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第1次作业详解

第十三章真空中的静电场

一、填空、选择、思考题

1．下列各种说法是否正确（说明理由）（1）场强为0的地方，电势也一定为0。电势为0的地方，场强也一定为0。

（2）电势较高的地方，电场强度一定较大，电场强度较小的地方，电势也一定较低。（3）场强相等的地方，电势相同，电势相同的地方，场强也都相等。

（4）不带电的物体电势一定为0，电势为0的物体，一定不带电。

（5）带正电的物体，电势一定为正，带负电的物体，电势一定为负。

解：（1）错。场强是矢量，场强的叠加符合矢量叠加原理，而电势是标量，其叠加结果是代数和。

（2）错。场强与电势是微分关系，不是成正比关系，某点电势高，不能说明该点的电势的变化率大，而U 与E 是积分关系，即，场

中某点电势的高低是由式?

∞

?=a

dl U E 所决

定。而不由该点场强大小决定。

（3）错。场强相同，则)(a b E U U b a -=-可见场强相同电势不一定相同。如平行板电容器。而U grad Ε-=，所以，只有电势梯度相同的地方，电场才相等。

（4）（5）错。物体若是处于正电荷产生的电场，则电势为正，否则为负。电势零点理论上可以任意选取。

2．一个点电荷位于一边长为a 的立方体高斯面中心，则通过此高斯面的电场强度通量为???，通过立方体一面的电场强度通量是???，如果此电荷移到立方体的一个角上，这时通过（1）包括电荷所在顶角的三个面的每个面电位移通量是???，（2）另外三个面每个面的电位移通量是???。

解：根据高斯定理可得

εq

，

6εq ，（1）由于电场线平行与它相连的三个面，所以电位移通量为0。（2）电荷为8个立方体平分，

所以，每个立方体的电位移通量为8q

，与电荷不相连的每个面的电位移通量为24

。

3．电量都为+Q 的两个点电荷相距为l ，连线的中点为O ，另有一点电荷-q ，静止地放在连线的中垂线上距O 为x 处，则点电荷所处的状态为：

（1）保持静止不动。（2）作均加速直线运动（3）作均速直线运动（4）作周期性振动。

图13-1

解：-q 所受的合力F ，始终指向原点O ，所以-q 从静止释放后，便以O 点为平衡位置在竖直方向作来回往返运动——即作周期性振动。

4．已知某静电场的电势函数

)(14121222SI y y x x U --=，由场强和电

势梯度的关系式可得点（2，3，0）处的场强

E ρ=???i ρ

+???j ρ+???k ρ(SI) 解：)(k z

U j y U i x U U E ρ

ρρρ??-+??-+??-=?= )2412(xy x U

--=??-=132 y x y

28122+=??-

=132 0=??-

5.如图，在点电荷+Q ，-Q 产生的电场中，abcd 为同一直线上等间距的四个点，若将一点电荷+q 0由b 点移到d 点，则电场力（） A. 作正功； B. 作负功； C.不作功; D.不能确定

解:b 点电势为044=-++=

r Q U b πεπε d 点电势r

r Q r Q U d πεπεπε6434-=-+?+=

0)(0>-=d b U U q A ,所以选A

6.如图所示, 电荷-Q 均匀分布在半径为R ，长为L 的圆弧上，圆弧的两端有一小空隙，空隙长为)(R L L <

Ａ．

i L R L Q 02

04,4πεπε-?-ρ Ｂ．R Q

i L R L Q 02024,8πεεπ-?-ρ

Ｃ．

i L R L Q 02

04,4πεπερ? Ｄ．RL

Q i L R L Q 0204,4πεπε?-?-ρ

－Ｑ

图

13-2

图13-4

a b c d

-Q

图13-3

第十三章真空中的静电场习题解答

答案：Ａ

解：闭合圆弧中心场强为0，则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为0。由于空隙非常小，可视为点电荷，设它与圆弧电荷密度相同，则所带电荷为

Q ?，产生的场强为

i L

R L Q ρ

024επ?，所以圆弧产生的场强为

,4202i L

R L Q ρ

επ?-电势根据电势叠加原理可得

04πε-

7.在场强为E 的均匀静电场中，取一半球面，

其半径为R ，E 的方向和半球的轴平行，可求得通过这个半球面的E 通量是（）

A ．E R 2

π B. E R 2

2π

E R 2

2π D. E R 22

答案：A

依题意，通过半球的E 通量与通过半球在竖直方向投影面的E 通量相等。 8．说明下列各式的物理意义

（1）l d E ρ

ρ?

（2）

l d E b

ρ??

（3）

l d E L

ρ??

（4）S d E ρ

ρ? 答案：（1）l d E ρ

ρ?表示电场力对单位正电荷

所做的元功。（2）

l d E b

ρ??

表示在静电场中，单位正电荷

从a 移到b 时，电场力所做的功

（3）l d E L

ρ??=0表示静电场中，单位正电荷

沿任意闭合回路一周，电场力所做的功为0。这使静电场环路定理，说明静电场是保守力场。

（4）S d E ρ

ρ?表示通过面积元d S 的电场强度

通量

9．如图，曲线表示一种轴对称性静电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称轴的距离。这是的电场。

答案：半径为R 的无限长均匀带电园柱体。由于场强是具有轴对称性静电场，又R r <时，r E ∝，可知是均匀园柱体带电。

二、计算题

1.α粒子快速通过一氢分子中心，其轨迹垂

图13-5

图13-6

直于核的连线，两核距离为b ，如图，α粒子在何处收到的力最大？假定α粒子穿过氢分子中心时，两核无移动，同时忽略分子中电子的电场。

解：设α粒子离氢分子中心O 距离为x 时，受到合力为：θcos

21F F =

其中]

2[422

202

21??

