高等代数第6章习题参考答案
第六章 线性空间
1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。
证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因
,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论
哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。
2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。
证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若
)()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此
.L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得
),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ?
于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。
若x M N L M N L ∈∈∈U
I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）
。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
2121211211
12
b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）
（）k 。（a ，）=（ka ，kb +
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =o ； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：
k a a =o ；
8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：
a b ab ⊕=，k k a a =o ；
解 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n n
x x ++--=（）（）。
2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为
f （x ）+
g （x ）=
h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以
f （A ）+
g （A ）=
h （A ），kf （A ）=d （A ）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有
'''（A+B ）
=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-（）（）（）
，所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2
a -
b ）。对于数乘：
2
2222222
1(11)111)(,),2(1)(1)(1)
.(.(,).(,)(,[2]())
222
(1)(1)(1)(1)
(,[]())(,())
2222
(1)(,)().(,),
2(a b a b a a b l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la l l k k kl kl k k kla k lb a la kla a la kl kl kla a klb kl a b -==
=---=+=++----=++=+-=+=。（，）（。，。2
22
22
22
()(1)).(,)[(),()]
2
(1)(1).(,).(,)(,)(,22
(1)(1)(,)
22(1)(1)[(),()].
2k l k l k l a b k l a a k l b k k l l k a b l a b ka kb a la lb a
k k k k ka la kb a a kla k k l k l a a k l b ++-+=+++--⊕=+⊕+--=++++++-=+++
即),(),(),()(b a l b a k b a l k οοο⊕=+。
),()],(),[(2121212211a a b b a a k b a b a k +++=⊕οο
＝)])(2
)
1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-+
+++， ),()(221,1b a k b a k οο⊕
＝)2)1(,()2)1(,(2
2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+
＝)2
)1(2)1(,(2122
2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++
＝)2)1(2)1()(),((212122
221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++
＝))(2
)1()(),((2
2221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，
即=⊕),(),(2211b a b a k ο),()(221,1b a k b a k οο⊕，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为.01αα≠=ο。
7）否，因为)()()(,2,)(ααααααααααοοοοοοl k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
1);
)()()()();)111;
1111
):1,1;
)1;
)(())()()();)()()();
)()l l k lk kl k l k l i a b ab ba b a ii a b c ab c abc a bc a b c iii a a a iv a a a a a a a a
v a a a vi k l a k a a a a kl a vii k l a a a a ka la viii k a b +⊕===⊕⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕⊕=?=⊕=?=⊕=⊕=======+==?=⊕⊕o o o o o o 是零元：的负元是且()()()().
k k k k ab ab a b k a k b ====⊕o o o
所以，所给集合+
R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。
证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。
2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。
5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。
证 因为1cos 22cos 2
-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2
式线性相关的。
6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，
不妨设,01≠k 则)()()(31
3212
1x f k k x f k k x f --
=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以
)(),(),(321x f x f x f 线性无关。
7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设
1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；
2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。
解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????
???=+--=-+-=--+=+++1
121
d c b a d c b a d c b a d c b a ，
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4
1
,41,41,45-=-===
d c b a 。 2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????
???=-+=-=+++=++1
0300
2d b a d b d c b a c b a ，
可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ?；2）P n n ?中全体对称（反对称，
上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全体实
系数多项式组成的空间,其中A=,00000012?
???
? ??ωω231i
+-=ω。
解 1)n n P ?的基是{
),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n n
P
n ?=。
2) i)令?????
??
?
?
?
???=...
............1............1.........
...
ij F ，即,1==ji
ij a a 其余元素均为零,则
{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是
2
)
1(+n n 维的。 ii)令?????
??
?
?
?-???=...
............1............1.........
...
ij G ，即),(,1j i a a ji
ij ≠=-=其余元素均为零,则
{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是
2
)
1(-n n 维的。 iii) {}nn
n n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是
2
)
1(+n n 维的。 3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a ,可经2线性表出，即.2)(log 2οa a =,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4)因为231i +-=ω,13
=ω,所以?????+=+===2
3,13,3,12q n q n q
n n ωωω，
于是E A A =????? ??=????? ?
?=111,1322
ωω， 而??
???+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n
。
9.在4P 中,求由基,1ε，,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标。设
)()()()()?????????????
?====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114
32
1εεεε，()()
()()?
????
??===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321ηηηη，
()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标； )()()()()??????????????--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,12432
1εεεε，()()()()
???????=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,243
21ηηηη，
()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标； )()()()()??????????????--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,13432
1εεεε，()
()()()
???????--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,143
21ηηηη，
()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标；
解 )1（4321,,,ηηηη）=（,1ε,,,432εεε）??
?
?
?
?
?
?
?-310112116331
6502
=（,1ε432,,εεε）A
这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵，将上式两边右乘得1
-A ， 得 （,1ε432,,εεε）=（4321,,,ηηηη）1
-A ，
于是
=ξ（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）1-A ?????
?
? ??4321x x x x ，
所以在基下的坐标为
1-A ????
??
? ??4321x x x x ，
这里1-A =?
?
??
???????
??------
-2726319127
732003
1
272331942719111
3194。
)2令)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321====e e e e 则
（,1ε432,,εεε）=(43,21,,e e e e )????
??? ??-----1110011112121111
=(43,21,,e e e e )A ，
（4321,,,ηηηη）=(43,21,,e e e e )??
??
?
?
?
?
?-222111203111
1202=(43,21,,e e e e )B ， 将(43,21,,e e e e )=（,1ε432,,εεε）1
-A 代入上式,得
（4321,,,ηηηη）=（,1ε432,,εεε）1
-A B ，
这里
1-A =?
????
??????
??-----
--138********
3131134133132134133131135135136133133
,1-A B=??
??
?
?
?
