A ．a ≤1
B ．a ≤3
C ．a ≥1
D ．a ≥3
10、小强和小华两位同学约定下午在人民公园假山前见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的,假设小华在1点到2点内到达,且小华在 1点到2点之间何时到达是等可
能的,则他们会面的概率是 A. 16 B.12 C. 14 D.13
11、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．无法确定
12、如图F 1，F 2分别是椭圆2
2221(0,0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ?是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A ．2
B ．12
C ．
2
D 1 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、命题：01,2=+-∈?x x R x 的否定是
14、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的
周长是 .
15、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ．
16、以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k += ，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为22
1169
x y -=． 其中真命题的序号为 _________．
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17、（本题满分12分）已知命题p ：方程11
22
2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆， 命题q ：双曲线152
2=-m
x y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真， 求实数m 的取值范围．
18、（本题满分12分）
（1）已知双曲线的一条渐近线方程是x y 2
3-=，焦距为132，求此双曲线的标准方程； （2）求以双曲线19
162
2=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。
19、（本题满分12分）对某种电子元件的使用寿命进行调查,抽样200个检验结果如表：
⑴ 列出频率分布表；⑵ 画出频率分布直方图以及频率分布折线图；⑶ 估计电子元件寿命在100h ～400h 以内的频率；⑷ 估计电子元件寿命在400h 以上的频率.
20、（本题满分12分）在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
21、如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，ABCD A A 平面⊥'
(1) 求证：C A '//平面BDE ；(2) 求证：平面AC A '⊥平面BDE
(3) 求平面BDE 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值。
22、已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 3
3-=上的两个动点，线段AB 的长为32，P 是AB 的中点． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点)0,1(Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于R 点．若
RM MQ λ= ，RN NQ μ= ，证明：λμ+为定值．
高二开学考试数学（理科）参考答案：
1、A
2、C
3、C
4、B
5、C
6、B
7、B
8、B
9、D 10、D 11、C 12 D
13、01,2≠+-∈?x x R x 14、18 15、56 16、②③
17、p :01<≤m 故m 的取值范围为153
1<≤m 18、（1）1942
2=-y x 或14
922=-x y ；（2）125922=+y x . 19、解:（1） （2） 略
（3）()100,400h h =0.65 （4）()400,600h h P =0.35
20、把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3。
从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个
（1） 事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P （E ）=1/20=0.05
（2） 事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P （F ）=9/20=0.45
（3） 事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P （G ）=2/20=0.1，
假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90
次。则一天可赚40510190=?-?，每月可赚1200元。
21、
法二：依条件有AD A A AB A A AD AB ⊥⊥⊥',',,以A 为坐标原点，分别以A A AD AB ',,为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，则有2
,0,0(),0,,0(),0,0,(),0,0,0(a
E a D a B A
)2,1,1(,020,),,(),2
,0,(),0,,()
,0,0(''2222221=??
???=+-=?=+-=∴⊥⊥=-=-===∴⊥n z a ax n ay ax n n n z y x n BDE a a a a a A A n ABCD ABCD A A 可取则的一个法向量为设平面的一个法向量为平面平面 ......11分 分为所求则所成锐二面角大小为与平面设平面14.. (2)
2cos sin tan ,33sin ,3662||
|,cos |cos ,
212121===∴=?==><=θθθθθθa a n n ABCD BDE ……13分 22、（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．
∵P 是线段AB 的中点，∴1212,2.2
x x x y y y +?=???+?=?? ………2分
∵A B 、分别是直线
y x =和
y x =上的点，∴11
y x =和22y
x =．
∴1212,.3x x y y x ?-=??-=?? …………4分
又AB = 12)()(221221=-+-y y x x ． …………5分
∴2
2412123y x +=，∴动点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………6分 （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-．…………7分 设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，
则M N 、两点坐标满足方程组?????=+-=.19
,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=， …………9分
∴22
439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k
-=+． ② ………10分 ∵λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-．
即???λ-=--λ=.,)1(353
33y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ， ∴331x x -=λ，同理4
41x x -=μ． ………12分
∴443311x x x x -+-=
μ+λ34
343434
()21()x x x x x x x x +-=-++． 将①②代入上式可得49-=μ+λ． …………14分
