量子力学证明题 - 副本
（五）证明题
1.证明在定态中，几率流密度矢量与时间无关。 证明：几率流密度公式为：
而定态波函数的一般形式为：
将此式代入上式得：
，所以。
2.证明厄密算符的本征值为实数。
证明：若 为厄米算符，则证明为实数。 由厄米算符定义，令，，
左=，右＝，
，
, , 为实数。
3.证明坐标算符和动量算符为厄密算符。 证明：，则由厄密算符的定义得，是厄密算符。因为，
是厄米算符
4.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。
证明：设厄米算符的本征值非简并，取其中的任意的两个本征值和本征函数：和， 有 ，， 按厄米算符的定义，有， 而上式的左端，右边， 所以，。 故，这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。
),(2ψ?ψ-ψ?ψ=**μ
i J Et
i
e r t r -ψ=ψ)(),()]()()()([2r r r r i J ψ?ψ-ψ?ψ=**μ
0=??t J
λψψ=F
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*
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2
τψλτψψλd d 2
??***=0)(2
=-∴?*
τψλλd 02
≠?τψd ∴*=λλλ x
p x x x =? ??=dx x dx x
?ψ?ψ**
)(?x ?∴x
i p
x ??
-= ?dx p
x ?ψ??+∞
∞-*dx dx d i ?ψ?∞
+∞
-*-= ??
????--=?∞+∞-*∞
+∞-*dx dx d i ψ??ψ dx dx d i ?ψ?∞+∞-*=)( dx dx
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i ?ψ?∞+∞-*-=)( dx dx
d i ?ψ?∞+∞-*
-=)( dx p
x ?ψ*+∞∞-?=)?(x p
?∴A
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n n a A ψψ=?τψψτψψd A d A
m
n n
m *)?(??
?
=*=τψψd a n m n ?*
τψψd a m n m *
?=0)(=-?*
τψψd a a n m m n m n a a ≠0=?*
τψψd n m
如果，而 归一。 则。这就是厄米算符本征函数的正交、归一性。
5.已知力学量算符的本征函数系具有完全性，有一归一化的波函数,证明。
证明：
。 此题得证。
6.已知，则算符在归一化波函数中的平均值为，证明，其中 。
证明：
。
此题得证。
7.证明，其中为的任一函数。 证明：假设有任意的波函数
， 因为为任意的波函数，所以。 8.证明如果两个算符有完全的共同本征函数系，则这两个算符必对易。
证明：设,有一组共同的本征函数系， 所以，，
。
设有一任意波函数，，
。 由的任意性，所以 ，即此两算符对易。 9.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的分量是，
n m =1=?*
τψψd n m mn n m d δτψψ=?*
F {()}φn
x ψφ()()x c x n n n
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2
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*
=mn n mn
m c c δ*
∑=2||∑=n
n c ()()F x x n n n
φλφ= F ψ()x x F x dx =?ψψ*() ()F x F x dx c n n
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∑ψψλ*() ()2c x x dx n n =?φψ*
()()=F ()()dx x F x ψψ??*()()dx x F x c c n m n mn
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m φφλ?∑*
*
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m c c δλ*
∑=2||∑=n
n n c λ[ ,()]'()p
f x i f x x =- f x ()x )(x ψ)()](,?[x x f p x ψ=)(?)()()(?x p x f x x f p x x ψψ-=)]()()()([x dx d
x f x x f dx d i ψψ- =])
()()()()()([
dx x d x f x dx d x f x dx x df i ψψψ-+ =
)()
(x dx
x df i ψ )(x ψ)()
()](,?[x f i dx
x df i x f p
x '-== F ?G ?)}({x n
?)()(?x x F
n
n
n
?λ?=)()(?x x G n
n
n
?μ?=??=，3,2,1n n n n n n n n G F F G G F F G G F ?λ?μ?????????)????(-=-=-0=+-=n n n n n n ?λμ?μλ)(x ψ)()(x C x n n
n ?ψ∑==)(]?,?[x G F
ψ)????(F G G F -)(x C n
n
n ?
