13.6需求为随机的单一周期的存储模型
需求为随机变量的订货批量、再订货点模型需求为随机变量的定期检查存储量模型本章内容
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§6需求为随机的单一周期的存储模型
单一周期存储是指在产品订货、生产、存储、销售这一周期的最后阶段把产品按正常价格全部销售完毕，或者把按正常价格未能销售出去的产品削价销售出去，甚至扔掉。
本节将介绍需求是随机变量，特别是需求服从均匀分布和正态分布的存储模型。
§6需求为随机的单一周期的存储模型
报童问题：报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验，每日售出 d 份报纸的概率P(d)是已知的。报童每售出一份报纸赚k 元，如果报纸未能售出，每份赔h 元，问报童每日最好准备多少份报纸？
这就是一个需求量为随机变量的单一周期的存储问题。需要解决最优订货量Q的问题。如果订货量Q过大，报童就会因不能售出报纸造成损失；如果订货量Q过小，报童就
要因缺货失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量Q，才能使这两种损失的期望值之和最小呢？
§6需求为随机的单一周期的存储模型
设售出d 份报纸的概率为P (d )，从概率论可知0
()1d P d ==∑∞
()()
Q d h Q d P d =-∑1()()
d Q k d Q P d =+-∑∞
综合（1）（2）两种情况，当订货量为Q 时，其损失的期望值EL 为EL Q =? Q ?d Q d =0P d +k d ?Q ∞
d =Q +1
P （d ）
下面求出使EL (Q )最小的Q 的值.（1）当供大于求时(Q >d )，因不能售出报纸而每份损失h 元，其数学期望为（2）当供不应求时(Q < d )，因缺货而少赚钱造成的机会损失为每份损失k 元，其期望值为
§6需求为随机的单一周期的存储模型
设报童订购报纸最优量为Q *，这时其损失的期望为最小，即
1 EL Q ? ≤EL Q ?+1 ,
2 EL Q ? ≤EL Q ??1 .
从（1）推导有
10
012()()()()(1)()(1)(),Q Q d d d Q d Q h Q d P d k d Q P d h Q d P d k d Q P d ****+*
***===+=+-+-+-+--∑∑∑∑∞∞≤化简后得：0
()Q d k P d k h *=+∑≥从（2）推导有
10
01()()()()(1)()(1)(),Q Q d d d Q d Q h Q d P d k
d Q P d h Q d P d k d Q P d ****-****===+=-+---+-+∑∑∑∑∞∞≤化简后得：10
()Q d k P d k h *-=+∑≤
§6需求为随机的单一周期的存储模型100()()Q Q d d k P d P d k h **
-==<+∑∑≤报童所订购报纸最优数量Q *份应按下列的不等式确定
例6 某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15 元，如果当天不能售出，每一百张赔20 元。每日售出该报纸份数的概率P (d )根据以往经验如下表所示，试问报亭每日订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大。
销售量
（百张）
567891011概率
P (d )0.050.100.200.20.250.150.05
§6
需求为随机的单一周期的存储模型
满足不等式因此，最优的订报量为每天800 张，此时其赚钱的期望值最大。
7
0()(5)(6)(7)0.050.100.200.35
d P d P P P ==++=++=∑8
0()(5)(6)(7)(8)0.050.100.200.200.55
d P d P P P P ==+++=+++=∑7
800()()d d k P d P d k h ==<+∑∑≤要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小。已知k = 15,h = 20，则有
k k +?=1515+20
=0.4286 故当Q = 8 时，有
解：
§6需求为随机的单一周期的存储模型此公式既适用于离散型随机变量也适用于连续型随机变量。如果只考虑连续型随机变量，此公式又可以改写为
()()k P d Q P d Q k h *
*<<+≤≤()k P d Q k h *
=+≤上述公式改写成
§6需求为随机的单一周期的存储模型例7 某书店拟在年前出售一批新年挂历。每售出一本可盈利20元，如果年前不能售出，必须削价处理。由于削价，一定可以售完，此时每本挂历要赔16 元。根据以往的经验，市场的需求量近似服从均匀分布，其最低需求为550 本，最高需求为1100 本，该书店应订购多少新年挂历，使其损失期望值为最小？
P d ≤Q ? =Q ??5501100?550=Q ??550550, 则由公式得
55020555020169
Q *-==+由此求得Q* = 856（本），并从P (d ≤ Q*) = 5/9 可知，这时5/9 的概率挂历有剩余，有1-5/9=4/9 的概率挂历脱销。由题意知挂历的需求量是服从区间[550，1100]上的均匀分布的随机变量，k = 20，h = 16，则其需求量小于Q*的概率为解：
§6需求为随机的单一周期的存储模型
例8 某化工公司与一客户签订了一项供应一种独特的液体化工产品的合同。客户每隔六个月来购买一次，每次购买的数量是一个随机变量，通过对客户以往需求的统计分析，知道这个随机变量服从以均值μ=1000（公斤），标准差σ=100（公斤）的正态分布。化工公司生产一公斤此种产品的成本为15 元，根据合同固定售价为20 元。合同要求化工公司必须按时提供客户的需求。一旦化工公司由于低估了需求产量不能满足需要，那么化工公司就到别的公司以每公斤19 元的价格购买更高质量的替代品来满足客户的需要。一旦化工公司由于高估了需求，供大于求，由于这种产品在两个月内要老化，不能存储至六个月后再供应给客户，只能以每公斤 5 元的价格处理掉。化工公司应该每次生产多少公斤的产品才使该公司获利的期望值最大呢？
§6需求为随机的单一周期的存储模型
根据题意得k =5 -1= 4，h = 15 -5= 10，利用公式得P d ≤Q ?
