数学建模习题与答案课后习题
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应
多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工
出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下
建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重
抓举（kg）挺举（kg）总成绩（kg）
组别最大体重
（kg）
1 54 132.5 155 287.5
2 59 137.5 170 307.5
3 6
4 147.
5 187.5 335
4 70 162.
5 195 357.5
5 7
6 167.5 200 367.5
6 83 180 212.5 392.5
7 91 187.5 213 402.5
8 99 185 235 420
9 108 195 235 430
10 〉108 197.5 260 457.5
第一部分课后习题答案
宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）
A 3 2 2 4 4 3
B 3 3 3 5 5 5
C 4 5 5 6 6 7
总计10 10 10 15 15 15
2.（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也
包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为
形状一定时一般有3
/2w s ∝，故商品的价格可表为γβα++=3
/2w
w C （γβα,,为
大于0的常数）。 （2）单位重量价格13/1--++==
w w w
C
c γβα，其简图如下：
显然c 是w 的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w 与身
长l 的立方成正比，即3
1l k w =，1k 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是
l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得1k =0.014，2k =0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：
实际重量（g ） 765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
31l k w =
727 469 1226 727 483 1339 675 483
模型
l d k w 22=
730 465 1100 730 483 1471 607 483
基本上满意。
4. 将管道展开如图：
可得απcos d w =，若d 一定，w 趋于0，α趋于π/2；w 趋于πd ，α趋于0。若管道
长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为πd l/w，若考虑两端影响，则应加上πdw/sinα。对于其它形状管道，只需将πd改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板
材之间均可相切。
方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为
1
N=[a/2][b/2]
方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）≤
3a，于是
m=1
3
2
+
?
?
?
?
?
?-
a
图1图2
列数（按图2第1行计数）n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为
?
?
?
+
-
-
=
)2(
2/1
2/)1
]
([
)1(
2/)1
]
([
2b
m
b
m
N
其中（1）为：m为偶数。（2）为：m为奇数，[b]为偶数。
两个方案的比较见下表(表中数字为
1
N/
2
N)：
3 5 8 10 1
4 20
4 2/2 4/4 8/7 10/9 14/13 20/19
7 3/3 6/6 12/11 15/14 21/20 30/29
10 5/5 10/10 20/18 25/23 35/33 50/48
15 7/8 14/16 28/28 35/36 49/52 70/76
20 10/11 20/22 40/39 50/50 70/72 100/105
当a，b较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要
通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是2
l
S∝，所以饲养食物量2l
w∝。
7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积2l
s∝（l是某特征a
b
尺寸），体重3
l w ∝，于是3
/2w
y ∝。
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合α
w y ∝，可得
α=0.57，结果如下图4。
图3图4
第二部分课后习题
1.
Malthus 模型预测的优缺点。 2. 阻滞增长模型预测的优缺点。 3. 简述动态模型和微分方程建模。
4. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5. 叙述Leslie 人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6. 试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分课后习题答案
1. 优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常
数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。 2. 优点: 中期预报比较准确; 缺点: 理论上很好，实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口增
长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象
特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段；微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防
传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 是一种
差分方程模型。 6. 连续形式: ()y t 表示某种群t 时刻的数量(人口)
d (1)d m
y y ry t N =- 离散形式: n y 表示某种群第n 代的数量(人口)
1(1),1,2,n
n n n m
y y y ry n N +-=-
=
若n m y N =, 则12,,n n m y y N ++=, *m y N =是平衡点; 1(1) n
n n n m
y y y ry N +-=-
的平衡点为*
m y N =. 1(1)1(1)n n n m r y r y y r N +??=+-
??+??
的平衡点为*111r x r b ==-+, 其中
1,/(1),()(1)n n m b r x ry r N f x bx x =+=+=-, 此时的差分方程变为
1(1)()1,2,
n n n n x bx x f x n +=-==.
由()(1)x f x bx x ==-可得平衡点*
*
11,0x x b
=-
=. 在平衡点*
0x =处,由于(0)1f b '=>,因此, *
0x =不稳定.
在在平衡点*
11x b
=-
处, 因**
()(12)2f x b x b '=-=-,所以 (i) *
()13f x b '>?> 当3b >时, 平衡点*11x b
=-不稳定;
(ii) *
()1f x '<13b ?<< 当13b <<时, 平衡点*11x b
=-不稳定.
第三部分 课后习题
1. 判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c 为常数，x,y 为变量）