数值分析思考题1

%

数值分析思考题1

1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *

表示成

x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。

（2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *

表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过

;反之，如果已知相对误差r ，且有

，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替

' 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，

r

e x x e x x *****-==

通常用代替。

3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。

（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(3322-，（2）(2752-，（3）()31

322+，（4）()61

21，（5）

99702-答：（1）(

332-==； （2）(2752-==； ,

（3）

()31322+=；

（4）()6121=；

（5）99702-=；

由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。

2141.≈)6

21

数值分析思考题1

% 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有 ，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 ' 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时， r e x x e x x *****-==

通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(3322-，（2）(2752-，（3）()31 322+，（4）()61 21，（5） 99702-答：（1）( 332-==； （2）(2752-==； , （3） ()31322+=； （4）()6121=； （5）99702-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。 2141.≈)6 21

数值分析-第一章-学习小结

数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理

2.1 数值分析的研究对象 方法的构造 研究对象 求解过程的理论分析 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差：

数值分析第一章思考题

《数值分析》第一章思考题 1.算法这一概念，数学上是如何描述的？ 答：算法的概念：算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。 算法在数学上的主要描述方式有：自然语言、结构化流程图、伪代码和PAD图 2.数值分析中计算误差有哪些？举列说明截断误差来源。 答：在数值分析中的计算误差主要有： （1）模型误差（2）观测误差（3）截断误差（4）舍入误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，因近似方法产生的误差称为截断误差或者方法误差。例如在函数的泰勒展开式，我们在实际的计算时只能截取有限项代数和计算。 3.浮点数由哪两部分组成？指出各部分重点。 答：浮点数主要由：尾数+阶数两部分组成的。 在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示，尾数部分给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度。二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。 4.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述。 答：有效数字是一个数据在保证最小误差的情况下，取的一个能够在计算中发挥其有效作用的近似值。有效数字的作用在于，最大精度地去发挥这个数值在计算中的作用，而又不会对计算结果造成太大影响，使计算过程简化。 5.何谓秦九韶算法，秦九韶算法有何优点？ 答：秦九韶算法是一种多项式简化算法，将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，大大简化了计算过程，对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。。 6.在数值计算中，会发生大数吃小数现象，试对这一现象做解释 答：一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加时，很可能发生所谓“大数吃小数”的现象，从而影响计算结果的可靠性，这主要是计算机表示的数的位数是有限的这一客观事实引起的。 例如在12位浮点数计算机中进行浮点数相加，系统只保留前12位作为有效数字，小的那个数化成浮点数中的有效数字被舍去，出现大数吃小数的现象，对计算结果造成了影响。

matlab与数值分析作业

数值分析作业(1) 1：思考题（判断是否正确并阐述理由） （a）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 (b)无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。 (c)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。 (d)用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。 (f)浮点数的加法满足结合律。 (g)浮点数的加法满足交换律。 (h)浮点数构成有效集合。 (i)用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解。√2: 解释下面Matlab程序的输出结果 t=0.1; n=1:10; e=n/10-n*t 3：对二次代数方程的求解问题 20 ++= ax bx c 有两种等价的一元二次方程求解公式

2224b x a c x b ac -±==- 对 a=1，b=-100000000，c=1，应采用哪种算法？ 4：函数sin x 的幂级数展开为： 357 sin 3!5!7! x x x x x =-+-+ 利用该公式的Matlab 程序为 function y=powersin(x) % powersin. Power series for sin(x) % powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t; t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t n=n+2; end

（a ） 解释上述程序的终止准则； （b ） 对于x=/2π、x=11/2π、x =21/2π，计算的精度是多少？分别需 要计算多少项？ 5:指数函数的幂级数展开 2312!3!x x x e x =+++ + 根据该展开式，编写Matlab 程序计算指数函数的值，并分析计算结果（重点分析0x <的计算结果）。

第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。 解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。 证明： ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行

郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题

《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院： 学号： 姓名：

重点考察内容 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章基础 掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。 了解：数值微分，积分余项 第五章直接法 掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法 掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章ODE解法 掌握：Euler公式构造、收敛阶。 了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式 题目类型：填空，计算，证明综合题

第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取

数值分析作业思考题汇总

￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61

数值分析思考题[综合]

