第二讲数列的极限
第二讲数列的极限
2 . 1 数列极限的基本概念
一、数列的收敛与发散
1 .
()N -ε定义
{}n a 为一数列，
若存在一个常数 A ，对0>?ε ，0>?N ，当N n >时，恒有ε<-A a n ，
则称数列{}n a 收敛于 A ，记作A a n n =∞
→lim ；否则称为发散． ,
2 ．等价表述
{}n a 为一数列，若存在一个常数 A ，对0>?ε
，在邻域()ε;A 的外部仅有数列{}n a 的
有限项，则称数列{}n a 收敛于 A ，记作A a n n =∞
→lim ；否则称为发散． 例 2 . 1 证明3
2
5312lim
=-+∞→n n n
证明：估计
()()53
25535533133
2
5312><<-<-=
--+n n
n n n n n 5 ，于是对0>?ε ，
取，03,5max >?
?????=εN ，当N n >时，恒有
ε<--+3
2
5312n n ,即325312lim
=-+∞→n n n 例 2 . 2 证明数列()n
n a 1-= ,...,2,1=n a ，是发散的． 证明：只需证明它不收敛于任意的实常数． ( 1 ）证明数列{}n a 不收敛于 1 ：事实上取02
1
>=
ε，在()ε;1 外部有数列{}n a 的所有数项（无穷多项），由定义，数列{}n a 不收敛于 l ( 2 ）对R c ∈?，且1≠c ，令：02
1>-=
c ε，则()ε;1c ?即数列{}n a 的所有偶数项
都在()ε;c 外部，说明数列{}n a 不收敛于c ． 综上得到数列{}n a 发散．
例 2 . 3 设a y x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，作数列{}n z 如下：
{}n z :
,,,...,,,,2211n n y x y x y x … 证明：a z n n =∞
→lim .
证明：因为a y x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，故对0>?ε，在()ε;a 的外部仅有数列{}n x ,{}n y 的有
限项，从而也只有数列{}n z 的有限项，由定义知a z n n =∞
→lim .
注：这是一个非常有用的结论：只要一个数列的偶数项与奇数项收敛于同一极限，则此数列必收敛．
3 ．无穷小数列与无穷大数列
若0lim =∞
→n n a ，则称{}n a 为无穷小数列；若+∞=∞
→n n a lim ，则称{}n a 为无穷大数列．
二、数列收敛的条件
1 ．充要条件
( 1 ）数列{}n a 收敛的充要条件是{}n a 的任意子列都收敛． 证明：):?
设a a n n =∞
→lim , {}k n a 是{}n a 的任意子列，对，0>?ε0>?N ，使得当k ＞ N
时有ε<-a a k ．由于N k n k >≥，更有ε<-a a k n ，即{}
k n a 也收敛于a （注意到所有的子列与{}n a 有相同的极限） .
):?
（证法一）由已知，有{}n a 的偶数项构成的子列{}k n a 与奇数项构成的子列{}12-k a 都
是收敛的，由上面的例2.3，只需证明它们的极限相同即可 · 记b a a a k k k k ==-∞
→∞
→122lim ,lim · 因为子列
{}
k a 3 ,
{}
k a 6也收敛，记
d a a a k k k k ==∞
→∞
→63lim ,lim · 由于{}k a 6同时是{}k a 2 , {}k a 3的子列，所以应有d=c 且d=a ，
于是a=c ．
再记e a k k =-∞
→36lim 因{}36-k a 同时是{}12-k a , {}k a 3的子列，应有e=c,e=b ，于是 b = c ，从
而a=b ．结论成立．
（证法二）（反证法）假设数列{}n a 不收敛，即对R a ∈?都有a a n n ≠∞
→lim ．则00>?ε，
对0>?N ，N n >?0，使00ε≥-a a n ，令,.
,
.2,1k N =，则分别存在气1n a , 2n a ，…，
k n a ,…,使得00ε≥-a a n ，即a a n n ≠∞
→lim ，由R a ∈且是任意的，知有子列{}
K n a 不收敛，
与已知矛盾 ·
( 2 ) （柯西准则）数列{}n a 收敛的充要条件是{}n a 是柯西列． 证明):?
若{}n a 收敛，记a a n n =∞
→lim
，则对0>?ε，0>?N ，当N m n >,时，有
2
,2
ε
ε
<
-<
-a a a a m n
于是有ε<-+-≤-a a a a a a m n m n ，即{}n a 是柯西列．
):?
