1-7 两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题
教学过程： 引入：考察极限x
x x sin lim
→
问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：
当x 取正值趋近于0时，
x
x sin →1，即+
→0
lim
x x
x
sin =1；
当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是
)
()
s i n (lim sin lim 0
x x x
x x x --=+
-
→-→．
综上所述，得
一．1si n l i m
=→x
x x ．
1sin lim
=→x
x x 的特点： (1)它是“0
0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0
0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．
推广 如果a
x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，
则 a
x →l i m
()[]
()
x x ??s i n =()()[]()
x x x ???sin lim 0
→=1．
例1 求x
x x tan lim
→．
解 x
x x tan lim
→=111cos 1lim
sin lim
cos 1sin lim cos sin lim 0
=?=?=?
=→→→→x
x
x x
x
x
x
x x
x x x x ．
例2 求x
x x 3sin lim 0
→．
解 x
x x 3sin lim
→=3sin lim
3)3(33sin 3lim
0==→→t
t t x x
x t x 令．
例3 求2
cos 1lim
x
x x -→．
解 2
cos 1lim
x
x x -→=212
2sin
2
2sin 21lim )2
(22sin
lim
2sin 2lim
02
2
2
2
=?
?
==→→→x x
x x x x
x
x x x x ． 例4 求x
x
x arcsin lim
→．
解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x
x
x arcsin lim
→=1sin lim
=→t
t t ．
例5 求3
sin tan lim
x
x
x x -→．
解 3
sin tan lim
x
x
x x -→=3
3
cos cos 1sin lim sin cos sin lim x
x x x x
x x
x
x x -?=-→→
=2
1cos 1lim
cos 1
lim
sin lim 2
=
-??→→→x
x x
x
x x x x ．
考察极限e
x
x
x =+
∞
→)11(lim
问题2：观察当x →+∞时函数的变化趋势：
当x 取正值并无限增大时，x
x
)11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x
x
)11(+
的值
总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x
x
)11(+是趋近于一个确
定的无理数e ＝2.718281828...． 当x →-∞时，函数x
x
)11(+
有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．
综上所述，得
二．x
x x
)
11(lim +
∞
→=e ．
x
x x
)
11(lim +
∞
→=e 的特点：
（１）lim(1+无穷小)无穷大案 ；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广 （１）若a
x →lim ?(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[
])()
()
(1
1lim
)
)
(1
1(lim x x x a
x x x ?????+
=+
∞
→→=e ；
（２）若a
x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
[()]()[()])(1
)
(1
1lim
1lim
x x x a
x x x ?????+=+→→=e ．
变形 令
x
1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→1
1lim ．
如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．
例6 求x
x x
)21(lim -
∞
→．
解 令－
x
2=t ，则x =－
t
2．
当x →∞时t →0， 于是 x
x x
)21(lim -
∞
→=2
1
20
]
)1(lim [)
1(lim -→-
→+=+t t t
t t t =e –2．
例7 求x
x x
x )23(
lim --∞
→．
解 令
x
x --23=1+u ，则x =2－
u
1．
当x →∞时u →0， 于是 x
x x
x )23(
lim --∞
→=])1()
1[(lim )
1(lim 2
10
120
u u u u
u u
u +?+=+-
→-
→
=])1(lim [])1(lim [20
11
u u u u
u +?+→-→=e -1．
例8 求x x x cot 0
)tan 1(lim +→．
解 设t =tan x ，则t
1
＝cot x ． 当x →0时t →0，
于是 x x x c o t
)
t a n 1(lim +→=t t t 1
)1(lim +→=e ．
小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 作业：见首页
§2-1 导数的概念
教学过程： 引入：
一、两个实例
实例1 瞬时速度
考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t =0到时刻t 这一时间段内下落的路程s 由公式s =21
g t 2
来确定．现在来求t =1秒这一时刻质点的速度．
当?t 很小时，从1秒到1+?t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t =1时速度的近似．
上表看出，平均速度t
s ??随着?t 变化而变化，当?t 越小时，t
s ??越接近于一个定值—
9.8m/s ．考察下列各式：
?s =2
1g ?(1+?t )2－2
1g ?12=
2
1g [2??t +(?t )2]，
t
s ??=
2
1g ?