??0100111010111001， 且B A 1
-即为所求由基,1ε,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵，进而有
()0,0,0,1=ξ=(43,21,,e e e e )??????? ??0001=（,1ε432,,εεε）1-A ????
??
? ??0001
=（,1ε432,,εεε）???
???
????
? ??--133132135133，
所以ξ在,1ε432,,εεε下的坐标为???
??--133,132,13
5,133。
)343,21,,e e e e 同)2，同理可得
A=,111111*********
1???????
??------B=???
?
??
?
??-10111030111
101
21
1-A =41,111111*********
1????
??
?
??------ 则所求由,1ε432,,εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵为
1-A B=??????????
? ??------410
4
14141043414321414141214743
。 再令1ηξa =+b 2η+c 3η+d 4η，即
()()()??
??
?
?
?
??--=?
?????
? ??=11100011
1312
10
1
1,,,,,,0,0,0,14321d c b a d c b a ηηηη， 由上式可解得ξ在下的坐标为4321,,,ηηηη下的坐标为 ()=d c b a ,,,??
?
??
---
-23,421,21ηξa =。 10．继第9题1）求一非零向量ξ，它在基,1ε432,,εεε与4321,,,ηηηη下有相同的坐标。
解 设ξ在两基下的坐标为()
4,321,,x x x x ，则
ξ=（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）????
??
?
??4321x x x x 。
又因为
（4321,,,ηηηη）=（,1ε432,,εεε）??
??
?
?
?
?
?-310112116331
6502
=（,1ε432,,εεε）A ， 所以
??????? ??4321x x x x =A ??????? ??4321x x x x ?（A - E ）????
??
?
??4321x x x x =0。
又
01
01
111321,02
101
1
11163216501
≠-=-=
-且E A ，
于是只要令就有,4c x -=
??
?
??=+=++-=++c
x x c x x x c x x x 263231321321，
解此方程组得
()
4,321,,x x x x =()c c c c -,,, (c 为任意非零常数)， 取c 为某个非零常数0c ，则所求ξ为
40302010εεεεξc c c c -++=。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =。
证 设dim(1V )=r ，则由基的扩充定理，可找到1V 的一组基,,.....,21r a a a ，因21V V ?，且它们的唯数相等，故,,.....,21r a a a ，也是2V 的一组基，所以1V =2V 。
13．n n P A ?∈。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C （A ）； 2）当A=E 时，求C （A ）；
3）当A=????
?
?
?
??n ......
....................21时，求C （A ）的维数和一组基。 证 1）设与A 可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D 属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A ，
故 B+D ∈C(A)。若k 是一数，B )(A C ∈，可得 A （kB ）=k(AB)=k(BA)=(kB)A ， 所以kB ∈C(A)。故C(A)构成n
n P ?子空间。
2）当A=E 时，C （A ）=n
n P
?。
3）设与A 可交换的矩阵为B=（ij b ），则B 只能是对角矩阵，故维数为n,nn
E E E ,...,2211即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记
A=S E +=???
?
? ??+????? ??113000000100010001，
并设B=???
?? ??22
2
111
c b a c b a c b a 与A 可交换，即AB=BA ，则SB=BS 。且由 SB==????? ??????? ??22
2111
113000000c b a c b a c b a
????
?
??++++++212
12
1333000
00
c c c b b b a a a ， BS=????
? ??22
2
111
c b a c b a c b a ????? ??113000000=????
?
??22
2111333c c c c c c c c c
， 可是01==c c ， 又 ??
?=++=++2
212
21333c b b b c a a a ，
即??
?++=--=+-212
2
12333b b b c a a a c ，
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,2c ，并 令b=1，其余为0，得2c =3,a=3; 令1a =1，其余为0，得2c =3,a=3
1
-
; 令1b =1，其余为0，得2c =1,a=1; 令2a =1，其余为0，得2c =0,a=3
1-
; 令2b =1，其余为0，得2c =1,a=1; 则与A 可交换的矩阵为
B=????
?
??22
2
11
00c b a b a b a ， 其中,a,2c 可经b,2121,,,b b a a 表示,所求子空间的一组基为
????? ??300000013, ??????? ??-0000010031 ,????? ??100010001, ?
???
??
? ??-0010000031 , ????? ??110000001，
且维数为5。
15．如果 ,0321=++γβc c a c 且031≠c c ，证明：L ()β,a =L ()γβ,。 证 由031≠c c ，知,01≠c 所以a 可
γβ,经线性表出，即βα,可经γβ,线性表出，
同理，γβ,也可经βα,线性表出。故L ()β,a =L ()γβ,。
16．在4P 中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设
1）()???????=--===)1,1,1,1()0,3,1,1()1,0,2,1(1,3,1,24321a a a a ， ()???????-=-=--=-=)
1,3,5,1()1,3,5,4()1,3,1,1(1,3,1,24321a a a a 。
解 1）4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组421,,a a a ，因此421,,a a a 为L ()4321,,,a a a a 的一组基，且的维数是3。
2）4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组为21,a a ，故21,a a 是L ()4321,,,a a a a 的一组基，且维数为2。 17．在4P 中，由齐次方程组
???
??=+-+=-+-=+-+0
11135303330
45234321
43214321x x x x x x x x x x x x 确定的解空间的基与维数。
解 对系数矩阵作行初等变换，有
???
?
? ??---→????? ??----→????? ??----000078304523783078304523111353331
34523 所以解空间的维数是2，它的一组基为 ??? ??-
=0,1,38,911a ，??
?
??=1,0,37,922a 。 18.求由向量12,αα生成的子空间与由向量12,ββ生成的子空间的交的基与维数，设
1）()()???-==1,1,1,10,1,2,121a a ()
()???-=-=7,3,1,11,0,1,22
1ββ；
2）()()??
