2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学(理)试题
2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（理）试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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一、单选题
1．设集合{}290A x x =-<，{}B x x N =∈，则A
B =( ) A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,2
C ．{}0,1,2
D ．{}2,1,0,1,2-- 2．已知命题 :p x ?∈R ，sin 1x ，则
A ．:p x ??∈R, sin 1x
B ．:p x ??∈R, sin 1x
C ．:p x ??∈R, sin 1x >
D ．:p x ??∈R, sin 1x > 3．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．1
4．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )
A B C D ．5．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( )
A ．()()ln 1f x x =+
B ．()1
f x x -=
C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ?+≥?=?-+
D ．()()()()2,00,01,02x x x f x x x ? ????
?
6．若()cos cos2f x x =，则()sin15f ?=（ ）
A ．12
B ．12- C
． D
．2
7．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
8．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )
A ．18种
B ．36种
C ．54种
D ．72种
9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由
4
个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A ．413
B ．13
C ．926
D ．26
10．已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22
1255x y += B ．2213616x y += C ．2213010x y += D ．2214525
x y += 11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ??- ??
?()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )
A B ．15 C D 12．已知函数()e x
f x x
=,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )
A ．44,e e 1?
?--- ?+??
B ．()4,3--
C ．4e ,3e 1??--- ?+??
D ．4e ,e 1∞??--- ?+??
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
13．已知2=a ，3b =，a ，b 的夹角为30°，()()
2//2a b a b λ++，则()()a b a b λ+?
-=_________.
14．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为则该几何体外接球的表面积为__________．
15．设O 为坐标原点,(2,1)A ,若点B(x,y)满足22x y 111201x y ??+≤????≤≤????≤≤????
，则OA OB ?的最大值
是__________．
16．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_________.①()f x 是周期函数；②()f x 的对称轴方程为4k x π=，k ∈Z ；③()f x 在区间3,44ππ?? ???
上为增函数；④方程()65f x =
在区间3,02π??-????有6个根.
三、解答题
17．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90ABC ∠=，平
面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．
（1）求证：AB PE ⊥；
（2）求二面角--A PB E 的大小．
18．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.
（1）根据已知条件完成下面22?列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望()E ξ和方差()D ξ.
参考公式：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考临界值：
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求
12100c c c ++???+的值.
20．从抛物线C ：22x py =（0p >）外一点作该抛物线的两条切线P A 、PB （切点分别为A 、B ），分别与x 轴相交于C 、D ，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.
②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.
21．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-a g x x x x
，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.
（1）讨论()f x 的单调性
（2）求实数0x 和a 的值
（3
）证明()*
11ln(21)2=>+∈n k n n N 22．选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα
=??=?（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ-
=.
（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；
（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标. 23．已知,(0,)a b ∈+∞，(1)(1)a b b a -=-，()|21||2|f x x x =++-.
（1）求22a b +的最小值；
（2）若对任意,(0,)a b ∈+∞，都有()22()4f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出集合A ，与集合B 取交集即得.
【详解】
解不等式290x -<，得33x -<<，
{}33A x x ∴=-<<.
{}B x x N =∈，{}0,1,2A B ∴?=.
故选：C .
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
2．C
【解析】
试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ．
考点：全称命题与特称命题的否定．
3．A 【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
4．B
【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为1
3k '=-，即13b a =，所以e ==
，选B. 5．C
【解析】
【分析】
对选项逐个验证即得答案.
【详解】
对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x x
f x -==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；
当0x <时，()()()()
()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-； 又0x =时，()()000f f -=-=.
综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.
又0x ≥时，()()2
2211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，
()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正
确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.
故选：C .
本题考查函数的基本性质，属于基础题.
6．C
【解析】
由于sin15cos75=，所以()()3sin15
cos 75cos1502f f ===-，故选C. 7．D
【解析】
【分析】
根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．
【详解】
在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；
在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%?=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；
在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%?=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；
在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为
56%39.6%22.176%41%?=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有234336C A =种.
故选：B .
【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
9．A
【解析】
【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．
【详解】
在ABD ?中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=?
，由余弦定理，得
AB =
所以DF AB =.
所以所求概率为24=13
DEF ABC S S ??=. 故选A.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
10．B
【解析】
由题意可得
c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，
∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，
∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．
在Rt △PFF′中，由勾股定理，得
8==，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，
于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16， 所以椭圆的方程为22
13616
x y +=． 故选B ．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．
11．A
【解析】
【分析】 根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ?
?-=+- ???
，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12
s S ab C =，求出ABC 面积的最大值.
【详解】 ABC 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ??-=+- ??
?， 由正弦定理可得()()12a b a c b c b ??-=+- ??
?，整理得22212c a b ab =+-，
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44
C C C π=
∈=. D 是AB 的中点，且1CD =， ()()222,2CD CA CB CD
CA CB ∴=+∴=+，即22242CD CA CB CA CB =++， 即222211542cos 2222
b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85
ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.
ABC ∴
的面积118sin 225S ab C =≤?， 所以ABC
面积的最大值为
5
. 故选：A .
