阿波罗尼斯问题详细解答

――――――阿波罗尼斯问题详细解答
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序号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 附录
目
录
内
容
阿波罗尼斯是一个什么样的人？
什么是阿波罗尼斯问题？
阿波罗尼斯问题有多少个子问题？
怎样作一条线段的垂直平分线？
怎样过线段上一点作该线段的垂线？
怎样过圆上一点作该圆的切线？
怎样作两个圆的公切线？
什么叫反演变换？
怎样作反演圆内一点的反演点？
怎样作反演圆外一点的反演点？
怎样作一条直线的反演图形？
怎样作一个圆的反演图形？
怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？
怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？
怎样作线段 a、b 的比例中项 c？
什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？
什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？
什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？
什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？
什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？
什么叫两圆周的共同幂？
什么叫相似轴？怎样作出相似轴？
阿波罗尼斯问题之一：点点点
阿波罗尼斯问题之二：线线线
阿波罗尼斯问题之三：点线线
阿波罗尼斯问题之四：点点线
阿波罗尼斯问题之五：点点圆
阿波罗尼斯问题之六：点圆圆
阿波罗尼斯问题之七：点线圆
阿波罗尼斯问题之八：线圆圆
阿波罗尼斯问题之九：线线圆
阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆
米勒问题和米勒定理
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第 01 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯”，古希腊大数学家，生活在公 元前 260 年到公元前 190 年，著有《论相切》和《圆锥曲线》。中国的学生知道这个人往往 是从阿波罗尼奥斯圆开始的。 第 02 个问题： 什么是阿波罗尼斯问题？ 作一个圆，使得它与三个已知圆相切。因为是圆与圆相碰触，所以人们把它形象地称为 “圆之吻”。 第 03 个问题： 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 由于点和直线可以分别看作圆的极限状态：半径为无穷小的圆和半径为无穷大的圆，所 以它一共有 10 个子问题，按构成元素（点、线、圆）的不同，我们将它分成三类： Ⅰ、三元相同的一类：点点点、线线线、圆圆圆； Ⅱ、一异两同的一类：①点线线，点圆圆；
②线点点，线圆圆； ③圆点点，圆线线； Ⅲ、三元各异：点线圆。 在作图时，要求所作出的圆与已知的圆、线、点都相切，只是由于点是退化了的圆或直 线，所以看上去就是所作圆经过该点，或者说该点在所作圆上。 说明： ①也有人只把“圆圆圆”这种情况叫作阿波罗尼斯问题。 ②我们只讨论退化的情况，不讨论重合的情况(圆与圆重合、线与线重合、点与点重合)。 ③本文所提到的“圆”都是指“圆周”，不指圆面。 第 04 个问题： 怎样作一条线段的垂直平分线？ 如下图：
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第 05 个问题： 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 如下图：先作射线 AB，再以点 B 为圆心、BA 为半径作圆 B，圆 B 交射线 AB 于点 A`， 则问题转化为作线段 AA`的垂直平分线。 那么，我们可以按 01 的作法，作出这条垂直平分线；相类似地，我们可以作出过点 A 并且垂直于线段 AB 的直线。
第 06 个问题： 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 如下图：连接圆心 O 和圆上该点 A，于是问题转化为：过点 A 作线段 OA 的垂线。
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第 07 个问题： 怎样作两个圆的公切线？
①两圆外公切线的具体作法：如上图 ① 作圆 M，其半径为两圆圆心所确定的线段 O1O2 的一半，或者这么说：以线段 O1O2 为直径作一个圆。 ② 作外公切线时，以大圆的圆心为圆心、R－r 为半径作圆 O； ③ 设圆 O 与圆 M 的交点为 D、E，连接 DO2、EO2； ④ 设射线 O1D 和圆 O1 交于点 G，以 DG、DO2 为两条边作平行四边形 GDO2F，则 直线 GF 为两圆的一条外公切线， ⑤ 同理，可作出另一条外公切线 HI
说明： 这里实际上解决了另一个问题：如何过圆 O1 外一点 O2 作圆 O1 的切线 O2D、O2E。
②两圆内公切线的具体作法：如下图 ⑥ 作圆 M，其半径为两圆圆心所确定的线段的一半， ⑦ 作内公切线时，以大圆的圆心为圆心、R＋r 为半径作圆 O； ⑧ 设圆 O 与圆 M 的交点为 D、E，连接 DO2、EO2； ⑨ 设射线 O1D 和圆 O1 交于点 F，以 DF、DO2 为两条边作平行四边形 FDO2H，则 直线 FH 为两圆的一条内公切线， ⑩ 同理，可作出另一条内公切线 GI
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③两圆内切时，其外公切线可以仿照作出，不赘述。
说明：①两圆内含（但不内切）时，没有公切线； ②两圆内切时，只有一条外公切线； ③两圆相交时，只有两条外公切线。 ④两圆外切时，有一条内公切线，两条外公切线，共 3 条； ⑤两圆相离时，有外公切线两条、内公切线两条，共 4 条。