?==1,1,0,10,0,1,121a a ()
()
???==0,1,1,01,1,0,021ββ；
3）()
???
??--==--=)
1,1,0,1()1,1,1,3(2,1,2,13
21a a a ()()???--=--=3,7,2,15,6,5,221ββ。
解 1）设所求交向量 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β， 则有 1k 1α2k +2α1l -1β2l +2β0=，
即 ??????
?=--=-+=+++=---0
70302022122212
1212121l l k l k k l l k k l l k k ，
可算得7
11
3
0111
1
1212
11------=
D 0=， 且0
1
1
1122
11--0≠ ， 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(,,21k k ,1l )2l ＝
)1,3.,4,1(--，得一组基 )4,3,2,5(421-=+-=ααγ，
所以它们的交L )(γ是一维的，γ就是其一组基。 2）设所求交向量 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β，
则有 ???????=-=--=-=+0
000122122
121l k l l k l k k k ，
因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即,02121====l l k k 从而 交的维数为0。
3）设所求交向量为 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β，
即 ???????=-+-+-=++++-=--+=+--+0
352076025202321321213212
12121321l l k k k l l k k k l l k k l l k k k ，
由
03
1127
1
1
1201
2
1131
≠------ 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令,11=l ，可
得02=l ，因此交向量12211βββγ=+=l l 就是一组基。
19． 设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，
证明：.21V V P n
⊕=
证 由于0...21=+++n x x x 的解空间是你
n －1维的，其基为
)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα而由 n n x x x x ====-121...
知其解空间是1维的，令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组
基，从而.21V V P n +=又)dim ()dim ()dim (21V V P n
+=，故 .21V V P n ⊕=。
20． 证明：如果,,1211121V V V V V V ⊕=+=那么 21211V V V V ⊕⊕=。 证 由题设知,21211V V V V ++= 因为 ,21V V V ⊕=所以
)dim ()dim ()dim (21V V V +=， 又因为,12111V V V ⊕= 所以 ),dim ()dim ()dim (12111V V V +=
故)dim ()dim ()dim ()dim (21211V V V V ++=， 即证21211V V V V ⊕⊕=。 21. 证明：每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和。
证 设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基。显然)(),...,(),(21n L L L ααα都是V 的
一维子空间，且 ),...,,()(...)()(2121n n L L L L αααααα=+++＝V ，又因为 )dim ())(dim (...))(dim ())(dim (21V L L L n =+++ααα， 故 )(...)()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=。 22．证明：和
∑=s
i i
V
1
是直和的充分必要条件是∑-=1
1
i j j
i V
V I
{0}(2,...,)i s ==。
证 必要性是显然的。这是因为}0{1
1
1
=?∑∑≠-=j j
i i j j
i V
V V
V I
I
，所以
∑-=1
1
i j j
i V
V I
}0{=。
充分性 设
∑=s
i i
V
1
不是直和，那么0向量还有一个分解s ααα+++=...021，
其中(1,2,...,)j j V j s α∈=。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是),(s k k ≤α 则k k αααα++++=-121...0 ，即 k k αααα-=+++-121...， 因此,1
1
,k k k j j
k V V
∈∈
∑-=αα，这与}0{1
1
=∑-=k j j
k V
V I
矛盾，充分性得证。
23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间R 3。
1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间,,,321L L L
问32121,L L L L L +++能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;
3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y 是子空间，满足U+V ＝X ，X ?Y ，是否一定有Y Y U Y V =+I I 。
解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2)21L L + ；
（1）直线1l 与2l 重合时，是21L L +一维子空间； （2）1l 与2l 不重合时，时21L L +二维子空间。
321L L L ++ ：
（1） ,1l 32,l l 重合时，321L L L ++构成一维子空间； （2） ,1l 32,l l 在同一平面上时，321L L L ++构成二维子空间； （3） ,1l 32,l l 不在同一平面上时，321L L L ++构成三维子空间。
3） 令过原点的两条不同直线1l ，2l 分别构成一维子空间U 和V ，X ＝U ＋V 是二维子空
间，在1l ，2l 决定的平面上，过原点的另一条不与1l ，2l 相同的直线3l 构成一维子空间Y ，显然},0{},0{,==?V Y U Y X Y I I 因此}0{)()(=⊕V Y U Y I I ，
故)()(V Y U Y Y I I ⊕= 并不成立。
二．补充题参考解答
1．1）证明：在P[x]n 中，多项式))...()()...((111n i i i x x x x f αααα----=+- （i ＝1，2，…，n ）是一组基，其中n ααα,...,,21是互不相同的数；
2)在1）中，取n ααα,...,,21是全体n 次单位根，求由基1，1
,...,-n x x 到基n
f f f ,...,,21的过渡矩阵。
证 1）设 0...2211=+++n n f k f k f k ，将1α=x 代入上式 ，得 0)(,0)(...)()(1111312≠====ααααf f f f n ， 于是1k ＝0。同理，将n x x αα==,...,2分别代入，可得
0...32====n k k k ，
所以n f f f ,...,,21线性无关。而P[x]n 是n 维的，故n f f f ,...,,21是P[x]n 的一组基。
2）取n ααα,...,,21为全体单位根,,...,.,11
2
-n ε
εε则
121 (11)
1
-++++=--=
n n x x x x x f ， 1223212 (1)
-----+++++=--=
n n n n n n x x x x x x f εεεεε
， ...........................................................
1
2121
...1----++++=--=n n n n n n x x x x x f εεεε，
故所求过渡矩阵为?
?
??
?
??
?
??------1 (1)
11
...1.........
...
......1 (112)
2
42
21n n n n n n εεεεεεεεε。 2．设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基，A 是一个n ×s 矩阵，且
A n s ),...,,(),...,,(2121αααβββ=，
证明：),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩。
证 只需证s βββ,...,,21的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩。设
???????
?
