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高等数学公式修改版

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

22212211cos 12sin u du

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22

'='?-='?='-='='2

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

2C a

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

一些初等函数：两个重要极限：

·和差角公式： ·和差化积公式：

·半角公式：

αααααααααααα

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理：R C

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

arccos 2

arcsin π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x -+=-+±=++=+-=

=+=

----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim 1

sin lim

0==+=∞→→e x

x x x

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()()

)(()()(ξξξ

曲率：

;0.)

1(lim M s M M :.,13202a

K a K y y ds d s K M M s

K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

定积分的近似计算：

???----+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

n n n b

n n b

a n y y y y y y y y n

b x f y y y y n a b x f y y y n

b x f )](4)(2)[(3)(])(2

[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：

定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

b a dt t f a b dx

x f a b y k r m m k

F A

p F s F W )(1)(1

1均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，

向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22

212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k

j i

b a

c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M M

d z

z y x

y x z y x z

z y y x x z z y y x x u u

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）

（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：

3,,2221

1};,,{,1

302),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++??

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt

z z nt

y y mt

x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D

Cz By Ax d c

b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A

多元函数微分法及应用

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y

dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

F v u

G F J v u y x G v u y x F v

u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??== 隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0

),,(0

),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(0000

00000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==????

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l

l j i e e y x f l

f j

f i x f y x f y x p y x f z l x y f

x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴

?+?=?=????+??==??+??=??=

????

?多元函数的极值及其求法：

????

???

??=-<-???><>-===== 不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

????+??? ????+==='

z D

y D

x z y x D

y D

x D

y D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

22D

)

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：

????????????????????????????????????Ω

ΩΩ+=+=+====

===???=??

???=====??

??===dv

y x I dv z x I dv z y I dv

x M dv z M

z dv y M

y dv x M

x dr

r F d d d drd r

r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z

z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )

,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220

)

,(0

，，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：

?==<'+'=≤≤?

?==?

?)()()()()](),([),(),(,)()

(),(22t y t

x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

?βαψ?ψ?βαψ?β

特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：

第一类曲线积分（对弧

。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在

：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；

、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为

和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：

的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·21

2,)()(

)cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()

(00

)

,()

,(00==+=

+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?

??==??????????????y x

dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y

x Q y

x Q G y x Q y x P G ydx

xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L

D L

L L

βαβαψψ??ψ?ψ?β

曲面积分：

??????????????????????

∑

++=++±=±=±=++++=ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx

D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2

2γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；

，取曲面的前侧时取正号；

，取曲面的上侧时取正，其中：

对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：

??????????????????Ω

∑

∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n

div )cos cos cos (...

,0div ,div )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

?????????Γ

∑

∑∑

?=++Γ??

????=

??=

????=????=????????

=??????++=??-??+??-??+??-??ds

t A Rdz Qdy Pdx A R

Q P z y x A y P

x Q x R z P z Q y R R

z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P

x Q dzdx x R z P dydz z Q y R

的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k

j i rot cos cos cos )()()(

γβ

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n n q q q q q n n 1

312112

)1(3211111

+++++=

++++--=

++++- 级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=??

??=><=??

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数111

3214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

幂级数：

0)3(lim )3(111

1111221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a

R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ 函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00

lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m 欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2

cos sin cos ix

ix ix

ix ix e e x e e x x i x e 或三角级数：

。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )

sin cos (2)sin()(001010ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n

傅立叶级数：

是偶函数，余弦级数：是奇函数

，正弦级数：（相减）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

======+-+-=++++=+++=

+++???

???=====++=--∞

=nx a a x f n nxdx x f a b nx b

x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n

n n n n n n n cos 2

)(2,1,0cos )(2

0sin )(3,2,1n sin )(2

012413121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1

2)sin cos (2)(0

2222

222

221

0 π

ππ

πππππππ

周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：

???

????=====++=??∑--∞=l

l n l l

n n n n n dx l x n x f l b n dx l x

n x f l a l

x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos

)(12)sin cos (2)(10 其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--n y x Q y x P dx

e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

n dx

x P dx

x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u

y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(2

2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy

x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

高等数学公式总结(绝对完整版).

高等数学公式大全导数公式：基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全) 一导数公式：二基本积分表：三三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数下册公式总结(修改版)

第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a === 模向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =±c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则与a 同向的单位向量为a a e a = a e 2 2 2 (,,)= ++x y z x y z a a a a a a 方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ== = ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直且右手系 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ?== 交角余弦两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧ ?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M 方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式 0=+++D Cz By Ax 一般式 ?? ?=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A

高数上册归纳公式篇(完整)

公式篇目录一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率四、定积分 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分五、不定积分 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式七、微分方程 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选)

一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x →0时) 3.两个重要极限二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n 阶导数公式特别地,若n =λ

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x 很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆)

三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 ()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导 ) 罗尔定理 ( 端点值相等)()(b f a f = ) 拉格朗日中值定理柯西中值定理 (0)('≠x g ≠0 ) 2.高阶中值定理 ()(x f 在),(b a 上有直到)1(+n 阶导数 ) 泰勒中值定理 n R 为余项 (ξ在x 和0x 之间) 令00=x ,得到麦克劳林公式 3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)