已知{}n a 是柯西列，下证{}n a 有界．对1=ε
，01>?N ，当11,1N n N m >+= 时
有1111++≤?<-N n m n a a a a ，令{}
121111,,...,,max ++=N N a a a a M ，则对一切正整数n ，均有K a n ≤于是由致密性定理，{}n a 有收敛子列{}
K n a ，设A a k n k =∞
→lim · 对
0>?ε，0>?N ，当K
k n >,时，显然
K k n k >≥，于是有
εε
ε
<-?<
-<
-A a A a a a n n n n k k 2
2
即A a k n k =∞
→lim 2 ．必要条件
若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必有界；反之不成立．（证明从略） 3 ．充分条件
( 1 ）单调有界数列必收敛；反之不成立．（证明从略）
( 2 ) （两边夹）若n n n c a b ≤≤，且A c b n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，则A a n n =∞
→lim . （证明从略）
( 3 )Stolz 挂定理：数列{}n x , {}n y 满足： ①{}n y 严格递增，且+∞=∞
→n n y lim ; ②
l y y x x n n n n n =----∞
→1
1
lim
,其中l 为常数或∞±．则有
l y y x x y x n n n n n n n n =--=--∞→∞
→1
1
lim lim
证明： ① l 为常数情形．首先给出一个简单的不等式：若B b
a
A <<
, ()0,,><++
d b B d
b c a A B d c A （请读者自证） . 因l y y x x n n n n n =----∞
→1
1
lim
，对0>?ε, 01>?N ，当1N n >时，恒有
2
2
11ε
ε
+<--<
-
--l y y x x l n n n n
即
??
?
??+-∈--------++++++2,2,...,,1112121111111111εεl l y y x x y y x x y y x x n n n n N N N N N N N N
注意到{}n y 严格递增，利用给出的不等式得到2
2
11ε
ε
+<--<
-
--l y y x x l n n n n ，于是有
l y y x x y ly x l y y x x y y y ly x l y x N n N n n N N N n N n n N n N N n n
---+-≤???
? ??---???? ??-+-=-1
111111111 注意到上式右边第一项当∞→n 时趋于零．故对上述的ε02>?N ，当2N n >时，有
2
1
1ε
<
-n
N N y ly x ，令{}21,max N N N = ，当N n > 时，有
ε<-l y x n
n ．即l y x
n
n n =∞→lim 。
②+∞=l 情形． 因+∞=----∞
→1
1
lim
n n n n n y y x x 所以当n 充分大时有11--->-n n n n y y x x 又因+∞=∞→n n y lim ，必
有+∞=∞
→n n x lim ，且{}n x 是严格单增的，由于0lim
1
1
=----∞
→n n n n n x x y y ，利用 ① 的结果有
0lim
=∞→n n n x y ，即+∞=∞→n
n n x y
lim 。
-∞=l 时可类似证明．
2 . 2 求数列极限的方法
一、利用单调有界原理
说明：这类题一般都给出数列的第 n 项和第 n + 1 项的关系式，首先运用归纳法或“差法”或“比法”等方法，证明其单调性，再证明其有界性（或先证有界，再证单调）．由单调有界原理得出极限的存在性，然后对关系式取极限，解之即得．
例 2.4 设0>a ，00>x ，???
? ??+=+n n n x a x x 211 , ,...,2,1,0=n ，证明数列{}n x 的极限存在，并求之．
证明：易见0>n x ，,...,2,1,0=n ，所以有
a x a
x x a x x n n n n n =?≥???? ??+=+211 n n n n n n n x x x x x a x x =???
?
??+≥???
? ??+=+21
2121 即数列{}n x 单调递减有下界，极限存在。记A x n n =∞
→lim ，对关系式???
?