第 08 个问题： 什么叫反演变换？ 中文名称：反演；英文名称：inversion 二维平面上的反演以一个特定的反演圆为基础：圆心 O 为反演中心，圆半径为常数 k,
把点 P 反演为点 P'就是使得 OP×OP' = k2 (即 k 为 OP 和 OP'的几何平均). 如点 P 在圆上，反演后仍是它自身。
第 09 个问题： 怎样作反演圆内一点的反演点？ 如点 P 在圆内:连结 OP,过点 P 作直线垂直于 OP,直线与圆的交点处的切线的交点就
是点 P'. 第 10 个问题： 怎样作反演圆外一点的反演点？ 如点 P 在圆外可这样作:过点 P 作圆的切线(两条),两个切点相连与 OP 连线交点就
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是点 P'. 另法：以点 P 为圆心、PO 为半径作圆 P，设圆 P 交圆 O 于 A、B 两点，分别以 A、
B 两点，以 OA、OB 为半径作圆，圆 A 和圆 B 交于点 O 和另一点，该点就是 P`。 图形省略了，请您自己画图体验。 第 11 个问题： 怎样作一条直线的反演图形？ (1)通过反演极的直线：经过反演变换后与原直线生命，但直线上只有两个点（直线与
反演圆的交占满）不动，其它的点都变动了位置。 (2)不通过反演极的直线：分两类情况 ①直线与反演圆相离： 过反演极 O 作直线 L 的垂线，设垂足为 A，作出点 A 关于圆周 O 的反点 A`,则直线 L
的反形为一个圆，一个以线段 OA`为直径的圆；具体见下图：
②直线与反演圆相切：以反演极 O 和切点 A 为直径的一个圆
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③直线与反演圆相交：过反演极 O 和两个交点 A、B 的一个圆
第 12 个问题： 怎样作一个圆的反演图形？ ①通过反演极的圆周：它的反形是一条直线，如下图：
作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、O 两点；作 出点 A 的反演点 A`；过点 A`作一条直线 L 垂直于直线 OI，直线 L 就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。
②不通过反演极并且与反演圆相离的圆周：其反形为在圆 O 内的一个圆，如下图：
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作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、B 两点；作 出点 A 的反演点 A`，作出点 B 的反演点 B`；以线段 A`B`为直径作圆 I`，则圆 I`就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。
③不通过反演极并且与反演圆相切的圆周：其反形为圆 O 内的一个圆，如下图：
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作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、B 两点；作 出点 A 的反演点 A`，点 A`和点 A 重合；作出点 B 的反演点 B`；以线段 A`B`为直径作圆 I`， 则圆 I`就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。
④不通过反演极并且与反演圆相交的圆周：其反形为与圆 O 相交的一个圆，作法类似 于前：
⑤不通过反演极在反演圆内的圆周：其反形为在圆 O 外的一个圆，作法类似于前，其 图类似②图。
第 13 个问题： 怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 在直线 L 上取一点 O，以它为圆心任作一圆，这样以圆 O 为反演圆的反演变换将直线 L 变成自身。 第 14 个问题： 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 在圆 O 上任取一点 A，作直线 AB 垂直 OA，在 AB 上任取一点 P 作圆心，PA 为半径 作圆，则以圆 P 为反演圆的变换将圆 O 变成自身。 第 15 个问题： 怎样作线段 a、b 的比例中项 c？
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第 16 个问题： 什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？ 所谓圆的幂，具体是指一个点相对于一个圆的幂。设Γ是平面上一个圆心为 O、半径为 r 的圆，对于平面上任一点 P，令ρ（P）=PO2－r2，则称ρ（P）为点 P 对于圆Γ的幂。
① 若点 P 在圆 O 之外，则过点 P 作圆 O 的切线，记切点为 Q，则 PQ2=ρ（P）=PO2 －r2,如下图：
②若点 P 在圆 O 之上，ρ（P）= PO2－r2 ＝0，依然是切线段 PQ 的平方(正因为是切 线段长度的平方，所以叫幂)，只不过线段 PQ 已经退化为一个点，线段长变为零。 ③若点 P 在圆 O 之内，则过点 P 作圆 O 的弦 AB，使得 OP 垂直于弦 AB，则 AP2= BP2= ρ（P）= r2－PO2,其大小是垂直于 OP 的弦的一半的平方，如下图：
其中，垂直于 OP 的弦 AB 被称作过点 P 的最小弦。 第 17 个问题： 什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？ 所谓圆的根轴就是到两定圆的幂相等的动点的轨迹，可以证明该轨迹为一条直线，所以 称之为两定圆的根轴或等幂轴。 请注意，根轴是与两个圆相关联的概念，一个圆无所谓根轴。 怎样作出圆的根轴？ ①若两圆相离，则我们可以作出它的四条公切线，这四条公切线的中点到这两个圆的幂 都相等，又已知根轴是一条直线，所以取其中两个的中点就可以作出这条根轴。