∑0)()????(=-=∑x F G G F C n
n
n ?)(x ψ0]?,?[=G F
J J er e ==θ0
。
证明： ，
。
在球坐标中，氢原子中电子运动的状态函数为：
。 其中，均为实函数，是实数，只有是非实的，而
。
另外，球坐标中梯度算符为 。
显然有 。
- 。 所以有： ， 。
10.证明在态中，和的平均值等于零。 证明： ， 据， 。 所以
。 ， 据， ， 所以
J e m r e nlm ?μθψ=-
sin 2
J e J e
-=()
ψψψψμ
?-?=**2 i J ()()?θψim m l lm nl nlm e P N r R cos ||=nl R ()θcos ||m l P lm N ?im e ()
=*
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θθ?θ??+??+??=?sin 11r e r e r e r r J 0==θJ (?=??μim m l lm nl e P N R i J ||2
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θim m l lm nl e r im P N R -??-sin ||?-?im m l lm nl e P N R ||)?
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θim m l lm nl e r im P N R ??sin |
|2||sin nlm r m ψθ
μ =0==θe er J J 2||sin nlm e r m
e J ψθ
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x p y Ω=*
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Ω--=*?d Y L P P L Y i P lm z y y z lm x )????(1
Ω--=**?d Y L P Y Y P L Y i lm z y lm lm y z lm )????(1
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Ω-=*?d Y L P P L Y i P lm z x x z lm y )????(1
Ω-=**?d Y L P Y Y P L Y i lm z x lm lm x z lm )????(1
。
11一维体系的哈密顿算符具有分立谱，证明该体系的动量在能量本征态中的平均值等于零。
证明：， 设具有分立能谱的哈密顿算符的归一本征函数为，则：
， 因为是的本征态，满足， 且是厄米算符，故：
。
12.证明对易关系。 证明：
。
13.在的本征态下，证明。 证明：设的本征函数是，本征值是， ，
， ， ， 所以： 。 同理可得： 。
14.证明力学量算符的矩阵是厄密矩阵。
证明：在表象中，，则的矩阵元为 ]??([1Ω-Ω=
**??d Y P Y m d Y P Y m i lm x lm lm x lm
0= ()H p U
x =+22μ
()
x H H x i p p i H
x ??? ,?]?,[-=∴=
μμ
ψdx p
p ψψ??*=dx x H H
x i ψψμ
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ψH
?ψψE H =?H
?dx x H
dx x E i p ψψψψμ
**??-=
)?({
}{dx x E dx x E i ψψψψμ
**??-=
0=[ , ]L L z
20=[
]
222?????,?L L L L L L
z
z z
-=322322??????????z y z x z z z y z x L L L L L L L L L L ---++=y y z x z x x z x x x z z y y x z x x z x z x x L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ????????????????????????-+-+-+-=0= L z L L x y
==0z
L
?m
ψ m m z L ψ?m m ψ = m L m
z m ψψ=?[]
x
z y L i L L ??,? =]????[1?y z z y x L L L L i L -=
m
x m x L
L ψψ?=m z y m L L i ψψ??[1 =
]??m y z m L L ψψ-m y m L i
m ψψ?[=]?m y m L ψψ-0=0=y L Q )()(?x u Q x u Q n
n n =F ?
。
所以力学量的矩阵的主对角线元素为实数；非主对角线行列与行
列的元素互为共轭复数。凡是力学量算符的矩阵都是厄密矩阵。
15.仿上题，并由此证明力学量算符在自身表象中的矩阵表示是对角阵,对角线上的元素依次按其本征值排列。
证明：仿上题只要把换成即可。
。 16.粒子作一维运动,其能量本征方程为，试证。
证明：因为 ，所以 。 。
17.证明动量算符的属于本征值为的本征函数在动量表象中的表示是。
证明：设所描写的状态是具有动量的自由粒子的状态，即
，
又有 ， 则：
。 所以在动量表象中，粒子具有确定动量的波函数是以动量为变量的函数。
18.已知力学量算符的本征方程为，试证明力学量平均值公式在表象中的矩阵表示是，其中， 。
证明： ， ，
dx u F u F n m mn ??*=dx u u F n m ?*=)?(dx u F u m n ?*=)?(**?=])?([dx u F u m n mn F *=m n F )(+=F m n n m F Q dx u Q
u Q n
m mn
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*=dx u Q u n n m ??
*=dx u u Q n
m n
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*=mn
n Q δ=[()]()()-
+= 22
2
2μψψd dx U x x E x n n n p i E E x mn n m mn =-μ
()[][]x x p i x p x H
μ
μ -==,?21?,?2[]
x H i p x ?,? μ-=τψψd p p n x m mn ?*?=[]
τψψμd x H i n m ?,?*?-=
()
τψψμd H x x H i n m ????--=*? ()τψψμd x E E i n
m n m *?--= ()mn m n x E E i -=
μ
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x '' -=ψ()()()dx x t x t p c p *
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x t p c p t E i
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m n
mn m t a F t a F ,*)()(?=dx x u F x u F n
m mn )(?)(*?