t
t t ??+?2
)
(2=
2
1g (2+?t )，
思考： 当?t 越来越接近于0时，t
s ??越来越接近于1秒时的“速度”．现在取?t →0的极
限，得 =→t
s ???0
lim
()=+→t g ??22
1lim
g =9.8(m/s )．
为质点在t =1秒时速度为瞬时速度．
一般地，设质点的位移规律是s =f (t )，在时刻t 时时间有改变量?t ，s 相应的改变量为?s =f(t +?t )-f (t )，在时间段t 到t +?t 内的平均速度为
v =
()()
t
t f t t f t s ????-+=
，
对平均速度取?t →0的极限，得 v (t )=()()
t
t f t t f t s t t ?-?+=??→?→?0
lim
lim
，
称v (t )为时刻t 的瞬时速。
研究类似的例子 实例2 曲线的切线
设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点B ，它的坐标是(x 0+?x , f (x 0+?x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的
R t ?ACB ，可知割线AB 的斜率
tan β=()()x
x f x x f x y AC
CB ????00-+==．
在数量上，它表示当自变量从x 变到x +?x 时函数f (x )
关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．
现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时?x →0， 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置—— 直线AT ，我们就称L 在点A 处存在切线AT ．记AT 的倾斜角为α，则α为β的极限，若α≠90?，得切线AT 的斜率为
tan α=0
lim →x ? tan β=x
x f x x f x
y x x ??????)
()(lim
lim
000
-+=→→．
在数量上，它表示函数f (x )在x 处的变化率．
上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y =f (x )和自变量x 具体内容不同，但本质都是
要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率．
1. 自变量x 作微小变化?x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =x
y ??，作为点
x 处变化率的近似；
2. 对y 求?x →0的极限x
y x ???0
lim →，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值．
二、导数的定义
1. 函数在一点处可导的概念
定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量?x ，函数y =f (x )相应的改变量为?y =f (x 0+?x )-f (x 0)，若这两个改变量的比
()()
x
x f x x f x
y ????00-+=
当?x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作0
|x x y ='或f '(x 0)或
x x dx
dy =或
)(x x dx
x df =．即
|x x y ='=f '(x 0)=x
x f x x f x
y x x ??????)
()(lim
lim
000
-+=→→ (2-1)
比值
x
y ??表示函数y =f (x )在x 0到x 0+?x 之间的平均变化率，导数0
|x x y ='则表示了函数
在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0处的变化的快慢． 如果当?x →0时
x
y ??的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0处不可导或导数不存在．
在定义中，若设x =x 0+?x ，则(2-1)可写成 f '(x 0)=()()0
00
lim
x x x f x f x x --→ (2-2)
根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下： 第一步 求函数的改变量?y =f (x 0+?x )-f (x 0)； 第二步 求比值
x
x f x x f x
y ????)
()(00-+=
；
f (x 0+?
f (x
第三步 求极限f '(x 0)=x
y x ???0
lim
→．
例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．
解 ?y =f (2+?x )-f (2)=(2+?x )2-22=4?x +(?x )2；
()
x
x x x
y ?????2
4+=
=4+?x ； x
y x ???0
lim
→=0
lim →x ?(4+?x )=4．
所以y '|x =2=4． 当()()
x
x f x x f x ???000
lim
-+-
→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的左导数，记作
)(0x f -'；当()()
x
x f x x f x ???000
lim
-++
→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的右导数，
记作)(0x f +'．
据极限与左、右极限之间的关系
f '(x 0) ? 存在)(0x f -',)(0x f +'，且)(0x f -'=)(0x f +'= f '(x 0)． 2. 导函数的概念
如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点处都可导，就称函数y =f (x )在开区间(a ,b )内可导．这时，对开区间(a ,b )内每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等．
根据导数定义，就可得出导函数 f '(x )=y '=()()
x
x f x x f x
y x x ??????-+=→→0
lim
lim
(2-3)
导函数也简称为导数．
注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值
（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．
例2 求y =C (C 为常数)的导数． 解 因为?y =C -C =0，
x
x
y ???0
=
=0，所以y '=0
lim
→x ?x
y ??=0．
