新人教版八年级数学上册培优资料

新人教版八年级数学上册培优资料（中考题

型）

第16讲认识三角形经典·考题·赏析

【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________.

【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，

【变式题组】

01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围

是______________，周长l的取

值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝

13，则以a，b，c为边的三角形，

共有______________个.

03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全

部用完，能摆出不同形状的三角

形个数是( ).

A．1 B．2 C．3

D．4

【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.

【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为

5818

2

＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.

解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.

【变式题组】

01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长

是( )

A．24cm B．30cm

C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中

能作为第三条边的是( )

A．13cm B．6cm C．5cm

D．4cm

03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10

两部分，则此等腰三角形的腰长

为______________.

【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.

【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC

＝16.

【变式题组】

01．如图，已知点D、E、F

分别是BC、AD、BE的中

点，S△ABC＝4，则S△EFC＝

______________.

02．如图，点D是等腰△ABC底边BC

上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC

于F，若一腰上的高为4cm，则

DE+DF＝______________.

03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD

＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，

DF⊥AE于F，则DF与AB的数量

关系是______________.

【例４】已知，如图，则

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝

______________.

【解法指导】这是本章的一个基

本图形，其基本方法为构造三角形或

四边形内角和，结合八字形角的关系

(第2题图)

即

C D

，∠A+∠B＝

∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°

【变式题组】

01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.

02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.

03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.

【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝ ______________.

【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝1

2

∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－

∠OCB＝180°－1

2∠ABC－1

2

∠ACB＝

180°－1

2

(180°－∠A)＝

90°+1

2

∠A．所以∠BOC＝125°.

【变式题组】

01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，

∠C＝20°，则∠BOC＝

______________.

°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三

等分线的交点，则∠OPC＝

______________.

03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，

BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，

则∠A＝______________.

【例６】如图，已知∠B＝35°，

∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，

则∠EAD＝______________.

【

解法指

导】

∵∠EA

D＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)

＝90°－∠B－1

2

(180°－∠B－∠C)

＝90°－∠B－90°+1

2

∠B+ 1

2

∠C＝

1

2

(∠C－∠B) ，故∠EAD＝6°.

(例6题图)

E

D

B

【变式题组】

01.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C

＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，

则∠BFE＝__________.

(说明:原题题、图不符.由已知得∠A＝98°, BD⊥AC，则点D在CA的延长线上.)

02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分

线交AD的延长线于点P，点F是

BC上一动点(F、D不重合) ，过

点F作EF⊥BC交于点E，下列结

论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P

－∠DEF为定值中，有且只有一个

答案正确，请你作出判断，并说

明理由.

【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝______________.

【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC

′∥AB，

∴∠C′C

A＝∠CAB＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC

＝180°－

2×70°＝

40°

【变式

题组】

01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB方向平

移到如图所示的虚线后绕点M逆

时针方向旋转22°，则三角板的

斜边与射线OA的直角α＝

______________.

02．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，

若点A′在AB上时，则旋转角α

＝______________.(∠AOB＝

90°，∠B＝30°)

3．如图，△ABE和△ACD是△ABC

(第2题图)

(第

1题图)

沿着AB边，AC边翻折180°形

成的，若∠BAC＝130°，则∠α

＝______________.

演练巩固·反馈提高

01．如图，图中三角形的个数为( )

A．5个B．6个C．7

个D．8个

02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三

角形是( )

A．锐角三角形B．钝角三角

形

C．直角三角形D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三

角形，可以组成三角形的个数是

( )

A．1个B．2个C．3

个D．4个

04．下列语句中，正确的是( ) A．三角形的一个外角大于任何一

个内角

B．三角形的一个外角等于这个三

角形的两个内角的和

C．

三

角

形

的外角中，至少有两个钝角

D．三角形的外角中，至少有一个

钝角

05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是

( )

A．直角三角形B．锐角三角

形C．钝角三角形D．无法

确定

06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是

( )

A．直角三角形B．锐角三角

形C．钝角三角形D．无法

确定

07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的

周长是______________.

08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，

则这个三角形的三条边长分别是

______________.

09．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于

点D、E，则∠BDC的度数是

______________.

10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反

射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，

∠β＝______________.

11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝

______________.

12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝

______________.

13．如图，已知点D、E是BC上的点，

且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝

1

3

∠BAC，求∠BAC的度数

第17讲认识多边形经典·考题·赏析

【例１】如图所示是一个六边形.

(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？

(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？

【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n 边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)

个三角形，n边形一共有(3)

2

n n

条对角线，

解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；

(2)六边形共有9条对角线.

(第13题图)

E

C

【变式题组】

01．下列图形中，凸多边形有( ) A．1个B．2个

C．3个D．4个02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对

角线条数等于边数，则m＝

______，n＝______，k＝

________.

03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线

条数的2倍，则此多边形的边数

是 .