【点睛】
本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 12．A
【解析】 ()e x f x x ==e ,0e ,0x
x x x x x
?>????-时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x -===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当
()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x x f x x -
'-=>恒成立，
(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令
()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,
()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ??∈---
?+??. 13．1
【解析】
【分析】
由()()2//2a b a b λ++求出λ，代入()()
a b a b λ+?-，进行数量积的运算即得.
【详解】 ()()2//2a b a b λ++，∴存在实数k ，使得()22a b k a b λ+=+.
,a b 不共线，2,42k k
λλ=?∴∴=?=?. 2=a ，3b =，a ，b 的夹角为30°，
()()()()22
434a b a b a b a b a a b b λ∴+?-=+?-=+-
432cos30431?=+?-?=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.
14．12π
【解析】
三视图还原如下图：2AB BD CD BC ====，由于每个面是直角，显然外接球
球心O 在AC 的中点.所以R =，2412S R ππ==，填12π。
【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC 中点。
15【解析】
OA OB ?2x y =+ ,可行域如图，直线2x y m += 与圆221x y += 相切时取最大值，由
1,0m m =>?=
16．①②④
【解析】
【分析】
由函数()sin cos f x x x =+=
=对选项逐个验证即得答案. 【详解】
函数()sin cos f x x x =+== ()f x ∴是周期函数，最小正周期为2
π，故①正确； 当sin 21x =±或sin 20x =时，()f x 有最大值或最小值，此时22x t π
π=+
或2,x t t Z π=∈，即24t x ππ=
+或,2t x t Z π=∈，即,4
k x k Z π=∈. ()f x ∴的对称轴方程为4k x π=，k ∈Z ，故②正确； 当3,44x ππ??∈ ???时，2,232x ππ??∈ ???
，此时sin 2y x =在,42ππ?? ???上单调递减，在3,24ππ?? ???上单调递增，()f x ∴在区间3,44ππ?? ???
上不是增函数，故③错误； 作出函数()f x 的部分图象，如图所示
∴方程()65f x =在区间3,02π??-????
有6个根，故④正确. 故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.
17．(1)证明见解析；(2)60°.
【解析】
试题分析：
（1）连结PD ，由题意可得,PD AB ED AB ⊥⊥,则AB ⊥平面PDE ，AB PE ⊥；
（2）法一：，故二面角的A PB E --大小为60?；
法二：以D 为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE 的法向量(13,n =．平面P AB 的法向量为()20,1,0n =．据此计算可得二面角的A PB E --大小为60?.
试题解析：
（1）连结PD ，P A=PB ，PDAB ．//DE BC ，BCAB ，DEAB ．
又PD DE D ?=，AB 平面PDE ，PE ?平面PDE ，
∴ABPE ．
（2）法一：
平面P AB 平面ABC ，平面P AB 平面ABC=AB ，PDAB ，PD 平面ABC ．
则DEPD,又EDAB ，PD 平面AB=D ，DE 平面P AB,
过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EFPB ，∠DFE 为所求二面角的平面角，
则：DE=
32，DF =2，则DE tan DFE DF ∠==A PB E --大小为60? 法二：
平面P AB 平面ABC ，平面P AB 平面ABC=AB ，PDAB ，PD 平面ABC ．
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，
B (1，0，0)，P (0，0，)，E (0，32
，0)， PB =(1，0
，，PE =(0，32
，）． 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =，
30,30,2x y ?-=??=??
令z =
(13,n =． DE ⊥平面P AB ，∴平面P AB 的法向量为()20,1,0n =．
设二面角的A PB E --大小为，由图知，1212121,2
n n cos cos n n n n θ?==
=?， 所以60,θ=?即二面角的A PB E --大小为60?.
18．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，
65， 1825
. 【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80、[]80,100之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算2K 的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率p .由题意
()~3,B p ξ，求出分布列，根据公式求出期望和方差.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80之间的学生人数为0.01252020050??＝，在[]80,100之间的学生人数为0.00752020030??＝，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
又()222008*********.498 6.6351208011090
K ??-?=≈>???， 所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为8022005
p ==. 依题意知2~3,5B ξ?? ???，所以()3322C 155i i i
P i ξ-????==-
? ?????（0,1,2,3i =），所以ξ的分布列为
所以期望()26355E np ξ==?
=，方差()()22181315525D np p ξ??=-=??-= ???
. 【点睛】
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.
19．（1）证明见解析，21n n a =-；（2）11202.
【解析】
【分析】
（1）由n ，n a ，n S 成等差数列，可得2n n S n a +=，()1112n n S n a --+-=，两式相减，由等比数列的定义可得{}1n a +是等比数列，可求数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）中的n a 可求出n b ，根据n a 和n b 求出数列{}n a ，{}n b 中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】
（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，①
所以()1112n n S n a --+-=()2n ≥.②
①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥.
又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=，
故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，
所以11222n n n a -+=?=，即21n n a =-.
（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b ，
所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，
所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++
()()7127212107(1213)107214222772
212
-?+???=-+++-=-+??- 281072911202=-+=.
【点睛】
宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
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