??+=
+n n n x a x x 211令∞→n 取极限得到a A =（其中0<-=a A 因不合题意，舍去）
例 2.5 设,011>>b a 记1
11
1112,2------+=
-=
n n n n n n n n b a b a b b a a 证明数列{}n a , {}n b 的
极限都存在且等于11b a
证明：
① 证明对n n b a n >?, ：显然对()()
02,0,0,112
11>+-=->>?----n n n n n n n n b a b a b a b a n ② 证明{}n a 单调递减：,02
1
11<-=
----n n n n a b a a 即,....3,2,1=<-n a a n n ③ 证明{}n b 单调递增：
121
11
1>+=----n n n n n b a a b b ，即,....3,2,1=<-n b b n n 因为{}n a 有下界1b , {}n b 有上界1a ，所以数列{}n a 、{}n b 都收敛．记a a n n =∞
→lim ,
b b n n =∞
→lim ，对1a ,1b 的表达式令∞→n 取极限并解方程组得b a =．又因为
1111...b a b a b a n n n n ===--．令∞→n 取极限得11b a b a ==．
例 2 . 6 设31=a ，N n a a n
n ∈+=
+,11
1，证明{}n a 收敛，并求n n a ∞→lim ．
证明：首先观察31=a , 412=a ，543=a ，9
5
4=a 下面用数学归纳法证明{}k a 2是单增的，{}12-k a 是单减的。
易见42a a <，假设k k a a 222<-，下证k k a a 222>-，事实上
k k k k k k k k
k k a a a a a a a a a a 21
22
22
22
22221
22211
11112121111111
=+=
++=
++>++=
++=
+=
----+-
上式大于号是由于函数()t
t
t f ++=
21是单增的，及归纳假设而得到．由数学归纳法知，{}k a 2是单增的．同理可证{}12-k a 是单减的．又因40< 记a a k k =∞ →2lim 。b a k k =-∞ →12lim ．由k k k k a a a a 21212211 ,11+=+= +-，令∞→k 取极限得 ? ??=+=+11ab b ab a 解得b a = ，且215-=a （负值舍去），即21 5lim -=∞→n n a 注：有时一个数列并不单调，这时要考察它的奇、偶项子列是否单调．这种方法值得注意． 例 2 . 7 设() n n n x x x x ++= >+313,011，证明法{}n x 收敛，并求n n x ∞→lim 证发1：显然0>n x . ( 1 ）当301≤ ()() 33 33 133131=++≤++= +n n n x x x 这里用上了函数()()t t t f ++= 313的单增性．由归纳法知，结论成立．下证单调性．事实上，有() 3003321≤<≥+-=-+n n n n n x x x x x 即{}n x 单增有上界，从而收敛． ( 2 ）当31>x 时，用归纳法可证明()N n x n ∈?>3．事实上，假设3>n x ，则 ()() 33 33 133131=++>++= +n n n x x x 其次03321<+-=-+n n n n x x x x ，即{}n x 单减有下界，从而收敛．记a x n n =∞→lim ，用常用的 方法可求得3lim = ∞ →n n x 注：此题的特点是随着初始值 xl 的取值范围不同，导致数列的单调性不同． 证法 2 ：易见，30< ()()()()()111 11336313313----+++-= ++-++=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 于是()n n x x -+1与()1--n n x x 同号表明{}n x 是单调的 二．利用迫敛法则 例 2 . 8 求()() n n n 2...4212...31lim ???-???∞→ 解：记()()n n x n 2...4212...31???-???= ，()() 12...422...31+??????=n n y n 显然,...,2,1,= 21 02 += < n n n 即()∞→→+< 210，故0lim =∞ →n n x ． 例 2 . 9 设()m i a i ,...,2,10=>，记{}m a a a M ,...,,max 21=，证明： M a a a n n n n n n =+++∞ →...lim 21 证明：因()∞→→=<+++<= n M m M mM a a a M M n n n n n n n n N n ...21，所以有 M a a a n n n n n n =+++∞ →...lim 21 例 2 . 10 求极限???? ??------∞→n n n n n 2221 (211) 1lim 。 解 ： 因 为 2 11 11 (2) 11 111 12222222--- -≤ -- --- -≤ --- -n n n n n n n n n n n ,1111lim 22-=???? ??----∞→n n n n n ,1211 1lim 22-=???? ??----∞→n n n n 由迫敛法则知，,11 (211) 1lim 222-=???? ??------∞→n n n n n 三、利用柯西准则 例 2.11 设,2 sin ...22sin 21sin 2n n n x +++= 证明{}n x 收敛 · 证明：对0>?ε（不妨10<<ε ) ，取01 log 2>=ε N ，当N m n >>时，有 ()()ε<<+++≤+++++= -++++m n m m n m m m n n m m x x 21 2 1...21212sin ...22sin 21sin 2121 由柯西准则知数列收敛． 例 2 .12 设n a n 1 ...211+++=，证明{}n a 发散 · 证明：取02 1 >= ε，对0>?N ，取000,1n p N N n =>+=，此时有 ε==>+++++= -+2 1 221...21110000000n n n n n a a n p n 由柯西准则知数列{}n a 发散． 例 2 . 13 数列{}n a 满足：存在正数 M ，对一切 n 有 M a a a a a a A n n n ≤-++-+-=-12312... 证明数列{}n a , {}n A 都收敛． 证明：{}n A 是单增且有上界，故收敛．由{}n A 收敛的柯西准则，对0>?