即 (C )'=0常数的导数恒等于零）． 例3 求y =x n (n ∈N , x ∈R )的导数．
解 因为?y =(x +?x )n -x n =nx n -1?x +2
n C x n -2(?x )2+...+(?x )n ，
x
y ??= nx n -1 +2n C x n -2
??x +...+(?x )n -1，
从而有 y '=0
lim
→x ?x
y ??=0
lim →x ?[ nx n -1 +2
n C x n -2??x +...+(?x )n-1]= nx n -1．
即 (x n )'=nx n -1．
可以证明，一般的幂函数y =x α
, (α∈R, x >0)的导数为
(x α)'=α x α-1． 例如 (x )'=(21
x )'=x
x 212
1
2
1
=
-；(
x
1)'=(x -1)'=-x -2=-
2
1x
．
例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．
解
x
y ??=
x
x
x x ??sin )sin(-+，在§1-7中已经求得
lim
→x ?x
y
??=cos x ，
即 (sin x )'=cos x ．
用类似的方法可以求得y =cos x , (x ∈R )的导数为 (cos x )'=-sin x ．
例5 求y =log a x 的导数(a >0, a ≠1, x >0)．
解 对a =e 、y =ln x 的情况，在§1-7中已经求得为 (ln x )'=
x
1．
对一般的a ，只要先用换底公式得y =log a x =a
x ln ln ，以下与§1-7完全相同推导，可得
(log a x )'=
a
x ln 1．
三、导数的几何意义
方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．
导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为
y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4) 过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为 y -f (x 0)=-)
(10x f '(x -x 0) (2-5)
例6 求曲线y =sin x 在点(
6
π
,2
1)处的切线和法线方程．
解 （sin x ）'
6
π
=
x =cos x
6
π
=
x =
23
． 所求的切线和法线方程为 y －2
1=
2
3(x －
6
π
)，
法线方程 y －
2
1=－
3
32(x －6
π
)．
例7 求曲线y =ln x 平行于直线y =2x 的切线方程．
解 设切点为A (x 0, y 0)，则曲线在点A 处的切线的斜率为y '(x 0)， y '(x 0)=(ln x )'
x x ==
1x ，
因为切线平行于直线y =2x ，，所以0
1x =2，即x 0=
2
1；又切点位于曲线上，因而y 0=ln
2
1=-ln2．
故所求的切线方程为 y +ln2=2(x -2
1)，即y =2x -1-ln2．
四、可导和连续的关系
如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限
lim
→x ?x
y ??=f '(x 0)，则
x
y ??=f '(x 0)+α (0
lim →x ?α=0)，或?y = f '(x 0) ?x +α??x (0
lim →x ?α=0)，
所以 0
lim →x ??y =0
lim →x ?[f '(x 0) ?x +α??x ]=0．
这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．
但y =f (x )在点x 0处连续，在x 0处不一定是可导的． 例如：（１）y =|x |在x =0处都连续但却不可导．
（２）y =3x 在x =0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的．
学生思考：
设函数f (x )=???<+≥0
,10
,2x x x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．
小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。 作业：见首页
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§4－2 换元积分法
教学过程
复习引入
1． 不定积分的概念； 2． 不定积分的基本公式和性质。 新课：一、第一类换元积分法
例如：?xdx 2cos ，积分基本公式中只有：?xdx cos =sin x +C ．为了应用这个公式，可进行如下变换：
)2(2
1
2cos 2cos x d x xdx ???=
2
1cos 21
=?udu sin u +C 2
1sin2x +C ,
因为(
2
1sin2x +C )'=cos2x ，所以?xdx cos =
2
1sin2x +C 是正确的．
定理1 设f (u )具有原函数F (u )，?'(x )是连续函数，那么 ?'dx x x f )()]([??=F [?(x )]+C ．
证明思路 因为F (u )是f (u )的一个原函数，所以F '(u )=f (u )； 由复合函数的微分法得：
d F [?(x )]=F '(u )??'(x )dx =f [?(x )]??'(x )dx ， 所以 ?'dx x x f )()]([??=F [?(x )]+C ．
基本思想：作变量代换u =?(x ), (d ?(x )= ?'(x )dx )，变原积分为?du u f )(，利用已知f (u )的原函数是F (u )得到积分，称为第一类换元积分法．
例1 求dx b ax ?+10)(, (a ,b 为常数)． 解 因为dx =
a
1d (ax +b )，所以
)()(1)(1010
b ax d b ax
a dx
b ax
++=
+?? 11101111u a
du u a ＝ ?+C
a
111(ax +b )11+C ．
例2 求dx x
x ?ln ．
解 因为
x
1dx =d (ln x )，所以
原式=?)(ln ln x xd 2
1=?
udu u 2
+C
2
1
(ln x )2
+C ． 例3 求dx xe x ?2
．
令2x =u u =2x 回代
u =ax +b 回代 令ln x =u u =ln x 回代 令ax +b=u
解 因为xdx =2
1
d (x 2
)，所以
原式=
2
1)(2
2
x d e x
?
2
1
du e u
?=
2
1e u +C
2
2
1x
e
+C ．
例4 求
dx x
a x ?
-2
2
．
解 因为xdx =21
d (x 2)=－2
1
d (a 2
-x 2
)，所以
原式=－
2
1?