=k k +?=410+4=414=0.29. 需要服从均值μ=1000，标准差σ=100的正态分布，上式即为
0.29.Q μΦσ*??-= ???
通过查阅标准正态表，即得：Q ??μσ
=?0.55， 把μ=1000，σ=100代入得，Q ?= ?0.55×100+100=945 公斤 。 从P d ≤Q ? = 0.29可知，当产量为945公斤时，有0.29的概率产品 有剩余，有1?0.29=0.71的概率产品将不满足需求。 解：
多元时间序列建模分析
应用时间序列分析实验报告
单位根检验输出结果如下：序列x的单位根检验结果：
1967 58.8 53.4 1968 57.6 50.9 1969 59.8 47.2 1970 56.8 56.1 1971 68.5 52.4 1972 82.9 64.0 1973 116.9 103.6 1974 139.4 152.8 1975 143.0 147.4 1976 134.8 129.3 1977 139.7 132.8 1978 167.6 187.4 1979 211.7 242.9 1980 271.2 298.8 1981 367.6 367.7 1982 413.8 357.5 1983 438.3 421.8 1984 580.5 620.5 1985 808.9 1257.8 1986 1082.1 1498.3 1987 1470.0 1614.2 1988 1766.7 2055.1 1989 1956.0 2199.9 1990 2985.8 2574.3 1991 3827.1 3398.7 1992 4676.3 4443.3 1993 5284.8 5986.2 1994 10421.8 9960.1 1995 12451.8 11048.1 1996 12576.4 11557.4 1997 15160.7 11806.5 1998 15223.6 11626.1 1999 16159.8 13736.5 2000 20634.4 18638.8 2001 22024.4 20159.2 2002 26947.9 24430.3 2003 36287.9 34195.6 2004 49103.3 46435.8 2005 62648.1 54273.7 2006 77594.6 63376.9 2007 93455.6 73284.6 2008 100394.9 79526.5 run; proc gplot; plot x*t=1 y*t=2/overlay; symbol1c=black i=join v=none; symbol2c=red i=join v=none w=2l=2; run; proc arima data=example6_4; identify var=x stationarity=(adf=1); identify var=y stationarity=(adf=1); run; proc arima; identify var=y crrosscorr=x; estimate methed=ml input=x plot; forecast lead=0id=t out=out; proc aima data=out; identify varresidual stationarity=(adf=2); run;
典型时间序列模型分析
实验1 典型时间序列模型分析 1、实验目的 熟悉三种典型的时间序列模型：AR 模型，MA 模型与ARMA 模型，学会运用Matlab 工具对对上述三种模型进行统计特性分析,通过对2 阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围，并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。 2、实验原理 AR 模型分析： 设有 AR(2)模型， X(n)=-0.3X(n-1)-0.5X(n-2)+W(n) 其中：W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。 （1）用MA TLAB 模拟产生X(n)的500 观测点的样本函数，并绘出波形 （2）用产生的500 个观测点估计X(n)的均值和方差 （3）画出理论的功率谱 （4）估计X(n)的相关函数和功率谱 【分析】给定二阶的AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。或者按照一个白噪声 通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为： 1 2 1 ()10.30.5H z z z --= ++ 这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。 对于功率谱，可以这样得到， ()() 2 2 12 12exp 11x w z jw P w a z a z σ--==++ 可以看出， () x P w 完全由两个极点位置决定。 对于 AR 模型的自相关函数，有下面的公式： 这称为 Yule-Walker 方程，当相关长度大于p 时，由递推式求出： 这样，就可以求出理论的 AR 模型的自相关序列。
1.产生样本函数，并画出波形 2.题目中的AR 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。 clear all; b=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数 h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20 点处已经可以认为值是0 randn('state',0); w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2 x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2 阶AR 过程 plot(x,'r'); ylabel('x(n)'); title('邹先雄——产生的AR 随机序列'); grid on; 得到的输出序列波形为： 2.估计均值和方差 可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到 x m ，对于方差可以先求出理论自相 关输出，然后取零点的值。
