中考数学反比例函数的综合题试题及详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．

（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；

（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；

（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，

理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，

∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，

∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，

即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”

（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，

∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），

∴顶点坐标为：（1，a﹣1），

又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，

∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，

∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，

∴0≤a≤1

（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，

∵y= +2x﹣4

∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，

当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，

∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，

∴1≤a≤2；

∴a的最大值是2，a的最小值1

【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即

0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.

2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．

（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．

（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求

a的值．

（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．

【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，

当y=0时，﹣3x+2=0，

x= ，

∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），

∴0＜m＜，，DANG

则，

﹣3x+2= ，

当x=m时，﹣3m+2= ，

∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）

（2）解：由题意得：，

ax+2= ，

ax2+2x﹣k=0，

∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，

∴△=4+4ak=0，

ak=﹣1，

∴k=﹣，

则，

解得：，

∵OM= ，

∴12+（﹣）2=（）2，

a=±

（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），

∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，

∴A′（2，1），B′（1，3），

点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，

当点M′与A′重合时，k=2，

当点M′与B′重合时，k=3，

∴k的取值范围是2≤k≤3

【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取

值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣

k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。

3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A（，6）和点B（-3，），直线AB与轴交于点C．

（1）求直线AB的表达式；

（2）求的值．

【答案】（1）解：∵点A（，6）和点B（-3，）在双曲线，∴m=1，n=-2，

∴点A（1，6），点B（-3，-2），

将点A、B代入直线，得，解得，

∴直线AB的表达式为：

（2）解：分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，

则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3，

∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN，

∴

【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．

4．【阅读理解】

我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），

【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2

（1）【直接应用】

若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．

（2）【变形应用】

若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________

（3）【探索应用】

在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S

①求S与x之间的函数关系式；

②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）1；2

（2）4

（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），

∴AC=x+3，BD= +2，

∴S= AC?BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；

②∵x＞0，

∴x+ ≥2 =6，

∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，

∴此时S=6+x+ 有最小值12，

∵x=3，

∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），

∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，

∴四边形ABCD为菱形．

【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，

y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =

（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；

【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成

一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．

5．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．

（1）点（2，1）的变换点坐标为________；

（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；

（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．

【答案】（1）（1，﹣2）

（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），

代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；

当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），

代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；

综上可知a的值为；

（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b 得：，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．

当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．

点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），

点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），

当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，

当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，

即y= x﹣3，其中，x＜2．

所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．

如图所示：

由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②

讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：

①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；

②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交

点；

③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；

④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；

⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；

⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．

【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，

∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），

故答案为：（1，﹣2）；

【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，

3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．

（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；

（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．

【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，

∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．

将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，

得：，

解得．

∴直线的解析式为y= x+2

（2）解：

当y= x+2=0时，x=﹣4，

∴点C（﹣4，0）．

设点P的坐标为（x，0），

∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），

∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，

解得：x1=﹣6，x2=﹣2．

∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．

【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出

点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．

7．如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A 点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．

（1）当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；

（2）当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．

（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；

②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．【答案】（1）解：联立l与C得，

①﹣②，得﹣x+2 ﹣ =0

化简，得x2﹣2 x+3=0

解得x1=x2= ，y1=y2= ，

直线l与双曲线C公共点的坐标为（，）

（2）解：证明：联立l与C得，

①﹣②，得

kx+2 ﹣ =0，

化简，得

kx2+2 x﹣3=0，

a=k，b=2 ，c=﹣3，

△=b2﹣4ac=（2 ）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，

∴kx2+2 x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；

x=﹣，y= ，

即P（﹣，）

（3）解：①PA=PB，理由如下：

y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；

当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），

P（﹣，），

PA= ，

PB= ，

∴PA=PB．

②P1A=P2B，理由如下：

y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；

当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），

联立l与C得，

①﹣②，得

kx+b﹣ =0，

化简，得

kx2+bx﹣3=0，

解得P1（，）P2（，）

P1A2=（）2+（）2，P2B2=（）2+

（）2，

∴P1A2=P2B2，

∴P1A=P2B

【解析】【分析】（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的

坐标，根据两点间距离公式，可得答案．

8．已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点 , 落在两个相邻的正整数之间，请写出这两个相邻的正整数；

（3）若反比例函数的图像与二次函数

的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足，试求实数的取值范围。

【答案】（1）解：抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)

将（0，—）代入，解得a= .

