河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数(焦作市第十一中学-郭振东)

《算术平均数与几何平均数》

焦作市第十一中学 郭振东

【教学目标】

（1） 知识目标

使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.

（2） 能力目标

通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.

（3） 情感目标

让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.

【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.

【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.

【教学过程】

Ⅰ.引言：

某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？

【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =，

∴2112

l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。同时思考以下问题：

问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？

问题 2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？

问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？

Ⅱ. 阅读课文，找寻答案

学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识

一．两重要不等式

如果,a b R ∈那么222a b ab +≥

（当且仅当a b =时取“=”号）.

定理 如果,a b

是正数，那么2

a b +（当且仅当a b =时取“=”号）.

想一想：“当且仅当”的含义是什么？ 介绍2

a b +叫做a 、b

a 、

b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.

Ⅲ.例题精析,去伪存真

二．定理应用

例1． 已知,x y 都是正数，求证：

（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y +

有最小值

（2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214

S . 回答问题3，得出：