??=ns nr n s r a a a
a a a A ..............
.......
......11111，
且≤=r r A rank ,)(min(,)n s 。不失一般性，可设A 的前r 列是极大线性无关组，由条
件得?????
????+++=+++=+++=n
ns s s s n nr r r r n
n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111，
可证r βββ,...,,21构成r βββ,...,,21，s r ββ,...,1+的一个极大线性方程组。事实上，设
0...2211=+++r r k k k βββ，
于是得0)...(...)...()...(1112221111111=+++++++++n r r n r r r r a k a k a k a k a k a k ααα，
因为n ααα,...,,21线性无关，所以???
??=+++=+++0
.............................................
(221)
11212111r nr n n r r k a k a k a k a k a k a ， 该方程组的系数矩阵秩为,r 故方程组只有零解0...21====r k k k ，于是r βββ,...,,21 线性无关。
其次可证：任意添一个向量j β后，向量组r βββ,...,,21，j β一定线性相关。事实上，
设0...2211=++++j j r r k k k k ββββ，于是???
??=++++=++++0
.............................................0 (221)
111212111j nj r nr n n j j r r k a k a k a k a k a k a k a k a ， 其系数矩阵的秩为r 3. 设f ),...,,(21n x x x 是一秩为n 的二次型，证明：有n R 的一个 )(2 1 s n -维子空间1V （其中为符号差），使对任一),...,,(21n x x x 1V ∈，有f ),...,,(21n x x x ＝0。 证 设f ),...,,(21n x x x 的正惯性指数为p ，负惯性指数为q ，则p+q=n 。于是存在可逆矩阵， C ，Y ＝CX ，使f ),...,,(21n x x x 2 21221......q p p p y y y y ++---++＝， 由 )(21s n -＝)(21 q p n --＝? ? ?≥<时当时当q p q q p p ,,。 下面仅对 p 将Y=CX 展开，有方程组???????????=++=++=++=++++++++q p n n q p q p p n n p p p n pn p n n y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c ,11,1,11 1,1111 1111...............................................................................， 任取??? ????===''21)0,...,0,1,...,0,1,0,...,0(.................................)0,...,1,0,0,...,1,0()' 0,...,0,1,0,...,0,1(p εεε， 则p εεε,...,,21线性无关，将p εεε,...,,21分别代入方程组，可解得p ααα,...,,21，使得 211,αεαC C =p p C εαε==,...,2，且p ααα,...,,21线性无关。 下面证明p 维子空间L （p ααα,...,,21）即为所要求得1V 。事实上，对任意 L X ∈0（p ααα,...,,21），设p p k k k X ααα+++=...22110，代入Y CX =得 ' 21212211221100)0,...,0,,...,,,,...,(......p p p p p p k k k k k k k k k C k C k C k CX Y =+++=+++==εεεααα故 0 (2) 2 12 2 1' 00=---++==p p k k k k AX X f 即证1V =L （p ααα,...,,21）。 4. 设1V ，2V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在α，使 21,V V ∈∈ αα同时成立。 证 因为1V ，2V 非平凡的子空间，故存在1V ∈ α，如果2V ∈α，则命题已证。设2V ∈α 则一定存在2V ∈ β，若1V ∈β，则命题也得证。下设1V ∈β，于是有21,V V ∈∈αα及 1V ∈β，2V ∈ β， 因而必有21,V V ∈+∈+βαβα。事实上，若1V ∈+βα，又 1V ∈β，则由1V 是子空间，必有1V ∈α，这与假设矛盾，即证∈+βα1V ，同理可证 2V ∈+βα，证毕。 5． 设s V V V ,...,,21是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，证明V 中至少有一向量α不属于 s V V V ,...,,21中的任何一个。 证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。 现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V 中至少存在一个向量不属于 121,...,,-s V V V 中任意一个，如果s V ∈α，则命题已证。 若s V ∈α，对,P ∈?向量s V k ∈+βα，且对P 中s 不同的数,,...,,21s k k k 对应的s 个 向量)....2.1(s i k =+βα中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间 ).1....2.1(-=s i V i 换句话说，上述S 个向量)....2.1(s i k =+βα中至少有一个向量不 属于任意一个非平凡子空间( 1.2....1)i V i s =-，记为00i k γαβ=+，易见0γ也不属于 s V 。