ψ=dx t x x u t a n n ),()()(*),3,2,1,( =n m ()()()x u t a t x n n n ∑=ψ,()()()x u t a t x m m
m *
*
*∑=ψ,
代入算符平均值公式：
， ， 又因为： ， 所以有： 。
19. 已知力学量算符的本征方程为，试证明薛定谔方程在表象中的矩阵表示是，其中， 。
证明：将 ， ，
代入薛定谔方程 ，
等式两边左乘，再对变化的全空间积分，得 ， 整理得：
， 。
20.试证明线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的表示是
。 证明：在坐标表象中，一维线性谐振子的哈密顿写为：
， 对于一维线性谐振子，在动量表象中的微分形式为： ，
把上式代入哈密顿在坐标表象的表示，得
。
()()dx t x x i x F t x F ,,?,ψ??
? ????ψ=?* ()()()()dx x u t a x i x F x u t a F n n m mn
m ??? ????=**?∑ ,?()()()()t a dx x u x i x F x u t a n n m mn
m ],?[??? ????=**?∑ ()()dx x u x i x F x u F n m mn ??? ????=?* ,?()()t a F t a F n mn mn
m *
∑= Q ()()Qu x Q u x n n n
=i t x t H x i x x t ????ψψ(,) (,)(,)= Q ∑=n
n mn m t a H dt t da i )()( ?=dx x u H x u H n m mn )(?)(*?
ψ=dx t x x u t a n
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m *
*
*∑=ψ,()()t x x i x H t x t i ,,?`,ψ??
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n n n m ∑?∑???? ????=??**
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mn m ∑= ,2,1=m 222
222121p m
dp d m H +-=ω 22
22121p m
x m H +=ωx dp
d
i x =222
222121p m dp
d m H +-=ω
21.在表象中，算符，试证明其本征值为。
证明：设在和的共同表象中，的本征函数为，为所对应的本征值，本征方程为： ， 即
， ， 齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即
， 展开后整理得，即，得本征值为。
22. 在表象中，算符，试证明其本征值为。
证明：设在和的共同表象中，的本征函数为，为所对应的本征值，本征方程为： ， 即
， ， 齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即
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z L L ????
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??=010******** x L ±,02?L z L ?x L ?????
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ψψ =?????? ??--0000022i i i i ????? ??321a a a ????? ??=321a a a m ????
??
???=-=+-=+-0
2202222
022
3232121
m a ia ia m a ia ia m a
， 由此得，得本征值为。
23.定义，证明（1）， （2）。 证明：（1） ， 。
。
（2） 。
24.证明在表象中。 证明：在的表象中， ， ，。 02
20
22
2
20
22=---m
i i m i i m
1,0±=m y
L ? ±=,0y L ( )σ
σσ±=±1
2
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???
??=0110?x σ???? ??-=00?i i y σ2
2
00011041???
???????? ??-+???? ??=+i i i σ41=???
????? ??2
0110???? ??+0110i ???? ??-00i i ???? ??-+00i i i ???? ??0110???
????? ??-+2
00i i 0=2
2
00011041???
???????? ??--???? ??=-i i i σ41=???
????? ??2
0110???? ??-0110i ???? ??-00i i ???? ??--00i i i ????
??0110???
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1
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??-00
i i ???
? ??-1001
， 即 。
25.证明在自旋态中，和的测不准关系是。
证明：
而 ，
。 所以 。 又
，
。
所以 。 最后 。
=???? ??0110???? ??00i i ???