【例２】(1)八边形的内角和是多少度？

(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n －2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；

(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.

解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；

(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，

则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.

【变式题组】

01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.

02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）

A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）

A．8 B．7 C．6

D．5

04．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2

＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度

数为（）

A．1100B．1080C．1050

D．1000

5.当多边形的边数增加1时，它的内

角和与外角和（）

A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？

解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边

数为

360

60

＝6.所以这只蚂蚁需要爬行

5×6＝30(cm)才能回到点A．

【解法指导】多边形的外角和为3600.

(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.

(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.

(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.

(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.

【变式题组】

01．（无锡）八边形的内角和为_____.

度.

02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，

则∠1+∠2＝_____

03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角

和少____度.

04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后

向左转400，再沿直线前进10米

后，又向左转400，……，照这样

下去，他第一次回到出发地A点

时，一共走了_____米.

【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.

【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.

解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：

(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故这两个多边形的边数分别为4和10.

【变式题组】

01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形

是___________

02．若一个多边形的外角和是其内角和的

2

5

，则此多边形的边数为_____

03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的

2

3

，则这个多边形是（）

A．三角形B．四边形

C．五边形D．六边形

04．内角和与其外角和相等的多边形是___________

【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）

A．正三角形B．长方形

C．正八边形D．正六边形

【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.

解：选C．

【变式题组】

01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的

是（）

A．正三角形B．正方形

C．长方形D．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，

要铺满地面而不重叠，瓷砖的形

状可能有（）

A．正三角形、正方形、正六边形

B．正三角形、正方形、正五边形

C．正方形、正五边形

D．正三角形、正方形、正五边

形、正六边形

03．只用下列正多边形?能作平面镶嵌的是（）

A．正五边形B．正六边形

C．正八边形D．正十边形

04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个

小正方形，称为第一次操作；然

后将其中的一个正方形再剪成四

个小正方形，共得7个小正方形，

称为第二次操作；再将其中的一

个正方形再剪成四个小正方形，

共得到10个小正方形，称为第三

次操作；……，根据以上操作，

若要得到2011个小正方形，则需

要操作的次数是（）

A．669 B．670 C．671

D．672

【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.

【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.

解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.

因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，则有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54

此方程有唯一正整数解

1

10

m

n

=

?

?

=

?

，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.

【变式题组】

01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地

砖，周围用正三角形和正方形的

大理石砖镶嵌，从里向外共铺了

12层（不包括中央的正六边形地

砖），每一层的外边界都围成一个

正多边形，若中央正六边形的地

砖边长为，则第12

层的外边界所围

成的多边形的周

长是___________.

02．（黄冈）小明的书房地面为

210cm×300cm的长方形，若仅从

方便平面镶嵌的角度出发，最适

宜选用的地砖规格为（）

A．30cm×30cm的正方形，

B．50cm×50cm的正方形，

C．60cm×60cm的正方形，

D．120cm×120cm的正方形，

03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求

111

m n p

++的值.

演练巩固·反馈提高

01．在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n

边形可铺满地面，没有空隙. 02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地

面，观察图形并猜想填空：当黑

色瓷砖为20块时，白色瓷砖为

______块，当白色瓷砖为n2（n

为正整数）块时，黑色瓷砖为

______块.

03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成

如下若干地板图案：则第n个图

案中白色的地板砖有______块. 04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第

一层有六个白色正六边形，则第

n层有______个白色正六边形. 05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每

一个顶点周围都有6个正多边形，

则该正多边形的边数为（）

A．3 B．4 C．5

D．6

06．下列不能镶嵌的正多边组合是（）

A．正三角形与正六边形

B．正方形与正六边形

C．正三角形与正方形

D．正五边形与正十边形

07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）

A．边长相同

B．在每一点的交接处各多边形的

内角和为1800

C．边长之间互为整数倍

D．在每一点的交接处各多边形的

内角和为3600，且边长相等08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的

各边完全吻合，其中两块木板的

边数都是8，则第三块木板的边数

是（）

A．4 B．5 C．6

D．8

09．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形

瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特

意提醒父母，为了保证铺地面时

既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖

形状不能是（）

A．正三角形B．正方形

C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、

等边三角形的材料铺成的，

(1)为什么用这样形状的材料能

铺成平整、无空隙的地板？

(2)你想一想能否用一些全等的

任意四边形或不等边三角形镶

嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设

它们的边数为x、y、z，你能找出

x、y、z之间有何种数量关系吗？

请说明理由.