即证命题对s 个非平凡的子空间也成立。即证。 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间. 授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页 ,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式 中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关. 且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ? 部编版三年级语文上册第七单元 《带刺的朋友》同步练习 一、轻松找朋友。 huǎn chán zǎo huǎng 恍馋枣缓 二、仿写词语。 黑洞洞： 斑斑驳驳： 噼里啪啦： 蹑手蹑脚： 三、重点段落品析。 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它 cōnɡ cōnɡ( )地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的nà duī( )红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：cōnɡ mínɡ（）的小东西，tōu zǎo（）的本事可真高明啊！ 1.看拼音，把文中的词语补充完整。 2.请用文中的句子概括上文的主要内容。 3.正确朗读。 “聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！”要读出的语气。 参考答案： 一、zǎo chán huǎn huǎng 枣馋缓恍 二、绿油油白茫茫黑乎乎明明白白高高兴兴大大方方叮叮 咚咚叮叮当当滴滴答答碍手碍脚毕恭毕敬独来独往 三、1.聪明的小东西 2.偷枣的本事可真高明啊！ 3.钦佩 部编版三年级语文上册第七单元复习卡 一、听两遍朗读录音，完成下列练习。 1.我发明的未来的衣服，不仅颜色（），而且（）也不少。 2.无论多么寒冷，多么火热，都能保持温度（）。 3.冬天按（）按钮，就会给你穿上（）服。 4.去郊外玩耍，就按（）按钮，它将自动播放出（好听的音乐）。 二、下列加点字的读音完全正确的一项是（） A.汇．聚（hùn）弹琴．（qín）姿．态（zī） B.舒畅．（chànɡ）露．珠（lòu）凉爽．（shuǎnɡ） C.盘旋．（xuán）佩．服（pèi）呢．喃（lí） D.黎．明（lí）瞬．间（shùn）竹笋．（sǔn） 三、下列四组词语中，书写完全正确的一组是（） A.温柔感受打猎读书 B.麻雀翅榜鼻子梨子 C.手册斗动告诉乐器 D.级取蚂蚁沉重尺寸 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb + 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； 23 带刺的朋友 【教学目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字，会写“刺、枣”等13个生字，认识多音字“扎”，借助近义词理解词语的意思。 2.正确、流利地朗读课文，在学习刺猬偷枣过程的基础上，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 3.指导学生有感情地朗读课文，体会作者对刺猬的喜爱之情，感受人与动物之间的美好情感。培养学生对于小动物的关注与喜爱。 【教学重点】 1.通过语言的感悟和训练，真切地感受刺猬偷枣的本领大，体会作者的喜爱之情。 2.朗读课文，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 【教学难点】 体会句子不同的表达方式，懂得使用比喻句，发挥想象，使句子更生动形象。 【教学课时】2课时 第一课时 【课时目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字，会写“刺、枣”等13个生字，认识多音字“扎”，借助近义词理解词语的意思。 2.初读课文，理清文章的层次。 【教具准备】 多媒体课件。 【课堂作业新设计】 一、给加点字选择正确的读音。 眼馋．（chán cán）缓．慢（hǎn huǎn）刺．猬（cìchì） 恍．然（huǎng guāng）聪．明（cōng chōng）偷．枣（tōu toū） 二、比一比，组词语。 枣（）棵（）匆（）缓（） 束（）颗（）沟（）暖（） 三、照样子写词语。 1.晃来晃去： 2.一举一动： 3.一颗颗： 参考答案： 一、chán√huǎn√cì√huǎng√cōng√tōu√ 二、甜枣一棵匆忙缓慢 结束颗粒山沟暖和 三、1.爬来爬去想来想去走来走去 2.一言一行一心一意一草一木 3. 一个个一片片一只只 第二课时 【课时目标】 1.正确、流利地朗读课文，在学习刺猬偷枣过程的基础上，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 2019最新诊断学期末考试题及答案 姓名________________学号__________得分__________ 一．选择题（A型题，每题1分，共25分） 1.当两上肢自然下垂时，肩胛下角一般位于： A．第5肋间水平 B.第6肋间水平 C.第7肋间水平 D.第9肋间水平 E.第10肋间水平 2．"声影"是指超声检查到结石时所显示的声象,它是指: A．结石本身产生的强烈反射回声B．结石周围的折射现象 C．结石后方出现的无回声区D．结石合并梗阻的液性暗区 E．以上都不是 3.在餐后几小时进行振水音检查方有意义： A.2～3小时 B.4～5小时 C.6～8小时 D.9～10小时 E.12小时以上 4. 正常脾脏的大小为: A.叩诊左腋前线第9-11肋 B.叩诊左腋中线第9-11肋 C.叩诊左腋后线第9-11肋 D.平卧时刚触 E.左侧卧位刚触及 5．消化性溃疡急性穿孔时的体征,以下那项错误: A.