1．36：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 次球，每次放回，试求其中含a
个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例1．37：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败m 次的概率。
第二节 练习题
1、事件的运算和概率的性质 例1．38：化简 (A+B)(A+B )(A +B)
例1．39：ABC=AB(C ∪B) 成立的充分条件为： (1)AB ?C (2)B ?C
例1．40：已知P(A)=x ，P(B)=2x ，P(C)=3x ，P(AB)=P(BC)，求x 的最大值。 例1．41：当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是 （A ） P （C ）=P （AB ）。
（B ） P （C ）=P （A B ）。
（C ） P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （D ） P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1。
[
]
2、古典概型
例1．42：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例1．43：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。
例1．44：袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是
A ．
42
23
B ．
7
4 C ．
42
25 D ．
21
13 例1．45：10个盒子，每个装着标号为“1－6”的卡片。每个盒子任取一张，问10张中最大数是4的概率？
例1．46：将n 个人等可能地分到N （n ≤N ）间房间中去，试求下列事件的概率。
A ＝“某指定的n 间房中各有1人”；
B ＝“恰有n 间房中各有1人”
C ＝“某指定的房中恰有m （m ≤n ）人”
例1．47：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问全是白色的概率？
3、条件概率和乘法公式
例1．48：假设事件A 和B 满足P （B | A ）=1，则 （A ） A 是必然事件。 （B ）B A ?。
（C ）B A ?。
（D ）0)(=B A P 。
[
]
例1．49：设A ，B 为两个互斥事件，且P （A ）>0, P(B)>0，则结论正确的是
（A ） P （B | A ）>0。 （B ） P （A | B ）=P （A ）。 （C ） P （A | B ）=0。 （D ） P （AB ）=P （A ）P （B ）。
[
]
例1．50：某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。
例1．51：某人忘记三位号码锁（每位均有0～9十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是
A ．
4
1
B ．
6
1 C ．
5
2 D ．
10
1 例1．52：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：①甲机被击落的概率；②乙机被击落的概率。
例1．53：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效率A 为0.92，B 为0.93，在A 失灵条件下B 有效概率
为0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在B 失灵条件下，A 有效的概率。
4、全概和贝叶斯公式
例1．54：甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔．求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。
例1．55：三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？
例1．56：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是
。
5、独立性和伯努利概型
例1．57：设P(A)>0,P(B)>0，证明 （1） 若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥； （2）
若A 与B 互斥，则A 与B 不独立。
例1．58：设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为4
1
，仅有B 发生的概率为
4
1
，则P （A ）= ，P （B ）= 。
例1．59：若两事件A 和B 相互独立，且满足P(AB)=P(A B ), P(A)=0.4，求P(B).
例1．60：设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）<
21，且已知16
9
)( C B A P ，则P （A ）= 。
例1．61：A 发生的概率是0.6，B 发生的概率是0.5，问A,B 同时发生的概率的范围？
例1．62：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门
这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。
例1．63：由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。
例1．64：将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。
例1．65：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的
(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍
第二章 随机变量及其分布 第一节 基本概念
在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是
==)(ωX X ??
