向量的夹角公式练习题

夹角公式：

1.（2010海南）b a ,为平面向量，已知)3,4(=a ，)18,3(2=+b a ，则

a ，

b 夹角的余弦值等于（ ）

A.65

8 B. 65

8- C. 6516

D. 6516-

2.（2010湖南）若非零向量a ，b 满足b a =，0)2(=?+b b a ，

则a 与b 的夹角为（ ）

A. ?

30 B. ?

60 C. ?120 D.?150

3．（2004重庆）若向量a 与b 的夹角为?60，

4=b ，

72)3()2(-=-?+b a b a ,则向量a 的模为（ ）

A 2

B 4

C 6

D 12

4．(2005江西)已知向量)2,1(=a ，)4,2(--=b ，

5

=c ，若

2

5

)(=?+c b a ，则a 与c

的夹角为（ ）

A ．?

30 B ．?

60 C ．?

120 D ．?

150

5.平行四边形ABCD 中，2=AB ,3=BC ，?

=∠60ABC ，

则→

→?BC AB =

6．(2007江西)在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线

OB 的两端点分别为)0,0(O ,)1,1(B ，则

·＝ .

7. 已知平面内三个点)3,0(-A ,)3,3(B ,)1,1(-C ，则向量与

BC 的夹角为（ ）

A.0 B .2π C.3π

D.π

8．设1e ，2e 是单位向量，夹角为?60，则)23()2(2121e e e e +-?-=

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

向量法求空间角(高二数学-立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形， DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －中，O 为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为26 ． （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； D B A

（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面 角的大小.

4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G , = =分别为 ,2 AD, F E PD ,的中点． PC, PD CB （1）求证:// AP平面EFG; （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小.

平面向量的模与夹角

龙文教育一对一个性化辅导教案

高中的教案 平面向量的模与夹角 学习要点： 1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±。 （2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r 。 （3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。 （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r （5）向量的模：222 2 ||||a a a x y ===+r r r 2、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ， 的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝ 2 π 时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a 与 的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θr r 。规定：零向量与任一向量的数量积 是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=r r r r ； ②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =?==r r r r r ；当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b r r ；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b r r 、 不同向，0a b ?>r r 可得θ为锐角；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b r r 、 不反向，0a b ?

向量公式大全

向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x'，y+y') a+0=0+a=a 运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ＞0时，λa与a同方向 当λ＜0时，λa与a反方向 当λ=0时，λa=0，方向任意 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ

向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 4.向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）

2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2

苏教版数学高一《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精品教案

§2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或 a a a ?=|| 4? cos θ = | |||b a b a ? ；5?|a ? b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ?. C

全国高中数学优秀课评选：《9.6空间向量的夹角和距离公式》教学设计教案或说明

1 9．6空间向量的夹角和距离公式 三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ C 1 A

2 （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？ 1、空间两点间的距离公式 111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =--- (AB AB AB x =?= ,A B d =2、夹角公式 设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 则,a OA b OB = = cos ,a b a b a b ?<>== (二)例题示范，形成技能 例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,) A x y z 222(,,) B x y z a a b

向量公式汇总

向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）；

考点二 用空间向量求线面角

考点二 用空间向量求线面角 【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值. (1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12 AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz . 由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23).取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2，0，0). 设M (a ，2－a ，0)(0

设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得 ? ??2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2 . 由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32 ， 所以23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝32， 解得a ＝－4(舍去)，a ＝43， 所以n ＝? ????－833，433，－43. 又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34 . 所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34. 规律方法 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【训练2】 (2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边 形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD . (1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ； (2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值.

