向量与三角形四心(学生版)
三角形“四心” 与向量的完美结合(精.选)
三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内 心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心;
三角形四心的向量性质
三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心． 证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0， 所以 ()GA GB GC =-+． 以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-． 又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =． 所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ． 解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2
3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++． 证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过 图3
与三角形四心相关的向量结论
与三角形“四心”相关的向量结论 濮阳市华龙区高中 张杰 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 问题：设点O 在ABC ?内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ?与AOC ?的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ， 则点O 为ADC ?的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ????= ==31. 而 AOC COD BOC S S S ???==3131， ∴3 1:=??COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。 结论： 设O 点在ABC ?内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=?? 证明： 已知O 点在ABC ?内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ??=1，DOF AOC S mr S ??=1，DOE AOB S mn S ??=1， ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=?? 说明: 此结论说明当点O 在ABC ?内部时，点O 把ABC ?所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。 应用举例：设点O 在ABC ?内部，且40OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比是： A ．2：1 B ．3：1 C ．4：3 D ．3：2 分析：由上述结论易得：1:1:4::=??AO B CO A BO C S S S ，所以2:34:6:==?O BC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。 引申：设O 点在ABC ?内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1：若O 为ABC ?重心，则0=++OC OB OA 分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ?的面积三等分. 结论2 ：O 为ABC ?内心，则0=++OC c OB b OA a 分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a :: 结论3： O 为ABC ?的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.
讲义---平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D
讲义平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D
向量与三角形四心的一些结论
【一些结论】：以下皆是向量 1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积） 3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 4 若P是△ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2（AP就表示AP向量|AP|就是它的模） 5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心 8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点 【以下是一些结论的有关证明】 1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与
平面向量题型三三角形“四心”与向量结合
题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=，则P 是三角形的（ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22 2 ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 证明：由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足?=?=?，则 点O 是ABC ?的 （ ） （A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 6、在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2 O A ＋2 BC ＝2 OB ＋2 CA ＝ 2 OC ＋2 AB ，则Ｏ为ABC ?的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G 是△ABC 所在平面内一点，++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 图中GE GC GB =+
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三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 知识点总结 1．O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 若 O 是 S BOC S AOC S AOB 1 S ABC OA OB OC 0 ; ABC 的重心，则 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2．O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S ： S tan A ： ： AOC AOB tan B tan C 故 tan AOA tan BOB tan C OC 0 2 2 2 3．O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) 若 O 是 ： ： sin ： ： ABC 的外心则 S BOC S AOC S AOB BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC OA ( AB AC OB BA BC OC CA CB ) 0 4． O 是内心 ABC 的充要条件是 ) ( ) ( | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB | 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件 可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) ， O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ： b ： c 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ; uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ; A | AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是 e 1 e 2 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直 B C ( uuur uuur | AB | | AC | 线) ； P 范 例 ( 一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,则 AB AC P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ） （A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心 AB uuur uuur uuur 又 OP OA AP ，则原 解析：因为 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ， AB
三角形“四心”向量表示
三角形四心的向量问题 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心??=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |OC | BC || BA |( OB AC | AB |OA =-?=-?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则 刚 才 O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++
向量与三角形四心(教师版)
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++0OC OB OA ???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 (2)若O 是ABC ?的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == （3）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 (4) O 是△ABC 所在平面内一点2 2 2 2 2 2 → →→→ → →+=+=+AC OB BA OC BC OA 则 O 是△ABC 的垂心 证明：由 ，得，所以 。 同理可证。容易得到 由以上结论知O 为△ABC 的垂心。 O A B C D E O A B C D E
高考数学测试卷三角形“四心”的一种向量表示
三角形四心嘚一种向量表示 几个记法：在△ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结AO 并延长交BC 于D ，连结BO 并延长交CA 于E ，连结CO 并延长交AB 于F 。 记：AB AF t FB =，BC BD t DC =，CA CE t EA =； AC AE t EC =，CB CD t DB =，AC AE t EC =； 且有：1AB BA AC CA BC CB t t t t t t ?=?=?= 记：A AO AD λ=，B BO BE λ=，C CO CF λ= 引理1.线段嘚定比分点嘚向量关系式 （1）111BC BC BC t AD AB AC t t = +++ (1.1.1)； 111CA CA CA t BE BC BA t t = +++； (1.1.2) 111AB AB AB t CF CA CB t t = +++。 (1.1.3) （2）若AB AF AB λ=，BC BD BC λ=，CA CE CA λ=，则有： (1)BC BC AD AB AC λλ=-+ (1.2.1)； (1)CA CA BE BC BA λλ=-+； (1.2.2) (1)AB AB CF CA CB λλ=-+。 (1.2.3) 证明：只证明（1.1.1），其它同理。 ∵BC BD t DC = ∴1BC BC t BD BC t = +则有 F D E C A B O 图1
1()1111BC BC BC BC BC BC BC AD AB BD t AB BC t t AB AC AB t t AB AC t t =+=++=+-+= +++ 引理2.11 AC AB AB AC AB AC t t AO AB AC t t t t = +++++ (2.1.1) 1 AB AC A A B A C t t t t λ+= ++ (2.1.2) 11 BC BA BC BA BC BA t t BO BC BA t t t t = +++++ (2.2.1) 1 BC BA B B C BA t t t t λ+= ++ (2.2.2) 11 CA CB CA CB CA CB t t CO CA CB t t t t = +++++ (2.3.1) 1 CA CB C CA CB t t t t λ+= ++ (2.3.2) 且有2A B C λλλ++= (2.4) 证明： ∵点B 、O 、E 共线，且B BO BE λ= ∴(1)(1)1AC B B B B AC t AO AB AE AB AC t λλλλ=-+=-+?+ ………………① 同理，∵点C 、O 、F 共线，且C CO CF λ= ∴(1)(1)(1)11AB AB C C C C C C AB AB t t AO AC AF AC AB AB AC t t λλλλλλ=-+=-+? =?+-++ ………………② ∴1111AB B C AB AC B C AC t t t t λλλλ? -=?+???=-+??，解得：1111AC B AB AC AB C AB AC t t t t t t λλ+?=?++??+?=++?? ………………③