?，当反面出现
，当正面出现01
称X 为随机变量。又由于X 是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以X 实际上是基本事件ω的函数，即X=X(ω)。同时事件A 包含了一定量的ω（例如古典概型中A 包含了ω1，ω2，…ωm ，共m 个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。
定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X 。
有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，
扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。
一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。
1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为
P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
,,,,,,,,|
)(2121k k k p p p x x x x X P X =。
显然分布律应满足下列条件： （1）0≥k p ， ,2,1=k ，
（2）∑∞
==1
1
k k
p
。
例2．1：投骰子，出现偶数的概率？
例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．3：若干个容器，每个标号1－3，取出某号容器的概率与该号码成反比，令X(ω)表示取出的号码，求X 的分布律。
（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有0)(==x X P ，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X ，0)(0==x X P 。所以我们考虑用X 落在某个区间],(b a 内的概率表示。
定义 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数
)()(x X P x F ≤=
称为随机变量X 的分布函数。
)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。也就是说，
分布函数完整地描述了随机变量X 随机取值的统计规律性。
分布函数)(x F 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
)(x F 的图形是阶梯图形， ,,21x x 是第一类间断点，随机变量X 在k x 处的概
率就是)(x F 在k x 处的跃度。
分布函数具有如下性质：
1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；
2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==-∞-∞
→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞
→x F F x ；
4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(--==x F x F x X P 。
例2．4：设离散随机变量X 的分布列为
2
14181812
,1,0,1，，，-P
X ，
求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤ 1(≤≤X P 。 例2．5：设随机变量X 的分布函数为 ??? ??≤?+=0 01)(x x x Ax x F 其中A 是一个常数，求 （1） 常数A （2）P （1≤X ≤2） （3）连续型随机变量的密度函数 定义 设)(x F 是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有 ?∞ -=x dx x f x F )()(， 则称X 为连续型随机变量。)(x f 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(x f 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。 由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(x F 是连续函数。 所以， ) ()()()()()(1221212121x F x F x X x P x X x P x X x P x X x P -=<<=<≤=≤<=≤≤ 密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(≥x f 。 2° ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 1 )()(==+∞?+∞∞ -dx x f F 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积 等于1。 如果一个函数)(x f 满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。 