--)(12
2
2
2
x a
d x
a
－
2
1
?
du u
1= －u +C
－22x a -+C ．
学生思考： 求dx x
x ?
2
cos
1sin ＋．
第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d ?(x )，另一部分为?(x )的函数f [?(x )]，且f (u )的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法． 常用微分式： dx =a
1d (ax )； xdx =2
1
d (x 2
)；
x
1dx =d (ln|x |)； x
1dx =2d (x )；
2
1x
dx =－d (
x
1)；
2
11x
+dx =d (arctan x )；
2
11
x
-dx =d (arcsin x )； e x dx =d (e x )；
sin xdx =－d (cos x )； cos xdx =d (sin x )； sec 2xdx =d (tan x )； csc 2xdx =-d (cot x )； sec x tan xdx =d (sec x )； csc x cot xdx =－d (csc x )．
例6 求dx x
x
1cos 12
?
．
解 原式=C x
x
d x
+-=-?1sin
)1(1cos ．
例7 求dx x
a ?
-2
2
1, (a >0)．
解 原式=
C a x
a x d dx a a x a x
+=-=
-?
?
arcsin )()(11
)
(11
22
． 例8 求dx x
a
?
+2
2
1．
令x 2=u u =x 2
回代
令a 2-x 2=u
a 2-x 2=u 回代
解 原式=
C a x a a x d a dx a
x x +=+=
+??)arctan(1)()(11
1
)
(
11
12
2
2
． 例9 求dx x
a ?-2
2
1
, (常数a ≠0)．
解 原式=
])(1)(1[21)11(
21
?
?
?---++=
-+
+x a d x
a x a d x
a a
dx x
a x
a a
=
C x
a x a a
+-+||
ln 21
．
例10 求dx x ?tan ． 解 原式=)(cos cos 1cos sin x d x
dx x
x ?
?
-==－ln|cos x |+C ．
类似可得：dx x ?cot =ln|sin x |+C ．
例11 求dx x ?sec ． 解 原式=??
?
-=
=
x
x d x
x d dx x
2
2
sin
1)
(sin cos
)(sin cos 1，
利用例9的结论得
原式=2
)cos sin 1ln(
21|sin 1sin 1|
ln 2
1x
x C x
x +=
+-++C =ln|sec x +tan x |+C ．
类似可得：?xdx csc =ln|csc x -cot x |+C ．
学生思考：1 求?xdx 2sin ．2 求dx x ?3sin 3 求dx x x ?2cos 3cos
4 求dx x
x x ?
+ln ln 1
教师讲评
小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。
作业 见首页
高等数学典型教案淮安信息职业技术学院数学教研室
1-7 两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1． 例1 求x x x tan lim →． 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim →．
大一高数第一章--函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
关于高等数学方法与典型例题归纳
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
高数教案_重要极限6
课 题: 两个重要极限 目的要求： 教学重点： 教学难点： 教学课时： 教学方法： 教学内容与步骤： 1. 0sin lim 1x x x →=． 证明 作单位圆如下图所示,取AOB x ∠=(rad),于是有： BC =sin ,x ? AB x =,tan AD x =.由图得OAB OAD OAB S S S ??<<扇形，即 111sin tan 222x x x <<得 sin tan x x x <<,从而有sin cos 1x x x <<. 上述不等式是当π02x <<时得到的,但因当 x 用x -代换时cos x ,sin x x 都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立. 因为0limcos 1x x →=,又0 lim11x →=,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数sin x x 当
0x →时,极限也是1.这样就证明了0sin lim 1x x x →=. 说明： （1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 00 型极限． （2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成0sin lim 1x x →=x (方框□代表同一变量)． 例6 求0sin 3lim sin 4x x x →. 解： 003040sin 3sin 3433sin 343lim lim()lim lim .sin 43sin 4443sin 44 x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=??=?= 例7 求201cos lim x x x →-. 解 2 2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22 2x x x x x x x x x →→→?? ?-=== ? ???． 例8 求30tan sin lim x x x x →-． 解： 332000tan sin tan (1cos )1sin 1cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x x x x →→→---??==?? ??? 由例7知 21cos 1(0)2 x x x -→→, 故30tan sin 1lim 2x x x x →-=. 2. 1lim 1e x x x →∞??+= ??? ． 解释说明：列出11x x ??+ ??? 的数值表(如下表)，观察其变化趋势. 从上表可看出,当x 无限增大时,函数11x x ??+ ??? 变化的大致趋势,可以证明当x →∞时, 11x x ??+ ???的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为e 2.718282828=L ,即
第1章 函、极限与连续
第1章 函数、极限与连续 §1.1 函数 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1)1y x = (2)y =； (3)1 arcsin 2x y -=； (4)1arctan y x =； (5)y = ； (6)2 1log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+； (8)arcsin lg 10x y ??= ??? ． 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？ (1)2()lg f x x =与()2lg g x x =； (2)()f x x = 与2()g x =； (3)21y x =+与21x y =+； (4)y = y x =； (5)y = y = (6)1y =与22sec tan y x x =-． 3．设sin ,3 ()0,3x x x x π?π?