? ??=???? ??=100100i i i i z y x =σσσ???χ121/()S z S x S y ()()??S S x y 2
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y S 42 ()??2
x S ()=?2y S 16
2
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
第5套量子力学自测题
量子力学自测题5 一、填空题（本题20分） 1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的 的起源问题。 2．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 。 二、（本题15分） 1．设算符a ?具有性质{} 1?,?,0?2==+a a a 。求证： （1）a a N ???+ ≡本征值必为实数。 （2）N N ??2= （3）N ?的本征值为0或者1。 2．利用对易式σσσi 2=?，求证： {}0,=j i σσ，),,,(z y x j i =，其中，j i σ σ,为 Pauli 矩阵。 三、（本题15分） 1．设氦原子中的两个电子都处于1s 态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为 )()(),(2100110021r r r r ψψψ= （1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。 （2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121z z s s r r ?（同时考虑空间自 由度和自旋自由度）。 2．一电子处于自旋态)(2 1z z ↓+↑= ψ，求： （1）在自旋态ψ下，z S ?的可能测值与相应的几率。 （2）在自旋态ψ下，x S ?的可能测值与几率。 四、（本题15分） 设一个类氢离子的电荷数由Z 变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为 a e Z E n 222-=，a Zr e a Z - ? ? ? ??=2 /31001πψ
11大物C量子力学基础选择题答案
量子力学基础选择题 （参考答案） 1.下面的各种物体如果对光都没有透射，那么，哪种是绝对黑体？（） A.不辐射可见光的物体； B.不辐射任何光强的物体； C.不反射可见光的物体； D.不反射任何光线的物体 答（D） 2.实验发现热辐射的波长与温度有关，它们的关系是：（） A.温度越高，辐射波长越短 B.温度越高，辐射波长越长 C.温度越低，辐射波长越短 D.温度与波长变化呈线形关系 答（A） 3.黑体辐射的峰值波长与黑体本身温度T的关系：（） A. λm与T成正比 B. λm与T2成正比 C. λm与T4成正比 D. λm与T成反比 答（D） 4. 为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：（ B ） A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 答（B） 5.普朗常数的数值和单位: （） A.6.626 ?10-34焦耳/秒 B.6.626 ?10-34焦耳?秒 C.6.626 ?10-36焦耳/秒 D.6.626 ?10-36焦耳?秒 答（B） 6.原子半径的数量级是: （） A.10-10 cm B.10-8 m C.10-10 m D.10-13 m 答（C） 7.已知金属钠的逸出功是2.30eV，光电效应中波长为2000A的紫外线照射钠时，光电子的最大动能越为（eV）：（） A.1.50 B.3.90 C.15.0 D.39.0 答（B） （hc/λ-W）
8.设某金属的逸出功为A ，h 和C 分别为普朗克常数和光速，则该金属光电效应的红限波长为：（ ） A.hc/A B.h/A C.A/h D.A/hc 答（A ） 9.氢原子光谱赖曼系和巴尔末系的系限（最短）波长分别是：（ ） A.R/4和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R 答（D ） 10.氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：（ ） A.13.6V 和10.2V B.-13.6V 和-10.2V C.13.6V 和3.4V D.-13.6V 和-3.4V 答（A ） 11.若赖曼系帕邢系巴尔末系第一条谱线的波长分别为λ赖 ，λ帕和λ巴，则它们之间满足：（ ） A. λ赖>λ帕>λ巴 B. λ赖<λ帕<λ巴 C. λ赖< λ巴<λ帕 D. λ巴<λ赖<λ帕 答（C ） 12.如果粒子以速度运动v 时的德布罗意波长为λ,当它的速度增至2v 时,其德布罗意波长应是: （ ） A. 2 λ B. 3λ C. λ /2 D. λ/3 答（C ） 13.微观粒子的状态用波函数表示，对波函数模的平方的统计解释是：（ ） A 、表示微观粒子在时刻的坐标位置； B 、表示时刻，坐标处物质波的强度； C 、表示时刻，坐标处物质波的振幅； D 、表示微观粒子时刻在处单位体积中出现的几率。 答（D ） 14.波函数的三个标准条件是:（ ） A.连续、归一、有限； B.单值、连续、有限； C.单值、归一、有限; D.单值、连续、归一。 答（B ） 15．定态薛定谔方程的解是波函数:（ ） A ．()(,)iEt r t r e ψ-ψ=； B ．()(,)()r t r T t ψψ=； C ．()(,)r t r ψψ=； D ．(,)iEt r t e -ψ=。 答（A ）
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学练习题
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。
量子力学习题答案
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知：
22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
第22套量子力学自测题参考答案
量子力学自测题（22）参考答案 1、（a ），（b ）各10分 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’ms’，n l m ms ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧F ψ＝λψ， ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G ) ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧ K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωνν ω -］ ∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］