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又由于根轴总是垂直于两圆的连心线，所以只要作出一条外公切线即可作出两圆的根轴 如下图：
②若两圆相外切，则我们可以作出它的三条公切线，内公切线和外公切线的交点（即两 外公切线段的中点）就确定了这两个圆的根轴。
③若两圆相交，则两个交点所确定的直线就是这两个圆的根轴。 ④若两圆相内切，则唯一的这条外公切线就是这两个圆的根轴。 ⑤若两圆内含，则根轴在大圆外，如下图：
具体作法：任作一圆 O，使之与圆 O1 和 O2 都相交，则两条公共弦 AA`和 BB`的交点 P 对于两圆 O1 和 O2 的幂必定相等，再过点 P 作直线 PQ 垂直于直线 O1O2，垂足为点 Q，则 直线 PQ 为圆 O1 和 O2 的根轴。
证明：过点 P 任作圆 O1 的一条割线 PCC`，则 PC×PC`=PA×PA`；同样地，过点 P 任 作圆 O2 的一条割线 PDD`，则 PD×PD`=PB×PB`；而 PA×PA`=PB×PB`；所以 PD×PD`=PC ×PC`＝ρ（P）；即点 P 到圆 O1 和 O2 的切线段的长是一样的。所以点 P 在两圆的根轴上，
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又 PQ 垂直于两圆的连心线，从而可知直线 PQ 就是所求作根轴。 说明：此法可运用到所有两圆（直线、点）的情况。 ⑥两同心圆无根轴。 第 18 个问题： 什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？ 所谓圆的根心，是相对三个圆来说的。给定平面上三个圆，如果其中任意两个圆都有一
条根轴，则容易证明，这三条根轴交于一点或相互平行。当三条根轴交于一点 P 时，点 P 称为这三个圆的根心或等幂心（点 P 对于三个圆的幂都相等）。因而，上述事实称为根心定 理。
怎样作出三个圆的根心？ 如果三个圆存在根心，则运用前面第 17 个问题的方法，先作出三条根轴，再作出其交 点即可；当然，实际操作时，只需作出两条根轴。 第 19 个问题： 什么叫相似中心？怎样作出相似中心？ 设选定一点 S 和一个数 k，将任一点 M 与点 S 连成直线，在此直线上沿 SM 的方向或 相反的方向截取一线段 SM`，使得 SM`/SM=k，则所得的点 M`为点 M 的位似点，点 S 称为 位．似．中．心．或．相．似．中．心．，数 k 称为位似比或相似系数，若 SM 与 SM`同向，则位似称为正的。 若 SM 与 SM`反向，则位似称为反的。如下图：
任何两个圆周都可视为位似图形，并且有两种不同的方式。如下图： 设 O 和 O`是两圆的圆心，那么两条同．向．平．行．的对应半径的端点 M，M`满足位似的条件， 并且是两个正位似形；同理，两条反．向．平．行．的半径的端点 M1 和 M`是两个反位似形的对应 点。在这两种情况下，相似比(的绝对值)等于两半径之比。
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因此，这两个圆周有两个相似中心 S，S`；一个对应于正位似，在两圆外侧，称为外相 似中心，另一个对应于反位似，在两圆之间，称为内相似心。
怎样作出相似中心？ 由前面可知，连接两个相似点 M 和 M`，直线 MM`和两圆连心线的交点就是它们所对 应的相似中心。 用这个方法作外相似中心 W 和内相似中心 N 就比作两条公切线方便多了。 说明：在这之后的论述中，我们取“外”和“内”这两个汉字的声母 W 和 N 来特别地 标注外相似中心和内相似中心。 第 20 个问题：什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？ 如下图，点 W 为圆 I 和圆 II 的外相似中心，即两圆的外公切线与连心线的交点，我们 过点 W 任作一条直线与两圆 I 和 II 都相交于两点，我们从远离点 W 的方向开始，依次将这 四个点记录为 A1、A2、B1、B2，这样一来，我们就可以将点 A1 和 B1 互称正相似点，同样 地，A2 和 B2 也是正相似点；而 A1 和 B2 互称逆相似点，同样地，A2 和 B1 也互称逆相似点。
相类似地，若点 N 为圆 I 和圆 II 的内相似中心，即两圆的内公切线与连心线的交点， 我们过点 N 任作一条直线与两圆 I 和 II 都相交于两点，我们从最左边开始，依次将这四个 点记录为 A1、A2、B1、B2，这样一来，我们就可以将点 A1 和 B2 互称正相似点，同样地， A2 和 B1 也是正相似点；而 A1 和 B1 互称逆相似点，同样地，A2 和 B2 也互称逆相似点。我
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们往往也把它们分别叫作正相似点对或逆相似点对，因为它们是成双成对的。 说明：如何简明地区分正相似点对与逆相似点对呢？连接点与相应的圆心，得到两条半
径（线段），若这两条半径相互平行则为正相似点对，若相互不平行则为逆相似点对。 对于逆相似点对，我们有这样的结论：与两个已知圆相切的任意一个圆，其切点是一对
逆相似点；假如与两个已知圆都相外切或都相内切，那么这两个切点关于其外相似中心为逆 相似点对；假如与两个已知圆一个外切且一个内切，那么这两个切点关于其内相似中心为逆 相似点对；也就是说，它有助于我们解决阿波罗尼斯问题。如下图。
证明：设任意圆周 A 与两个已知圆周 B 和 C 分别相切于点 B2 和 C1，且同为外切，则 直线 B2C1 与圆周 B 和 C 的第二交点分别为 B1 和 C2，如下图，因为 AB2＝AC1，所以∠BB2B1= ∠AB2C1=∠AC1B2=∠CC1C2=∠CC2C1，所以，半径 BB2 与 CC2 平行，也就是说，点 B2 与 点 C2 为关于外相似中心 W 的正相似（位似）点，而点 B2 与点 C1 为一对逆相似点。
如果圆 A 与两已知圆 B 和 C 同为内切，或者圆 A 与两已知圆中的一个内切、一个外切， 也可以得到同样的结论。
