江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(六)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．

1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,5}A =，{3,4}B =，则 U A B =eI （ ） A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2．在复平面内，复数

3

23i

i -对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出2份作业，则每个学生拿的都不是自己作业的概率是（ ） A ．

16 B ．1

3

C ．14

D ．23 4．已知双曲线22

221(0)x y b a a b -=>>的两条渐近线的夹角为60?，则双曲线的离心率为（

A B ．2 C ．

4

3

D 5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）①(||)y f x =；②()y f x =-；③()y xf x =；④()y f x x =+．

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项 等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那 么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ ） A ．,10b c i =≤ B ．,10c a i =≤ C ．,9b c i =≤ D ．,9c a i =≤

7．已知抛物线C ：28y x =焦点为F ，点P 是C 上一点，若△POF 的面积为2，则||PF =（ ）

A ．

52 B ．3 C ．7

2

D ．4 8．一个体积为25

3

的四棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该棱锥

的左视图的面积为（ ）

A ．252

B ．253

C ．254

D ．256

俯视图

1

主视图

9．函数1

4)

62sin(2-+=x

x x y π

的图象大致为（ ）

10．某人在x 天观察天气，共测得下列数据：①上午或下午共下雨7次；②有5个下午晴；③有6个上午

晴；④ 当下午下雨时上午晴.则观察的x 天数为（ ）

A ．11

B ．9

C ．7

D ．不能确定 11．如图是函数π()sin(2) (0,||)2

f x A x A ??=+>≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，

若12()()f x f x =

，有12()f x x +?的值为（ ） A ．

π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3

12．已知数列{}n a 满足(1)

1(1)n n n n a a n +++=-，n S 是其前n 项和，若20151007S =-，则1a =（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分． 13．设z x y =+，其中实数,

x y 满足20

00x y x y y k +≥??-≤??≤≤?

，若z 的最大为6，则z 的最小值为 ．

14．设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量1(1,2)n n P P +=u u u u u r

，则数列{}n a

的前n 项和n S = .

15．A 、B 、C 三点在同一球面上，135BAC ∠=?，BC =2，且球心O 到平面ABC 的距离为1，

则此球O 的体积为 ． 16.

设函数{}()min 2|f x x =-其中,min{,},a a b

a b b b a ≤?=?

≤?

，若动直线y m =与函数()y f x =的图像

有三个交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ++的范围为 ．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 2

3

2cos 2cos

22

=+

（Ⅰ）求证：c b a 、、成等差数列； （Ⅱ）若，34,3

==S B π

求b .

18．(本小题满分12分)

为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据整理后得到如下

频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:3

．

（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n ；

（Ⅱ）已知A 、a 是该校报考体育专业的两名学生，A 的体重小于

55千克， a 的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业 的学生中按分层抽样分别抽取小于55千克和不小于70千克 的学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小于55千克的 学生2人，体重不小于70千克的学生1人组成3人训练组， 求A 在训练组且a 不在训练组的概率.

19．(本小题满分12分)

四棱锥P – ABCD 中，90,60,ABC ACD BAC CAD ∠=∠=?∠=∠=?

PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，P A =2AB =2．

（Ⅰ）求证CE // 平面P AB ； （Ⅱ）求三棱锥P – ACE 体积．

千克)

20．(本小题满分12分)

已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于原点对称的两点，

且直线P A 的斜率与直线QA 的斜率之积为3

4

-．

（Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）过E 的右焦点作直线l 与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线3x =分别交于C 、D 两点，

记△ACD 与△AMN 的面积分别为1S 、2S ，且1218

7

S S ?=

，求直线l 的方程．

21．(本小题满分12分)

函数x

x

a x f ln )(+=

，若曲线)(x f 在点))(,e f e （处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为

自然对数的底数）.

（Ⅰ）若)(x f 在)1,(+m m 上存在极值，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）求证：当1>x 时，)

1)(1(21)(1

++>+-x

x xe x e e x f .

请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C 、D 两点，交圆O 于E 、F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于点H ． （Ⅰ）求证：B 、D 、H 、F 四点共圆；

（Ⅱ）若2,AC AF ==BDF 外接圆的半径．

23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．点A 、B 的极坐标分别为(2,π)、π

(,)4

a （a ∈R ），曲线C 的参数方程为12cos (2sin x y θ

θθ

=+??=?为参数)．

（Ⅰ）若a =AOB ?的面积；

（Ⅱ）设P 为C 上任意一点，且点P 到直线AB 的最小值距离为1，求a 的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数()|||2|f x x x a =+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x ≤；

（Ⅱ）若不等式2()f x a ≥对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．

2015年高考模拟试题 文科数学参考答案

（2）∵344

3sin 21===

ac B ac S ∴16=ac ………8分 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 22

2

2

2

2

2

-+=-+=-+= ………10分

由（1）得：b c a 2=+ ∴4842

2-=b b

∴162

=b 即4=b ………12分

18．解析：（1）由图知第四组的频率为0.037550.1875?=，

第五组的频率为.0.012550.0625?= ………………………………………………………3分

又有条件知前三组的频率分别为0.125,0.25,0.375，所以12

480.25

n =

=…………………5分 （2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为,,,A B C D 体重不小于70千克的学生2人，记为,a b ………………………6分 从中抽取满足条件的所有结果有：(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A B a A B b A C a A C b A D a ，

