直线与平面垂直的典型例题

直线与平面垂直的典型例题

例1 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．

(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）

(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）

(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）

(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）

例2 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD

例3 如图，在△ABC 中，

90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥

例4如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ?=

例5如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离

例6 如图所示，直角ABC ?所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．

(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；

(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．

例7如图所示，?=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，?=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．

例8如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．

例9 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．

例10 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．

例11 如图，已知在ABC ?中，?=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．

求证：H 不可能是DBC ?的垂心．

例12 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．