我们还可以由此得到一个结论：通过两个已知圆周 B 和 C 上的一对逆相似点，并且与 其中一个圆周 B 相切的圆周 A 必与另圆周 C 相切；反之亦然。这是因为我们总可以证得两 圆心 A 和 C 以及两圆的公共点 C1 在同一条直线上。
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第 21 个问题：什么叫两圆周的共同幂？ 从两圆周 A 和 B 的外相似中心 W 到这两个圆周上关于这相似中心 W 的任意一对逆相 似点的乘积恒为定值（按绝对值及其符号）；从两圆周 A 和 B 的内相似中心 N 到这两个圆 周上关于这相似中心 N 的任意一对逆相似点的乘积恒为定值（按绝对值及其符号）。这一定 值就叫两圆周的共同幂。 证明：设 P 和 P`分别为圆 A 和圆 B 上关于其外相似中心 W 的一对逆相似点，我们用 Q 和 Q`表示直线 WP 与圆周 A 和 B 的第二个交点，用 T 和 T`分别表示点 W 关于圆周 A 和 B 的幂 WP×WQ 和 WP`×WQ`（其概念见前面的第 16 个问题《圆的幂》），用 RA：RB 表示圆 周 A 和圆周 B 的相似系数（相似比），则有： RB：RA＝WP`：WQ=WQ`：WP， 所以有：WP×WP`=WP×(WQ×WP`：WQ)= (WP×WQ)×(WP`：WQ)= (WP`×WQ`) ×(WP：WQ`)=T×(RB：RA)= T`÷(RB：RA)=±√T√T`=定值 这说明与点 P 和点 P`的选择无关。 关于内相似中心的逆相似点对，我们可以得到同样的结论。
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这个知识的作用：在解决“圆圆圆”问题时，可以运用它来证明：两个外相似中心 W1 和 W3 对于所求作的圆周 O 和由三个逆相似点确定的圆 I 有同样的幂，从而证明三个已知圆 周的外相似轴 W1W2W3 是圆周 O 和圆周 I 的根轴也即圆心 O 在过点 I 并且垂直于外相似轴 W1W2W3 的直线 IQ 上，具体请看第 31 个问题。
第 22 个问题：什么叫相似轴？怎样作出相似轴？ 三个圆周 C1，C2，C3 可以看成两两是位似图形，并且有四种不同的方式，因为两个圆 周 C1 和 C2 可任意视为正位似或反位似，而 C1 和 C3 也可任意视为正位似或反位似，一共有 2+2＝4 种可能的组合；圆周 C2 和 C3 的位似就已经由前面两位似确定了，三个外相似心在 同一条直线上；每一个外相似心和与它不相配的两个内相似心在同一条直线上。这样，我们 就知道，一共有四条这样的直线，我们称之为相似轴，并且，我们把其中一条称作外相似轴 （三外相似心所确定的那条直线 W1W2W3），把其它三条直线（W1N3N2，W2N3N1，W3N2N1） 称作内相似轴。
如上图，W1，W2，W3 三个外相似中心在一条直线上；W1 和两个内相似中心 N2，N3 在一条直线上；W2 和两个内相似中心 N1，N3 在一条直线上；W3 和两个内相似中心 N2，N1 在一条直线上。
第 23 个问题：阿波罗尼斯问题之一：点点点 问题：已知同一平面内有三点 A，B，C，求作一圆 O，使 A，B，C 三点都在圆 O 上 解： ①若三点共线于 L，则圆 O 就是直线 L（一个半径为无穷大的圆）
△ ②若三点不共线，则圆 O 为 ABC 的外接圆，作法如下图：
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第 24 个问题：阿波罗尼斯问题之二：线线线 问题：已知同一平面内有三条直线 L1，L2，L3，求作一圆 O，使圆 O 与这三条直线都 相切。 解： ①这三条直线若相互平行，则作不出符合要求的圆 O； ② 这三条直线若有且仅有两条平行，则符合要求的圆 O 有两个，作法如下：作两对 互补角的角平分线，取其交点为圆心 O
③ 这三条直线若相互都不平行并且交于不同的三个点，则符合要求的圆 O 有 4 个，如下 图：
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④这三条直线若交于同一个点 P，则符合要求的圆 O 有 1 个，并且这个圆已经退化为 一个点 P。 第 25 个问题：阿波罗尼斯问题之三：点线线 问题：已知同一平面内有三条直线 L1，L2 和一个点 P，求作一圆 O，使圆 O 过点 P 并 且与这两条直线都相切。 解：
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③若 L1∥L2 并且 L1、L2 都在点 P 的同一侧，则无解。 ④若 L1、L2 交于一点 A，点 P 在两直线中的一条上，则有两解，如下图。
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(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用 数学理论 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ 证 （以1>λ为例） 设λ===QB AQ PB AP a AB ,，则 1 ,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知 ,1,1222222222 -=+=-=?=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC a BC .λ=BC AC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ 性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。 性质2.因AQ AP AC ?=2 ，过AC 是圆O 的一条切线。 若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.12 2?? ? ??-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。 性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠

阿氏圆问题归纳

阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下: 阿氏圆定理(全称:阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点Ａ、Ｂ的距离之比等于定比 n m (≠1),则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简 称阿氏圆. 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA ＋ｋPB,(ｋ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系xOy 中,在x 轴、y 轴分别有点C(m,０）,D(0，ｎ）.点P 是平面内一动点,且ＯP=r,求P Ｃ+kPD 的最小值. 阿氏圆一般解题步骤: 第一步:确定动点的运动轨迹(圆)，以点Ｏ为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步:连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接），即连接O Ｐ、ＯＤ； 第三步:计算出所连接的这两条线段OP 、ＯD 长度； 第四步:计算这两条线段长度的比k ； 第五步:在ＯD 上取点M ，使得O Ｍ：OP ＝OP:OD=k; 第六步:连接CM,与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值. 【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算,不能直接构造△相似计算的，先把k 提到括号外边,将其中一条线段的系数化成 k 1 ,再构造△相似进行计算】

阿波罗尼斯问题详细解答

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怎样过圆上一点作该圆的切线？
怎样作两个圆的公切线？
什么叫反演变换？
怎样作反演圆内一点的反演点？
怎样作反演圆外一点的反演点？
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怎样作一个圆的反演图形？
怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？
怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？
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什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？
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什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？
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什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？
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阿波罗尼斯问题之一：点点点
阿波罗尼斯问题之二：线线线
阿波罗尼斯问题之三：点线线
阿波罗尼斯问题之四：点点线
阿波罗尼斯问题之五：点点圆
阿波罗尼斯问题之六：点圆圆
阿波罗尼斯问题之七：点线圆
阿波罗尼斯问题之八：线圆圆
阿波罗尼斯问题之九：线线圆
阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆
米勒问题和米勒定理
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阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)

阿波罗尼斯圆性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M 的轨迹方程。 （人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点 距离的比是一个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ）。 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数（ ）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆 类型一：求轨迹方程 1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程 2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA ，试分析M 点的轨迹 3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件 ，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ． B. C. D.9 类型二：求三角形面积的最值 4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰 ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD=3，则 ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时 ABC 面积的最大，m=

著名的15个平面几何定理

1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 证明：利用向量，简单明了 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。 ∵向量OH=向量OA+向量AH =向量OA+2向量OD (1) =向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD =向量OA+向量OB+向量OC； 而向量OG=向量OA+向量AG =向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2) =1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）] =1/3（向量OA+向量OB+向量OC）. ∴向量OG=1/3向量OH， ∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 2、九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

证明：如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。 连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。 显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。 又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。 综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。 接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。 位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V 的半径是⊙O的一半。 这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。 3、费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 证明：如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF， 连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。 证明：在△ACD、△ABF中， AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF ∴△ACD≌△ABF(SAS)

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足 ,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明. . 角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()， 不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22 222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PB λλλ??=∴==∴++=-+??Q ()( )()() 0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ ( ) () 2 22 2 222222 221211,01112??? ??-=+??? ? ??-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=??? ??-=+???? ? ?-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2 22 2 221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=???? ??-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质. 性质1 点A 、点B 在圆心C 的同侧； 当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。 (). ,1 1 ,012111122222的右侧当然也在点的右侧， 在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ

