第12章-压杆稳定

工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案

第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。

解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。

(整理)压杆稳定计算.

第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于

第十一章压杆稳定

第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P

第十四章 轴向压杆的稳定计算

第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?

? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。

材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定

第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ

第十章 压杆稳定

第十章 压杆稳定 学时分配：共6学时 主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数 法进行压杆稳定校核。 $10.1压杆稳定的概念 1．压杆稳定 若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。 2．临界压力 当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用 τ c P 表示。 3．曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 $10.2细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xOy 。距原点为x 的任意截面的挠度为v 。于是有 Pv M -= 2．挠曲线近似微分方程： 将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得 ()Pv x M EIv -=='' 令 EI P k = 2 则有 0'2''=+v k v 该微分方程的通解为 kx B kx A v cos sin += c r c r

式中A 、B ——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 0=x 和l x =时，0=v 将其代入通解式，可解得 0=B ，0sin =kl A 上式中，若A=0，则0=v ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 0sin =kl 满足条件的kl 值为 πn kl =),2,1,0(Λ=n 则有 l n k π= 于是，压力P 为 2222 l EI n EI k P π= = 1=n 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力τc P 于是可得临界压力为 2 2l EI P c πτ= 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的 欧拉公式。 此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 22)(l EI P cr μπ= 式中μ称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。 两端铰支，1=μ；一端固定另一端自由2=μ；两端固定，2 1=μ；一端固定令一 端铰支，7.0=μ。

第十三章-压杆稳定

第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力

mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1

第10章 压杆稳定

第10章压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。 1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。 为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。 图10.1 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡

材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定

第十四章压杆稳定 14.1某型柴油机的挺杆长度l=25.7cm,圆形横截面的直径d=8mm,钢材的 E=210Gpa, ；「p =240MPa 。挺杆所受最大压力 n st = 2 ~ 5。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支， 尸1, ，=银黑=129 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径 内径d=44mm,l=950mm.材料为30CrMnS i N i 2A,试求斜撑杆的临界压力 P lj 和临界应力 Gj 。(原图见教材 P173.) (6 =1600MPa,；「p = 1200MPa ,E = 210GPa ) 解：斜撑两端按铰支座处理, i =4-D 2 d 2 =1、0.0522 0.0442 = 0.017m 「縣=55.9 ■ - '1，可用拉欧公式计算 14.5三根圆截面压杆，直径均为 d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,匚s = 240 MPa 俩 端均为铰支，长度分别为 hb 和b ，且h =212 = 3I 3 =5m 。试求各杆的临界压力 P lj 。 分别计算三杆的柔度 P =1.76kN 。规定的稳定安全系数 =92.9 3.142 210 109 彳14(8 10 色)4 4 (1W.257)2 二 6.30kN P lj 6.30 n = 百=彳76 = 3.58 D=52mm , 3.14 210 109 1200 106 = 41.5 3.142 210 109 (1 0.95) 4 4 3.14(0.052" -0.0444) 64 = 401kN lj _ 401 103 _ -4 '(0.0522 -0.0442) 2 = 665MN /m 2 解：对于A3钢 100,十晋=57.1 '(1) (2) (3) =口 125 i 1 0.16/4 125 二.农=1 2.5 i 2 二— i 0.16/4 二 62.5 =31.3 /. 1 2 9 3.142 210 109 -------------- 6 ---- 240 10 P j

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第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力 P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后 发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状 ； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态， 此时若解除压力 P ，则压杆的微 弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 A ） 对临界应力的影响。 ； 试判断哪一根最容易失稳。答案： （ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长 1m ，直径 50mm 。其柔度 为 ( C ) A.60 ； B.66.7 ； C.80 ； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下， 压杆采用图 （ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ E B 、λ≤ E P s C 、λ≥ E D 、λ≥ E P s B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状

第十二章 压杆稳定(习题解答)

12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？ N B B C N B A B C C D 解：（1）各杆的临界力 2 2 2 ..2 2 2cr BD cr EI EI P P a a ππ= = = 外 （2）求各杆的轴力与P 的关系。 由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。 第一种情况： C:)02450CB CB X P N cos N =→ --=→=- ∑ 压杆 B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P = →--=→==∑ 拉杆 令2 ,.2 = C B cr C B cr EI N P P P a a π=- == ?外第二种情况： )C B P N = 拉杆 ()-BD BC N P ==压杆 2 2 .2 2 -== 22BD BC cr BD EI EI N P P P a a ππ=== ? 12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.

解：（1）计算柔度： ①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。 0.57101.04xz xz y l i μλ??= = = ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。 27242.490.200xy xy z l i μλ??= = = ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。 m ax(.)242.49xz xy λλλ== （2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2 2 2 11 2(0.110) (0.1200.200)40.28242.49 cr cr E P A A πσλ π=?= ???= ??=N kN 12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2 0π θ< <） 解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：

(整理)压杆稳定计算.