ε，0>?N ，当 n > m > N 时，有{}ε<-++-+-=--+++1121...n n m m m m M n a a a a a a A A ，即 ε<-++-+-≤--+++1121...n n m m m m m n a a a a a a a a 再由柯西准则得出数列{}n a 收敛． 四、利用 Stolz 定理 例 2 . 14 若0lim >=∞ →a a n n （常数），则 ①a n a a a n n =+++∞→ (i) 21 ②a a a a n n n =∞ →...lim 21 ③a a a a n n n =+++∞ →1 ...11lim 21 解： ① 由 Stolz 定理立得． ②因[]n a a a n n n e a a a ln ...ln ln 1 2121...+++=利用对数函数与指数函数的连续性，由 Stolz 定理 立闪理，有 a a n a a a n n n n ln ln lim ln ...ln ln lim 21==+++∞→∞→ 所以a a a a n n n =∞ →...lim 21 ③考察a a n a a a n n n n ln 1 lim 1...11lim 21==+++∞→∞→。 （由 Stolz 定理立得） 注：对一个各项为正且收敛于一个正数的数列，其算术平均，几何平均，调和平均都 收敛于数列本身的极限。 五．利用特殊极限 e n n n =??? ??+∞ →11lim 由于此类问题比较简单，仅举一例加以说明。 例 2 。16 求极限n n n n ?? ? ??+-∞→3212lim 解：22 43 43232413241lim 3241lim 3212lim ---+∞→∞→∞→=?? ?? ????????? ??+-+???? ??????? ??+-+=??? ?? +-+=??? ??+-e n n n n n n n n n n n 六．利用定积分 利用定积分求极限的基本形式为 ()()?∑=-???? ??-=∞→b a n i n dx x f n a b n i a b f 1 lim 例 2 。17 求极限()? ?? ? ?-+++∞→n n n n n n ππ π1sin ...2sin sin 1lim 解：()? ? ? ??-+++∞→n n n n n n ππ π1sin ...2sin sin 1lim =∑?=∞→==-n i n xdx n i n 1 102sin 1sin 1lim πππ 七．利用级数 例 2。20 求极限n n n n n !2lim ∞→解：构造级数∑n n n n ! 2，用达朗贝尔判别发，有 ()()()1212lim !2.1!12lim 11<=+=????? ?++∞→++∞→e n n n n n n n n n n n n n n 从而极数∑n n n n !2收敛，由收敛级数的必要条件，0! 2lim =∞→n n n n n 注：此方法仅适用于数列极限为零的情形。 八．转化为函数的极限 根据归结原则，若函数的极限存在，则同一极限过程的点列的极限必存在且相等．对一些复杂的数列的极限，可借助函数极限的方法去求解．因为函数的极限可用洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小等很好的工具去求解． 例2. 22 求极限? ? ? ?? +? ?? ??-∞→n n n n arc n n n n n ln 11ln ln cot 1sin 26lim 22 解：利用等价无穷小，()∞→??? ?? + n n n n n ln 1~ ln 11ln ，而12lim =∞→n n n n ，所以 原式?? ? ??-=? ?? ??-=∞→∞→n arc n n n n arc n n n n cot 1sin 6lim 1cot 1sin 6lim 32 将 n 1 换为x,当∞→n 时，有0→x 于是利用洛必达法则，有 ( ) ( ) 111cos 1lim 211cos 2lim 1cot sin 6lim 2222203=+-+=? ?? ?? +-=??? ??-∞→→∞→x x x x x x x x x arc x x x x 故1ln 11ln ln cot 1sin 26lim 22=? ? ? ?? +? ?? ??-∞→n n n n arc n n n n x 九、各种方法的综合应用例 例2 . 24 求极限????? ???????++++++∞→n n n n n n x 1sin ...212sin 1sin lim πππ 解：记 n n n k x n n k n n n n n n x n k n n k n 1sin 1sin ,1sin ...212sin 1sin 1 1+ < <++ +++++=∑∑==π ππππ 则 且ππππ 2sin 1sin 1lim 1sin lim 1011 ==?? ????+=+?∑∑=∞→=∞→xdx n n k n n n n k n k n n k n ππππ2sin 1sin 1lim 1sin lim 1011==????? ? ??????+=+ ?∑∑=∞→=∞→xdx n n k n n n n n n k n k n n k n 故π 2 lim = ∞ →n n x a 。｝也收敛． 第二章意识与注意 一、意识：是人类独有的一种高水平的心理活动，指个人运用感觉，知觉，思维，记忆等心理活动，对自己内在的身心状态，和环境中外在的人，事，物变化的觉知。 内容：1.对外部事物的觉知。2.对内部刺激的觉知。3.对自身的觉知。 意识的状态： 1.可控制的意识状态：行为过程中，知道自己在做什么，并可以控制自己的行为。最能集中注意。 2.自动化意识状态：按一定目的完成任务，意识参与少，变为自动化。注意要求少，并不妨碍同时进行的其他活动。 3.白日梦状态：包含很低水平意识，努力的意识状态。介于，主动意识与睡眠做梦之间。醒着做梦。不需要集中注意。意识处于迷糊状态。 4.睡眠状态：虽然有意识活动，但自身并没意识到。 无意识：个体不能察觉到心理活动和过程。按照弗洛伊德似的说法，无意识中包括了大量的观念、想法、欲望、冲动等。这些观念和想法。因为与社会理论道德相冲突而被个体压抑在无意识中，个体无法察觉到。 二、注意：心理活动或意识在某一时刻所处状态，表现为对一定对象的指向与集中。 特点： 注意的指向性：人在每一瞬间的心理活动或意识选择了某个对象，而忽略了其余对象。 注意的集中性：当心理活动或意识指向某个对象的时候，它们会在这个对象上集中起来，即精神贯注，兴奋性提高。 注意的指向性是指心理活动或意识朝向哪个对象，集中性就是指心理活动或意识在一定方向上活动的强度或紧张程序。 注意的功能 1.选择功能：从大量信息中，选择有用的给以反应，排除无用的干扰。 2.维持功能：保持，持续的紧张状态。 3.调节功能：注意转变，实现活动转变，适应环境。 注意与意识既有联系又有区别。 1.