高考数学压轴题专题训练20道
高考压轴题专题训练
1． 已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2
2
=++y x 内切．
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；
（3）在10< 2． 在直角坐标平面上有一点列),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对每个正整数n ，点n P 位 于一次函数45+ =x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以2 3 -为首项，1-为公差的等差数列{}n x ． （1）求点n P 的坐标； （2）设二次函数)(x f n 的图像n C 以n P 为顶点，且过点)1,0(2 +n D n ，若过 n D 且斜率为n k 的直线n l 与n C 只有一个公共点，求???? ??+++-∞→n n n k k k k k k 1322 1111lim Λ的值． （3）设n x x x S 2{==，n 为正整数}，n y y y T 12{==，n 为正整数}，等差数列{}n a 中的任一项 T S a n I ∈，且1a 是T S I 中的最大数，11522510-<<-a ，求{}n a 的通项公式． 3.已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y ) 满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4.已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2.5]＝2， [－2.5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝ t ＋ 1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。 5.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. （1）求双曲线C 的方程； （2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂 线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程. （3）设直线y=m x +1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点， 求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围. 6．已知)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x 、R y ∈都满足：)()()(y x f y f x f +=? （1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ； （2）设当0 （3）在（2）的条件下，求集合{} )lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞ →ΛΛ中的最大元素和最小元素。 7.直线)(*N n n y x ∈=+与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为n b .（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点） （1）求3a 和3b 的值； （2）求n a 及n b 的表达式； （3）对n a 个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为A n ，对n b 个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为B n ，试比较A n 与B n 的大小． 8.已知动点M 到定点（1，0）的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1。 ⑴求证：M 点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程； （2）大家知道，过圆上任意一点P ，任意作相互垂直的弦PB PA ,，则弦AB 必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题： ①过（1）中的抛物线的顶点O 任作相互垂直的弦OB OA ,，则弦AB 是否经过一个定点？若经过定点（设为Q ），请求出Q 点的坐标，否则说明理由； ②研究：对于抛物线px y 22 =上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。 9．若函数)(x f A 的定义域为12)1( )(),,[2+--+==a b x b a x x f b a A A 且，其中a 、b 为任意正实数，且a （1）当A=)7,4[时，研究)(x f A 的单调性（不必证明）； （2）写出)(x f A 的单调区间（不必证明），并求函数)(x f A 的最小值、最大值； （3）若),)2(,)1[(),)1(,[2 212221++=∈+=∈+k k I x k k I x k k 其中k 是正整数，对一切正整数k 不等式 m x f x f k k I I <++)()(211都有解，求m 的取值范围。 10．我们把数列}{k n a 叫做数列}{n a 的k 方数列（其中a n >0，k ，n 是正整数），S （k ，n ）表示k 方数列的前n 项的和。 （1）比较S （1，2）·S （3，2）与[S （2，2）]2的大小； （2）若}{n a 的1方数列、2方数列都是等差数列，a 1=a ，求}{n a 的k 方数列通项公式。 （3）对于常数数列a n =1，具有关于S （k ，n ）的恒等式如：S （1，n ）=S （2，n ）， S （2，n ）=S （3，n ）等等，请你对数列}{n a 的k 方数列进行研究，写出一个不是常数数列}{n a 的k 方数列关于S （k ，n ）的恒等式，并给出证明过程。 11.记函数)()(1x f x f =，)())((2x f x f f =,它们定义域的交集为D ,若对任意的 D x ∈,x x f =)(2，则称)(x f 是集合M 的元素. （1）判断函数12)(,1)(-=+-=x x g x x f 是否是M 的元素； （2）设函数)1(log )(x a a x f -=，求)(x f 的反函数)(1 x f -，并判断)(x f 是否是M 的元素； （3）若x x f ≠)(，写出M x f ∈)(的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数．．．．．．．． 类型酌情给．．．．．分． ） 12． 