概率论(复旦三版)习题五答案
概率论与数理统计（复旦第三版）
习题五 答案
1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】设(1,2,3,4)i X i =表示第i 次掷的点数，则4 1i i X X ==∑ 22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666 i i E X E X =?+?+?+?+?+?==?+?+?+?+?+?= 从而 2 2291735()()[()].6212i i i D X E X E X ??=-=-= ??? 又1234,,,X X X X 独立同分布. 从而 44117()()()414,2 i i i i E X E X E X =====?=∑∑ 44113535()()()4.123 i i i i D X D X D X =====? =∑∑ 所以 2 35/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率 达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要 生产多少件？ 【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求， 令1, ,0,i i X i ?=??第个产品合格第个产品不合格. 1,2,,i n =， 则 12,,,n X X X 相互独立且服从相同的（0—1）分布，{}10.8i p P X === 现要求n ,使得 10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 查表知 1.64,42 = ,m =151. 所以供应电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压k V （1,2,,20k =），设它们是相 互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记 20 1k k V V ==∑，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知: ()5,()100/12(1,2, ,20)k k E V D V k ===。由独立同分布 的中心极限定理知，随机变量 201205 ~(0,1).10010020201212k k V Z N =-?==??∑近似的 于是 105205{105}1010020201212P V P ????-??>=>?????????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-??=>≈-Φ=????????? 即有 P {V >105}≈0.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批 木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率 是多少？ 【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）.由棣莫弗 — 拉普拉斯定理得 {30}1{30}111(2.5)0.0062P X P X P ??≥=-<=-<≈-Φ=-Φ= 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的 治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果 其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问 接受这一 断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问 接受这一 断言的概率是多少？ 【解】设1,,1,2,,1000,.i i X i ?==??第人治愈其他 ，则12100,, ,X X X 相互独立且服从相同的(01)-分布，因此 1001 ~(100,)i i X X B p ==∑ (1)当0.8p =时， ~(100,0.8)X B ，由 棣莫弗—拉普拉斯定理得 100 1{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1(1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ= (2) 当0.7p =时， ~(100,0.7)X B ，由棣莫弗—拉普拉斯定理得 100 1{75}1{75}1111(1.09)0.1379.i i P X P X P =>=-≤=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ=∑ 7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品 中，任取1000件，其中有20件废品的概率. 【解】设1000件中废品数为X ，则 0.8p =，1000n =， ~(1000,0.05)X B ， E (X )=50，D (X )=47.5. 由拉普拉斯局部极限定理得 130{20} 6.895 6.895P X ???=≈=- ??? 6130 4.510.6.895 6.895?-??= =? ??? 22(())x x e ?-=注： 8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命1230,,,T T T 服从参数0.1λ=（单 位：1h -）的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使 用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350 小时的概率. 【解】根据题意可知 11()10,0.1i E T λ= == 21()100,i D T λ== 且 301i i T T ==∑ ，故 ()1030300,E T =?= ()3000.D T = 根据独立同分布的中心极限定理得 {350}1{350} 111(0.913)0.1814.P T P T >=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ= 9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多 少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日， 每个工作日为8小时）. 【解】设一年中至少需要n 件电子器件，则 E (T i )=10，D (T i )=100， 1()10n i i E T n ==∑， 1()100n i i D T n ==∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 11030680.95n i n i i T n P T P =??-????≥?=≥=???????? ∑∑ 即 0.05Φ≈ 故 0.95, 1.64272.n =Φ=≈ 所以年计划中一年至少需要272a 元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量， 设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别 为0.05，0.8，0.15. 若 学校共有400名学生，设 各学生参加 会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长数X 超过450的概率？ （2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以(1,2,,400)i X i =记第i 个学生来参加会议的家长数.则 X i 的分布律为 易知E （X i =1.1）, D (X i )=0.19, i =1,2, (400) 而400 i i X X =∑,由独立同分布的中心极限定理得 400400 1.1 ~(0,1).4000.19419 i i X N -?=??∑近似地 于是{450}1{450}1419P X P X >=-≤≈-Φ ???? 1(1.147)0.1357.=-Φ= (2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8) 由拉 普拉斯中心极限定理得 {340}4000.80.24000.80.2(2.5)0.9938.4000.80.2P Y P ≤=≤????≈Φ=Φ=?? 11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男 孩的概率？ 【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515）. 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P {X ≤5000}. 由 棣莫弗—拉普拉斯定理得 {5000}100000.5150.485100000.5150.485(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X P ≤=≤??????≈Φ=Φ-=-Φ=?? 12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以95%概率估计，在一次行动中： （1）至少有多少个人能够按时进入掩蔽体？ （2）至多有多少个人能够按时进入掩蔽体？ 【解】引入新变量 1,1,2,,10000,.i i X i ?==? ?第人其按时进入掩他蔽体, ，则121000,,,X X X 相互独立，且服从相同的(01)-分布。 记 121000X X X X =++ +，则~(1000,0.9)X B (1) 设 至少有m 人能够按时进入掩蔽体，要求 P {m ≤X }≥0.95， 由棣莫弗—拉普拉斯定理知： {}1{}10.95.10000.90.1P m X P X m ≤=-<≈-Φ≥ ????? 从而 0.05,90Φ≤ ??? 故 1.65,90 =- 所以 m =900-15.65=884.35≈884人 (2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {X ≤M }≥0.95. {}0.95.909090P X M P ≤=≤≈Φ=?? 查表知 90 M =900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险 费，在一年一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公 司领得1000元赔偿费.求： （1）保险公司没有利润的概率为多大； （2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？