注意不等同于意识：注意是心理活动或心理动作，而意识主要是一种心理内容或体验。注意决定意识的内容。 2.密不可分： 可控制意识状态，注意集中； 自动化状态，本身要求很少的注意，相应意识的参与较少； 白日梦状态，意识变化注意极少，紧张性低； 睡眠状态，无意识，注意停止。 注意的种类： 1.不随意注意：无目的，不需要意志努力的注意。由刺激物本身特点和人自身状态引起。 2.随意注意：有预定目的，需要一定意志努力的注意。个人意志。 3.随意后注意：指向一个对象后期出现的一种形式。类似随意，但不需要意志的努力。即服从当前的任务要求，又可以节省意志的努力。 生物节律：有机体生理功能周期性变化的结果。它们的存在表明有机体内部有一个生物钟。随时监视着时间的进程。 日节律：人和动物都存在，主要是睡和醒周期性循环。还有一些生理方面节律变化。血压，排尿，荷尔蒙分泌等。 四、睡眠阶段及脑电波特点！ 睡眠作用：1.恢复机能2.保护自己 正常清醒状态时脑电波为β波，13-20cps，频率快，振幅小。 第一阶段：过渡期，α8-12，频率慢，振幅大 第二阶段：轻睡期，θ4-7，频率更慢 第三四阶段：沉睡期，δ2-4，振幅极大，梦游，呓，尿床 第五阶段：快速眼动睡眠（REM）呼吸心跳不规则，难唤醒，做梦。 求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 数列的极限 1．数列的极限 【知识点的知识】 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0）， 那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和： （1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3 【典型例题分析】 典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ． 故选：C． 典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式； （2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1． （2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2， 高中学生学科素质训练 高三数学同步测试（2）—《数列与极限》 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为 （ ） A ．25 B ．5 C ．－5 D ．±5 2．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是 （ ） A ．5 B ． 15 C ．20 D ．25 3．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方 程bx 2－2ax+c=0 （ ） A ．无实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个同号的相异的实数根 D ．有两个异号的相异的实数根 4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A ．6S B ．11S C ．12S D ．13S 5．设数列{}n a 为等差数列，且6586742 4,20042a a a a a a a 则=++等于 （ ） A ．501 B ．±501 C ．2004 D ．±2004 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,0122 11==-+-+-m m m m S a a a ，则m 等于 （ ） 7．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ） A ．1:2 B ．2:3 C ．3:4 D ．1:3 8．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄， 若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ） A ．7 )1(p a + B ．8 )1(p a + C ． )]1()1[(7p p p a +-+ D ． ()()[] p p p a +-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ?? ?≥-=) 1()],1([) 0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列 D ．递减数列 10．已知02log 2log >>a b ,则n n n n n b a b a ++∞→lim 的值为 （ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在 11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出 租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ） A ．10% B ．16.4% C ．16.8% D ．20% 12．已知3 ) (32lim ,2)3(,2)3(3---='=→x x f x f f x 则的值为 （ ） A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相 加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________. 14．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n } 的通项公式__________________. 第二章自我意识与心理健康 教学目的：认识自我，重视自我意识的养成。 教学要求：掌握自我意识的概念、结构、大学生自我意识发展的过程和特征、大学生自我意识发展的缺陷、大学生自我意识的培养，了解自我意识的形成。 重点难点：自我意识的概念、结构、大学生自我意识发展的过程和特征、大学生自我意识发展的缺陷、大学生自我意识的培养、自我意识的形成。 教学方法：联系实际，结合案例进行理论讲授；讨论。 课时：2学时 第一节自我意识概述 一、自我意识的概念 自我意识是人对自身以及自己同客观世界关系的意识。 自我意识是我们对自己的认识，具体来说，包括对自己三个方面的认识：生理状况（如身体状况和外貌特征）、心理特征（如性格、兴趣、能力、行为习惯等），以及人际关系状况（如自己与他人、与社会关系、自己的社会地位等）。