实验5：随机时间序列预测(1)
实验5：随机时间序列预测 5.1实验目的 1、 了解ARMA 预测模型的基本概念，基本原理及建模过程； 2、 掌握平稳时间序列的检验方法，白噪声序列是检验方法，模型检验的方法； 3、 掌握ARMA 模型的具体类型、扩展类型ARIMA 、模型算法、模型检验、模型优化及模型预测； 4、 掌握利用Eviews 软件实现ARMA 模型的整个建模及各种检验流程，掌握运用Eviews 软件和推 导相结合的AR 模型、MA 模型、ARMA 模型、ARIMA 模型的点预测和区间预测。 5.2实验原理 Box-Jenkins 提出的ARMA 模型是从时间序列自相关的角度揭示时间序列的发展规律，它的思想源于事件的发展具有一定的惯性，而这种惯性用统计语言描述就是序列值之间存在一定的相关关系，而且这种相关关系具有一定的统计规律，我们所要做的就是通过分析相关关系找出这种规律，并用适当的模型来拟合这种规律，进而利用这种拟合模型来预测将来的走势。 5.2．1 样本自相关函数 如果样本观察值为12,,,n y y y ，我们可以给出延迟k 阶的自相关函数估计值，即样本自相关函 数： 1 2 1 ()() ?()n k t t k t k n t t y y y y y y ρ -+==--=-∑∑ 其中，1 n t t y y n ==∑ 。 自相关函数说明了样本数据不同时期之间的相关程度。其取值范围在-1到+1之间，?k ρ越接近1，说明时间序列的自相关程度越高。反之如果?k ρ越接近于0，则说明时间序列的自相关程度越低。 5.2．2、样本偏自相关函数 在时间序列中，偏自相关函数是给定了121,,,t t t k y y y ---+的条件下，t y 与滞后期k 时间序列的 条件相关。它用来度量当其他滞后1,2,3,,1k -期时间序列的作用已知的条件下，单纯的t y 与t k y -的 相关程度。设样本观察值为12,,,n y y y ，可以给出样本偏自相关函数： 其中： 5.2.3平稳时间序列概念 设时间序列{}t y 取自某一随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程 ,1,1,???k j k j kk k k j φφφφ---=-
SAS学习系列37. 时间序列分析Ⅰ—平稳性及纯随机性检验
37. 时间序列分析Ⅰ—平稳性及纯随机性检验 （一）基本概念 一、什么是时间序列？ 为了研究某一事件的规律，依据时间发生的顺序将事件在多个时刻的数值记录下来，就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的发展趋势就是时间序列分析。 例如，国家或地区的年度财政收入，股票市场的每日波动，气象变化，工厂按小时观测的产量等等。 注：随温度、高度等变化而变化的离散序列，也可以看作时间序列。 二、时间序列的特点 （1）顺序性； （2）随机性； （3）前后时刻（不一定相邻）的依存性； （4）整体呈趋势性和周期性。 三、时间序列的分类 按研究对象的数目：一元时间序列、多元时间序列； 按序列统计特性：平稳时间序列、非平稳时间序列； 按分布规律：高斯时间序列、非高斯时间序列。 四、研究方法
1. 平稳时间序列分析； 2. 非平稳时间序列分析（确定性分析、随机性分析）。 五、其它 任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由下列三部分叠加而成： （1）趋势项部分； （2）周期项部分； （3）随机项部分（随机信号、随机噪声） 图1. 四种趋势：线性、二次、指数增长、S型 例如，手机销售的月记录按年增长（趋势项）；按季节周期波动（周期项）；随机信号和随机噪声。 时间序列分析的主要任务就是：上面三部分分解出来，是研究平稳随机过程的变化规律，建立特定的ARIMA 模型（要求大体平稳、可能含有周期但不能有规则性的线性指数等类型趋势项）。
六、方法性工具 1. 差分运算 （1）k 步差分 间隔k 期的观察值之差：Δk =x t -x t -k （2）p 阶差分 Δx t =x t -x t -1称为一阶差分； 1 1 10 (1)p p p p i i t t t p t p i i x x x C x ---+-=?=? -? =-∑称为p 阶差分； SAS 函数实现：diff n (x ) 2. 延迟算子 延迟算子作用于时间序列，时间刻度减小1个单位（序列左移一位）： B x t =x t -1, ……, B p x t =x t -p . SAS 函数实现：lag n (x ) 用延迟算子表示k 步差分和p 阶差分为： Δk =x t -x t -k =(1-B k ) x t 0()(1)p p p p i t p t i i x I B C x -=?=-=-∑ （二）平稳时间序列 一、概念 平稳时间序列按限制条件的严格程度，分为 严平稳时间序列：序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化；
经济周期理论 学派观点总结 经济波动
第1 新古典经济周期理论 新古典经济周期理论发轫于 20 世纪 70 年代早期，主要得益于卢卡斯（Lucas,1972, 1975）的学术贡献。与传统的凯恩斯经济周期理论和货币主义经济周期理论不同，新古典经济周期理论强调理性预期是产生经济波动的重要原因，认为经济周期性波动的根源在于行为人的预期错误。预期错误可能是由外部的不能合理预见的随机冲击引起的，如货币供给冲击、战争和粮食危机等，其中货币供给冲击是一个非常重要的冲击源，即货币增长的不确定性导致了非预期的通货膨胀，进而引发产出和就业的波动。在政策建议方面，新古典经济周期理论完全否定了政府干预的有效性，主张利用固定规则代替相机决策。 一卢卡斯的主要观点 卢卡斯最早在《预期和货币中性》（1972）一文中提出货币周期模型，之后又在《经济周期均衡模型》（1975）一文中扩展和补充了由货币因素引发经济波动的产生、传导和消失过程。Lucas 认为，在一个众多相互分离的竞争市场内，假设生产者并没有觉察到中央银行增加货币供给量，对于随之而来的价格上涨，如果生产者认为价格上涨是局部性的，则必须调整产出；如果生产者认为价格上涨是全局性的，则必须保持产出。生产者被迫面临如何在知道单个商品价格变化的基础上对总价格水平作出尽可能准确的判断的问题，这就是不完全信息假设的体现。一种可能的识别情形是将其视作两种情况共同作用的结果，组合的比例取决于过去的价格波动的均值和方差。若以往的价格比较稳定，则当前的价格变化会更多地视作局部性的；若以往的价格起伏较大，则当前的价格变化会更多地视作全局性的，这就是市场上价格信号的提取过程。然而，在不完全信息情形下，总会有一部分生产者不能准确预测到价格是全局性上涨，而采取调整产出的行动。所以一般价格水平的提高对总量经济的影响，本质上与相对价格的提高对单个生产者的影响一样，都能引起产出、就业和投资等宏观变量同方向的运动。但这只是暂时的，人们一旦发现价格上涨是由总需求变化引起的一般价格水平的上涨，就会