是奇函数． 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)2 2 (1)y x x =-； (2)2 3 3y x x =-； (3)2 x x e e y -+= ； (4)cos sin x y x x e =； (5)tan sec 1y x x =-+； (6)(3)(3)y x x x =-+． 8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)cos(1)y x =-； (2)tan y x x =； (3)2sin y x =； (4)cos 4y x =； (5)cos y x x =； (6)1sin y x π=+． 9．设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界． 10．证明：()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数． 11．某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进货一次需消耗费用2000元，如果商品均匀投放市场（即平均年存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪．试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数． 12．某运输公司规定某种商品的运输收费标准为：不超过200千米，每吨千米收费6元；200千米以上，但不超过500千米，每吨千米收费4元；500千米以上，每吨千米收费3元．试将每吨的运费表示为路程的函数． §1.2 初等函数 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1 ）y = （2） (0)ax b y ad bc cx d += -≠+； （3）11x y x -=+； （4）1ln(2)y x =++ ； （5）2sin 3 66y x x π π??=-≤≤ ??? ； （6）221x x y =+． 2．设1,0 ()0,00x f x x x ? ，求2 (1),(1)f x f x --．
第一讲数列地极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．
1-7两个重要极限练习题
1-7两个重要极限练习题 教学过程: 弓I 入：考察极 限 si nx lim ---- x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0 ( x) 综上所述，得 sin X 一.lim 1 . x 0 X lim 沁1的特点： x 0 X (1) 它是“0 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 (2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x a sin x 出arcsinx 求 lim ------ . x 0 x 令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: 当x 取正值趋近于0时，sin 2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0 x 推广 lim x a sin X x =lim x 0 sin X =1 x lim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0 x COSX lim sinx x 0 lim --- x 0 cosx 1 1 1. 求lim 沁. x 0 x sin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0 击，-1 cosx 求 lim -- 2 — x 0 x 2 3x (令3x t) 3ltim Sin t 1 cosx _ X 1叫二叫 2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2 x 0 x c 2(-)2 x im .x sin — 2 .x sin — 2 x 2
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论） （6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x 那么，？=→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 0型极限； （2）分子是正弦函数； （3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例1】 求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ） 【例3】 求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习 （1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结: 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 1-7两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 综上所述，得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点： x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解 令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ； x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果 是 推广 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2 求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求20cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→． 2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ? lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结: 第一章 极限与连续 第一节 函数 函数是微积分研究的对象,中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论。 一、函数的概念 在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量。这些量可分为两类。一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V 的关系可用式子3 4π3 V r = 给出，当半径r 在[0,)+∞内任取一个值时，体积V 有确定的值与之对应,我们称体积V 是半径r 的函数。 1.函数的概念 定义1 设有两个变量x 、y ,如果变量x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f 都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作()y f x =.其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f 是函数符号，表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如 ()y g x =,()y x ?=等.数集D 称为函数的定义域。 当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系 ()y f x =求出的对应值0y 称为当0x x =时的函数值，记作0|x x y =或0()f x .函数值 的集合称为函数的值域. 例1 已知2()321f x x x =-+，求(0)f ，1 ()2 f ,()f x -，(1)f a +. 解：2(0)302011f =?-?+= 21113()3()2()12224 f =?-?+= 22()3()2()1321f x x x x x -=?--?-+=++ 22(1)3(1)2(1)1342f a a a a a +=?+-?++=++ 例2 求下列函数的定义域 （1)2 ()531f x x x =++ （2)2()23 x f x x x =-- （3）()f x = （4)()ln(21) f x x =- 公开课教案 教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型 时间地点 教材分析 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。 学情分析 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。 教学目标 知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。 情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学重点 正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 教学难点 公式1sin lim 0=→x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。 教法学法 本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函 数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。 课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。 教学环节 教 学 内 容 师生双边活动 复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。 如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f = =≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则 教师引导， 学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目 的。函数的极限及函数的连续性典型例题
两个重要极限学习资料
函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题
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