自我意识包括本质的自我与自己的外表和行为的区别，我们以此确定自己，并在生活经历、反省体验和与他人的交往中加深对自己的了解。 对于任何青年人来说，自我意识的发展都非常重要，在这一年龄能够比较正确而客观地回答“我是谁”的问题，才可能在将来有一个成熟稳定的心态步入社会。 自我意识是心理健康的重要标志。 二、自我意识的形成 (一)自我意识萌生时期（8个月——3岁，主要是生理自我的发展） 在生命降生之初，婴儿是没有自我意识的，（例如，婴儿咬自己的手指、脚趾，咬到自己哭出来，不知道手、脚是自己身体的一部分）婴儿一般在8个月龄左右，生理自我开始萌生，这是自我意识的最初形态。到l岁左右，儿童开始能把自己的动作和动作对象区别开来，初步意识到自己是动作的主体。1周岁以后，儿童逐步认识自己的身体，也开始意识到自己身体的感觉。一般到2岁左右，儿童逐渐学会用代词“我”来代表自己。3岁左右的儿童，自我意识有了新的发展。 (二)自我意识形成时期（3岁——14岁，主要是社会自我的发展） 3岁到青春期这段时期，是个体接受社会化影响最深的时期，也是学习角色的重要时期。个体在家庭、幼儿园、学校中游戏、学习、劳动，通过模仿、认同、练习等方式，逐步形成各种角色观念，如性别角色、家庭角色、伙伴角色、学生角色等。这一时期，也是获得社会自我的时期，他们开始能意识到自己在人际关系、社会关系中的作用和地位，能意识到自己所承担的社会义务和享有的社会权利等。 (三)自我意识的发展时期（14岁——23、24岁，主要是心理自我的发展） 从青春发育期到青春后期大约十年时间，是心理自我的发展时期，自我观念渐趋成熟。这一时期，个人的自我意识具有以下特点： 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 1（2017普陀二模）. 计算：3 1lim(1)n n →∞ += 3（2017虹口二模）. 已知首项为1公差为2的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则 2()lim n n n a S →∞= 3（2017奉贤二模）. 已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为 4（2017嘉定二模）. 11 23lim 23n n n n n ++→∞+=+ 4（2017徐汇二模）. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213 n n S a =-* ()n N ∈，则lim n n S →∞= 6（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 3535=a a ，则=3 5S S 7（2017静安二模）. 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈， 11(,2)n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量，若lim n n S →∞ 存在，则实数k 的取值范围是 8（2017崇明二模）. {}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，251a a +=-，则 lim n n S →∞ = 9（2017浦东二模）. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1 lim n n n n S a a →∞+= 10（2017奉贤二模）. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式7 1 ()x x +展开式中的x 的系数，公比是复数z =的模（i 是虚数单位）， 则lim n n S →∞ = 11（2017浦东二模）. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0 n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 11（2017嘉定二模）. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ，若数 列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的通项公式为=n a 11（2017静安二模）. 已知1()1x f x x -= +，数列{}n a 满足11 2 a =，对于任意*n N ∈都满足2 ()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a += 12（2017虹口二模）. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有 {}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多有 个 12（2017闵行/松江二模）. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =， 数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法； （4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通 过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和：+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ， 所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。 【简解】+++…+2)12(-n =（114142+?-?）+（124242+?-?）+…+（1442+-n n ）=4（+++… +）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。 例2 求和：12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。 【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ，则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ） –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-，所以=151********-?+-n n 。 高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数 列的极限 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 课时授课计划 课次序号： 02 一、课题：§1.2 数列的极限 二、课型：新授课 三、目的要求：1.