12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方

法如下：白色正六边形分上下两

行，上面一行的正六边形个数比

下面一行少一个，正六边形之间

的空隙用黑色的正三角形嵌满，

按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、

(3)]规律依次下去，则第n个图

B

A

C

D

E F

案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）

A ．n 2+n +2，2n +1

B ．2n +2，

2n +1

C ．4n ，n 2－n +3

D ．4n ，2n +1

第01讲 全等三角形的性

质与判定

考点·方法·破译

1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3．全等三角形判定方法有：

SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角

形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；

4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中

的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；

5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.

经典·考题·赏析

【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC

＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角

形（ ）

A ．5对

B ．4对

C ．3对

D ．2对

【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全

A

等三角形.这种逐步推进的方法常用到.

解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.

在△ABC 和△DCB 中

AB DC ABC DCB BC CB =??

=??=?

∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D

⑵在△ABE 和△DCE 中

A D

AED DEC AB DC =??

=??=?

∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE

⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中 ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）

故选C .

【变式题组】

01．（天津）下列判断中错误的是

（ ）

A ．有两角和一边对应相等的两个

三角形全等

B ．有两边和一角对应相等的两个

三角形全等

C ．有两边和其中一边上的中线对

应相等的两个三角形全等

D ．有一边对应相等的两个等边三

角形全等

02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、

B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，

∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判

断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.

03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于

点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.

⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ” A

B

C

D

O F

E

记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，

CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .

【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△

AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF

中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△

AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条

件找出证明它们全等的条件.

证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF

在△ABE 和△DCF 中, AB DC AE DF BE CF =??

=??=?

∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C

在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =??

=??=?

∠∠

∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE

【变式题组】

01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，

相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，

CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC

＝90°，AE 是过A 点的一条直线，

AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝

4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.

\

03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作

AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .

A E

第1题图

A B

D

E B

C

D

O

第2题图 A C E F

B D

【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.

⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA的数量关系是________________;

⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.

【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA

⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC

在△ABF和△DEC中,

AB DE

ABF DEC

BF EC

=

?

?

=

?

?=

?

∠∠

∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA

∴∠AFD＝∠DCA

【变式题组】

01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC 的AC、BC边的中点，将此三角形

沿DE折叠，使点C落在AB边上

的点P处.若∠CDE＝48°，则∠

APD等于（）

．42°B．48°

52°D．58°

02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列

结论中错误的是（）

B（E）

O

C

F

图

D

A

A F

E C

B

D

A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°

C． AC＝DF D．EC＝CF

03．一张长方形纸片沿对角线剪开，

得到两种三角形纸片，再将这两

张三角形纸片摆成如下图形式，

使点B、F、C、D在同一条直线上.

⑴求证：AB⊥ED；

⑵若PB＝BC，找出图中与此条件

有关的一对全等三角形，并证

明.

【例４】（第21届江苏竞赛试题）

已知，如图，BD、CE分别是△ABC的

边A C和AB边上的高，点P在BD的

延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝

AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ

【解法指导】证明线段或角相等，

也就是证线段或角所在的两三角形全

等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD

和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已

知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB

≌△QAC，已具备两组边对应相等，于

是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥

AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC

＝90°就可以.

证明：⑴∵BD、CE分别是△

ABC的两边上的高，

2＋

,

2

BP CA

?

=

?

?=

?

∠1∠∴△APB≌△QAC，

E F

B

A

C

D

G

第2题图

∴AP ＝AQ

⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠

CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90°

∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥

AQ

【变式题组】

01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，

BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .

02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个

房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为

am ，此时梯子的倾斜角为75°，

如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）

A ．

2

a b

m + B ．

2

a b

m -

C ．bm

D ．am 03．如图，已知五边形ABCD

E 中，∠ ABC

＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2为__________

01．等，则∠α度数是（ ）

A ．72°

B ．60°

C ．58°

D ．50°

02．如图，△ACB ≌△A /

C /

B /

，∠ BCB

/

＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）

A ．20°

B ．30°

C ．35°

D ．40°

03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平

第1

题图

a α

c

c

a

50

b 72

58

A

E

C

B

A 75C

45 B

N

M

第2题图

第3题图

D

分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于

1

2

CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌

△ODP 的根据是（ ）

A ．SAS

B ．ASA

C ．AAS

D ．SSS

04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么

添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）

A . C

B ＝CD B .

∠BAC ＝∠DAC

C . ∠BCA ＝∠DCA

D .∠B

＝∠D ＝90°

05．有两块不同大小的等腰直角三角

板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一

个锐角顶点放在一起，如图，当A 、

B 、D 不在一条直线上时，下面的

结论不正确的是（ ）

A . △ABE ≌△CBD

B . ∠ABE ＝∠CBD

C . ∠ABC ＝∠EB

D ＝45° D . AC ∥BE

06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，

∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于

M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定

有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ）

A . 小华、小明都对

B . 小华、小明都不对

C . 小华对、小明不对

, AB ACD

数是___________.

08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线

交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