已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程． （2）设直线)0(≠+=k b kx y 与抛物线C 交于两点),(,),(2211y x B y x A ，且 )0(||21>=-a a y y ，M 是弦AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线C 于点D ， 得到ABD ?；再分别过弦AD 、BD 的中点作平行于x 轴的直线依次交抛物线C 于点F E ,， 得到ADE ?和BDF ?；按此方法继续下去．解决下列问题： 1).求证：2 2) 1(16k kb a -= ； 2).计算ABD ?的面积ABD S ?； 3).根据ABD ?的面积ABD S ?的计算结果，写出BDF ADE ??,的面积；请设计一种求抛物线C 与 线段AB 所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积． 13.设椭圆:C 12 22=+y a x （0>a ）的两个焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F （0>c ），且椭圆C 与圆 222c y x =+有公共点．（1）求a 的取值范围； （2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为23-，求椭圆的方程； （3）对（2）中的椭圆C ，直线:l m kx y +=（0≠k ）与C 交于不同的 两点M 、N ，若线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ，求实数m 的取值范围． 14.我们用},,,m in{21n s s s Λ和},,,m ax {21n s s s Λ分别表示实数n s s s ,,,21Λ中的最小者和最大者． （1）设}cos ,min{sin )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数)(x f 的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，求B A I ； （2）数学课上老师提出了下面的问题：设1a ，2a ，…，n a 为实数，R x ∈，求函数 ||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-=Λ（R x x x n ∈<<<Λ21）的最小值或最大值．为了 方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数|1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和|2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值． 学生甲得出的结论是： )}1(),1(),2(m in{)]([min f f f x f --=，且)(x f 无最大值． 学生乙得出的结论是：)}2(),1(),1(m ax {)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最小值． 请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由； （3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）． 15.设向量)2(，x =，)12(-+=x n x ， (n 为正整数)，函数b a y ?=在[0，1]上的最小值与最大值的 和为n a ，又数列{}n b 满足： ()1 2 121999 121101010 n n n n nb n b b b ---????+-+???++=++???+ + ? ??? ?? ． (1) 求证：1+=n a n ． (2).求n b 的表达式． (3) 若n n n c a b =-?，试问数列{}n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n k c c ≤成立？证明你的结论．（注：)(21a a ，=与{}21a a a ，=表示意义相同） · F x O y F · 16.、设斜率为1k 的直线L 交椭圆C ：12 22 =+y x 于B A 、两点，点M 为弦AB 的中点，直线OM 的斜率为2k （其中O 为坐标原点，假设1k 、2k 都存在）． （1）求1k ?2k 的值． （2）把上述椭圆C 一般化为22 221x y a b += （a ＞b ＞０），其它条件不变，试猜想1k 与2k 关系(不需要证明)．请你给出在双曲线22 221x y a b -=（a ＞ ０，b ＞０）中相类似的结论，并证明你的结论． （3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例． 如果概括后的命题中的直线L 过原点，P 为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L 及动点P ，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决． 17.已知向量(1,1)m =u r ,向量n r 与向量m u r 夹角为3 4 π，且1m n ?=-u r r . （1）求向量n r ； （2）若向量n r 与向量(1,0)q =r 的夹角为2,(cos ,2cos )22C p A π=u r 向量，其中A ，C 为ABC ?的内角，且A ， B ， C 依次成等差数列，试求求|n p +r u r |的取值范围. 18. 如图，过椭圆)0(12222 >>=+b a b y a x 的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为△AMB 的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”． (1)求椭圆 15 22 =+y x 的“左特征点”M 的坐标； (2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。 19．如图，已知圆C ：222(1)(1)x y r r -+=>，设M 为圆C 与x 轴左半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上。 （1）当r=2时， 求满足条件的P 点的坐标； （2）当(1,)r ∈+∞时，求N 的轨迹G 方程； （3）过点P （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点M,N ，若0CM CN ?>u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率的取值范围。 20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足()2()2 x f x f =且(1)1f =，在每个区间111 ( ,]22 i i -（i =1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。 （I ）求f(0)及1()2f ，1 ()4 f 的值，并归纳出1( )(1,2,)2i f i =L L 的表达式（不必证明）； （II ）设直线12i x =，11 2 i x -=，x 轴及()y f x =的图象围成的梯形的面积为i a （i =1，2……），记 12()lim()n n S k a a a →∞ =+++L ，求()S k 的表达式，并写出其定义域和最小值。 A B M F O y x 2008年高考压轴题专题训练答案 1．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分． 解（1）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ， 所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12 2 2 =+y x ． （2）设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以， 当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ； 当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ； 当1>-a ，即1- 所以，??? ????>+≤≤-+-<-=1,111,221, 1)(2 a a a a a a a d ． （3）当10< 1 21a a S -=,2222+=a S ,（12分） 若正数m 满足条件，则)22()1(2212 2+≤-a m a a ，即) 1(4)1(222 +-≥a a a m ， 22222 )1(8)1(+-≥a a a m ，令2 222) 1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12 -=t a ， 于是641 431411328123818)2)(1()(2 2222+??? ??--=??? ??-+-=???? ??-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641 )]([max =a f ， 即6412≥m ，8 1 ≥m ．所以，m 存在最小值81． 2．解（1）由已知21)1(23 --=---=n n x n ，4 34521+-=+--=n n y n ， 所以?? ? ? ?+---43,2 1n n P n ． （2）设二次函数4321)(2 +-??? ??++=n n x a x f n ，因为)(x f n 的图像过点)1,0(2 +n D n ，所 以143212 2 +=+-??? ? ?+n n n a ，解得1=a n l 的方程为12++=n x k y n ，代入)(x f n 得11)12(222++=++++n x k n x n x n ， 即0)12(2=-++x k n x n ① 由已知，方程①仅有一解0=x ，所以12+=n k n ，（N n ∈） 所以???? ??+-++?+?=??? ? ??+ ++∞→-∞→)12)(12(1 751531lim 1 11lim 13 221n n k k k k k k n n n n ΛΛ 6 11213121lim 1211217151513121lim =??? ??+-=??? ??+--++-+-=∞→∞→n n n n n Λ． （3）由题意n n x x S ,12|{--==为正整数},n n y y T ,912|{+-==为正整数} 所以T S I 中的元素组成以3-为首项，12-为公差的等差数列， 所以31-=a ，{}n a 的公差为k 12-（N k ∈） 若1=k ，则912+-=n a n ，)115,225(11110--?-=a ； 若2=k ，则2124+-=n a n ，)115,225(21910--∈-=a ； 若3≥k ，则32710-≤a ，即)115,225(10--?a ． 综上所述，{}n a 的通项公式为2124+-=n a n （n 为正整数）． 3、⑴C 0：x 2 ＋y 2 ＝1， C 1：x 2259＋y 2 2516 ＝1，⑵连椭圆四端点可得□，⑶问题：已 知C 0：x 2＋y 2＝1和C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），试问，当a 、 b 满足什么条件时， 对C 1上任意一点Q 均存在以Q 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形。解得a 2＋b 2＝a 2b 2； 4、⑴m ≤1，⑵t ＝1时[1t ]＝1，t ＞1时[1t ]＝0，⑶｛12｝∪[56,54) 5．解：（1）设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0 ∵该直线与圆 1)2(22 =- +y x 相切， ∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±= …………2分 故设双曲线C 的方程为122 22=-a y a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2( ∴1,222 2 ==a a ，∴双曲线C 的方程为12 2=-y x ………4分 （2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1| 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1| 根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是 )0(4)2(22≠=+-x y x ① …………8分 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,） 则?? ?=+=??? ??? ?=-=y y x x y y x x T T T T 22 2,222即 代入①并整理得点N 的轨迹方程为 )2 2 (1 2 2≠ =+x y x ……10分 （3）由022)1(1 1 2 22 2=---?? ?=-+=mx x m y x mx y 得 令22)1()(2 2 ---=mx x m x f 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根. 因此21012 01202 2 < >--<->?m m m m 解得 又AB 中点为)11 ,1(2 2m m m -- ∴直线L 的方程为)2(2 21 2+++-=x m m y …………14分 令x =0，得8 17 )41(22 2 22 22 + --=++-= m m m b ∵)2,1(∈m ∴)1,22(8 17 )4 1(22 +-∈+ --m ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞?---∞ …………16分 6．解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(=∴≠=?f f f f f 0)]2 ([)2()2()(,0)2(2 >=?