理解数列极限的概念； 2.了解收敛数列的性质. 四、教学重点：数列极限的定义. 教学难点：数列极限精确定义的理解与运用. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–2 3（2）（4），5 八、授课记录： 九、授课效果分析： 第二节 数列的极限 复习 1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数； 2. 数列的有关知识. 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用． 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A ；再作内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-?n 边形的面积记为()n A n N ∈．这样，就得到一系列内接正多边形的面积： ，，，，，， n A A A A 321 它们构成一列有次序的数．当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n 无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上 称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限．在圆 面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积． 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明． 一、 数列极限的定义 1. 数列的概念 定义1 如果函数f 的定义域f D =N ={1，2，3，…}，则函数f 的值域f （N ）={f （n ）｜ 第二章自我意识与心理健康 教案目的及要求 让学生了解自我意识与心理健康的关系，并对自我意识中常见的问题进行分析，使学生能正确、全面的认识自己，接纳自己。 教案内容 1．自我意识含义、发展及特点 2．大学生自我意识的常见问题 3．大学生健全自我意识的培养途径及方法 教案课时：2学时 教案重点：大学生自我意识发展缺陷及调适；大学生健全自我意识的培养途径及方法。 教案难点：大学生自我意识的发展及特点；大学生自我意识发展缺陷及调适。 教案内容及过程 [导学案例] 教材案例2-1 “到底是谁打碎了我的梦想？” 思考：看完这个案例后有什么样的想法、感受和启发？如果你是案中主角的好朋友，你会如何帮助他？ 第一节自我意识概述 课堂练习：p34 专栏2-9请你完成以下句子，然后大家分享。你有什么独特的感受？ ?假如我是一种花，我希望是。因为 ?假如我是一种动物，我希望是。因为 ?假如我是一种乐器，我希望是。因为 ?假如我是一种食物，我希望是。因为 ?假如我是一种颜色，我希望是。因为 一、自我意识的含义 自我意识是人对自己以及自己与周围环境关系的认识，这种认识是个体通过社会比较、观察、分析外部活动与情景等途径获得的，是一个多维度、多层次的心理系统。 影响个体自我意识的因素除了与人的自我态度、成长经历、生活环境有关以外，他人对我们评价，特别是生命中重要人物，例如父母、家人、老师、朋友、同学等对待我们的态度，会对我们的自我意识起着重要的作用。 自我意识的种类： （一）生理自我 指对自己身高、体重、容貌、身材、性别等的认识以及对生理病痛、温饱饥饿、劳累疲乏等的感受等。这是自我意识的原始形态，主要是个体对自己躯体的认知，包括占有感、支配感和爱护感，它可以使个体认识到自己的存在，大概在3岁时开始成熟。人初生时，物我不分；七八个月时出现自我意识的萌芽，两岁左右的儿童，掌握第一人称“我”的使用，三岁左右的儿童，开始出现羞耻感、占有心。 （二）心理自我 指对自己知识、能力、情绪、兴趣、爱好、性格、气质等的认识和体验。这阶段大约需要十年左右的时间才能完成，即从青春期一直到成年。自我意识经过这个阶段的分化、矛盾、统一而趋于成熟，个体开始清晰地意识到自己的内心世界，开始有明确的价值探索和追求，强烈要求独立，产生了自我塑造、自我教育的紧迫感和实现自我目标的驱力。 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结， 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n 《高等数学》——数列极限 教学设计 教学过程设计 A、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工 作，确保每位学生都参加。 B、【组织教学】检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C、【复习回顾】数列的定义（2分钟） D、【教学内容、方法和过程】接下表 ” 截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 无限增大时，下列数列的项的变化趋势 …递减 递增 摆动 2．解决问题：[共同特征]不论这些变化趋势如何，随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于常数.（即无限地接近于0） 3．强化认识：（学生回答）观察下面三个数列 ：分析当n 无限 增大时，下列数列的项 的变化趋势 （1）1， （2）0.9, 0.99, 0.999, 0.9999……… (3) ，，，…，，…； 提出问题： 当n 无限增大时，上述数列趋近常数的方式有哪几种类型？ 4.概念形成：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地接近0），那么就说数列以为极限或者说是数列的极限. 记作： 读作：“当趋向于无穷大时，的极限等于a.” 注意：（1）是无穷数列. （2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的 (三)尝试探究，深化概念: (时间10分钟） 例1．考察下面的数列，写出它们的极限 （1） （2）6.5，6.95，6.995，…， （3） 解：（1）数列的项随的增大而减小，但大于0，且当无限 这一阶段 的教学 中，采取“启发式 谈话法”与“启发 式讲解法”， 注 意不“一 次到位” 通过讨论，在教 师的引导 下，使学 生得到结 论 师生共同解决例 （1），第（2）（3） 学生分析完成. 