最新时间序列模型归纳总结复习
时间序列模型归纳总结复习随机时间序列分析的几个基本概念 一、随机过程(Stochastic Process) 定义 设（Ω,F,P ）是概率空间，T 是给定的参数集，如果对于任意t ∈T ，都有一定义在（Ω,F ,P ）上的随机变量X(t,ω)与之对应，则称随机变量族{X(t,ω),t ∈T}为随机过程。简记为{X(t,),t ∈T}或{X t ,t ∈T }或X T 离散参数的随机过程也称为随机序列或（随机）时间序列。 上述定义可简单理解成： 随机过程是一簇随机变量{X t ,t ∈T}，其中T 表示时间t 的变动范围，对每个固定的时刻t 而言，X t 是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。 当t={0,±1,±2,…}时，即时刻t 只取整数时，随机过程{X t ,t ∈T}可写成如下形式，{X t ,t=0,±1,±2,…}。此类随机过程X t 是离散时间t 的随机函数，称它为随机序列或时间序列。 对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即{X t ,t=0,±1,±2,…}就是一个离散随机序列。 二、时间序列的概率分布和数值特征 1、时间序列的概率分布 一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向量X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。 时间序列所有的一维分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),… 所有二维分布是：Fij(·，·)， i ，j=0,±1,±2,…,(i ≠j) 一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。 2、时间序列的均值函数 一个时间序列的均值函数是指： () t t t EX XdF X μ∞ -∞ ==? 其中EXt 表示在t 固定时对随机变量Xt 的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(·)有关。 3、时间序列的协方差函数与自相关函数 与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数定义为：
时间序列分析法原理及步骤
时间序列分析法原理及步骤 ----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征, 以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布,可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性, 大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动, 即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数 ACF :其中是的 k 阶自 协方差,且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于 0, 前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上, 预测模型大都难以满足这些条件, 现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的,但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归 AR(p模型
模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量互相独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用 PACF 函数判别 (从 p 阶开始的所有偏自相关系数均为 0 2》移动平均 MA(q模型 识别条件
平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,但较快收敛到 0, 则该时间序列可能是 ARMA(p,q模型。实际问题中,多数要用此模型。因此建模解模的主要工作时求解 p,q 和φ、θ的值,检验和的值。 模型阶数 实际应用中 p,q 一般不超过 2. 3》自回归综合移动平均 ARIMA(p,d,q模型 模型含义 模型形式类似 ARMA(p,q模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时,不能直接利用 ARMA(p,q模型,但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化,实际应用中 d (差分次数一般不超过 2. 模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是 ARIMA(p,d,q模型。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进
宏观经济学第七章习题及答案
第七单元经济周期理论 本单元所涉及到的主要知识点： 1．经济周期的含义、阶段与种类； 2．经济周期的原因； 3．卡尔多经济周期模型； 4．乘数－加速数模型 一、单项选择 1．经济周期中的两个主要阶段是（）。 a．繁荣和萧条； b．繁荣和衰退； c．萧条和复苏； d．繁荣和复苏。 2．下列对经济周期阶段排序正确的是（）。 a．复苏，繁荣，衰退，萧条； b．复苏，繁荣，萧条，衰退； c．复苏，萧条，衰退，繁荣； d．复苏，衰退，萧条，繁荣。 3．由于经济衰退而形成的失业属于：（）。 a．摩擦性失业； b．结构性失业； c．周期性失业； d．自然失业。 4．下列哪种说法表达了加速原理（）。 a．消费支出随着投资支出增长率的变化而变化； b．投资支出随着国民收入增量的变化而变化； c．国民收入随着投资支出的变化而变化； d．投资支出的减少会造成消费支出一轮一轮地减少。 5．下列哪种说法没有表达加速原理（）。 a．国民收入增长率的变化将导致投资支出的变化； b．消费支出的变化会引起投资支出更大的变化； c．投资支出的减少会造成消费支出一轮一轮地减少； d．投资支出随着国民收入增量的变化而变化。 6．加速原理发生作用的条件是（）。 a．投资的增加会导致国民收入增加；
