高数期中试卷A类(2013)
cos x 2013 级《高等数学》第一学期期中考试试题（A 类）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x → 0 时，与 - 1等价的无穷小是
（
）
（A ） x 4 x 2 x 2 ； （B ） - ； （C ） 4 2 x 2
； （D ） - 。
2
2. 设a 是常数，则 lim e -a n
=
（ ）
n →∞
（A ） 0 ； （B ） e -1 ； （C ）不存在； （D ）以上选项都有可能。
3. 设数列{a } 满足 lim a
n +1 = A > 0 ，则 （ ） n n →∞ a n
（A ）{a n } 有界；
（B ）{a n } 不存在极限； （C ）{a n } 自某项起同号； （D ）{a n } 自某项起单调。
4. 设 f ( x ) 在
x = x 0 不可导，则在 x = x 0 点一定不可导的是 （ ）
（A ）e f ( x ) ；
（B ） f ( x ) ；
（C ） f 2 ( x ) ； （D ）cos f ( x ) 。
5. 设 f ( x ) 在闭区间[a , b ] ( a > 0 )上有定义且单调增加。下列命题中 （1）若对于 x 0 ∈(a , b ) ， lim x → x 0
f ( x ) 存在，则 f ( x ) 在 x = x 0 点连续；
（2）若 f ∈ C [a ,b ]，则?x 0 ∈[a , b ] ，使得 f (b ) - f (a ) = 2 f ( x 0 ) ； （3）若 xf ( x ) 在[a , b ] 上单调减少，则 f ( x ) 在[a , b ] 上连续； 正确命题的个数为
（
）
（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 2 ；
（D ） 3 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6. 若设函数 f ( x ) 满足2 f (3x ) + f (2 - 3x ) = 6x + 1，则 f ( x ) = 。
7. 设 y = x 3 + 3x + 1，则
= 。
y =1
8. 曲线r = cos 2θ 在θ = π 4
处的切线方程为:
。
9. 已知
y = y ( x ) 由方程 x 2 y = e x - y 所确定，则 dy
= 。
dx 10. 若 y = (1 + x 2
)
arctan x
，则dy = 。
三、（每小题 8 分，共 24 分）
11. 用极限定义证明： lim x →+∞
1 + x
= 0 。
12. 设 f ( x ) 在 x = 1 点附近有定义， 且在 x = 1 点可导， f (1) = 0 ，
f (
sin 2 x + cos x
)
f '(1) = 2 ，求 lim 。
x →0 x 2
dx
dy 2x + x -2
2
?
? ? ?
? ?? - - ) 5
13. 求 lim x →0
(1 + x ) x - e 2 (1 - ln (1 + x )) x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知函数 ? f ( x ) = ? sin x , x x > 0 ，试确定常数 a 和 b ，使得 ??ax 2 + bx + 1, f ( x ) 二阶可导，并求 f ''( x ) 。
x ≤ 0 n k ? x 2k x 2k +1 ?
15. 记 f n ( x ) = ∑ (-1) k =0 (2k )! + (2k + 1)! ?
? x x 2 x 3 n ? x n 2 x n 2+ 1? ? = 1 + 1 - 2! - 3! + + (-1) (2n )! + (2n + 1)! ?? ， 求( f n ( x )sin x )
(2n +1)
x =0
，这里n 是非负整数。 五、（本题 10 分）
16. 求 f ( x ) =
x
1 + x 2
在区间(-2, 3) 上的最值。 六、（本题 12 分） 2
1
17. 全面讨论函数 y = x 3 (1 - x )3 的性态，并作出它的图形。
（ y ' = 1 3 1 2 x 3 ( 1 - x - 3 2 - 3)x ， y ' '= -2 9
4 x 3 ( 1 - x )- 3 ）
七、（本题 8 分） 18. 已知函数 y = f ( x ) 在 R 上二阶可导， 且有非零
x 0 ∈ R 使得
f ( x 0 ) = 0 。证明：
(1) ?η ∈ R ，使得η f '(η ) + f (η ) = 0 ； (2) 若 f ''( x ) 在R 上有界，则?ξ ∈ R ，使得
ξ f ''(ξ ) + (2 + ξ ) f '(ξ ) + f (ξ ) = 0 。
( 。