学生合作 讨论，发挥教师的 引导，学 生的主体作用， 前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题： ①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程； ②使学生形成对数列极限的初步认识； （二）概念建立阶段 归纳共同点，是锻炼学生分析和总结的思维能力。同时培养学生动手能力，提高教学效果 ，进一步理解数列极限的定义 进一步理解定义 学生通过教师引导和练习，去体会数列极限蕴含的数学思想，深化对定义的认识。 数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim 湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列极限的定义1 教材：数列极限的定义 目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会 用N -ε语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。 过程： 一、 实例：1?当n 无限增大时，圆的内接正n 边形周长无限趋近于圆周长 2?在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无限趋近于0 二、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限 1? 数列1： ,10 1,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0 ③当n 无限增大时，相应的项n 10 1可以“无限趋近于”常数0 2? 数列2： ,1 ,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1 ③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 3? 数列3： ,)1(,,31,21,1n n --- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小 ②当n 无限增大时，相应的项n n )1(-可以“无限趋近于”常数 引导观察并小结，最后抽象出定义： 一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个数a （即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限） 数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0 三、 例一 （课本上例一）略 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n 无限增大时是否可以“无 限趋近于”某一个数。 练习：（共四个小题，见课本） 四、 有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =?-=或2 2)1(都没有极限。 例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？ 第二章意识和注意――学习辅导 第一节意识 一、什么是意识 意识在心理学的概念系统中占据着非常重要的地位。由于意识概念本身很复杂。可以从以下角度来理解“意识”的概念： 1．意识是一种觉知。 意识意味着“观察者”觉察到了某种“现象”或“事物”，既可以觉察到外部事物的存在，如阳光的温暖，夜晚的寂静；也可以觉察到某些内部状态，如疲劳、眩晕、焦虑、舒服或饥饿等等）；还可以觉察到时间的延续性和空间布局……。 2．意识是一种高级的心理机能。 从这个意义上，意识对个体的身心系统起统合、管理和调控的作用。这种控制和调节可以保证自身系统的正常运行，这就像在机器人或人工智能这样复杂的信息加工系统，通常需要一些特定的功能对系统进行控制和调节。这种控制和调节对系统的正常运行与保持一定的功效有重要作用。此外意识不只是对信息的被动觉察和感知，也可以规范个体本身的言行举止，它具有能动性和调节作用。 3．意识是一种心理状态。 意识可以分为不同的层次或水平。从无意识到意识再到注意，是一个连续体。另外，意识还存在一般性变化。如觉醒、惊奇、警觉等。 二、什么是无意识 如果把人的心理比作一座冰山的话，那么人的意识便是露出水面的冰山的顶端，它只占人的心理很小的一部分，大部分的心理活动或过程是无意识的。 无意识是相对意识而言的，是个体不曾觉察到的心理活动和过程。 三、常见的无意识现象 常见的无意识现象包括： 1．无意识行为（下意识行为）。有时人的行为，特别是那些已经自动化了的行为，不受意识的控制。例如熟练打字时不必注意每个字母键的位置；又如打毛衣熟练的人可以专注看电视，而不耽误手头正在编织的毛衣。 2．对刺激的无意识。人在活动时，有时没有觉察到对他们的行为产生了影响的事件，而实际上，这些事件对他们的行为产生了或大或小的影响。比如,一个正在专心读书的人，有人喊他的名字，他没有听到；一个专心关注足球比赛的人，即便有人在的旁边对着他吹气，他也没有感觉到。声音虽然传入他的耳朵，气也吹到他的肌肤，可就是因为太专注而察觉不到。又如小时候家长送孩子上学,总会耐心地教他如何记住家里往返学校的路,记住沿途的一些标志性的东西,如电线杆,商店,招牌,十字路口的样子等.可是等到你稍大一点的时候,不论是去学校还是回家,你再也不会边走边用心去记沿途的标志,两条腿仿佛长上了眼睛似的,到了该拐弯时便拐弯,不知不觉就到了学校或家里。电线杆,商店,招牌,十字路口等刺激物还是原来的，只是孩子已对刺激无意识了。 3．盲视。还有一部分对刺激的无意识是由于脑损伤引起的。韦斯克朗兹曾报道一个这样的案例：一个大脑视觉皮层（17区）受损的病人，其视野的绝大部分变成了一个大的黑点。他无法觉察到，也报告不出呈现于这个大黑点的刺激。但他可以对呈现于这个黑点内的不同刺激进行区分，超过几率水平。这说明，尽管病人“看”不到刺激，却可以对刺激进行一定程度的信息加工。 专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有心理学---意识与注意
求数列极限的方法总结
数列极限的概念(经典课件)
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列与极限.doc
(完整版)第二章自我意识与心理健康
高等数学求极限的14种方法
05.2017年上海高三数学二模分类汇编：数列与极限
数列求和及极限
高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限
第二章自我意识与心理健康教案
求极限的方法及例题总结
极限的常用求法及技巧.
《数列的极限》教学设计
数列的极限及运算法则
湖南师范大学附属中学高一数学 数列极限的定义1教案
第二章 意识与注意--学习辅导
高考数学专题三 数列与极限