3° )(21x X x P ≤<＝)()(12x F x F -＝?2 1 )(x x dx x f 。 4° 若)(x f 在x 处连续，则有)()(x f x F ='。 dx x f dx x X x P )()(≈+≤< 它在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 )(),(,独立性古典概型，五大公式，A P A E →→Ω→ω )()()()(x X P x F x X X ≤=→≤→ωω 对于连续型随机变量X ，虽然有0)(==x X P ，但事件)(x X =并非是不可能事件?。 ?+= +≤<≤=h x x dx x f h x X x P x X P )()()( 令0→h ，则右端为零，而概率0)(≥=x X P ，故得0)(==x X P 。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 例2．6：随机变量X 的概率密度为f(x)，???<<=其他 ,01 0,)(x x A x f ，求A 和 F(x)。 例2．7：随机变量X 的概率密度为 ?????≤=-0 0 0 21)(232 x x e x x f x 求X 的分布函数)(x F 和)42(≤<-X P ． 2、常见分布 ①0－1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。 ②二项分布 在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0 。 k n k k n n q p k P k X P C -===)()(， 其中n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=， 则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为),(~p n B X 。 n k n k k n n n n n p q p q p npq q k X P X C C ,,,,,,|)(2221 ---= 容易验证，满足离散型分布率的条件。 当1=n 时，k k q p k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 例2．8：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率。 ③泊松分布 设随机变量X 的分布律为 λλ-= =e k k X P k ! )(，0>λ， 2,1,0=k ， 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX 或者P(λ)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。 如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。 例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。 ④超几何分布 ),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P n N k n M N k M ==?==-- 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布。 消防知识安全培训讲义 老师、同学们： 大家早上好! 今年11月9日是上海市第十九届"119"消防日。本次消防日宣传活动的主题是"全民参与消防，共筑平安世博"。消防日一年只有一天，但消防的意识应该贯穿在全年的每一天。时下，正值秋冬季节 交替之际，干冷天气占主导，空气中的水分渐渐减少，在这样的季 节里，如果防范不当就容易发生火灾事故。 提到消防，大家自然会想到令人毛骨悚然的"火灾"二字。火，带给人们光明;火，赋予人们温暖。但是火也吞噬了无数生命、损毁了 无数的财产，给人们留下了累累伤痕。古语说得好："贼偷一半，火 烧全光。"一把火可以使人们辛勤创造的物质财富顷刻间化为灰烬; 一把火可以吞噬掉整个村落、街区、工厂和学校;一把火可能毁掉我 们美丽的家园，使无数生灵遭受灭顶之灾。消防安全知识的匮乏、 消防安全意识的淡薄总是能让我们看到一幕幕血淋淋的画+面。火灾 给这个美丽的世界带来了太多的不和谐，上演了太多不该上演的悲剧。那么，发生那么多火灾的罪魁祸首是谁呢?归根结底，是我们人 类本身。究其原因，一是思想麻痹，二是疏忽大意，三是无知或浅见。 同学们，你们都是父母、长辈的至爱，每个同学都是祖国的未来，因此我们学习、生活的校园都应成为安全的港湾。我们应当在脑海 中长期鸣响"119"的警钟，提高防火的意识和技能。为了家庭的幸福，校园的安全和社会的和谐，希望大家能做到"三懂"、"三会";即：1、懂得火灾的危险性，增强消防意识;2、懂得火灾形成的原理，不玩火;3、懂得火灾预防，积极开展消防宣传。1、学会火灾报警方法，2、学会使用灭火器扑救小火;3、学会火灾自护自救的方法。 随着2015年上海世博会的日益临近，构筑一个平安和谐的社会 环境对成功地举办一届出色的世博会是多么的重要!作为世博小主人 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、 专题十五 ? ?? 