(完整版)高考数学文化题目：阿波罗尼斯圆问题

高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题 一、高考考试大纲数学大纲分析及意义： 普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议： 建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。 其主要意义为： （1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. （2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求. 二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测： 往年新课标高考实例分析： 分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景 近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景． （1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合． （2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”． （3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出. 分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景 从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等. 数学文化题型背景预测： 预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目. 预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接. 预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。 预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。

数学著名定理

1、几何中的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有

AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB 中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R 三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长

“阿波罗尼斯圆”的应用举例

“阿波罗尼斯圆”的应用举例 【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为 λ（0λ>， 1λ≠） ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ??- ??? ，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11答案 C 解析 令2=MA MC ，则12 MA MC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2 λ。 设点C 坐标为(),C m n ， 则()()2 2221212 x y MA MC x m y n ??++ ???==-+-。 整理得2222 2421333m n m n x y x y ++-+++=。

由题意得该圆的方程为221x y +=， ∴2224020113m n m n +==+-????? =???? ，解得2{ 0m n =-=。 ∴点C 的坐标为（-2,0）。 ∴2MA MB MC MB +=+, 因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C. 【练习】 1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一个圆

2019中考数学热点,阿氏圆问题讲义无答案.doc

定义：已知平面上两点A,B,则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P 到两定点A、B 的距离之比等于定比m：n，则 P 点的轨迹，是以定比m： n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。 解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似） “阿氏圆”一般解题步骤 第一步 :连接动点至圆心0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 0P、 OB; 第二步 :计算出所连接的这两条线段OP、 OB 长度 ; 第三步 :计算这两条线段长度的比=k; 第四步 :在 0B 上取点 C,使得; 第五步 :连接 AC,与圆 0 交点即为点P. 阿氏圆最值问题例题精讲 例 1:问题提出 :如图 1,在 R△ ABC中 ,∠ ACB=90 ,CB=4,AC=6圆. C 半经为 2,P 为圆上一助点,连结 AP,BP求 AP+ BP 的最小值 尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接 CP,在 CB 上取点D,使 CD=1 则有 ,又∵∠ PCD=∠BCP,∴△ PCD △ BCP,

∴，∴ PD=,∴ AP+AP+PD 请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为。 自主探索 :在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为。 拓展延伸 :已知扇形COD中 ,∠ COD=90 ,0C=6,OA=3,0B=5,点 P 是弧 CD 上一点 ,求 2A+PB 的最小值。 强化训练 向内构造类型 1,如图 ,已知 AC=6,BC=8,AB=10,圆 C 的半经为4,点 D 是圆 C 上的动点 ,连接 AD、 BD, 则 AD+ BD 的最小值为。 2.在 Rt△ABC 中 ,∠ ACB=90° AC=4,BC=3,点 D 为△ ABC内一动点 ,且满足 CD=2， 则 AD+ BD 的最小值为。 3、如图 ,在 R△ ABC中 ,∠C=90° ,CA=3,CB=4⊙.C 的半径为2,点 P 是⊙ C 上一 动点 ,则 AP+ PB 的最小值为。 4、如图 ,四边形 ABCD为边长为 4 的正方形 , ⊙ B 的半径为 2,P是⊙ B 上一动点 ,则 PD+ PC的最小值为。 PD+4PC的最小值为。

阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆 一、适用题型 1、已知两个线段长度之比为定值； 2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等； 3、向量的定比分点公式结合角平分线； 4、线段的倍数转化； 二、基本理论 （一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式） 设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则： 2 2222 222222222 1221221c b a m c b a m b c a m a c b +=++=++= + （二）阿波罗尼斯圆 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆” ()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ ()()2222y a x y a x +-=++λ 化简得：2 22 2 221211??? ??-=+???? ? ?-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-??? ? ??-+λλλλ，半径为，的圆

（三）阿波罗尼斯圆的性质 1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点； 2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角； 3、 BN AN BM AM = 4、CN CM ⊥ 5、内在圆点内； 在圆时，点O A O B ,101<<>λλ； 6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ； 7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠； 三、补充说明 1、关于性质1的证明 定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。 证明：不妨设1>λ 1 ,1,1,1,-= -=+=+==λλλλλλa BQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则 垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：

高中数学阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯（Apollonius）圆

法二： 设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得 k PB PA = 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。

这个定理的证明方法很多。下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。 如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。 下面先证明两个定理： 一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC， 求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理） 证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC ∵AB：AC＝BM：MC， ∴AB：AD ＝AB：AC， ∴AC＝AD，∴∠D＝∠3， ∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。 二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD. ∵BN：CN＝AB：AC ∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4. ∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 ∴∠1＝∠2 ∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下： 连结PM、PN，∵M为AB的内分点 PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB ∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n ∴PN平分∠BPE ∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2 ∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90o ∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆

从课本中的阿波罗尼斯圆问题

从课本中的阿波罗尼斯圆问题 探讨数学文化在教学中的渗透 靖江市第一高级中学 数学组 印栋 E-mail: yde2003@https://www.wendangku.net/doc/047643679.html, 邮编：214500 克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵．因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断进化的文化”．正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉．在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中． 新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题： 习题2.2（1）10.已知点)(y x M ，与两个定点)03()00(，，， A O 的距离之比为2/1，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线． 分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题，解法如下． 解析：由题知2/1/=MA MO ，将距离公式代入可得 12 =， 化简整理即得到该曲线的方程为： 4)1(22=++y x . 因此，所求点M 所形成的曲线是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）． 这道题实际上源自约公元前262～前190的古希腊人阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A 、B ，设P 点在同一平面上且满足λ=PB PA /，当λ大于0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”． 同上题一样，我们用解析法完全可以证明：与A 、B 距离之比等于λ的动点轨迹为圆．但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能 否找出阿 波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明 确答案． 定理：A 、B 为两已知点，P 、Q 分别为 线段A B 的定比为λ(λ≠1)的内、外分点，则以P 、Q 为直径的

阿波罗尼斯圆性质及其应用 1

阿波罗尼斯圆性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教A版124页B组第3题）已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M的轨迹方程。 （人教A版144页B组第2题）已知点M与两个定点距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m）。 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点A，B距离之比为常数（）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆

类型一：求轨迹方程 1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为2 1 ，求点M 的轨迹方程 2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA ，试分析M 点的轨迹 3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ． B. C. D.9 类型二：求三角形面积的最值 4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD= 3，则ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时 ABC 面积的最大，m= 类型三：定点定值问题

2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)

2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆) 【知识背景】 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。 【定 义】 阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。即： )1(≠=k k PB PA ，如下图所示： 上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。 【几何证明】 证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理

若AD 是∠BAC 的角平分线，则有： CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。 知识点2：外角平分线定理及其逆定理 若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有 CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。 【阿氏圆的证明】 有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

完整阿氏圆问题归纳2

阿氏圆题型的解题方法和技巧对于此类问以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，. 题的归纳和剖析显得非常重要具体内容如下：的距离P到两定点A、B(阿氏圆定理全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点mm nn的两个分点的连内分和外分定线段是以定比之比等于定比≠(1)，则P点的轨迹，AB简线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，称阿氏圆．1)P≠，(k定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB. 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 母子三角形相似阿氏圆基本解法：构造是平面n).点PC(m，0)，D(0，轴分别有点问题【】在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y. ，求PC+kPD的最小值内一动点，且OP=r 阿氏圆一般解题步骤：若圆已经画出则可省为半径画圆；(，以点O为圆心、r)第一步：确定动点的运动轨迹(圆) 略这一步 OD；即连接OP、的线段的固定端点与圆心相连接第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1)，长度；OP、OD第三步：计算出所连接的这两条线段；第四步：计算这两条线段长度的比k OM:OP=OP:OD=k，使得；第五步：在OD上取点M. 即所求的最小值P交点即为点．此时CMCM第六步：连接，与圆O提到先把k直接计算，【补充：若能直接构造△相似计算的，不能直接构造△相似计算的，1，再构造△相似进行计算】括号外边，将其中一条线段的系数化成k 1 习题的中点，将线段为BDACB=90°，D为AC的中点，MRt【旋转隐圆】如图，在△ABC中，∠，那么在旋转，BC=3点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4AAD绕 ___________. CM长度的取值范围是过程中，线段2BD为△ABC内一动点，满足CD=2，则AD+ABC1.Rt△中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D3_______. 的最小值为上任取一，在⊙A与°，⊙ABC相切于点E2.如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为603________. 的最小值为点P，则PDPB+2

超级名圆—阿波罗尼斯圆及应用

超级名圆——阿波罗尼斯圆 一、问题背景 1.（苏教版选修2-1，P63例2）求平面内到两个定点A,B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹. 【解】以B A ,所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 令a AB 2=,则B A ,两点的坐标分别为()()0,,0,a a -. 设M 点坐标为()y x ,，依题意，点M 满足 2=MB MA , 由2 2 22)(,)(y a x MB y a x MA +-=++=得2)()(2 2 22=+-++y a x y a x ， 化简整理，得0310332 2 2 =+-+a ax y x ， 所以动点M 的轨迹方程为0310332 22=+-+a ax y x . 2.(苏教版必修2，P112第12题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为1:2， 那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线. 【解】由两点间距离公式得22y x MO += ，22)3(y x MA +-=， 则2:1)3(:2 222=+-+y x y x ，化简得4)1(2 2 =++y x ， 即点M 是以（-1，0）为圆心,2=r 的圆.（图略） 二、阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back ）,古希腊人（262BC~190BC ），与阿基米德、欧几里德一起被誉为古希腊三大数学家，他写了八册《圆锥曲线论》（Conics ），其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，圆锥曲线的性质几乎囊括殆尽，阿波罗尼斯曾研究了众多的平面轨迹问题，阿氏圆是他的论著中的一个著名问题： 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足 ()1≠=λλPB PA 的点P 的轨迹是一个以定比n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆. 这是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以内外分点为直径的圆被后人称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