(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A D b B C a B C b B D a B D b C D a C D b 共12种………………10分

所求事件的概率为31

124

P =

=………………………………………………………………12分 19．解析：（1）延长DC 、AB 交于N ，连接PN

60,,NAC DAC AC CD C ∠=∠=?⊥∴为ND 中点 E 为PD 中点，//EC PN ∴

,E C P A B P N P A B

??平面平面 //EC PAB ∴平面 ……………………………………6分

（2）22,24,AC AB AD AC CD =====

P A A B C D ⊥平面 P A C D ∴⊥ ,C D A C C A P A A

⊥?= C D P A C ∴⊥平面 E 为PD 中点

E ∴到平面距离为12CD = 12222PAC S ?=??= 1=3V Sh ∴=

……………………………………12分

20．解析：（1）设0000(,),(,)P x y Q x y --，则2222

2()b y a x a

=-……………………………………1分 2

2000222000PA QA

y y y b k k x a x a x a a

?=?==--+-，依题意有2234b a =

又1c =，所以解得224,3a b ==

故E 的方程为22

143

x y +=……………………………………………………………………5分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，代入E 的方程得22(34)690m y my ++-=……6分 设1122(,),(,)M x y M x y ，则1212

2269

,3434

m y y y y m m +=-=-++…………………………7分 直线MA 的方程为1

1(2)2

y y x x =

--，把3x =代入，

得111121C y y y x my =

=

--，同理2

21

D y y my =-…………………………………………………8分

所以122

1212||

||||()1

C D y y CD y y m y y m y y -=-=

=-++

所以11||2S CD =

9分

2121||||2S AF y y =?-=10分 21229(1)34m S S m +?=+，所以22

9(1)18347

m m +=+，解得1m =±…………………………………11分 故直线l 的方程为10x y +-=或10x y -+=……………………………………………12分

21. 解析：（1）∵2

ln 1)(x x

a x f --=

'

由已知21)(e e f -=' ∴2

21

-e e a -= 得1=a ………2分

∴)0(ln )(ln 1)(2>-

='+=

x x

x

x f x

x x f 当)(,0)(,)1,0(x f x f x >'∈时为增函数；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数．

∴1=x 是函数)(x f 的极大值点 ………4分

又)(x f 在)1,(+m m 上存在极值 ∴ 11+<

故实数m 的取值范围是）（1,0 ………5分

（2） )

1)(1(21)(1

++>+-x

x xe x e e x f 即为1

2)1)(ln 1111

+>+++-x x xe e x x x e （ ………6分

令x

x x x g )1)(ln 1()(++=

，则22[(1)(ln 1)](1)(ln 1)ln ()x x x x x x x

g x x x '++-++-'==

再令x x x ln )-=（φ 则x

x x x 111-=-='）

（φ ∵1>x ∴0)(>'x φ ∴ )(x φ在），（∞+1上是增函数

∴01)1()(>=>φφx ∴0)(>'x g

∴)(x g 在），（∞+1上是增函数

∴1>x 时，2)1()(=>g x g 故

1

21)(+>+e e x g ………9分

令=)(x h 121+-x

x xe e ，则2

1211)1()

1(2)1()1()1(2)(+-=+'+-+='---x x x x x x x x xe e e xe e xe xe e x h ∵1>x ∴01<-x

e ∴0)(<'x h 即)(x h ），（∞+1上是减函数

∴1>x 时，1

2

)1()(+=

+， 即)

1)(1(21)(1

++>+-x

x xe x e e x f ………12分 22．解析：（1）因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥…………………………………2分

又DH BD ⊥，所以,,,B D H F 四点共圆…………………………………………………4分 (2)因为AH 与圆B 相切于点F ，

由切割线定理得2

AF AC AD =?，代入解得AD =4………………………………………5分

所以1

()1,12

BD AD AC BF BD =

-===……………………………………………6分 又△AFB ∽△ADH ，所以DH AD

BF AF

=………………………………………………………7分

由此得AD BF

DH AF

?=

=8分 连接BH ，由（1）知，BH 为△BDF

外接圆的直径，BH ……9分

故△BDF

10分 23．解析：（1

）1

2sin13522

AOB S ?=

???=…………………………………………………4分 （2）依题意知圆心到直线AB 的距离为3…………………………………………………5分

当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =-，

显然，符合题意，此时a =-6分 当直线AB 存在斜率时，设直线AB 的方程为(2)y k x =+………………………………7分

则圆心到直线AB

的距离d =

………………………………………………………8分

3=，无解…………………………………………………………………9分

故a =-

24．解析：（1）当1a =时，13,01()1,02131,2x x f x x x x x ?

?-≤?

?

=-<≤??

?

->??

……………………3分

根据图易得()1f x ≤的解集为2

{|0}3

x x ≤≤……………………5分 （2）令()x ka k =∈R ，

由2()f x a ≥对任意x ∈R 恒成立等价于|||21|||k k a +-≥对 任意k ∈R 恒成立………6分 由（1）知|||21|k k +-的最小值为12，所以1

||2

a ≤………………………………8分 故实数a 的取值范围为1

1

22

a -≤≤

……………………………………………………10分 法（2） 易知min ()min (0),()2a f x f f ?

?=???

?，只需2(0)f a ≥且2()2a f a ≥，解得1122a -≤≤．