统计、统计案例 [题组全练] 1．(2018· 石 家 庄 模 拟)某校高一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的 样本，则此样本中男生人数为( ) A ．80 B ．120 C ．160 D ．240 解 析 ： 选 A 因为男生和女生的比例为560 ∶ 420＝4 ∶ 3，样本容量为140，所以应该抽取男生的人数为140× 4 4＋3 ＝80，故选A. 2．(2018· 南 宁 模 拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ．100,20 B ．200,20 C ．200,10 D ．100,10 解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选 B. 3．从30个个体(编号为00～29)中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为( ) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A ．76,63,17,00 B ．16,00,02,30 C ．17,00,02,25 D ．17,00,02,07 解析：选D 在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17,00,02,07. 4．(2019 届 高 三 · 南 昌 调 研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取 的号码为________． 解析：由题知分组间隔为64 8 ＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝ 概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a < 我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ? 概率论与数理统计课程教学大纲（48学时） 撰写人：陈贤伟编写日期：2019 年8月 一、课程基本信息 1.课程名称：概率论与数理统计 2.课程代码： 3.学分/学时：3/48 4.开课学期：4 5.授课对象：本科生 6.课程类别：必修课 / 通识教育课 7.适用专业：软件技术 8.先修课程/后续课程：高等数学、线性代数/各专业课程 9.开课单位：公共基础课教学部 10.课程负责人： 11.审核人： 二、课程简介（包含课程性质、目的、任务和内容） 概率论与数理统计是描述“随机现象”并研究其数量规律的一门数学学科。通过本课程的教学，使学生掌握概率的定义和计算，能用随机变量概率分布及数字特征研究“随机现象”的规律，了解数理统计的基本理论与思想，并掌握常用的包括点估计、区间估计和假设检验等基本统计推断方法。该课程的系统学习，可以培养学生提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力，并为学习后继课程打下一定的基础。 本课程主要介绍随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。 体现在能基于随机数学及统计推断的基本理论和方法对实验现象和数据进行分析、解释，并能对工程领域内涉及到的复杂工程问题进行数学建模和分析，且通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。 三、教学内容、基本要求及学时分配 1．随机事件及其概率（8学时） 理解随机事件的概念；了解样本空间的概念；掌握事件之间的关系和运算。理解概率的定义；掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握概率的加法公式、乘法公式；了解全概率公式、贝叶斯公式；理解事件的独立性概念。掌握应用事件独立性进行简单概率计算。理解伯努利试验；掌握二项分布的应用和计算。 2.随机变量及其分布（6学时） 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质；掌握应用概率分布计算简单事件概率的方法，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布和应用，掌握求简单随机变量函数的概率分布的方法。 3．多维随机变量及其分布（7学时） 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 统计学考研真题精选3 (总分：100.00，做题时间：150分钟) 一、单项选择题(总题数：26，分数：26.00) 1.下面哪个图形保留了原始数据的信息？（） （分数：1.00） A.直方图 B.茎叶图 C.条形图 D.箱线图 2.下列哪种分类结果属于非顺序数据？（）产品质量按等级分类 （分数：1.00） A.产品质量按等级分类 B.人口按男女性别分类 C.考核结果按优秀、良好、合格、不合格分类 D.学历按小学、初中、高中、大专、本科、硕士及以上分类 3.用于显示时间序列数值型数据，以反映事物发展变化的规律和趋势的图是（）。 （分数：1.00） A.直方图 B.箱线图 C.茎叶图 D.线图 4.雷达图的主要用途是（）。 （分数：1.00） A.