阿氏圆

到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆． 到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线 那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？ 没错就是阿氏圆． 阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述： 一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 【分析】 令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k（为实数，且不为±1） 得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0， 当k不为±1时,它的图形是圆． 当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线． 【典型例题】 问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路： 如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1， 则有CD/CP＝CP/CB＝1/2， 又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP． ∴PD/BP＝1/2，∴PD＝1/2BP， ∴AP＋1/2BP＝AP＋PD．

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋1/2BP 的最小值为． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 1/3AP ＋BP 的最小值为． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是弧CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值． 10．（3分）（2015?贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 18.如图，在ABC ?中， 90,8,6ACB BC AC ∠=?==，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则 12BD AD +的最小值是 .

阿波罗尼斯圆问题

A P B 阿波罗尼斯圆问题 一【问题背景】 苏教版《数学必修2》第12题： 已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为1 2 ，那么点M 的坐标应满足什么关系画出满足条件的点M 所构成的曲线． 二、【阿波罗尼斯圆】 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=， 则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆． 证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -） ，（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2 2 2 2 )()(y m x y m x +-=++λ， 两边平方并化简整理得）（）（）（）（2 22222211121λλλλ-=-++--m y x m x ， 当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线； 当1>λ时，2 2 2 22222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆． 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理． 三、【范例】 例1 满足条件BC AC AB 2,2= =的三角形ABC 的面积的最大值是 ． 解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则）， ，（01-A ） ，（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得22 22121y x y x +-?=++）（）（，

阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆的应用 【例1】(2008·江苏13)满足条件2AB =，2AC BC =的三角形ABC 的面积的最大值为_________. 【解析】法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由题知，2c =，2b a =. 由余弦定理可知，2222242cos 322cos c a b ab C a a C ==+?=?，解得22cos 22C a = ?， ∴2222242132sin 1cos 1822C C a a a ??=?=??=?+? ? ??? . 设△ABC 的面积为S ，则有2 222242111sin sin sin 242S ab C a b C a C ??=== ??? 42221311(12)816216a a a =?+?=??+，当23a =，26b =时，有max 22S =. 法二：以线段AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标 系. 可记(10)A ?， ，(10)B ，. 设()(0)C x y y ≠，，由2AC BC =可知2222(1)2(1)x y x y ++=??+，化简可得22(3)8(0)x y y ?+=≠，可 知点C 的轨迹是以点P (3，0)为圆心，22为半径的圆(去掉左、右顶点). 当点C 为该圆的上、下顶点时，不妨假设(322)C ，，△ABC 的面积S 最 大，此时max 112222222 S AB PC ==??=. 【总结】本题法一运用解三角形的知识，以边长a 为参数，建立△ABC 的面积S 关于a 的函数讨论S 的最大值，虽说思路明确但是计算量相对较为庞大；法二灵活运用2AC BC =的关系，通过解析几何的手法探讨出点C 的运动轨迹是一个圆，通过数形结合的思想求出S 的最大值，使得计算相对简单. 本题法二中的圆我们可以称之为阿波罗尼斯圆，其机理是到两定点距离比值为定值(不为1)的点的轨迹为圆. 运用这种思路，我们也可以解决类似的题型例2. 【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a b +=，4c =，求△ABC 面积S 的最大值. 【解析】法一：由题知22236a b ab ++=，222cos 16a b ab C +?=，联立两式，可解得 10cos 1C ab =?，∴2 22221010020sin 1cos 11C C ab a b ab ??=?=??=?+ ??? . 于是有22222211sin sin 525525592520242a b S ab C a b C ab +????===?≤?=??= ? ????? ，当且仅当3a b ==时，取“＝”；即max 25S =. 法二：由题知6CB CA +=，4AB =，以线段AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直 角坐标系. 可记(20)A ?，，(20)B ，. 由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，6为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其方程为22 1(0)95 x y y +=≠. 当点C 为该椭圆的短轴端点时，不妨假设(05)C ，，△ABC 的面积S 最大，此 时max 11452522 S AB OC ==??=. 【总结】类似地，我们可以灵活运用6CB CA +=的关系，推知点C 的轨迹是一个椭圆，从而可以运用类似阿波罗尼斯圆的方法讨论△ABC 的面积S 的最大值.