2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
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2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合A ={x |x 2?2x >0},B ={x |?2 A ． y =x 12 B ． y =tan x C ． y =e x +e ?x D ． y =ln |x | 4．设:12,:21x p x q <，则p 是q 成立的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5．函数f (x )= sinxcosx x 2+1 的部分图象可能是 A ． B ． C ． D ． 6．在等差数列{a n }中， a 3+a 5=12?a 7，则a 1+a 9= A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 20 7．已知π 2<β<α<3 4π，cos(α?β)=12 13，sin(α+β)=?3 5，则sin2α= A ． 56 65 B ． ?56 65 C ． 65 56 D ． ?65 56 8．已知函数y =Asin (π 2x +φ)(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P,Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M,N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ =900，则A 的值为 A ． 2 B ． 1 C ． √3 D ． √2 9．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120°，AB =AD =1. 若点E 为边CD 上的动点，则AE ????? ·BE ????? 的最小值为 A ． 25 16 B ． 3 2 C ． 21 16 D ． 3 10．设{a n }是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n 是其前n 项的积，且K 5 的是 A ． 0 11．正ΔABC 边长为2，点P 是ΔABC 所在平面内一点，且满足BP =√32 ，若AP ????? =λAB ????? +μAC ????? ，则λ+μ的最小值是 A ． 1 2 B ． √52 C ． 2 D ． 2√3 3 12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，lnx ?f′(x) x f(x)，则使得(x 2? 4)f(x)>0成立的x 的取值范围是 A ． (?2,0)∪(0,2) B ． (?∞,?2)∪(2,+∞) C ． (?2,0)∪(2,+∞) D ． (?∞,?2)∪(0,2) 二、填空题 13．已知向量a ?=(1,2),b ??=(m,?1)，若a ?//(a ?+b ??)，则a ??b ??=__________． 14．已知1sin cos 5θθ+= ， ,2πθπ?? ∈ ??? ，则tan θ=__________． 此 卷 只 装 订不 密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 15．由曲线y =1 x ，y 2=x 与直线x =2，y =0所围成图形的面积为________． 16．在ΔABC 中，D 为BC 的中点，AC =2√3,AD =√7,CD =1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为_______. 三、解答题 17．已知等差数列{a n }的前n (n ∈N ?)项和为S n ，数列{b n }是等比数列，a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5?2b 2=a 3． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若c n =2 S n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ． 18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： （1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ?=b ?x +a ?； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为1 6，获得“二等奖”的概率为1 3．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额 X 的分布列及数学期望． 参考公式：b ?=∑x i y i n i=1?nxy ∑x i 2 n i=1?nx 2，a ?=y ??b ?x?，∑7i=1x i y i =364，∑7i=1x i 2=140． 19．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =2，∠ABC =60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，∠CAF =60°． （1）求证：BF ⊥AE ； （2）求二面角B ?EF ?D 的平面角的正切值． 20．已知椭圆E: x 2a 2 +y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率为12，且点P (1，3 2 )在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程； （2）过点M(1，1)任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m:3x +4y ?12=0交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为k 1、k 2、k 3．试探究k 1+k 2与k 3的关系，并证明你的结论． 21．已知函数f (x )=lnx +a x ?x +1?a (a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若存在x >1，使f (x )+x < 1?x x 成立，求整数a 的最小值. 22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ+π 6)?3=0，曲线C 的参数方程是{x =2cosφ y =2sinφ （φ为参数）． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 23．已知函数f (x )=|x +m |+|2x ?1|． （1）当m =?1时，求不等式f (x )≤2的解集； （2）若f (x )≤|2x +1|在x ∈[1，2]上恒成立，求m 的取值范围． 2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题 数学答案 参考答案 1．B 【解析】 【分析】 首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可. 【详解】 求解一元二次不等式x2?2x>0可得A={x|x>2或x<0}， 据此可知A∩B={x|?2 A∪B=R，选项B正确； 集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误； 本题选择B选项. 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．B 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算得到复数z，进而得到结果. 【详解】 因为(2?i)z=5，所以z=5 2?i =2+i，z=2?i，所以|z|=|z|=√5. 故选：B 【点睛】 复数的运算，难点是乘除法法则，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)， 则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac?bd+(ad+bc)i， z1 z2=a+bi c+di =(a+bi)(c?di) (c+di)(c?di) =(ac+bd)+(bc?ad)i c+d . 3．D 【解析】 【分析】 本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案。 【详解】 A项不是偶函数；B项不是偶函数；C项没有零点；故选D。 【点睛】 偶函数需要满足f(x)=f(?x)并且定义域关于y轴对称。零点就是函数与x轴有交点。 4．A 【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述， 的充分而不必要条件，所以正确选项为A. 考点：充分条件与必要条件. 【方法点睛】判断p是不是q的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当p 成立时，q也成立，就说p是q的充分条件，否则称为不充分条件；而当q成立时，p也成立则p 是q的必要条件，否则称为不必要条件；当p能证明q的同时q也能证明p，则p是q的充分条件．5．B 【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除A,C,再排除D. 详解：由题得f(?x)=sin(?x)cos(?x) x2+1 =?sinxcosx x2+1 =?f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以排除A,C. 当x=0.0001时，f(x)>0，所以排除D,故答案为：B. 点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证. 6．A 【解析】 由题意，数列{a n}为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，a3+a5+a7=3a5=12，则a5=4，所以a1+a9=2a5=8.故选A. 7．B 【解析】 【分析】 本题可以先通过题意计算出sin(α?β)以及cos(α+β)的值， 再通过sin2α=sin(α?β+α+β)解得sin2α的值。 【详解】 因为π 2 <β<α<3 4 π，cos (α?β)= 1213 ，sin (α+β)=?3 5， 所以sin (α?β)= 513 ，cos (α+β)=?4 5， sin (α?β+α+β)=sin (α?β)cos (α+β)+cos (α?β)sin (α+β) =5 13×(?4 5)+12 13×(?3 5)=?56 65， 故选B 。 【点睛】 在计算三角函数的时候，对于公式的灵活运用十分重要，比如说sin2α即可化简成sin (α?β+α+β)的值。 8．C 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，求出函数的周期，利用三角函数的图像和性质即可得到相应的结论. 详解：过Q,P 分别作x 轴的垂线，垂足为B,C ， 因为函数的周期为T = 2π π2 =4，所以MN =2,CN =1， 因为∠PMQ =90°，所以PQ =2MN =4，即PN =2， 则PC =√PN 2?NC 2=√4?1=√3，即A =√3，故选C. 点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的问题，在解题的过程中，需要关注题的条件，找出对应的线段的长度，利用直角三角形的特征，列出相应的等量关系式，求得结果. 9．C 【解析】 【分析】 根据条件，选取AB ????? ,AD ????? 为基底，设DE ????? =λDC ????? ,即可表示出AE ????? ,BE ????? ，利用向量的数量积公式得到关于λ的函数，求其最值即可. 【详解】 由题意知,RTΔADC ?RTΔABC ,所以∠DAC =∠BAC =60°,AC =2,DC =√3 设DE ????? =λDC ????? , 因为AE ????? =AD ????? +DE ????? ,BE ????? =BA ????? +AD ????? +DE ????? ， 所以AE ????? ?BE ????? =(AD ????? +DE ????? )?BE ????? = (AD ????? +λDC ????? )?(BA ????? +AD ????? +DE ????? )=1×1×cos60°+12+λDC ????? ?BA ????? +λ2|DC ????? |2 = 3 2 +λ（AC ????? ?AD ????? )?BA ????? +3λ2 =3 2+λ(2×1×cos120°?1×1×cos60°)+3λ2=3 2?3 2λ+3λ2 =1 2 （6λ2?3λ+3） （0≤λ≤1） 所以当λ=1 4时，AE ????? ?BE ????? 