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平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
平面向量题型三三角形“四心”与向量结合
题型三三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P 点的轨迹一定通过的（） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 2、已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P是三角形的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心“垂心定理” H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心. 证明：由, 同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 4、已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足： ，则P点为三角形的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（） （A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点 6、在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心“重心定理” G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心. 证明图中 连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD 为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心. 证明 ∵G是△ABC的重心∴=0=0，即 由此可得.（反之亦然（证略））
7、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 8、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (++2),则点P一定为三角形ABC的（） 边中线的中点边中线的三等分点（非重心） C.重心边的中点 (四)平面向量与三角形外心 9、若为内一点，，则是的（） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 10、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = (五)平面向量与三角形四心 11、已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1， 求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 12、在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。 13、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证. 14、设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 15已知点、、在三角形所在平面内，且==,,则==则点、、依次是三角形的 （A）重心、外心、垂心（B）重心、外心、内心 （C）外心、重心、垂心（D）外心、重心、内心 题型三三角形“四心”与向量结合答案 1、解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. 4、解析:由.即 则所以P为的垂心. 故选D. 8、取AB边的中点M，则，由= (++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B. 9、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选B。 10、1 11证明由已知+=-，两边平方得·=， 同理·=·=， ∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
向量培优与三角形四心题型归纳
一、三角形的四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的____________________心. （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的____________心. （3）设a ,b ,c 是三角形的角A,B,C 所对的边 O OC c OB b OA a ?=++0为ABC ?的_________________心. （4）OC OB OA ==?O 为ABC ?_________________心。 例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AC AB AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 例3 已知G 为ΔABC 的重心，ΔABC 所在平面内一点P 满足AP PC PB =+22，则 | || |AG AP 的值等于_______.
课堂练习： 1．已知ABC ?三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．6 2．若A B C ?的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=?OB OA ( ) A ．21 B ．0 C ．1 D ．2 1- 3．点O 在ABC ?内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ?面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ） A ．0 B ．23 C ．45 D ．3 4 4．ABC ?的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 2 22AB OC CA +=+，则O 是ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 6．ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m = 7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．已知ABC ?三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ?+?+?=2 ，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形
向量表示三角形的四心及应用
三角形“四心”的向量性质及其应用 东阳市中天高级中学数学组：蔡航英 自从2003年高考(江苏卷)第5题向量考出彩后，在中学数学向量教学时，挖掘三角形“四心”向量性质及其应用，引起了广泛重视。与三角形的“四心”(重心、垂心、外心、内心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，现将有关三角形“四心”向量性质及其应用罗列如下： 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心． 证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0， 所以 ()GA GB GC =-+． 以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-． 又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =． 所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ．
解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++． 证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 图3 图2
【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)[1]2
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AO B AO C BO C S 31S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 )| CB |CB | CA |CA ( OC )| BC |BC | BA |BA ( OB )AC AC | AB |AB ( OA =- ?=- ?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=? ABC ?的内心; 向量()(0)|||| A C A B A B A C λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分 线所在直线)； 二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( AC AC AB AB OA OP ++=λ，[)+∞ ∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 A C B 1 e 2 e P
平面向量及三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证： 0=++???OC S OB S OA S C B A 如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则 B C COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===??????? 图1 = OD BC DC OB +BC BD OC =C B B S S S +OB +C B C S S S +OC C B A COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++== = 图2 ∴C B A S S S OD +- =OA ∴C B A S S S +- OA = C B B S S S +OB +C B C S S S +OC ∴0=++???OC S OB S OA S C B A 推论O 是ABC ?内的一点，且 0=++???OC OB OA z y x ，则 z y x S S S AOB COA BOC ::::=??? O A B C D O A B C
有此定理可得三角形四心向量式 O 是ABC ?的重心 ?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA O 是ABC ?的内心 ?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a O 是ABC ?的外心 ?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC C OB B OA A O 是ABC ?的垂心 ?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A 证明：如图O 为三角形的垂心，DB CD B AD CD A == tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB : ∴B A S S COA BOC tan :tan :=?? 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan :=?? ∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
三角形四心与向量
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心? 0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故 0OC OB OA =++; 1() PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心? OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=??? 故C tan B tan A tan = ++ 3．O 是ABC ?的外心?||||||==(或2 2 2 O C O B O A ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin = ++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |( | BC || BA |( AC | AB |( =?=?=? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+?=+?=+? ，O 是ABC ?内心的充要条件也可以是 0OC c OB b OA a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+ +=λ，[)+∞∈,0λ则 P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原