腹壁板样强直 B.明显压痛,反跳痛 C.肝浊音界缩小 D.可见肠型及蠕动波 E.可伴休克。 6．左心衰竭肺淤血时咯血的特点: A.铁锈色血痰 B.砖红色胶冻样血痰 C.浆液性粉红色泡沫样痰 D.粘稠暗红色血痰 E.浆液泡沫样痰 7.上消化道出血在肠内停留时间较长时，粪便的颜色特点为：A．柏油样 B.暗红色 C.便后有鲜血滴出 D.脓血便 E.以上都正确 8．甲状腺机能亢进引起的腹泻属于 A.分泌性腹泻 B.高渗性腹泻 C.吸收障碍性腹泻 D.运动性腹泻 E.混合性腹泻 9．黄疸同时伴有明显皮肤搔痒者,首先考虑: A.自身溶血性贫血 B.胆总管结石 C.急性肝炎 D.肝脓肿 E肝硬化 10．四对付鼻窦哪一对在体表不能进行检查: A.上颌窦 B.蝶窦 C.额窦 D.筛窦 E.以上均不对 11.300-450的半卧位时颈外静脉充盈超过以下水平称颈静 脉怒张：即锁骨上缘至下颌骨距离的下： A.上1/3 B.中点 C.下1/3 D.下2/3 E.上2/3 12．奇脉检查阳性者是患者在吸气时桡动脉搏动呈下列改变: A.不变 B.减弱或消失 C.增强 D.先增强后减弱 E.先减弱后增强 第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中 佳木斯大学继续教育学院考试卷 专业班级康复治疗学专升本科目诊断学 班级学号姓名 一、名词解释（每小题4分，共20分） 1. Kayser—Fleischer：环角膜边缘出现黄色或棕褐色的色素环，环的外缘较清晰，内缘较模糊，称Kayser—Fleischer环，是铜代谢障碍的结果，见于肝豆状核变性。 2. 肝颈静脉回流征：当右心衰竭引起肝淤血肿大时，用手压迫肝脏可使颈静脉怒张更加明显，称为肝颈静脉回流征阳性。 3. Kussmaul呼吸：当有重度代谢性酸中毒时，出现深而快的呼吸，使机体代偿性地排出过多的二氧化碳，以调节血中的酸碱平衡，该呼吸称为Kussmaul呼吸或深长呼吸。 4. 三凹征：当上呼吸道部分梗阻时，气流进入肺中畅，吸气时呼吸肌收缩加强，肺内负压明显增高，出现胸骨上窝，锁骨上窝及肋间隙向内凹陷，称为“三凹征”。 5. 类白血反应：是指机体受某些疾病或外界因素刺激而产生白细胞总数显著增多，和（或）外周血中出现幼稚细胞，类似白血病表现的血象反应。 二、填空题（每空0.5分，共20分） 1. 发热的临床分度，按发热的高低可分为：低热37.3-38℃，中等度热38.1-39℃，高热39.1-41℃，超高热41℃以上。 2. 常见热型有稽留热、弛张热、间歇热、波状热、回归热以及不规则热。 3. 胆汁淤积性典疸患者，检查时可见血清结合胆红素增加，尿色变深，粪便颜色变浅或呈白陶土色。 4. 问个人史中的居住地时，应注意是否到过疫源病和地方病流行地区。 5. 手的感觉以指腹和掌指关节的掌面的皮肤最为敏感，故多用此两个部位进行触诊。 6. 营养状态通常根据皮肤、皮下脂肪、肌肉发育、毛发等情况进行综合判断。 7. CRP是一种急性时相反应蛋白，具有激活补体、促进吞噬等作用。 8. 出现异常支气管呼吸音的原因有肺组织实变、肺内大空腔、压迫性肺不张。 9. 常用于计数胸椎的标志是第七颈椎棘突 10. 左心室增大时，心尖搏动向左下移位；右心室增大时，心尖搏动向左移位，右位心时，心尖搏动位于右侧第五肋间即正常心尖搏动的镜相位置。左侧卧位时，心尖搏动向左移 2-3cm ；右侧卧位时，心尖搏动向右移 1.0-2.5cm 三、选择题（每小题1分，共30分） 1. 体温持续在39.0～40.0℃以上，数天或数周，24h内波动范围<1℃称之为( A ) A、稽留热 B、间歇热 C、回归热 D、波状热 E、驰张热 2. 一青年男性，饱餐后突发剧烈中上腹部刀割样疼痛，板状腹，最可能的诊断是（C ） A、急性胰腺炎 B、急性胆囊炎 C、消化性溃疡 D、急性胃炎 E、以上都不是 3. 某患者生气后突发呼吸困难，呼吸60次/分，伴手足抽搐，最可能的诊断是( E ) A、自发性气胸 B、肺梗死 C、支气管哮喘 D、心源性哮喘 E、癔病 4. 中枢性发绀见于( B ) 高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 1.属外源性致热原的物质为（1分） A.中性粒细胞 B.嗜酸性粒细胞 C.抗原抗体复合物 D.白细胞介素－1 E.单核细胞 正确答案：C 本题分数：1分 答案解析：外源性致热原的种类甚多，包括：①各种微生物病原体及其产物，如细菌、病毒、真菌及支原体等；②炎性渗出物及无菌性坏死组织；③抗原抗体复合物； ④某些类固醇物质；⑤多糖体成分及多核苷酸、淋巴细胞激活因子等。 知识点1：问诊常见症状 知识点2：发热 难度：1 2.下列哪种是内源性致热原（1分） A.细菌 B.坏死组织 C.肿瘤坏死因子 D.抗原抗体复合物 E.炎性渗出物 正确答案：C 本题分数：1分 答案解析：内源性致热原又称白细胞致热原，如白介素(IL－1)、肿瘤坏死因子(TNF)和干扰素等。 知识点1：问诊常见症状 知识点2：发热 难度：1 3.能直接作用于体温调节中枢的物质是（1分） A.病毒 B.炎性渗出物 C.抗原抗体复合物 D.坏死物质 E.干扰素 正确答案：E 本题分数：1分 答案解析：内源性致热原，通过血－脑脊液屏障直接作用于体温调节中枢的体温调定点。包括白介素(IL－1)、肿瘤坏死因子(TNF)和干扰素等。 知识点1：问诊常见症状 知识点2：发热 难度：1 4.哪种物质直接作用于体温调节中枢引起发热（1分） A.病原体产生的外源性致热原 B.病原体产生的内源性致热原 C.血液中白细胞产生的外源性致热原 D.血液中白细胞产生的内源性致热原 E.血液中白细胞及病原体的代谢产物 正确答案：D 本题分数：1分 答案解析：内源性致热原又称白细胞致热原，通过血－脑脊液屏障直接作用于体温调节中枢的体温调定点。 知识点1：问诊常见症状 知识点2：发热 难度：1 5.由致热原引起的发热是（1分） A.脑出血 B.肺炎 C.心力衰竭 D.甲亢 E.皮炎 正确答案：B 本题分数：1分 答案解析：余下四项为非致热原性发热。 知识点1：问诊常见症状 知识点2：发热 难度：1 6.发热最常见的病因为（1分） A.变态反应 B.感染性疾病 C.无菌性坏死组织吸收 D.内分泌代谢障碍 E.