（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧ x S ∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21 E 1＝E 1（0）+'11H + )0(2)0(12'21E E H -＝-ω 21+0-ων 2241＝-ω 21-ων241 E 2＝E 2（0）+'22H +) 0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων241 4、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a =?π x p ＝-i ?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψ ＝ ?-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?a dx a x 02]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2122 ψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
第8套量子力学自测题
量子力学自测题8 一、填空题（本题25分） 1．自由粒子平面波函数ikx ce x =)(ψ的动量不确定度=?p ，坐标不确定度=?x 。 2．波函数kx x cos )(=ψ是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否是动量本征态？答： ，因为 。 3．设B A ??是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符 （1）B A ?,?； （2）B A ??—A B ??； （3）2 ?A ； （4）B A ??+A B ?? 中，算符 和 的本征值必为实数。 4．设两个电子散射波的自旋波函数()↓↑+↑↓= 2 1χ，则散射波的空间波函数应为 。因此微分散射截面 。 5．设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1和E 2，相应的本征矢量为21n n 和。则在能量表象中，体系Hamilton 量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。 二、（本题15分） 1．已知在坐标表象中，自由粒子的坐标本征函数为 )()(0x x x -=δψ 求在动量表象中坐标的本征函数。 2．氢原子中的电子在径向坐标dr r r +→的球壳内出现的几率为 dr r r R dr r P nl nl 22)()(=。已知，0/2/30 1012)(a r e a r R -???? ??=，求IS 电子的径向几率最大的 位置。 三、（本题15分） 1．求证：iz y +=1ψ，ix z +=2ψ，iy x +=3ψ分别为角动量算符z y x l l l ?,?,?的本征值为 的本征态。 2．试证明：在电子的任意自旋态??? ? ??=b a χ下，只要22b a =，则自旋角动量z S ?的平均值必为零。 四、（本题15分） 1．已知),())((B A i B A B A ??+?=??σσσ其中，A 、B 为与Pauli 矩阵z y x σσσ,,对易的任意两个矢量算符。试证明：
量子力学练习题
量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。
量子力学习题答案
量子力学习题答案
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
量子力学第一章课外练习题
第一章绪论 一、填空题 1、19２3年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等,也具有波动性，对于质量为1克，速度为１米／秒的粒子，其德布洛意波长为 (保留三位有效数字)。 2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为_＿__＿____＿__＿___＿（不考虑相对论效应）。 3、写出一个证明光的粒子性的实验＿_＿___＿___＿___＿_________＿_。 4、爱因斯坦在解释光电效应时,提出概念。 5、德布罗意关系为（没有写为矢量也算正确）。 ７、微观粒子具有二象性。 8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系,其表达式为。 9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子,其动能为＿___ _ 。 １0、量子力学是的理论。 1１、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 12、设电子能量为4电子伏,其德布罗意波长为 nm。 1３、索末菲的量子化条件为，应用这个量子化条件可以 E。 求得一维谐振子的能级= n 14、德布罗意假说的正确性,在19２７年为戴维孙和革末所做的子衍射实验所证实,德布罗意关系(公式)为和。 15、1923年，德布洛意提出物质波概念,认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。根据其理论,质量为μ,动量为ｐ的粒子所对应的物质波的频率为 ,波长为。若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 16、1923年, 提出物质波概念,认为任何实物粒子,如
电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为1０0伏加速的电子，其德布洛意波长为（保留三位有效数字）。 二、选择题 1、利用提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。 A．普朗克 B. 爱因斯坦 C. 玻尔 D. 波恩 2、192７年和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。 Ａ. 夫兰克赫兹 B. 特恩革拉赫 C. 戴维逊盖末 D. 康普顿吴有训 ３、能量为０．1eＶ的自由中子的德布罗意波长为 A. 0.92? B.1.2３? C. １2．6 ? D.０.17 ? ４、一自由电子具有能量1５0电子伏,则其德布罗意波长为 A.1 A B．15 A C.10 AＤ．1５0 A 5、普朗克在解决黑体辐射时提出了。 Ａ、能量子假设Ｂ、光量子假设 Ｃ、定态假设 D、自旋假设 ６、证实电子具有波动性的实验是。 Ａ、戴维孙——革末实验Ｂ、黑体辐射 C、光电效应 D、斯特恩—盖拉赫实验 7、1９00年12月发表了他关于黑体辐射能量密度的研究结果,提出原子振动能量假设，第一个揭示了微观粒子运动的特殊规律：能量不连续。 Ａ. 普朗克Ｂ．爱因斯坦 C. 波尔Ｄ. 康普顿８、普朗克量子假说是为解释 (A) 光电效应实验规律而提出来的 (B) X射线散射的实验规律而提出来的 (C) 黑体辐射的实验规律而提出来的 (D) 原子光谱的规律性而提出来的 ９、康普顿效应的主要特点是