(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

空间向量的夹角、距离计算同步练习题 一、选择题 1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4) ， (1 ，-4,1) ，则直线 与 AB 的夹角为（ C ） A B C AC A.30 0 B.45 0 C.600 D.90 0 2. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180° 解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° . 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（ ， ， ），那么这条 直线与平面的夹角为 ( D ) A.90 0 B. 60 0 C.45 0 D. 30 4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 ( A ) A.30° B.60° C.45° D.90° 5．在棱长为 a 的正方体 －1111中，是 1 的中点，则点 1 到平面 的距离是 ( ) ABCD A B CD M AA A MBD 6 30 3 6 A. B. a C. D. a 6 a 6 4 a 3 D a A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M 1 B ( a a, 0) 解析： 以 为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为 a ， 0， a ， ，则1 ， ， ， ， ， 2 → → → 0，－ 1 → 1 D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ， ，DM ＝ a ， 0， 2a 2a . 1 1 － y ＋ 2z ＝ 0， y ＝ 2z ， 令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2) → ，a ) ，则 A 到平面 所以 所以 ，DA ＝( a, 0 1 1 1 1 x ＋2z ＝ 0， x ＝－ 2z ， 的距离是 → ＝ 6 . 答案： A ＝ | DA ·n | BDM d 1 6 a | n | 6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 ( B ) A. 1 B. C. D. 2 7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ） A. B. C. D. 8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( ) ABCD ABEF FA ABCD AC A ．45° B ．30° C ．90° D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴， 所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC → → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉 1

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ()() 123 123 1 2 3123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv d r v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

平面向量公式

平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=

()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）

平面向量的模、夹角测试题(人教A版)(含答案)

平面向量的模、夹角（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.已知正方形的边长为1，，，，则( ) A.0 B. C. D.3 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 2.已知向量，，若，则( ) A.1 B. C.4 D.2 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：平行向量与共线向量 3.在△ABC中，如果且，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 4.已知向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则( )

A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 5.若向量满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：向量的模 6.已知，则( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 7.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 8.已知，是两夹角为120°的单位向量，，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 9.已知向量的夹角为，且，则( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 10.若，则的夹角是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 11.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）； 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点

平面向量夹角的计算方法-含答案

【知识要点】 一、两个非零向量的夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2 π θ= 时，a 与b 垂直，记a b ⊥. （1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题. （2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： A ∠>=<, 但是 B ∠>≠<, B ∠->=<π, 二、求两个向量的夹角一般有两种方法 方法一：cos ,a b a b a b <>= 方法二：设a = 11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ= 【方法讲评】 b a b 求解. 一般没有坐标背景. b ，||,|a b b a b 求解. 【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值.

【点评】（1）2 2 2 ||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用 公式cos ,a b a b a b <>= 求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式. 【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角. 【例2】 如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 ?≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1). （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦. 【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1 sin .2 ?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= .

向量公式大全83635

向量公式 设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b

教(学)案：平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案） 教学目标 1．知识目标： ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 2．能力目标： ⑴培养学生的动手能力和探索能力； ⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想； 3．情感目标： 引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣. 教学重点 平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质 教学难点 平面向量数量积的坐标运算的综合应用 教学方法 启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学 教学过程设计

3．例题讲解 例1 θ 的夹角 与 求 已知b a b a b a b a, , , ),1 ,3 ( ), 3 ,1 (? - = - = 解： ∵ ∴ 例2． 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 解：如图所示，△ABC是直角三角形. 证明如下： ∵， ∴ ∴ ∴△ABC是直角三角形 先让学生尝试 解答，体会自主应 用新知识解决问题 的过程，然后给出 详细解答. 先让学生画出 简图，直观感知三 角形的形状，然后 引导学生分析解 答.注重培养学生 观察——猜测—— 证明的思维方法. 通过不同解法 的分析，培养学生 分析问题解决问题 的能力。

135 6365 例题变式： 在直角△ABC 中，)1(),32(k OB OA ，，==，，数k 的值； 解：①若 ，则 ∴ ∴ ②若，则 而 ∴ ∴ ③若，则 而 ∴ ∴ 三、评价练习 1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则2 3a 4a b=-?（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2. 已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ） A. B.65 C D.13 3.()a=2,3,b=(2,4),-则()() a+b a-b =?__________。 4.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________。 5.a=(2,3),b=(-3,5)则a b 在方向上的投影为_________ 先放手让学生自主探索，然后结合几何画板演示，让学生观察，寻找解决问题的思路，培养学生应用分类讨论的思想方法解决问题的能力. 让学生通过练习，自主反思与评价，进而对学习过程进行积极的监控与调节.