1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？ 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、 取 ，计算 ，不用计算而直接判断下列式子中哪 种计算效果最好？为什么？ （1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） (3 1 3+，（4） ) 6 11 ，（5）99-5. 应用梯形公式 ))()((2b f a f a b T +-= 计算积分1 0x I e dx -=?的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数。计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？为什么？ 6. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。 (1) 1021.1*1=x ；(2) 031.0*2=x ；(3) 40.560*3=x 。 7. 下列公式如何计算才比较准确？ (1) 212 x e -，1x <<；(2) 12 1 N N dx x ++? ，1>>N ；(3) ，1x >>。 8. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-，12,,n =，若0141.y =≈，计算到10y 时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？ r e x x e x x ***** -== 141.≈) 6 1

1、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区 间多少次？ 2、求解一个非线性方程的迭代法有哪些充分条件可以保障迭代序列收敛于方程的根？对方程3210()f x x x =--=，试构造两种不同的迭代法，且均收敛于方程在[]12,中的唯一根。 3、设0a >，应用牛顿法于方程30x a -= 确定常数,p q 和r 使得迭代法 2 125k k k k qa ra x px x x +=++， 012,, , k = 4、对于不动点方程()x x ?=，()x ?满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：（1）函数21()x x ?=-在闭区间[]02,上不是映内的，但在其上有不动点；（2）函数 1()ln()x x e ?=+在任何区间[],a b 上都是压缩的，但没有不动点。 5、设*x 是方程0()f x =的根，且0*'()f x ≠，''()f x 在*x 的某个邻域上连续。试证明：Newton 迭代序列{}k x 满足 12122**()''() lim () '()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-- 6. 设有方程1 12 sin x x =+。对于迭代法1112 ()sin()k k k x x x ?+==+，试证：对 任何15.b ≥，迭代函数()x ?在闭区间[0.5,b]上满足映内性和压缩性。用所给方

第一章复习与思考题

第一章复习与思考题 1. 什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 答：数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究的是用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 数值分析以数学问题为研究对象，但它并不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 2. 何谓算法？如何判断数值算法的优劣？ 答：一个数值问题的算法是指按规定顺序执行一个或多个完整的进程，通过算法将输入元变换成输出元. 一个面向计算机，有可靠理论分析且计算复杂性好的算法就是一个好算法. 因此判断一个算法的优劣应从算法的可靠性、准确性、时间复杂性和空间复杂性几个方面考虑. 3. 列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别. 答：用计算机解决实际问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的误差叫做模型误差. 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度等，这些参量显然也包含误差，这种由观测产生的误差称为观测误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解和精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.

有了求解数学问题的计算公式以后，用计算机做数值计算时，由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差. 截断误差和舍入误差是两个不同的概念，截断误差是由所采用的数值方法而产生的，因而也称方法误差，舍入误差是由数值计算而产生的. 4. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？ 答：设 为准确值， 为 的一个近似值，称 为近似值 的绝对误差，简称误差. 近似值的误差 与准确值 的比值 称为近似值 的相对误差，记作 . 通常我们无法知道误差的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界 ，

数值分析最佳习题(含答案)

第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab

故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）

《数值分析》第五章答案

习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ， 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度： （1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ； （2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。 解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右； 当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。

数值分析思考题答案

： 数值分析课程思考题 1．叙述拉格朗日插值法的设计思想。 Lagrange插值是把函数y=f(x)用代数多项式pn(x)代替，构造出一组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。 2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。 问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂而不便于计算希望用一个简单的函数描述它。 发展脉络：在工程中用的多的是多项式插值和分段多项式插值。在多项式插值中，首先谈到的是Lagrange插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其高次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的一阶，二阶甚至更高阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。为了提高精度，加密节点时把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。最后，由于许多工程中对插值函数的光滑性有较高的要求，就产生了样条插值。 3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。 数值积分主要采用插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。通常采用Lagrange插值。如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。由于高次Newton-Cotes公式的求积系数有正有负，将产生很大的计算误差，引起计算不稳定，所以受分段插值的启发，对数值积分也采用分段求积，导出复化求积公式； 其中，在小区间上用梯形公式求和的称为复化梯形公式，用Simpson公式求和的成为复化Simpson公式，用Cotes公式求和的称为Cotes公式。但由于步长的选取是个问题，所以，导出逐次分半法来计算。而由于有些函数在x=0的值无法求出，为