第16 章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F 由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F 达到屈服强度载荷F s （或抗压强度载荷F b），杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a 所示的同样粗细而比较长的杆件（图16-1b），当压力F 比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F 逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s （或F b）。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆（图 16-3）；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳（图16-4）。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的 稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的 O 点处于平衡状态，如图 16-5a 所示。先用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。 因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5c 所示。当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后， 小球将继续下滚， 不再回到原来的平衡位置。 因此， 小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5b 所示，当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置 O 1 再次处于平 衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡 状态为随遇平衡。 图 16-5 图 16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏 离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于 图 16-3

建筑力学第11章压杆稳定

第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr

压杆稳定性计算

第16章压杆稳定 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s (或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5

材料力学习题第16章

材料力学习题 第16章 16-1两端固定，长为l的等截面中心受压直杆。试用静力法推导其临界力F cr的欧拉公式。 16-2 压杆具有如图所示的不同截面形状。各截面面积相同，各杆长度、以及约束亦均相同，试按欧拉公式判断各杆稳定性的好坏。 16-3一端固定、一端自由的圆截面中心受压铸铁杆件，直径d=50mm，长度l=1m。若材料的弹性模量E=117GPa，试按欧拉公式计算其临界力。 16-4 长l=1.2m，由等边角钢100?100?10制成的中心受压杆件，一端固定、一端自由，材料为Q235钢。若弹性模量E=200GPa，试求其临界力。 16-5图示为某型号飞机起落架中承受轴向压力的斜撑杆（两端视为铰支）。杆为空心圆杆，外径D=52mm，内径d=44mm，长l=950mm。材料的σp=1200MPa，E=210GPa。试求斜撑杆的临界应力和临界力。 16-6 在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长杆，且截面、材料均相同。若因在ABC平面内失稳而失效，并规定0<θ<π/2，试确定F为最大值时的θ角。 16-7铸造用砂箱推送机构如图所示。气缸内压强p=1.6MPa，气缸内径D1=100mm；活塞杆为空心圆管，外径D=50mm，内径d=40mm，长l=1m。活塞杆材料为Q275钢,σp=240MPa，E=210GPa。若[n]st=4.5，试校核活塞杆的稳定性。

16-8 图示支架，斜杆BC为圆截面杆，直径d=45mm、长度l=703mm，材料为优质碳钢，σS=350MPa，σp=280MPa，E=210GPa。若[n]st=4，试按BC杆的稳定性确定支架的许可载荷。 16-9 某油缸活塞杆承受轴向压力作用。已知活塞直径D=65mm，油压p=1.2MPa，活塞杆长l=1.25m，两端视为铰支，材料的σp=220MPa，E=210GPa。若[n]st=6。试设计活塞杆的直径。 16-10 螺旋千斤顶如图所示。丝杠内径d=52mm，长度l=0.5m。材料为Q235钢，千斤顶起重量F=100kN。若[n]st=3.5，试校核丝杠的稳定性。（按抛物线公式） 16-11长l=1.06m的硬铝圆管，一端固定、一端铰支，承受的轴向压力F=7.6kN。材料的σp=270MPa，E=70GPa。若[n]st=2。试按外径D与壁厚δ之比D/δ=25设计铝圆管的外径。 16-12 图示横梁CD由支杆AB支承。AB杆的横截面为矩形，尺寸如图所示；材料为Q235钢，若F=15kN。[n]st=6。试校核支杆AB的稳定性。（按抛物线公式） 16-13 两端铰支的圆截面中心受压杆，直径d=60mm，长度l=1.5m。材料为16Mn钢，其强度许用应 力[σ]=200 MPa。若压杆所承受的轴向压力F=160kN。试校核该压杆的稳定性。 16-14 中心受压杆一端固定、一端铰支，横截面为空心圆截面，外径D=200mm，内径d=100mm，长l=9m。材料为Q235钢，其强度许用应力[σ]=160 MPa。试求该压杆的许可载荷。 16-15 两端铰支的圆截面中心受压杆，长度l=2.2m，直径d=80mm，压力F=200kN，材料为Q235钢，其强度许用应力[σ]=160 MPa。试求该压杆的稳定安全系数。 16-16 图示结构，A为固定端，B、C均为铰接。若AB和BC杆可以各自独立发生弯曲变形（互不影响），两杆材料均为Q235钢，σS=240MPa，σp=200MPa，E=200GPa。已知：d=80mm，a=70mm，l=3m。若[n]st=2.5，试求该结构的最大许可轴向压力。 16-17 图示结构，AB是№16工字钢梁，立柱CD是由三根连成一体的空心钢管组成，外径D=50mm，内径d=40mm，梁和钢管材料均为Q235钢，其强度许用应力[σ]=160 MPa。均布载荷q=48kN/m，试校核该结构是否安全。

13-第十三章压杆稳定讲解

第十三章 压杆稳定 §13.1 压杆稳定的概念 构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定 直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲） 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力 压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。 §13.2 两端铰支细长压杆的临界压力 在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。 图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x )cr = 代入挠曲线近似微分方程，即EI M(x ) -y d 2 2=dx 得： EI F k k dx cr y ,0y y d 2 22 2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x 求得 ： 0Asin ,0==kx B 解得： ),2,1,0(????== n l n k π2 2 2 F l EI n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷 2 2F l EI cr π= 上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值m in I

§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。 解：根据欧拉公式 239412 22 20010201024.2kN ()64(10.8) cr EI F l ππμ-????===?? 此时横截面上的正应力 3 cr P 26 424.21077MPa 2010 F A σσπ-??===≤?? 图 11-8

第12章-压杆稳定

第12章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。与其受到一微小横向干扰力后发生微小 弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯充到状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯 变形（） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正 方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（） A、P a e〈P b e B、P a e＝P b e C、P a e〉P b e D、不可确定 4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。 A、杆的材质 B、杆的长度 C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸 5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； A、A、 B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状； 6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。

A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； B、B、 C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。 A、λ≤π√E/σp B、λ≤π√E/σs C、λ≥π√E/σp D、λ≥π√E/σs 9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（） A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的； 10、两根材料和柔度都相同的压杆（） A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等； B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.临临界应力和临界压力一定相等； D.临界应力和临界压力不一定相等； 11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。 A、细长杆的σe值与杆的材料无关； B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关； D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；

第十四章 压杆稳定

一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。

A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。