体温调节中枢功能失调 正确答案：B 本题分数：1分 答案解析：发热的病因很多，临床上可分为感染性与非感染性两大类，而以前者多见。知识点1：问诊常见症状 知识点2：发热 难度：1 7.感染性发热最常见的病原体是（1分） A.病毒 B.立克次体 C.细菌 D.真菌 E.肺炎支原体 正确答案：C 本题分数：1分 答案解析：各种病原体如病毒、立克次体、细菌、螺旋体、真菌、寄生虫等引起的感染，无论是急性还是慢性，局部性还是全身性，均可引起发热。其中以细菌最常 见。 三年级上册《带刺的朋友》基础练习（含答案） 基础知识练习 一、给下列生字注音并组词： 刺_____（）（）（） 枣_____（）（）（） 颗_____（）（）（） 忽_____（）（）（） 乎_____（）（）（） 暗_____（）（）（） 伸_____（）（）（） 匆_____（）（）（） 沟_____（）（）（） 聪_____（）（）（） 偷_____（）（）（） 追_____（）（）（） 腰_____（）（）（） 二、给下列生字注音： 馋（）猫缓（）慢惊讶（） 预测（）监（）视恍（）惚 醒悟（）逐（）个扎 （）针 三、多音字 扎_____（）_____（）_____（）散_____（）_____（） 兴_____（）_____（） 四、近义词 摆动一一（）朦胧一一（） 惊讶一一（）猜测一一（） 监视一一（）诡秘一一（） 归拢一一（）钦佩一一（） 踪影一一（）恍然大悟一（） 五、反义词 朦胧一一（）缓慢一一（） 归拢一一（）钦佩一一（） 聪明一一（）蹑手蹑脚一一（） 六、根据意思写词语： 1、看见自己喜爱的事物极想得到。（） 2、月光不明;看不清。（） 3、一种颜色中杂有别种颜色，花花搭搭的。（） 4、不迅速；慢。（） 5、感到很奇怪；惊异。（） 6、推测；凭想象估计。（） 7、从旁严密注视、观察。（） 8、(行动、态度等)隐秘不易捉摸。（） 9、猛然清醒的样子；形容一下子明白过来。（） 10、把分散着的东西聚集到一起。（） 11、敬重佩服。（） 12、智力发达，记忆和理解能力强。（） 13、形容放轻脚步走的样子。也形容偷偷摸摸、鬼鬼祟祟的样子。（） 14、踪迹形影(指寻找的对象，多用于否定式)。（） 参考答案 一、给下列生字注音并组词： 刺cì（刺猬、鱼刺、讽刺） 枣zǎo（枣树、枣子、囫囵吞枣） 颗kē（颗粒、一颗、两颗钉子） 忽hū（忽然、忽略、忽高忽低） 乎hū（圆乎乎、胖乎乎、出乎意料） 暗àn（黑暗、暗号、柳暗花明） 伸shēn（伸出、伸冤、能屈能伸） 匆cōng（匆匆、匆忙、来去匆匆） 沟gōu（水沟、沟渠、山沟） 聪cōng（聪明、失聪、耳聪目明） 偷tōu（偷枣、小偷、偷偷摸摸） 诊断学试题 单选（每题1分） 1.关于问诊内容不确切的是 A.首先从一般项目问起 B.主诉是描述主要症状、体征加时间 C.现病史不是描述病情演变全过程 D.既往史是指过去所患疾病 E.诊治经过可以忽略 2.稽留热是指 A.体温在39-40℃，持续3天 B.体温在39-40℃，24h波动不超1℃ C.体温高达39℃，每日波动2℃以上 D.体温高达39-41℃，持续2天 E.体温高达39℃，持续1周 3.维生素K缺乏导致的皮肤黏膜出血，因为它能导致 A.血管壁异常 B.血小板功能异常 C.血小板数量异常 D.凝血功能障碍 E.以上都不是 4.下列不符合肾源性水肿特点的是 A.可见于各型肾炎及肾病 B.从眼睑及面部开始 C.发展迅速 D.比较坚实，移动度较小 E.可伴有高血压 5.金属音调咳嗽多见于下列哪种疾病 A.支气管肺癌 B.声带炎 C.喉结核 D.百日咳 E.喉癌 6.国人最常见咯血原因为 A.风心病二尖瓣狭窄 B.肺脓肿 C.肺结核 D.肺栓塞 E.慢性肺心病 7.带状疱疹的特点不包括 A.水泡状 B.沿神经分布 C.可超过体表中线 D.伴有疼痛 E.成簇存在 8.当血液中高铁血红蛋白超过多少可出现发绀 A.10g/L B.15g/L C.20g/L D.30g/L E.50g/L 9.下列哪项不是左心衰引起呼吸困难特点 A.活动时加重 B.仰卧位时加重 C.多伴有肝淤血 D.患者常采取端坐呼吸体位 E.可出现心源性哮喘 10.心悸伴有消瘦、出汗多见于哪种情况 A.高血压 B.胃溃疡 C.心绞痛 D.甲亢 E.贫血 11.幽门梗阻导致呕吐的典型特点为 A.伴有腹痛 B.餐后较久或数餐后呕吐 C.含有胆汁 D.呕吐量小 E.呕吐物内含有血液 12.临床上最常见呕血原因为 A.急性胃粘膜病变 B.胃癌 C.消化性溃疡 D.食管胃底静脉曲张破裂 E.胆道出血 13.隐血便时提示出血量在多少以上 A.3ml B.5ml C.10ml D.30ml E.50ml 14.空腔脏器痉挛引起的腹痛性质为 A.闷痛 B.胀痛 C.绞痛 D.钝痛 E.烧灼痛 15.下列哪种腹泻最易导致重度脱水 A.高渗性腹泻 B.分泌性腹泻 C.渗出性腹泻 D.动力性腹泻 E.吸收不良性腹泻 16.急性便秘多见于 A.结肠肿瘤 B.痔 C.肠梗阻 D.肠易激综合征 E.溃疡性结肠炎 17.全身黄疸，粪便白陶土色常见哪种疾病 A.急性肝炎 B.肝硬化 C.溶血性贫血 D.胆囊炎 E.胰头癌 18.下列哪种关节痛不属于变态反应或自身免疫导致的 A.类风湿性关节炎 B.增生性关节炎 C.干燥综合征 D.过敏性紫癜 E.系统性红斑狼疮 19.无痛性血尿多见于 A.前列腺增生 B.膀胱癌 C.膀胱结核 D.前列腺炎 E.膀胱结石 20.排尿次数增多，每次尿量正常的是 A.膀胱炎 B.子宫肌瘤 C.糖尿病 D.膀胱肿瘤 E.神经源性膀胱 21.以下可导致肾前性少尿的是 A.消化道大出血 B.急性肾炎 C.急性间质性肾炎 D.输尿管结石 E.前列腺肥大 《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ； ．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 带刺的朋友 一、读拼音，写词语。 Zǎo shù hū rán cōng míng shuǐ gōu 二、比一比，组词语。 颗( ) 乎( ) 课( ) 平( ) 伸( ) 偷( ) 神( ) 愉( ) 三、写出下列词语的近义词。 缓慢—— ______ 注视—— ______ 高明——______ 猜测——______ 四、按要求改写句子。 