=∴≠x f x f x f x f x f Θ…………4分 （2）∵当0 ∴当21x x <，即021<-x x 时，有)0()(21f x x f >-1=，…………8分 即)() (1 )(,1)()(22121x f x f x f x f x f =-> ∴>-? ()1)0()()(22==-?f x f x f Θ ∴)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。…………10分 （3）∵)(x f 在()+∞∞-,上是减函数，{n S }是递增数列∴数列{})(n S f 是递减数列。…………14分 ∴集合{} )lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞ →ΛΛ中的最大元素为2 2)1()2 1()(1= = =f f S f ，最小元素为2 1 )1()lim (= =∞ →f S f n n 。…………18分 7.（1）3=n 时，直线0=x 上有)3,0(),2,0(),1,0(),0,0(个点， 直线1=x 上有 )2,1(),1,1(),0,1(，直线2=x 上有()()1,2,0,2， 直线3=x 上有)0,3( 13=∴a 2分 1012343=+++=b 2分 （2）1=n 时，0,311==a b 2=n 时，0,622==a b 当3≥n 时，2 ) 2)(1(12...)1()1(++=+++-+++=n n n n n b n 3分 2 ) 2)(1(3)1(3--= ++-=n n n b a n n 2分 当2,1=n 时也满足，2232+-=∴n n a n ，2 232++=n n b n )(* N n ∈1分 （3）22 324 +-=n n n A ， 1分 2 2 322++=n n n B ； 1分 2 465)29(2 2 92 2 3)23(22222 2 2- -+-++- +-===n n n n n n n n n B A 2分 当8,7,6,5,4,3,2,1=n 时，n n B A < 1分 当9≥n 且* N n ∈时，n n B A > 1分 8、（18分）（1）M 到定点)0,1(的距离等于到定直线1-=x 的距离 ∴轨迹为抛物线； 2分 轨迹方程为x y 42 =。 2分 （2）①设kx y OA =:， x k y OB 1 :- = 由?? ?==x y kx y 42 得)4 ,4(2 k k A ， 2分 同理)4,4(2 k k B - 2分 因此AB 方程为)4(4444 422 2 k x k k k k k y --+=+ 即)4(1142k x k k k y --= + 2分 令0=y 得24)1 ( 4k x k k k -=- 4=∴x ），（必过定点直线04Q AB ∴ 2分 ②设点），（00y x P 为px y 22=上一定点，则02 02px y = 1分 过P 作互相垂直的弦PB PA ， 设），（11y x A ，），（22y x B ，则12 12px y =，22 22px y =， 102020101-=--?--∴ x x y y x x y y 122222 0220 2202101-=--?--∴p y p y y y p y p y y y 化简得202014p y y y y -=++））（（即0422 02 1021=++++p y y y y y y ）（（*） 2分 假设AB 过定点），（b a Q ，则有 a x b y a x b y --=--2211 即 a p y b y a p y b y --=--222 2 2211化简得02)(2121=++-pa y y b y y （**） 2分 比较（*）、（**）得02x p a +=， 0y b -= ∴过定点),2(00y p x Q -+ 1分 9．（1）当7)14 (,)4,1[2--+ ==x x f A A 时 …………2分 ∵]5,4[4 ∈+ x x ∴当)(]2,1[x f x A 时∈是减函数，当)()4,2[x f x A 时∈是增函数 ……4分 （2）A A f ab a x a b x b a x x f 上在],[12)1( )(2∈+--+=是减函数；在),[b ab x ∈上A f 是增函数。 ………………6分 ∴当)(x f ab x A 时= 有最小值为 22)1(224212)12 (-=+-=+--a b a b a b a b a b …………8分 当)(x f a x A 时=有最大值为2222)1(1412)(-=+-=+- a b a b a b a b a b ………10分 （3）当A=I k 时)(x f k I 最小值为22 ))1((k k k f k I = + 当A= I k+1时)(1x f k I +最小值为2 ) 1(2 ))2)(1((1+= +++k k k f k I …………12分 ∴2 2)1(22++> k k m *)(N k ∈ …………14分 设 *)(,) 1(2222N k k k t ∈++= 则 2 5 max =t ∴2 5 > m ………………16分 10．解：（1）S （1，2）=2 22 13 23 121)2,2(,)2,3(,a a S a a S a a +=+=+ …………2分 ∴S （1，2）·S （3，2）－[S （2，2）]2 =2 222 13 23 121)())((a a a a a a +-++ …………4分 =2 22 13 123 212a a a a a a -+ =2 2121)(a a a a - ∵2)]2,2([)2,3()2,1(, 0S S S a n ≥?∴> …………5分 （2）设p a a d a a n n n n =-=---2 121, …………7分 则 p a a d n n =+-)(1 ……① p a a d n n =++)(1 ……② ∴②－①得 2d 2=0，∴d=p=0 …………9分 011 =-∴=--k n k n n n a a a a ∴k k n a a = ………………11分 （3）当a n =n 时，恒等式为[S （1，n ）]2=S （3，n ） …………15分 证明：),3()],1([2 n S n S = *),2() 1,3()]1,1([2N n n n S n S ∈≥-=- 相减得： 3 )]1,1(),1([n n a n S n S a =-+ ∴2 )]1,1(),1([n a n S n S =-+ 2 1)]2,1()1,1([-=-+-n a n S n S 相减得：0, 2 12 1>-=+--n n n n n a a a a a 1,111==--a a a n n ∴n a n = ………………18分 11．解：（1）∵对任意R x ∈，x x x f f =++--=1)1())((，∴M x x f ∈+-=1)(--2分 ∵341)12(2))((-=--=x x x g g 不恒等于x ，∴M x g ?)(--------------------------4分 （2）设)1(log x a a y -=
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