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
量子力学选择题库
量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.wendangku.net/doc/0d3361548.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D
第21套量子力学自测题参考答案
量子力学自测题（21） 1、已知一维运动的粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为0x 和0p ，求在态 )()(0/0 x x e x x ip +=-ψ? 中坐标x 和动量x p 的平均值。 解：已知粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为 0* )()(x dx x x x x == ?+∞ ∞-ψψ 0*)()(p dx x x i x p x =?? ? ? ???-= ?+∞ ∞ -ψψ 现粒子处在)(x ?态，坐标x 和动量x p 的平均值 )())(()()()()(000*00** =-=''-''=++==???∞ +∞ -+∞ ∞ -+∞ ∞ -x x x d x x x x dx x x x x x dx x x x x ψψψψ?? )()()]()()[()]([)()()(00*00/0/00*/0/0*/*00000=+-=''??? ?? '??-'+-=+??? ????-++-+= +??? ?? ??-+=??? ????-=????∞ +∞ -∞ +∞ ---+∞ ∞ --+∞∞-p p x d x x i x p dx x x x i e x x e p x x e dx x x e x i x x e dx x x i x p x ip x ip x ip x ip x ip x ψψψψψψψ?? 2、一体系服从薛定谔方程 ),(),(21)(22121221222 12r r E r r r r k m ψψ=?? ????-+?+?- （1）指出体系的所有守恒量（不必证明）； （2）求基态能量和基态波函数。 解：（1）体系的哈密顿量为 2 212222122 122r r k m m H -+?-?-= 引入质心坐标R 和相对坐标r ： )(2 121r r R += 21r r r -= 在坐标变换r R r r ,,21?下，体系的哈密顿量变为 2 22222 122kr M H r R +?-?-= μ 2/2m m M ==μ
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?， 因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对
西南大学《量子力学基础》填空题及答案
35、普朗克在经典物理解释黑体辐射遇到无法逾越的困难时提出了著名的量子假设，它的基 本内容是物体吸收或者发射电磁辐射，只能以“量子”的方式进行，每个“量子”的能量为。ε=hv 36、N个粒子体系的薛定谔方程是 37、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。 38、量子力学中的态迭加原理是指如果和是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：（C1、C2,是复数）也是这个体系的一个可能状态。 39、力学量算符在动量表象中的微分形式是 40、爱因斯坦将普朗克的辐射的量子理论推广为辐射场就是由光量子组成的，圆满地解释了实验现象。 41、自旋角动量算符的定义式为 43、一空气中的尘埃，其质量为，速度为，其德布罗意波长为 44、表示力学量的算符都是线性厄密算符 45、量子力学中，表示力学量算符的矩阵是厄密矩阵。 46、量子力学中用厄米算符表示力学量，是因为厄米算符的本征值是实数，其本征函数具有正交性和完备性等性质。 47、全同性原理的内容是在全同粒子组成的体系中，交换任意两个粒子不改变体系的物理状态 48、光的波粒二象性是指光具有波动-粒子两重性，爱因斯坦光子理论较之普朗克量子假设的发展是电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量为hν的微粒形式出现，而且以这种形式以速度在空间运动，即光子。 49、对于运动着的宏观粒子，德布罗意公式也适用，为什么我们不考虑它们的波动性？其理由为对于运动着的宏观粒子，其德布罗意波长在数量级上相当于（或略小于）晶体中的原子间距，比宏观限度要短的多，所以我们不考虑它们的波动性。 50、粒子的质量为m，它在有心力场中的势能为，其中k为常数，则粒子的定态薛定谔方程为。
第2套量子力学自测题
量子力学自测题（２） 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ?（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明 交换算符12 ?P 是一个守恒量。 2．设U ?是一个幺正算符，求证+?=U dt U d i H ??? 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2?l 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπ?θψ?+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ?的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ?的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，?θπ i e Y ±±=sin 8311 。
五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，a x n a n πψsin 2=， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰： ???????-='),(2,2)(?x a a k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态（n=1）能量的一级近似值。 如有必要，可利用积分公式? +=y y y ydy y sin cos cos 。 六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ??????-+++= 121211n n n n n x α， ωαm = （1）求矩阵元n x m 2。 （2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。