b．消费品的生产需要有一定数量的资本品，因而消费支出的增加会导致投 资支出的增加； c．投资的增加会导致消费支出的持续增加； d．投资支出的减少会造成消费支出地减少。 7．经验统计资料表明，在经济周期里，波动最大的一般是（）。 a．资本品的生产； b．农产品的生产； c．日用消费品的生产； d．a和c。8．所谓资本形成是指（）。 a．净投资； b．总投资； c．更新投资； d．存货的 投资。 9．假定某经济连续两年的国民收入都是1200亿美元，在资本－产量比率等于2的条件下，净投资等于（）。 a．1200亿美元； b．2400亿美元； c．2000亿美元； d．0。 10．已知某经济某一年的国民收入是1000亿美元，净投资为零；第二年国民收入增至1200亿美元。在资本产量比率等于2的条件下，第二年的净投资（）。 a．增加了200亿美元； b．增加了400亿美元； c．仍然为0； d．增加了100亿美元。 11．国民收入会从谷低走向高峰，根据汉森（Hanson）和萨谬尔森（Samuelson）的解释，是因为（）。 a．乘数的作用； b．加速数的作用； c．乘数和加速数的交织作用； d．都不正确。 12．当国民收入在乘数和加速数的作用下趋于减少时，它的下降将受到下述因素的限制（）。 a．总投资为零； b．失业增加； c．边际消费倾向下降； d．都不正确。 13．根据加速原理，净投资会在哪种情况下发生（）。 a．国民收入和消费支出分别达到最高水平； b．国民收入和消费支出正在下降； c．国民收入和消费支出正在增加； d．国民收入和消费支出保持不变。
数学建模时间序列分析
基于Excel的时间序列预测与分析 1 时序分析方法简介 1.1时间序列相关概念 1.1.1 时间序列的内涵以及组成因素 所谓时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。如经济领域中每年的产值、国民收入、商品在市场上的销量、股票数据的变化情况等，社会领域中某一地区的人口数、医院患者人数、铁路客流量等，自然领域的太阳黑子数、月降水量、河流流量等等，都形成了一个时间序列。人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未来行为。 时间序列的变化受许多因素的影响 ,有些起着长期的、决定性的作用 ,使其呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则起着短期的、非决定性的作用，使其呈现出某种不规则性。在分析时间序列的变动规律时，事实上不可能对每个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。但我们能将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分成若干时间序列的构成因素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的变动规律性。影响时间序列的构成因素可归纳为以下四种: (1)趋势性(Trend),指现象随时间推移朝着一定方向呈现出持续渐进地上升、下降或平稳的变化或移动。这一变化通常是许多长期因素的结果。 (2)周期性(Cyclic)，指时间序列表现为循环于趋势线上方和下方的点序列并持续一年以上的有规则变动。这种因素是因经济多年的周期性变动产生的。比如，高速通货膨胀时期后面紧接的温和通货膨胀时期将会使许多时间序列表现为交替地出现于一条总体递增 地趋势线上下方。 (3)季节性变化(Seasonal variation)，指现象受季节性影响 ,按一固定周期呈现出的周期波动变化。尽管我们通常将一个时间序列中的季节变化认为是以1年为期的，但是季节因素还可以被用于表示时间长度小于1年的有规则重复形态。比如，每日交通量数据表现出为期1天的“季节性”变化，即高峰期到达高峰水平，而一天的其他时期车流量较小，从午夜到次日清晨最小。
随机时间序列分析
7 随机时间序列分析一. 随机时间序列随机过程与随机序列时间序列的性质(1) 随机过程与随机序列随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2,??????, xn，称它为随机序列{ xt }的一个现实随机序列的现实是一族非随机的普通数列(2) 时间序列的统计性质(特征量) 均值函数：某个时刻t 的性质时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t 和s 的统计性质时间序列的统计性质自相关函数二. 平稳时间序列模型所谓平稳时间序列是指时间序列{ xt, t=0,±1,±2,?????? } 对任意整数t，，且满足以下条件：对任意t，均值恒为常数对任意整数t 和k，r t,t+k 只和k 有关随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列平稳序列的特性方差自相关函数：自相关函数的估计平稳序列的判断一类特殊的平稳序列――白噪声序列随机序列{ xt }对任何xt 和xt 都不相关，且均值为零，方差为有限常数正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布2. 随机时间序列模型自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归―移动平均模型（ARMA）(1) 自回归模型及其性质定义平稳条件自相关函数偏自相关函数滞后算子形式①自回归模型的定义描述序列{ xt }某一时刻t 和前p 个时刻序列值之间的相互关系随机序列{ εt }是白噪声且和前时刻序列xk （k 基于ARMA模型的社会融资规模增长分析 ————ARMA模型实验 第一部分实验分析目的及方法 一般说来,若时间序列满足平稳随机过程的性质,则可用经典的ARMA模型进行建模和预则。