反映一个样本或总体的结构 B.比较多个总体的构成 C.反映一组数据的分布 D.比较多个样本的相似性 5.根据某地6至16岁学生近视情况的调查资料，反映患者的年龄分布可用（）。 （分数：1.00） A.线图 B.散点图 C.直方图 D.条形图 6.美国汽车制造商协会想了解消费者购车时的颜色偏好趋势，抽取新近售出的40辆车并记录其颜色种类（黑、白、红、绿、棕）和深浅类型（亮色、偏淡、中等、偏浓）；你认为以下展示数据的图表中，哪一种不适合用来处理这一样本数据？（） （分数：1.00） A.散点图 B.饼图 C.条形图 D.频数图 7.—名研究人员希望通过图形来说明4月份以来北京地区二手房租金每天的变化，如下哪个图形最合适？（） （分数：1.00） A.直方图 B.散点图 C.折线图 8.对于100名学生某一门课程的成绩，若想得到四分之一分位数、中位数与四分之三分位数，以下哪种描述统计的办法更有效？（） （分数：1.00） A.直方图 B.茎叶图 C.饼图 D.点图 9.某外商投资企业按工资水平分为四组：1000元以下，1000 ~ 1500元；1500 -2000元；2000元以上。第一组和第四组的组中值分别为（）。 （分数：1.00） A.750 和 2500 B.800 和 2250 C.800 和 2500 D.750 和 2250 10.统计分组的核心问题是（）。 （分数：1.00） A.选择分组方法 B.确定组数 C.选择分组标志 D.确定组中值 11.组上限是指（）。 （分数：1.00） A.每个组的最小值 B.每个组的最大值 C.每个组的中点数值 D.每个组的起点数值 12.下列各项中，适合于比较研究两个或多个样本或总体的结构性问题的是（）。 （分数：1.00） A.环形图 B.饼图 C.直方图 D.茎叶图 13.饼图的主要用途是（）。 （分数：1.00） A.反映一个样本或总体的结构 B.比较多个总体的构成 C.反映一组数据的分布 D.比较多个样本的相似性 14.在连续变量或变量值较多的情况下，通常采用的分组方法是（）。 （分数：1.00） A.单变量值分组 B.组距分组 C.等距分组 D.连续分组 15.在坐标系中，矩形的宽度表示直方图的（）。 （分数：1.00） A.频数 B.组中值 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点 数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 第一部分第八章第30讲 命题点1 平均数、众数、中位数的计算 1．(2016·昆明8题4分)某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如下表： 那么这9 A．90,90 B．90,85 C．90,87.5 D．85,85 2．(2016·云南8题4分)某校随机抽查了10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如下表： A．这10名同学的体育成绩的众数为50 B．这10名同学的体育成绩的中位数为48 C．这10名同学的体育成绩的方差为50 D．这10名同学的体育成绩的平均数为48 3．(2016·曲靖5题4分)某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下(单位：个)：10,6,9,11,8,10.下列关于这组数据描述正确的是( B ) A．极差是6 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是16 4．(2015·云南7题3分)为加快新农村试点示范建设，我省开展了“美丽乡村”的评选活动，下表是我省六个州(市)推荐候选的“美丽乡村”个数统计结果： A．42,43.5 B．42,42 C．31,42 D．36,54 5．(2015·昆明2题3分)某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下(单位：分)：80,90,70,100,60,80,80.则这组数据的中位数和众数分别是( C ) A．90,80 B．70,80 C．80,80 D．100,80 6．(2014·云南8题3分)学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表： A．9.70,9.60 B．9.60,9.60 C．9.60,9.70 D．9.65,9.60 7．(2018·昆明10题4分)下列判断正确的是( D ) A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为s2甲＝2.3，s2乙＝1.8，则甲组学生的身高较整齐 B．为了了解某县七年级4 000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为4 000 C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表： 则这30 D．有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件 8．(2018·云南17题8分)某同学参加了学校举行的“五好小公民·红旗飘飘”演讲比赛，7名评委给该同学的打分(单位：分)情况如下表： (2)计算该同学所得分数的平均数． 