大学高数常用公式大全

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ

高数下公式总结

高等数学下册公式总结 1、N 维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n ,,,n p(x x ...x ),Q(y y ...y )的距离 PQ = 2、多元函数z f(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，z x ??表示对x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导就可以了。 3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22z z x y y x ??=????。 4、多元函数z f(x,y)=的全微分公式： z z dz dx dy x y ??= +??。 5、复合函数z f(u,v),u (t),v (t)φ?===，其导数公式： dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??。 6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： X y F dy dX F '=-'，其中x y F ,F ''分别表示对x,y 求偏导数。方程组的情形：0 F(x,y,u,v){ G(x,y,u,v)==的各个偏导数是： F F v x G G u x v x F F u v G G u v ?=-?，F F u x G G v u x x F F u v G G u v ?=-?，F F y v G G y v u y F F u v G G u v ?=-?， F F y u G G u y v y F F u v G G u v ?=- ?。 7、曲线Γ的参数方程是：x (t),y (t),z (t)?φω===，则该曲线过点 000M(x ,y ,z )的法平面方程是： 0000000(t )(x x )(t )(y y )(t )(z z )?φω'''-+-+-= 切线方程是： 000000(x x )(y y )(z z ) (t )(t )(t ) ?φω---=='''。

高数上册归纳公式篇完整

公式篇目录一、 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限二、 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算三、 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率四、 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分五、 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式七、 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选) 一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x→0时)

3.两个重要极限二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n阶导数公式特别地,若n λ = 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x?很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆) 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 () a连续,) a可导 ) (b , [b f在] (x , 罗尔定理 ( 端点值相等) a f f= ) ( (b ) 拉格朗日中值定理柯西中值定理 (0 ) x g≠0 ) ('≠ 2.高阶中值定理 () (+ a上有直到)1 n阶导数 ) (x f在) , (b

高等数学(下)知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

高中高等数学公式汇总

空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 21212 1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ? ??? ????????????? ?? ?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-= = （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ??

最全的高等数学公式大全

高等数学微分和积分数学公式（集锦）（精心总结）一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=

大学高数常用公式大全

高等数学公式导数公式：基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高数知识点公式大全

高等数学公式平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

同济高等数学公式大全

同济高等数学公式大全 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

高等数学常用公式大全

高数常用公式平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

工程力学公式微积分公式高等数学公式汇总

公式： 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-= ?断面收缩率：1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ ρ τρ=，最大切应力：max P P T T R I W τ= =， 4 4 (1)32 P d I πα= -，3 4(1)16 P d W πα= -，强度校核：max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ?θ= =，刚度校核：max max []P T GI θθ= ≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ，扭转外力偶的计算公式： ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -，sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力： '2 x y σσσ+= ，''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应力max ''' 2 σστ-=± =，最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- -

10、第三和第四强度理论：3r σ= 4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：Z My I σ =，截面上下对称时，Z M W σ = 矩形的惯性矩表达式：3 12Z bh I = 圆形的惯性矩表达式： 4 4(1)64Z d I πα= - 矩形的抗扭截面系数：2 6 Z bh W = ，圆形的抗扭截面系数：3 4(1)32 Z d W πα= - 13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：max max *S z S Z F S F K bI A τ= = 14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 max []w w l l ≤，max []θθ≤ 16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N Z F M A W σσ=± （2）偏心拉伸(偏心压缩)：max min ()N Z F F A W δ σσ=± （3）弯扭变形杆件的强度计算：有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =?? ? （系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0lim 1x x x + →=

大学高数公式大全

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ

高数下册公式总结

高数下册公式总结公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++= ,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a === 模向量a 的模记作a a 222x y z a a a =++ 和差 c a b =+ c a b =－ =+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b 单位向量 0a ≠，则a a e a = a e 222 (,,)=++x y z x y z a a a a a a 方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为 αβγ，，，则方向余弦分别为 cos αβγ，cos ，cos cos y x z a a a a a a αβγ= = = ，cos ，cos cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=?b a 叉乘（向量积） b a c ?= θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 定理与公式垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++= 平行 //0a b a b ??= //y z x x y z a a a a b b b b ? == 交角余弦两向量夹角余弦b a b a ?=θcos 2 2 2 2 2 2 cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++= ++?++ 投影向量a 在非零向量b 上的投影 cos()b a b prj a a a b b ∧ ?== 2 2 2 x x y y z z b x y z a b a b a b prj a b b b ++= ++ 平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M 方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M 方程名方程形式及特征方程名称方程形式及特征

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精心整理高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='=' 22 1 11 )(arccos 11 )(arcsin x x x x -- ='-= '? ?+±+=±+=C a x x a x dx C shx chxdx )ln(222 2C a x arctg a x a dx ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=++-=++=+=+-=?????1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππ

βαβααβαctg tg ±±±±((cos(sin(

·半角公式： ·正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式： 30 21),,(z y x F M z y x =?? ? ??=曲面在点空间曲线方向曲线积分：曲面积分：高斯公式：