但是, 由于金融时间序列随机波动较大,很少满足ARMA模型的适用条件,无法直接采用该模型进行处理。通过对数化及差分处理后,将原本非平稳的序列处理为近似平稳的序列,可以采用ARMA模型进行建模和分析。 第二部分实验数据 2.1数据来源 数据来源于中经网统计数据库。具体数据见附录表5.1 。 2.2所选数据变量 社会融资规模指一定时期内（每月、每季或每年）实体经济从金融体系获得的全部资金总额，为一增量概念，即期末余额减去期初余额的差额，或当期发行或发生额扣除当期兑付或偿还额的差额。社会融资规模作为重要的宏观监测指标，由实体经济需求所决定，反映金融体系对实体经济的资金量支持。 本实验拟选取2005年11月到2014年9月我国以月为单位的社会融资规模的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行分析预测。 第三部分 ARMA模型构建 3.1判断序列的平稳性 首先绘制出M的折线图，结果如下图： 图3.1 社会融资规模M曲线图 从图中可以看出，社会融资规模M序列具有一定的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。此外，m在每年同时期出现相同的变动趋势，表明m还存在季节特征。下面对m的平稳性和季节性·进行进一步检验。 为了减少m的变动趋势以及异方差性，先对m进行对数化处理，记为lm，其时序图如下： 图3.2 lm曲线图 对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性，下面观察lm的自相关图 表3.1 lm的自相关图 上表可以看出，该lm序列的PACF只在滞后一期、二期和三期是显着的，ACF随着滞后结束的增加慢慢衰减至0，由此可以看出该序列表现出一定的平稳性。进一步进行单位根检验，由于存在较弱的趋势性且均值不为零，选择存在趋势项的形式，并根据AIC自动选择之后结束，单位根检验结果如下： 表3.2 单位根输出结果 Null Hypothesis: LM has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=12) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -8.674646 0.0000 Test critical values: 1% level -4.046925 5% level -3.452764 10% level -3.151911 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. 单位根统计量ADF=-8.674646小于临界值，且P为0.0000，因此该序列不存在单位根，即该序列是平稳序列。 由于趋势性会掩盖季节性，从lm图中可以看出，该序列有一定的季节性，为了分析季节性，对lm进行差分处理，进一步观察季节性： 图3.3 dlm曲线图 观察dlm 的自相关表： 表3.3 dlm的自相关图 Date: 11/02/14 Time: 22:35 Sample: 2005M11 2014M09 Included observations: 106 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ****|. | ****|. | 1 -0.566 -0.566 34.934 0.000 .|* | **|. | 2 0.113 -0.305 36.341 0.000 .|. | *|. | 3 0.032 -0.093 36.455 0.000 *|. | *|. | 4 -0.084 -0.114 37.244 0.000 .|* | .|. | 5 0.105 0.015 38.494 0.000 *|. | *|. | 6 -0.182 -0.182 42.296 0.000 .|* | *|. | 7 0.105 -0.156 43.563 0.000 .|. | *|. | 8 -0.058 -0.171 43.954 0.000 .|. | *|. | 9 -0.019 -0.196 43.996 0.000 第二篇 预测方法与模型 预测是研究客观事物未来发展方向与趋势的一门科学。统计预测是以统计调查资料为依据，以经济、社会、科学技术理论为基础，以数学模型为主要手段，对客观事物未来发展所作的定量推断和估计。根据社会、经济、科技的预测结论，人们可以调整发展战略，制定管理措施，平衡市场供求，进行各种各样的决策。预测也是制定政策，编制规划、计划，具体组织生产经营活动的科学基础。20世纪三四十年代以来，随着人类社会生产力水平的不断提高和科学技术的迅猛发展，特别是近年来以计算机为主的信息技术的飞速发展，更进一步推动了预测技术在国民经济、社会发展和科学技术各个领域的应用。 预测包含定性预测法、因果关系预测法和时间序列预测法三类。本篇对定性预测法不加以介绍，对后两类方法选择以下几种介绍方法的原理、模型的建立和实际应用，分别为：时间序列分析、微分方程模型、灰色预测模型、人工神经网络。 第五章 时间序列分析 在预测实践中，预测者们发现和总结了许多行之有效的预测理论和方法，但以概率统计理论为基础的预测方法目前仍然是最基本和最常用的方法。本章介绍其中的时间序列分析预测法。此方法是根据预测对象过去的统计数据找到其随时间变化的规律，建立时间序列模型，以推断未来数值的预测方法。时间序列分析在微观经济计量模型、宏观经济计量模型以及经济控制论中有广泛的应用。 第一节 时间序列简介 所谓时间序列是指将同一现象在不同时间的观测值，按时间先后顺序排列所形成的数列。时间序列一般用 ,,,,21n y y y 来表示，可以简记为}{t y 。它的时间单位可以是分钟、时、日、周、旬、月、季、年等。 一、时间序列预测法 时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反应出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年可能达到的水平。其容包括:收集与整理某种社会现象的历史资料；将这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间序列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模型，以此模型去预测该社会现象将来的情况。 二、时间序列数据的特点 通常，时间序列经过合理的函数变换后都可以看作是由三个部分叠加而成，这三个部分是趋势项部分、周期项部分和随机项部分。 