∴抛物线解析式为y=

（2）解：得,,,

∵点A在第一象限，故点A的坐标为（），∴交点的横坐标x0落在1和2之间 .

（3）解：由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，

对y1= ,y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），

y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1 ，

得

同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，

得K＜12。

所以K的取值范围为:.

【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）解联立反比例函数的解析式与抛物线的解析式组成的方程组求出其在第一象限内的交点的坐标，即可得出答案；

（3）根据抛物线的性质得出当2＜x＜3时，y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），y2随着X的增大而减小。因为A（X0， Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，从而列出不等式组，求解即可.

9．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.

（1）当∠BAC＝30o时，求△ABC的面积；

（2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，

∴BC= AB=5，

∴AC= ，

∴S△ABC= AC?BC=

（2）解：连接AD，

∵∠ACB=90°，CD=BC，

∴AD=AB=10，

∵DE⊥AB，

∴AE= =6，

∴BE=AB?AE=4，

∴DE=2BE，

∵∠AFE+∠FAE=90°，∠DBE+∠FAE=90°，

∴∠AFE=∠DBE，

∵∠AEF=∠DEB=90°，

∴△AEF∽△DEB，

∴ =2，

∴EF= AE= ×6=3

（3）解：连接EC，设E(x，0)，

当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；

①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，

又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，

∴，

∵EC是Rt△BDE斜边的中线，

∴CE=CB，

∴∠CEB=∠CBE，

∴∠EOF=∠CEB，

∴OF∥CE，

∴△AOF∽△AEC

∴，

∴，即，

解得x= ，因为x>0，

∴x= ；

②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，

若∠EOF=∠B，则OF∥BD，

∴OF= BC= BD，

∴即解得x= ，

若∠EOF=∠BAC，则x=? ，

综上点E的坐标为( ，0) ；（，0）；（?，0）.

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.

10．如图，抛物线与轴交于两点( 在的左侧)，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称.

（1）求抛物线的解析式及点的坐标:

（2）点是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点的坐标;

（3）点在轴上，且，请直接写出点的坐标.

【答案】（1）解：根据题意得，

解得

抛物线的解析式为

抛物线的对称轴为直线

点与点关于抛物线的对称轴对称

点的坐标为

（2）解：连接

点与点关于抛物线的对称轴对称.

为定值，

当的值最小

即三点在同一直线上时的周长最小

由解得，

在的左侧，

由两点坐标可求得直线的解析式为

当时，

当的周长最小时，点的坐标为

（3）解：点坐标为或

【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标.（2）A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，求出直线AD的解析式即可解决问题.（3）分两种情形①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA=∠DAC，满足条件.②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA=′CAD，满足条件，分别求解即可.

11．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．

（1）写出反比例函数y＝图象上的一个“和谐点对”；

（2）已知二次函数y＝x2+mx+n，

①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的

值；

②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．

【答案】（1）解：∵y＝，

∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；

（2）解：①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，

∴B点坐标为（﹣2，﹣4），

将A和B两点坐标代入y＝x2+mx+n，可得，

∴；

②如图：

（ⅰ） M点在x轴上方时，

若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，

∵A（2，4）且A和B为和谐点对，B点坐标为（﹣2，﹣4），

∴原点O在AB线段上且O为AB中点，

∴AB＝2OA，

∵A（2，4），

∴OA＝，

∴AB＝，

在Rt△ABC中，

∵O为AB中点

∴MO＝OA＝，

若∠AMB 为锐角，则；

（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得，，

综上所述，b的取值范围为：或．

【解析】【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．

12．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.

（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；

（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；

（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.

【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，

∴∠ADC=∠AEB=90°

∵二次函数与y轴交于点C，

点C坐标为（0，2）

∵点A坐标（3，3）

∴DA=AE=3

∵∠DAC+∠CAE=90°

∠EAB+∠CAE=90°

∴∠DAC=∠EAB

∴△ACD≌△ABE

∴EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

∴点B的坐标为（4，0）

将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中得：

解得：

二次函数的解析式为：

（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：

m1=1；m2= （舍）

∴m=1

∴点Q坐标为(1,4)

由勾股定理得：BC=2

设圆的圆心为N

∵圆经过点O，且∠COB=90°

∴BC是圆N的直径，

∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）

由勾股定理得，QN=