数值分析思考题1

数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差e ，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。 （2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣ k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 r e x x e x x *****-==

- 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。 （2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么 （1）(33-，（2）(27-，（3）()31 3+，（4）()61 1，（5） 99-答：（1）(33-==； （2）(27-==； （3） ()3 13+=； （4）()611+=； （5）99-=； 由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的 误差最小。 ， 141.≈)61

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；

数值分析第五章学习小结【计算方法】

第五章最小二乘法与曲线拟合小结 一、本章知识梳理 1、 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差 平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合 中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函 数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小 的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即

(3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 3、曲线拟合： 曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。

数值分析思考题

数值分析重点考察内容 第一章： 基本概念 第二章： Gauss消去法，Lu分解法 第三章： 题型：具体题＋证明，误差分析 三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明 第四章： 掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章： 最小二乘法计算 第六章： 梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。 高斯求积公式的构造 第七章： 几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章： 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作34 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1） 11,||1121x x x x --++ （2） ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2） 99-（3） 6(3- （4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算 0!k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分10,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 1111100(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-?? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取 来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

数值分析思考题

数值分析思考题6 1、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么 （1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。直接法又称为精确法。 （2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。 2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。 迭代公式收敛的充分必要条件是假设矩阵M的谱半径，可知的充分必要条件是。 迭代公式和 ,收敛。 严格对角占优线性方程组Ax=b（其中，）的Jacobi 迭代公式，收敛。 Gauss-Seidel迭代公式 ，收敛。 3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1，使得 ,则收敛于x*。 （2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数在不动点

x*的某邻域内具有二阶连续导数， 且，则 二阶收敛，极限是x*。 （3）牛顿迭代法：收敛 4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关 解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。经实验，当谱半径是时，松弛因子是。 5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T 点附近的根： 2 1232 12332312470,10110,1080. x x x x x x x x ?---=?+--=??+-=? 解非线性方程组的Newton 法的主要工作量在于求解。 牛顿解： ， ， Broyden 秩1校正方法： ， ，

数值分析第四版习题和答案解析

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

数值分析 第五章习题

第五章 习 题 1. 用高斯消去法解方程组 123234011921261x x x ????????????=??????????????????? 2. 用LU 分解，将第1题中的系数矩阵分解为L 和U 的乘积，L 是对角线元素为1的下三角矩阵，U 是上三角矩阵. 3. 用平方根法和T LDL 分解为求解方程组 123121332522334x x x x x x x ++=??+=??+=? 4. 证明 （1）两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵. （2）下三角矩阵之逆仍为下三角矩阵. 5. 用列主元素消去法解方程组 1231231 233472212320x x x x x x x x x ?+=???+?=?????=? 取4位数字计算. 6. 对四阶Hilbert 矩阵为系数的方程组 12341234 1234 12341111 234111102345111103456111104 567x x x x x x x x x x x x x x x x ?+++=???+++=???+++=???+++=? 试求其系数方程组A 的条件数()cond A ∞并分析方程组的性态。 7. 如果A 是一个对称正定矩阵，且带宽为21m +，证明在A 的三角分解T A LL =中出现的矩阵L 也是带状矩阵. 8. 设有三对角方程组

11121 2122232 b x c x d a x b x c x d +=+++= (121111) 1n n n n n n n n n n n n a x b x c x d a x b x d ???????++=+= 其系数矩阵有严格对角优势. 试写出用LU 分解求其解的计算公式. 9. 画出2R 中满足下列不等式的集合. （1）11x ≤ （2）21x ≤ （3）1x ∞≤ 10. 求证1I ≥，11A A ?≥. 11. 试证明2 21A A A ∞≤ 12. 对矩阵 2100121001210012A ????????=???????? 求A ∞，2A ，1A 和2()Cond A . 13. 比较下面两个方程组的解. 123123123111 2311102341110345x x x x x x x x x ?++=???++=???++=?? ，1231231231.000.500.3310.500.330.2500.330.250.200x x x x x x x x x ++=??++=??++=?