??+=

=b x e F F πε

22cos ?

? ??+=

b x x θ

222

220)

4(324124241

2b x x e b x x

b x e F +=

? ??+?

+?=πεπε

F 为极大时：

0=dx dF

解得：2

x ±

2．如图，一半径为R 得无限长半圆柱形薄筒，均匀带电，单位长度上带电量为λ，试求圆柱面轴线上一点的电场强度。

沿弧长方向取一宽度为d l 的窄条，此窄条单位长度上所带电量为dl R

πλ

λ=

'圆柱面可看成由许多个这样的无限长带电直线组成，则圆柱面轴线上一点场强为每个无限长带电直线在该点产生的场强矢量和。带电窄条在O 点产生的场强的大小为

dl R

R dE 2

02022'επλ

πελ==

方向如图 θ

επλθcos 2cos 2

02R dl

dE dE x =

=θεπλθsin 2sin 2

02R

dE dE x =

= θRd dl =

则总场强为

R dl dE x 02

20222

cos 2επλ

θεπλπ

==?-

0sin 22

0222

==?-

θεπλπ

R dl

dE y

图13-7 图13-8

E E x 02επλ

方向沿x 轴，0>λ时，与x 轴正向一致，0<λ时，与x 轴反向。

3.一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上电荷为λ，试求：距棒的一个端点垂直距离为a 处的电场强度。

解：取长度元d x ，dx dq λ= 距电荷为ｒ处一点Ｐ的场强为

πελθθπελθπελπεsin 4sin cos 4cos 442

020r dx

dE dE r dx

r dq dE y x =====

θθθ

d a dx actg x 2csc =-=

θθπελθ

πεθθλd a

a d a dE x cos 4cos csc 4csc 02202==

θθπελθ

πεθθλd a

a d a dE y sin 4sin csc 4csc 02202==

d a E a d a E y x 02

002

04sin 44cos 4πελ

θθπελπελ

θθπελπ

====??

Ｐ点场强2402

E E E y x πελ

方向，与Ｘ轴夹角

ο45111

===--tg E E tg x

y θ

4．真空中两平行的无限长均匀带电直线，电荷线密度分别为λ-和λ，点P 1和P 2与两带电线共面，位置如图，取向右为坐标正方向，求P 1和P 2两点场强。

解：无限长均匀带电直线，在空间某点产生场强在空间某点产生的场强a

E 02πελ

，方

向垂直于带电直线向外（0>λ），且在该点与带电直线组成的平面内。式中a 为带电到带电直线的距离。

由场强叠加原理，P 1，P 2点的场强为两

图13-9 +x

图13-10

直线产生的场强的矢量和。在P 1点，两场强方向相同，均为正向；在P 2点，两场强方向相反。所以

i d

i d i d E ρρρ000122πελπελπελ=+=

i d

i d i d

E ρ

ρρ00023232πελπελπελ

-=-

５．一无限大平面，开有一个半径为R 的园

洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。方法一：

-++=E E E p

E +是无限大均匀带电平面在P 点产生的场强，E -是均匀带负电园盘在P 点产生的场强，

)

1(222200R

r r

E E +--==

-+εσεσ2

r r E p +=

εσ

方法二、将平面看作半径由R 到无穷大的无限多园环组成。

322

02)(42R x x r r d E R

p +=

+=?∞

εσρπερσπρ

６.两个同心球面，半径分别为10cm 和30cm

小球面带电10-8C ，大球面带电C 8

105.1-?，求离球心为：（1）5cm （2）10cm （3）50cm 处的电场强度？这两个带电球面产生的场强是否为离球心距离的连续函数。

解：由于电荷为球对称分布，所以电场也是

球对称分布，方向沿半径向外。

（1）以O 为圆心，5cm 为半径作一球形高斯面。

0/ε∑?=?q s d E s

ρ=0

0=∴E ρ

（2）以O 为圆心，0.2m 为半径作一球形高斯面，高斯面上各点场强大小相等，方向沿半径向外，1cos =θ

由0/ε∑?=?q s d E s

012/)2.0(4επq E =?

V r q E B

/1025.2)1020(101094322892

01?=???=

--πε

（3）以O 为圆心，0.5m 为半径作一球形高斯面，高斯面上各点场强大小相等，方向沿半径向外，1cos =θ

由0/ε∑?=?q s d E s

图13-11

0212/)()5.0(4επq q E +=?

V r q q E c /109)1050()5.11(101094222892

021?=?+??=+=--πε 所以，E 不是半径r 的连续函数

７．求厚度为a 、电荷体密度为ρ的均匀无限大平板的内外场强分布。

解：此平板可视为由若干无限大均匀带电大平板组成，则板内外任一点的场强均为这些带电平面在该点场强的叠加。由于每一无限大带电平面的场强都具有对称性。如图所示，做一中心面S 0，将此带电板分为厚度相等的两半。显然，板上电荷对于面S 0是对称分布的，在与带电平板平行，且与板的中心面S 0距离相等的平面上各点场强大小相等，方向垂直平面向外，所以可选高斯定理求解。

（1）板外任一点P 的场强

过P 点做一圆柱形封闭高斯面S ，该圆柱面底面平行于带电平板，且与板的中心面S 0对称分布，大小为S ?，相对S 0的距离均为x （x>a/2）。对该高斯面应用

??=

ds E 0

cos ερθ ????++=s

E ds E ds E ds E 侧面

右底面

左底面

θθθθcos cos cos cos 对侧面2

θ=

，所以

?=侧面