高数公式定理汇总

高数期末复习 ——课本公式定理汇总 ——河南大学迈阿密学院——17级自动化专业—制课本章节目录第1章函数第2章极限第3章导数第4章导数的应用第5章积分第6章积分的应用（求面积、体积、弧长）第7章对数函数和指数函数（对数、指数、反三角、洛必达、增长率）第8章积分方法（分部积分法、三角换元法；三角积分；部分分式）

本文稿内容目录：第3章导数 1.三角函数的导数（p129）第7章对数函数和指数函数（对数、指数、反三角、洛必达、增长率） 2.反三角函数的导数（p423） 3.与反三角函数导数有关的积分（p425）第8章积分方法（分部积分法、三角换元法；三角积分；部分分式） 4.分部积分公式（p440） 5.三角函数的积分（p450） ①题型1：∫sin m x cos n xdx（p449） ②题型2：∫tan m x sec n xdx（p452） 6.高次三角函数求积分的归约公式（p449） 7.三角换元法（p456） 8.部分分式（p469）第6章积分的应用（求面积、体积、弧长）切片法求体积： 9.一般切片法（p336） 10.圆盘法（p338） 11.垫圈法（p339）附：关于y轴的圆盘法垫圈法（p340）柱壳法求体积： 12.柱壳法（p347） 13.弧长公式（p357）附：关于y轴的弧长公式（p359）

其它： 14.罗尔定理（p226）；中值定理（p227） 15.自然对数函数求导（p388） 16.一般指数函数求导（p400） 17.一般对数函数求导（p404） 18.增长率比较（p434） 1.三角函数的导数（p129） 2.反三角函数的导数（p423）

高等数学公式大全

+ f (t )dt ，其中 f (t )连续，则 dx = f (x ) dy （1） y = +∏ ( ) f (t )dt ，其中 ∏ (x ) ，∏ (x )可导，f (t ) （2）y = x 公式 2 ． lim 1 + lim (1 + v )v = e 1 ? 1 ? = e ； u lim 1 + ? = e ； n u ( ) x x n 当 x ? 0 时， e = 1 + x + + ? + + 0 x x x 5 + + ? + ( 1) x x 4 + ? + ( 1) x x 3 + ? + ( 1) n +1 x ( ) x x 5 + ? + ( 1) n +1 x x ， e x 1 ~ x ， ln (1 + x ) ~ x ，整数），则 lim x n = A 存在，且 A ε m f 2(x ) g 2(x ) f (x ) g (x ) 整数），则 lim x n = A 存在，且 A δ M f 2(x ) g 2(x ) f (x ) g (x ) 2 2 （考研数学知识点-高等数学一. 函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数公式 1． lim x 0 sin x x = 1 连续， x 0 ∏ 2 ( x ) 1 1 2 v 0 1 n n u 则 dy dx = f [∏ 2 (x )]∏ 2 (x ) f [∏1 (x )]∏1 (x ) 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和 2．两个无穷小的比较数学二）设 lim f (x ) = 0 ， lim g (x ) = 0 ，且 lim f (x ) g (x ) = l x n （1） l = 0 ，称 f (x ) 是比 g (x ) 高阶的无穷小，记以 f (x ) = 0[ g (x )] ，称 g (x ) 是比 f (x ) 低阶的无穷 sin x = x 3 3! 5! n x 2 n +1 (2n + 1)! + 0(x 2 n +1 ) 小。（2） l ? 0 ，称 f (x ) 与 g (x ) 是同阶无穷小。 cos x = 1 2 2! 4! n x 2 n (2n )! + 0(x 2n ) （ 3） l = 1 ，称 f (x ) 与 g (x ) 是等价无穷小，记以 ln (1 + x ) = x 2 2 3 n n + 0(x n ) f (x ) ~ g (x ) 3．常见的等价无穷小当 x ? 0 时 sin x ~ x ， tan x ~ x ，arcsin x ~ x ，arctan x ~ x 3 2 n +1 arctan x = x + 0 x 2n +1 3 5 2n + 1 (1+ x ) ? =1+?x + ?(? 1) x 2 +? + ?(? 1)? [? (n 1)] x n + 0(x n ) 2! n ! 1 cos x ~ 1 2 2 6．洛必达法则 (1 + x ) ? 1 ~ ?x 法则 1．（型）设（1）lim f (x ) = 0 ，lim g (x ) = 0 二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则准则 1．单调有界数列极限一定存在（1）若 x n +1 δ x n （ n 为正整数）又 x n ε m （ n 为正 n （2）若 x n +1 ε x n （ n 为正整数）又 x n δ M （ n 为正 n 准则 2．（夹逼定理）设 g (x ) δ f (x ) δ h (x ) （2） x 变化过程中， f 2(x ) ， g 2(x ) 皆存在（3） lim = A （或）则 lim = A （或）（注：如果 lim 不存在且不是无穷大量情形，则不能得出 lim 不存在且不是无穷大量情形）若 lim g (x ) = A ， lim h (x ) = A ，则 lim f (x ) = A 法则 2．型）设（1）lim f (x ) = ，lim g (x ) = 3．两个重要公式（2） x 变化过程中， f 2(x ) ， g 2(x ) 皆存在

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