解：(1)按从小到大排列此数据为5,6,7,7,8,8,8， 数据8出现的次数最多，故众数为8,7处在第4位为中位数． (2)该同学所得分数的平均数为(5＋6＋7×2＋8×3)÷7＝7. 9．(2018·曲靖19题8分)某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图． 消防知识讲座学习总结（精选3篇） 消防知识讲座学习总结（精选3篇） 难忘的学习生活又即将告一段落了，回顾这段时间的学习，知识和阅历都得到了很大提高，是时候写一篇学习总结了。可是怎样写学习总结才能出彩呢？下面是小编收集整理的消防知识讲座学习总结（精选3篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。消防知识讲座学习总结1 今年11月9日是第XX个“消防主题日”，我校为普及消防安全知识，提高广大师生的消防安全意识和素质，开展了主题为“认识火灾，学会逃生”的消防演习。为使“119”消防宣传活动卓有成效地开展，确保各项目标的完成，使演练活动落到实处，在演习开始前，随老师利用“国旗下讲话”对全校师生进行动员，宣传防火和逃生知识。我校还在学校重点地带安排专人管理，所有责任人在演习前提前5分钟到岗，清理通道，保障疏散时道路的畅通，以防在紧急情况下出现拥挤、踩踏事故的发生，积极营造“学习防火知识，安全防火逃生”的氛围。 11月7日一早，学校组织全体师生开展防火演练。伴随过道和空地上烟雾的燃起，全体师生都能按照《附小消防演习预案》要求，快速、安全地进行疏散。在撤离过程中，学生安全有序，没有发生拥挤推搡现象。全校师生从教室、办公室撤离到安全区域，用时2分55秒。到达集合地点后，各班级迅速清点人数并进行了汇报。通过本次演习，全校师生再一次认识到了防火的重要性，大家在实战中得到了锻炼。演习也使大家更加明确一旦发生火情，每个人应该如何自救和逃生。珍爱生命，我们要警钟长鸣! 消防知识讲座学习总结2 11·9是“全国消防日”。为提高学生冬季消防安全意识，提高学生自防自救能力，保证同学们的生命安全，根据学校德育工作计划，11月6日，学校由政教处组织开展冬季消防专题系列活动。开展冬季消防安全知识主题班会活动。班会课中，各班主任搜集用电、用火、用气等安全相关资料，向同学们宣传冬季消防相关常识，分析冬季火灾产生的原因以及火灾给我们生活造成的危害等，引导学生树立自我保护意识。开展消防安全应急疏散演练活动。学校成立消防安全应急工作领导组，由政教处制定紧急疏散活动方案，班会课下课时，校园内警报信号响起，全校师生纷纷低头弯腰快速撤离教室、办公室，按照事先制定的.逃生撤离路线紧急疏散到学校操场。此次专题活动的开展，全体师生更 四懂： 1、懂本岗位的火灾危险性：防止触电;防止引起火灾;可燃、易燃品、火源。 2、懂预防火灾的措施：加强对可燃物质的管理;管理和控制好各种火源;加强电气设备及其线路的管理;易燃易爆场所应有足够的、适用的消防设施，并要经常检查，做到会用、有效。 3、懂灭火方法：灭火的方法主要有：冷却灭火方法;隔离灭火方法;窒息灭火方法;抑制灭火方法。 4、懂逃生方法：自救逃生时要熟悉周围环境，要迅速撤离火场;紧急疏散时要保证通道不堵塞，确保逃生路线畅通;紧急疏散时要听从指挥，保证有秩序的尽快撤离;不要拖延时间，也不要贪婪财物，以便及时得救;要学会自我保护，尽量保持低姿势匍匐前进，用湿毛巾捂住嘴鼻;保持镇定，就地取材，用窗帘、床单自制绳索，安全逃生;逃生时要直奔通道，不要进入电梯，防止被关在电梯内;当烟火封住逃生的道路时，要关闭门窗，用湿毛巾塞住门窗缝隙，防止烟雾侵入房间;当身上的衣物着火时，不要惊慌乱跑，就地打滚，将火苗压住;当没有办法逃生时，要及时向外呼喊求救，以便迅速的逃离困境。 四会： 1、会报警：大声呼喊报警;使用手动报警按钮报警;拨打119火警电话向当地公安消防机构报警。 2、会使用消防器材：手提式灭火器的操作方法：拔掉保险销，握住喷管喷头，对准火焰根部，压下握把灭火。 3、会扑救初期火灾：在扑救初期火灾时，必须遵循先控制后消灭;救人第一，先救人后救物、先重点后一般的原则。 4、会组织人员疏散逃生：按疏散预案组织人员疏散，酌情通报情况，防止混乱，分组实施引导。 一、职工消防安全知识： 1、火灾基础知识： “火灾”，是指在时间或空间上失去控制的燃烧所造成的灾害，通俗的说，着火失去控制而造成的生命财产损失等灾难性事件，被称为火灾。在各种灾害中，火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一。 第三章数据分布特征的描述 一、单选题 1. 如果所掌握到的只是各单位的标志值（变量值），这时计算算术平均数（）。 A 应用简单算术平均数Ｂ应用加权算术平均数 Ｃ用哪一种方法无法判断Ｄ这种资料不能计算算术平均数 2. 加权算术平均数受什么因素的影响（）。 A 只受各组变量值大小的影响Ｂ只受各组次数多少的影响 Ｃ同时受以上两种因素的影响Ｄ无法做出判断 3. 权数本身对加权算术平均数的影响决定于（）。 A 权数所在组标志值的大小Ｂ权数绝对数值的大小 Ｃ各组单位数占总体单位数比重的大小Ｄ总体单位数的多少 4. 标志值的次数多少，对于算术平均数的影响有权衡轻重的作用。若把标志值的次数都缩小为原来的十分之一，则算术平均数的值为（）。 A 也缩小为原来的十分之一Ｂ保持不变Ｃ扩大为原来的十倍Ｄ无法判断 5. 如果被平均的每一个标志值都增加5个单位，则算术平均数的数值（）。 