1．挂满红枣的树杈慢慢弯下来。(缩句) ________________________________ 2．这不是刺猬吗？(改为肯定句) ________________________________ 五、课内阅读。 我还没弄清楚是怎么回事，树上那个家伙就噗的一声掉了下来。听得出，摔得还挺重呢！ 我恍然大悟：这不是刺猬吗？ 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它匆匆地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的那堆红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！ 1．选文第三段写了刺猬偷枣的过程，请从中找出描写刺猬偷枣动作的词语，写在下面。 _____________________________________________________________________ ___ 2．选文中，作者一开始称刺猬是“那个家伙”，后来变成“小东西”，从中作者对刺猬的情感变化是怎样的？ _____________________________________________________________________ ___ 3．试着用简洁的语言概括选文的内容。 精选考试类文档，如果您需要使用本文档，请点击下载！ 祝同学们考得一个好成绩，心想事成，万事如意！ 2020诊断学期末考试试题及答案 姓名________________学号__________得分__________ 一．选择题（A型题，每题1分，共25分） 1.当两上肢自然下垂时，肩胛下角一般位于： A．第5肋间水平 B.第6肋间水平 C.第7肋间水平 D.第9肋间水平 E.第10肋间水平 2．"声影"是指超声检查到结石时所显示的声象,它是指: A．结石本身产生的强烈反射回声B．结石周围的折射现象 C．结石后方出现的无回声区D．结石合并梗阻的液性暗区E．以上都不是 3.在餐后几小时进行振水音检查方有意义： A.2～3小时 B.4～5小时 C.6～8小时 D.9～10小时 E.12小时以上 4. 正常脾脏的大小为: A.叩诊左腋前线第9-11肋 B.叩诊左腋中线第9-11肋 C.叩诊左腋后线第9-11肋 D.平卧时刚触 E.左侧卧位刚触及 5．消化性溃疡急性穿孔时的体征,以下那项错误: A.腹壁板样强直 B.明显压痛,反跳痛 C.肝浊音界缩小 D.可见肠型及蠕动波 E.可伴休克。 6．左心衰竭肺淤血时咯血的特点: A.铁锈色血痰 B.砖红色胶冻样血痰 C.浆液性粉红色泡沫样痰 D.粘稠暗红色血痰 E.浆液泡沫样痰 7.上消化道出血在肠内停留时间较长时，粪便的颜色特点为： A．柏油样 B.暗红色 C.便后有鲜血滴出 D.脓血便 E.以上都正确8．甲状腺机能亢进引起的腹泻属于 A.分泌性腹泻 B.高渗性腹泻 C.吸收障碍性腹泻 D.运动性腹泻 E.混合性腹泻 9．黄疸同时伴有明显皮肤搔痒者,首先考虑: A.自身溶血性贫血 B.胆总管结石 C.急性肝炎 D.肝脓肿 《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2 23带刺的朋友 课时测评方案 字词模块 一、按要求将下列字分类。（填序号） ①枣②馋③测④逐⑤聪 平舌音的字：__________翘舌音的字：__________ 二、看拼音，写词语。 shēｎshǒｕzhuīɡǎｎshuǐɡōｕ yúcìàｎzìtōｕzǎｏ 三、根据读音写汉字，组成词语。 cōｎɡ （）忙（）明（）慧 kē 一（）枣一（）树（）学 四、选出能够替换句中加点词的词语。 1.我非常惊讶 ．．，赶忙贴到墙根，注视着它的一举一动。（） A.惊吓 B.吃惊 C.惊动 2.那个东西一定没有发现我在监视它，仍旧诡秘．．地爬向老树杈。（） A.诡计 B.保密 C.隐秘 句子模块 五、按要求完成句子练习。 1.我恍然大悟：这不是刺猬吗？（变成肯定句） _________________________________________________________________ 2.挂满红枣的树杈慢慢弯下来。（缩句） _________________________________________________________________ 3.已经没了踪影。（修改病句） _________________________________________________________________ 读写模块 六、课内阅读。 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它匆匆 地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的那堆红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。 也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！ 画出描写“刺猬是怎样把红枣偷走的”的语句。 1.用“____” 2.“劲头比上树的时候足多了”是因为（） A.刺猬爬树时比在地上活动时要费力。 B.刺猬很勤劳，做事很努力。 C.刺猬摇下了很多枣，很高兴，干劲儿很足。 3.“聪明的小东西”指的是____________，这样称呼表现了作者对它的 ____________之情。 七、课外阅读。 生物学家通过多年的观察研究，对蚂蚁的生活习性有了一些认识。 蚂蚁经常到离巢穴很远的地方去找食物。它找到食物，要是吃不了，又拖不 回去，就急忙奔回巢去“搬兵”，把别的蚂蚁领来，它们同心协力地把食物拖回 巢去。 蚂蚁是靠什么来把消息通知给同伴的呢？它招呼同伴就靠头上那对触角。它 们用触角互相撞碰来传递信号。只要食物又大又合口味，触角就摆动得特别猛烈。 蚂蚁认路的本领很强。它认路主要靠眼睛，能凭借陆地上和天空中的景物辨 别。有人做过一个实验，用一个圆筒围住一群在归途中的蚂蚁，只让它们看见天高等代数试题及答案
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