1. 趋势性 许多序列的一个最主要的特征就是存在趋势。这种趋势可能是向下的也可能是向上的，也许比较陡，也许比较平缓，或者是指数增长，或者近似线性。总之，时间序列的趋势性是依据时间序列进行预测的本质所在。 2. 季节性/周期性 当数据按照月或季观测时，通常的情况是这样的:时间序列会呈现出明显的季节性。对季节性也不存在一个非常精确的定义。通常，当某个季节的观测值具有与其它季节的观测值明显不同的特征时，就称之为季节性。 3. 异常观测值 异常观测值指那些严重偏离趋势围的特殊点。异常观测值的出现往往是由于某些不可抗 1958 年自然灾害和1966年左右“文化大革命”对我国经拒的外部条件的影响。如1960 济的影响，造成经济指标陡然下降现象；1992年，我国银行紧缩政策造成的房地产业泡沫破灭，而使得房地产业的经济数据发生突然变化的例子等等。 4. 条件异方差性 所谓条件异方差性，表现出来就是异常数据观测值成群地出现，故也称为“波动积聚性”。由于方差是风险的测度，因此波动存在的积聚性的预测对于评估投资决策是很有用的，对于期权和其它金融衍生产品的买卖决策也是有益的。 5. 非线性 对非线性的最好定义就是“线性以外的一切”。非线性常常表现为“机制转换”(regime witches)或者“状态依赖”(State pendence)。其中状态依赖意味着时间序列的特征依赖于其现时的状态;不同的时刻，其特征不一样。当时间序列的特征在所有的离散状态都不一样时，就成为机制转换特性。 三、时间序列的分类 1. 按研究的对象的多少可分为单变量时间序列和多变量时间序列。 如果所研究的对象是一个变量，如某个国家的国生产总值，即为单变量时间序列。果所研究的对象是多个变量，如按年、月顺序排列的气温、气压、雨量数据，为多变量时间序列。多变量时间序列不仅描述了各个变量的变化规律，而且还表示了各变量间相互依存关系的动态规律性。 2. 按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列。 如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点，则该序列就是一个离散时间序列。如果某一序列中的每个序列值所对应的时间参数为连续函数，则该序列就是一个连续时间序列。 3. 按序列的统计特性可分为平稳时间序列和非平稳时间序列两类。 第2章 时间序列的预处理 拿到一个观察值序列之后，首先要对它的平稳性和纯随机性进行检验，这两个重要的检验称为序列的预处理。根据检验的结果可以将序列分为不同的类型，对不同类型的序列我们会采用不同的分析方法。 2.1 平稳性检验 2.1.1 特征统计量 平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征。要描述清楚这个特征，我们必须借助如下统计工具。 一、概率分布 数理统计的基础知识告诉我们分布函数或密度函数能够完整地描述一个随 机变量的统计特征。同样，一个随机 变量族的统计特性也完全由它们的联 合分布函数或联合密度函数决定。 对于时间序列{t X ，t ∈T }，这样来定义它的概率分布： 任取正整数m ，任取m t t t ，， ，?21∈T ，则m 维随机向量（m t t t X X X ，，，?21）’的联合概率分布记为），，，（m t t t x x x F m ??21,,,21，由这些有限维分布函数构成的全体。 {），，，（m t t t x x x F m ??21,,,21，?m ∈正整数，?m t t t ，，，?21∈T } 就称为序列{t X }的概率分布族。 概率分布族是极其重要的统计特征描述工具，因为序列的所有统计性质理论上都可以通过 概率分布推测出来，但是概率分布族的重要 性也就停留在这样的理论意义上。在实际应 用中，要得到序列的联合概率分布几乎是不 可能的，而且联合概率分布通常涉及非常复 杂的数学运算，这些原因使我们很少直接使 用联合概率分布进行时间序列分析。 二、特征统计量 一个更简单、更实用的描述时间序列统计特征的方法是研究该序列的低阶矩，特别是均值、方差、自协方差和自相关系数，它们也被称为特征统计量。 尽管这些特征统计量不能描述随机序列全部的统计性质，但由于它们概率意义明显，易于计算，而且往往能代表随机 序列的主要概率特征，所以我们对时间序列进行分析，主要就是通过分析这些统计量的统计特性，推断出随机序列的性质。 1.均值 对时间序列{t X ，t ∈T }而言，任意时刻的序列值t X 都是一个随机变量，都有它自己的概率分布，不妨记为)(x F t 。只要满足条件 ∞ 一、随机模拟实验 1.实验题目 ？）和（，是否适用于很大)2(AR 1AR ),1()( Y 2.实验目的和意义 （1）实验目的：检验公式是否适用于AR(1)和AR （2）的预测估计。 （2）实验意义：若题目成立，则对于所有的AR （1）和AR （2）模型，其预测会趋向于一条水平之直线， 3.简述实验方法和步骤 （1）首先模拟一个AR （1）序列，生成K 个数列，将n 个数搁置起来，预测搁置的n 个值， 参数估计，是否符合模型。最后在估计的序列均值上画一条水平线。 （2）首先模拟一个AR （2）序列，生成K 个数列，将n 个数搁置起来，预测搁置的n 个值， 参数估计，是否符合模型。最后在估计的序列均值上画一条水平线。 4.具体实施过程 （1）AR （1）过程 首先模拟一个过程的，)1(1008.0AR 。模拟48个值，将最后八个值搁置起来，与预测值比较。 （a ）验证 和 的极大似然估计： 图表4.1极大似然估计 从图表4.1可以看出，该模型符合AR （1）模型，所以我们继续下一步。 （b ）预测接下来的8个值，并画出带这8个预测值的序列，在估计的序列均值上画一条水平线。画出预测及其95%预测极限。 图表4.2预测及估计均值水平线 从图4.2中可以看出，预测值落在预测区间内，并且趋向于一条水平直线。此时仅仅是 很小的时候趋势已经很明显了，所以当 越大，)( Y 越趋向于一个均值 。 （2）AR （2）过程 首先模拟一个过程的，，)2(10075.0-5.121AR 。模拟52个值，将最后12个值搁置起来，与预测值比较。 （a ）验证 和 的极大似然估计： 图表4.3极大似然估计 从图表4.3可以看出，该模型符合AR （2）模型，所以我们继续下一步。 （b ）预测接下来的12个值，并画出带这12个预测值的序列，在估计的序列均值上画一条 第四章真实经济周期理论 一、导言：有关经济波动的一些事实 理解造成总量波动的来源是宏观经济学的一个核心目标。