A 也增加5个单位Ｂ只有简单算术平均数是增加5个单位 Ｃ减少5个单位Ｄ保持不变 6. 设某企业在基期老职工占60%，而在报告期准备招收一批青年工人，估计新职工所占的比重将比原来增加20%。假定老职工和新职工的工资水平不变，则全厂职工的总平均工资将如何变化（）。 A 提高Ｂ降低Ｃ不变Ｄ无法判断 7. 设有8个工人生产某种产品，他们的日产量（件）按顺序排列是：4、6、6、8、9、12、14、15，则日产量的中位数是（）。 A 4.５Ｂ 8和9 Ｃ 8.5 Ｄ没有中位数 8. 在下列哪种情况下, 算术平均数、众数和中位数三者相等（）。 A 只有钟形分布Ｂ只有U形分布 Ｃ钟形分布或U形分布Ｄ只有对称的钟形分布 9. 当变量右偏分布时，有（）。 A Mo 《统计学》模拟题一 一、名词解释：（每小题名4分，共计20分） 重点调查统计调查统计标志标志变异指标平均指标 二、简述题：（每小题6分，共30分） 1. 简述标志变异指标的作用。 2. 抽样调查与其他非全面调查相比较有什么的特点？ 3. 统计指数的计算方法有哪些？ 4. 简述统计调查方案包括的内容。 5. 总量指标的种类有哪些？ 三、单项选择：（每小题2分，共计10分） 1．相对指标的表现（计量）形式有（）。 （1）平均数（2）百分数成数千分数倍数 （3）标志变异指标（4）时点指标 2.学生《统计学》的考试成绩分别为：60分、65分、69分、78分、91分。 这五个数是（）。 （1）指标（2）变量（3）变量值（4）指标值 3.下面统计指标是总量指标的有（） （1）产品合格率（2）粮食平均亩产量 （3）国内生产总值（4）职工平均工资 4.某市计划国内生产总值比上年增长5%，实际增长10%，则计划完成程度为（）。 （1）150% （2）104.8% （3）105% （4）115% 5．动态数列中的各项指标数值可以直接相加的是（）。 （1）时期数列（2）时点数列 （3）相对数动态数列（4）平均数动态数列 四、计算题（每小题25分，共50分） 1. 某地区2001年-2006年居民消费水平资料如下： 量。 2. 某车间有2个生产班组，每组都有7个工人，各组工人日产量(件)为： 甲组：20、40、60、70 80、100、120 乙组：62、68、69、70、71、72、78 要求：计算平均差比较哪一个班组的平均成绩代表性好。 《统计学》模拟题二 一、名词解释：（每小题名4分，共计20分） 普查长期趋势抽样调查统计总体中位数 二、简述题：（每小题6分，共30分） 1. 重点调查调查的特点有哪些？ 2. 简述统计工作（活动）有哪些过程。 3．长期趋势的计算方法有哪些？ 4．统计指数的种类有哪些？ 5．简述抽样调查的作用。 三、单项选择：（每小题2分，共计10分） 1.社会经济统计的研究对象是（）。 A.抽象的数量关系 B.社会经济现象的规律性 概率论与数理统计知识点汇总(详细) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 消防工程师 消防安全技术实务 精讲班 第一篇消防基础知识 第一章燃烧基础知识 学习要求：通过本章学习，应了解燃烧的概念及燃烧的必要条件和充分条件，熟悉气体、液体、固体燃烧的特点，掌握燃烧产物的概念和几种典型物质的燃烧产物。 第一节燃烧条件 燃烧是指可燃物与氧化剂作用发生的放热反应，通常伴有火焰、发光和（或）发烟现象。燃烧过程中，燃烧区的温度较高，使其中自炽的固体粒子和某些不稳定（或受激发）的中间物质分子内电子发生能级跃迁，从而发出各种波长的光。发光的气相燃烧区就是火焰，它是燃烧过程中最明显的标志。由于燃烧不完全等原因，会使产物中产生一些小颗粒，这样就形成了烟。 燃烧可分为有焰燃烧和无焰燃烧。通常看到的明火都是有焰燃烧；有些固体发生表面燃烧时，有发光发热的现象，但是没有火焰产生，这种燃烧方式则是无焰燃烧。燃烧的发生和发展，必须具备三个必要条件，即可燃物、助燃物（氧化剂）和引火源（温度）。当燃烧发生时，上述三个条件必须同时具备。 一、可燃物 凡是能与空气中的氧或其他氧化剂起化学反应的物质，均称为可燃物， 可燃物按其化学组成，分为无机可燃物和有机可燃物两大类；按其所处的状态，又可分为可燃固体、可燃液体和可燃气体三大类。 二、助燃物（氧化剂） 凡是与可燃物结合能导致和支持燃烧的物质，称为助燃物，如广泛存在于空气中的氧气。 三、引火源（温度） 凡是能引起物质燃烧的点燃能源，统称为引火源。常见的引火源有下列几种： （1）明火。明火是指生产、生活中的炉火、烛火、焊接火、吸烟火，撞击、摩擦打火，机动车辆排气管火星、飞火等。 （2）电弧、电火花。电弧、电火花是指电气设备、电气线路、电气开关及漏电打火，电话、手机等通信工具火花，静电火花等。 （3）雷击。雷击瞬间高压放电能引燃任何可燃物。 （4）高温。高温是指高温加热、烘烤、积热不散、机械设备故障发热、摩擦发热、聚焦发热等。 （5）自燃引火源。自燃引火源是指在既无明火又无外来热源的情况下，物质本身自行发热、燃烧起火，如白磷、烷基铝在空气中会自行起火；钾、钠等金属遇水着火；易燃、可燃物质与氧化剂、过氧化物接触起火等。 四、链式反应自由基 自由基的链式反应是这些燃烧反应的实质，光和热是燃烧过程中的物理现象。因此，完整地论述，大部分燃烧发生和发展需要四个必要条件，即可燃物、助燃物（氧化剂）、引火源（温度）和链式反应自由基，燃烧条件可以进一步用着火四面体来表示。消防知识安全培训讲义
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