2018年高考一轮人教版A数学文科 第3章 第6节 课时分层训练22

课时分层训练(二十二)

正弦定理和余弦定理

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()

【导学号：31222130】A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，

即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.

∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2.]

2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()

【导学号：31222131】A．有一解B．有两解

C．无解D．有解但解的个数不确定

C[由正弦定理得

b

sin B＝

c

sin C，

∴sin B＝b sin C

c＝

40×

3

2

20＝3＞1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]

3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC ＝()

A．1B．2

C．3D．4

A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－

2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]

4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )

A.3

4 B.34 C.32

D.32

B [依题意得cos

C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于1

2ab sin C ＝12×3×32＝3

4，故选B.]

5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1

3BC ，则sin A ＝( )

A.310

B.1010

C.55

D.31010

D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π

4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝2

3a ，∴AC ＝? ????a 32＋? ??

??23a 2

＝53

a ，在△ABC 中，由

正弦定理得a

sin ∠BAC ＝53a sin 45°

，

∴sin ∠BAC ＝310

10，故选D.] 二、填空题

6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532

＝10sin B

，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐

角，

所以cos B ＝1－sin 2B ＝6

3.]

7．(2016·青岛模拟)如图3-6-1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝22

3，AB ＝32，AD ＝

3，则BD 的长为________．

图3-6-1

3 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝22

3， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×22

3＝3， ∴BD ＝ 3.]

8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：31222132】

32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝3

32

＝2，

所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π

2，即三角形为直角三角形，

故S △ABC ＝12×3×1＝3

2.]

三、解答题

9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝3

5. 【导学号：31222133】

(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．

[解] (1)因为b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×3

5＝17，所以b ＝

17.5分

(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝4

5，7分 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5

sin C ，

所以sin C ＝417

17.12分

10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．

(1)求sin A 的值；

(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．

[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，

即sin 2

B ＋sin 2

C －sin 2

A ＝6sin

B sin

C 5

.3分

根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc

5， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3

5. ∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝4

5.6分 (2)由(1)知b 2

＋c 2

－a 2

＝6bc

5，

∴6bc

5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分 又∵a ＝22，∴bc ≤10.

∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc

5≤4， ∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分

B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )

A.3π4

B.π

3 C.π4

D.π6

C [∵b ＝c ，∴B ＝C . 又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A

2. 由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )， 即sin 2A ＝2sin 2? ????

π2－A 2(1－sin A )，

即sin 2A ＝2cos 2A

2(1－sin A )， 即4sin 2A 2cos 2A 2＝2cos 2A

2(1－sin A )， 整理得cos 2A 2? ?

???1－sin A －2sin 2A 2＝0，

即cos 2A

2(cos A －sin A )＝0.

∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A

2≠0， ∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π

4.]

2．如图3-6-2，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．

图3-6-2

56

2 [在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，

由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－

1

2， 所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.

在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得

AB sin ∠ADB

＝AD

sin B ，

所以AB ＝56

2.]

3．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根． (1)求角C ；

(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值．

[解] (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－1

2.2分 又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， 所以cos C ＝－12，所以C ＝2π

3.5分

(2)由余弦定理可得：c 2

＝a 2

＋b 2

－2ab ·? ??

??

－12＝(a ＋b )2－ab ，7分 则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，

当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53， 所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.12分