本章主要介绍关于宏观经济波动的来源和性质的主要理论。通过对美国经季节性调整后的真实GDP 分析得出：第一个事实是，经济波动没有表现出任何规律性的或周期性形式（由于产出的变动不规则，因而现代宏观经济学一般都不试图将波动解释为由不同时间长度组成的确定性周期，想识别出有的基钦周期（3年）、朱格拉周期（10年）、库兹涅茨周期（20年）及康德拉耶夫周期（50年）的努力通常被认为是徒劳的。普遍的观点是，不同类型和大小的扰动，以随机的时间间隔来影响经济，这些扰动继而传递给整个经济。在这一点上，主要宏观经济学派的差别在于他们对扰动和传递机制的假设不同；第二个事实是，产出各个组成部分的波动程度不一（存货投资平均只占GDP中一个极小的比例，它在衰退时的波动却几乎占GDP下降的一半）；第三个事实，涉及产出变动的不对称性：产出在较长的时间内稍高于其通常路径，而在较短的时间内远低于其通常路径。第四个事实是，二战前后的产出波动的特征并没有明显的变化（剔除对二战前宏观经济时间序列的传统估计存在重大的偏差）；最后，失业率的变动一般小于产出变动。 二、波动理论 瓦尔拉斯模型，即一个没有任何外部性、不对称信息、市场缺失、或其他不完善性的竞争性模型来理解总量波动。拉姆齐模型是瓦尔拉斯总量经济基本模型。本章是对拉姆齐模型的一个扩展，纳入总量波动：1、存在一个扰动来源，如果没有冲击，该模型将收敛于一条平衡增长路径，然后平衡增长。强调对经济中的技术冲击，即生产函数在各个时期的变动，以及政府购买冲击，这两种冲击代表真实扰动：技术冲击改变既定数量的投入品所产生的产出，而政府购买冲击改变既定生产水平条件下私人经济可利用的商品量。——RBC模型。2、考虑就业的变动。通过使家庭效用不仅取决于家庭消费，而且取决于家庭工作量，从而 时间序列分析与建模简介 Prepared on 22 November 2020 第五章时间序列分析与建模简介时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。 引言 根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。 §5—1 ARMA模型分析 一、模型类 把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ x k }视为以正态同分布白噪声序列{ a k }为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为(z-1) x k = (z-1) a k式（5-1-1） 其中： (z-1) = 1-1 z-1-…-n z-n (z-1) = 1-1 z-1-…-m z-m 式（5-1-2） 为与参考书符号一致，以下用B 表示时间后移算子 即： B x k = x k-1 B 即z -1，B 2即z -2… (B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。 二、关于格林函数和时间序列的稳定性 1．格林函数G i 格林函数G i 用以把x t 表示成a t 及a t 既往值的线性组合。 式（5-1-3） G I 可以由下式用长除法求得： 例1．AR(1): x t - 1x t-1 = a t 即： G j = 1j （显示） 例2．ARMA (1,1): x t - 1x t-1 = a t - 1a t G 0= 1 ; G j = (1- 1) 1j-1 ,j 1 （显示） 例3．ARMA (2,1) (1 - 1B - 2 B 2)x t = (a t - 1 B ) a t 得出：G 0= 1 G 1 = 0G 0- 1 G 2 = 1G 1+ 2G 0 ∑∞ =-=0j j t j t a G x 39. 时间序列分析Ⅱ——ARIMA 模型 随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。 而非平稳序列随机分析的发展就是为了弥补确定性因素分解方法的不足。时间序列数据分析的第一步都是要通过有效手段提取序列中所蕴藏的确定性信息。Box 和Jenkins 使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便有效的确定性信息的提取方法。而Gramer 分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。 （一）ARMA 模型 即自回归移动平均移动模型，是最常用的拟合平稳时间序列的模型，分为三类：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。 一、AR(p )模型——p 阶自回归模型 1. 模型： 011t t p t p t x x x φφφε--=+++ 其中，0p φ≠，随机干扰序列εt 为0均值、2εσ方差的白噪声序列（()0t s E εε=, t ≠s ），且当期的干扰与过去的序列值无关，即E(x t εt )=0. 由于是平稳序列，可推得均值0 11p φμφφ= --- . 若00φ=，称为 中心化的AR (p )模型，对于非中心化的平稳时间序列，可以令 01(1)p φμφφ=--- ，*t t x x μ=-转化为中心化。 记B 为延迟算子，1()p p p B I B B φφΦ=--- 称为p 阶自回归多项式，则AR (p )模型可表示为：()p t t B x εΦ=. 2. 格林函数 用来描述系统记忆扰动程度的函数，反映了影响效应衰减的快慢程度（回到平衡位置的速度），G j 表示扰动εt-j 对系统现在行为影响的权数。 例如，AR(1)模型（一阶非齐次差分方程），1, 0,1,2,j j G j φ== 模型解为0t j t j j x G ε∞ -==∑. 3. 模型的方差 对于AR(1)模型，22 2 1()()1t j t j j Var x G Var εσεφ∞ -===-∑. 4. 模型的自协方差 对中心化的平稳模型，可推得自协方差函数的递推公式： 用格林函数显示表示： 2 00 ()()i j t j t k j j k j i j j k G G E G G γεεσ ∞∞ ∞ ---+=====∑∑∑ 对于AR(1)模型，时间序列分析——ARMA模型实验(1)
时间序列分析简介与模型
时间序列分析word版
时间序列分析随机模拟
第四章真实经济周期理论
时间序列分析与建模简介
SAS学习系列39. 时间序列分析Ⅲ—ARIMA模型