有最小值2116 ,故选C. 【点睛】 本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难题，解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角. 10．C 【解析】分析：利用等比数列a n =a 1q n?1的通项公式，解出K n 的通项公式，化简整理K 5 详解：设等比数列a n =a 1q n?1，K n 是其前n 项的积所以K n =a 1n q n(n?1) 2 ，由此 K 5 由1 1=a 1q 6，K n =a 1n q n(n?1)2 ，可知K n =a 1n q n(n?1)2 =q n(n?13) 2 ，由0 n(n?13) 2 在n =6,7时取最小值，所以K n 在n =6,7时取最大值，所以D 正确。 故选C 点睛：本题应用了函数的思想，将等比数列当作指数型函数对其单调性进行研究，K n 为复合函数，对于复合函数的单调性“同增异减”。 11．A 【解析】 【分析】 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴，将向量都坐标化，由AP ????? =λAB ????? +μAC ????? 可得：{ x ?1=?λ+μy ?√3=?√3λ?√3μ ，故λ+μ=?√33y +1，进而得到最值. 【详解】 如图：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴 则A(1，√3)，B(0，0)，C(2，0) 设P(x ，y)，∵BP = √32 则P 点轨迹为x 2+y 2=3 4 由AP ????? =λAB ????? +μAC ????? 可得：{x ?1=?λ+μy ?√3=?√3λ?√3μ 故λ+μ=?√33 y +1 当y = √3 2 时，(λ+μ)min =1 2 故选A 【点睛】 这个题目考查了向量坐标化以及建系方法在向量中的应用，(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 12．D 【解析】 【分析】 构造函数g (x )=lnx ?f (x )(x >0)，可得g (x )在(0,+∞)上为减函数，可得在区间(0,1)和(1,+∞)上，都有f (x )<0，结合函数的奇偶性可得在区间(?1,0)和(?∞,?1)上，都有f (x )>0，原不等式等价于{x 2?4>0f (x )>0 或{x 2?4<0f (x )<0 ，解可得x 的取值范围，即可得到结论. 【详解】 根据题意，设g (x )=lnx ?f (x ),(x >0)， 其导数g′(x )=(lnx )′f (x )+lnxf′(x )=1 x f (x )+lnxf′(x )， 又由当x >0时，lnx ?f′(x ) x f (x )， 则有g′(x )=1 x f (x )+lnx ?f′(x )<0， 即函数g (x )在(0,+∞)上为减函数， 又由g (1)=ln1?f (1)=0， 则在区间(0,1)上，g (x )=lnx ?f (x )>0， 又由lnx <0，则f (x )<0， 在区间(1,+∞)上，g (x )=lnx ?f (x )<0， 又由lnx >0，则f (x )<0， 则f (x )在(0,1)和(1,+∞)上，f (x )<0， 又由f (x )为奇函数，则在区间(?1,0)和(?∞,?1)上，都有f (x )>0， (x 2?1)f (x )>0?{x 2?4>0f (x )>0 或{x 2?4<0f (x )<0 ， 解可得x 则x 的取值范围是(?∞,?2)∪(0,2)， 故选D. 【点睛】 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。 13．?5 2 【解析】 【分析】 本题可以先将a ?+b ??采用坐标表示出来，再通过a ?//(a ?+b ??)解出m 的值， 最后得出a ??b ??的值。 【详解】 因为a ?=(1,2),b ??=(m,?1)， 所以a ?+b ??=(1+m ，1)， 因为a ?//(a ?+b ??)， 所以2(1+m )=1，解得m =?1 2，b ??=(?12 ,?1) 既有a ??b ??=?52。 【点睛】 本题考察的是向量的乘积，若有a ?=(n,m )，b ??=(c,d)，则有a ??b ??=nc +bd 。 14．4 3 - 【解析】由题设可得1242sin cos 102525 θθ=-=-<，则sin 0,cos 0θθ><，所以()2 2449sin cos 12525θθ-=+=，即7sin cos 5θθ-=，与1sin cos 5 θθ+=联立可得 43sin ,cos 55θθ==-，故sin 4cos 3θθ=-，应填答案43 -。 点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先求出7sin cos 5θθ-=，再与1 sin cos 5 θθ+=联立 求得43sin ,cos 55θθ==-，进而求得sin 4 cos 3 θθ=-，从而使得问题获解。 15．2 3+ln2 【解析】 【分析】 本题可以先将曲线y =1 x ，y 2=x 与直线x =2，y =0所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积。 【详解】 由题意可知，面积为： ∫√xdx 10 +∫ 1x dx 21 =(23x 32)|10 +(ln x )|21 =2 3 +ln2。 【点睛】 本题考察的是求不规则图形的面积，需要对微积分以及定积分有着相应的了解。 16． 3√3 2 【解析】分析：首先判断出点P 所在的位置具备什么样的条件，之后将四边形分成两个三角形来处理，由于一个三角形是定的，所以四边形的面积最大转化为三角形的面积最大，从而得到点P 到AC 距离最大，之后再转化为点B 到AC 的距离最小，综合得到BP 和AC 垂直时即为所求，从而求得结果. 详解：根据题意可以求得cos∠ACD =2×1×2 3 = √3 2 ， 所以∠ACD =30°，则点B 到边AC 的距离为2×1×sin30°=1， 因为点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ， 所以点P 在以B 为圆心，以2为半径的圆上， 只有当点P 到线AC 距离最大时，满足面积最大， 此时就是B 到线AC 距离最小时，此时P 到线AC 距离为2?1=1， 此时四边形的面积分成两个小三角形的面积来求，S =12 ×1×2√3×12 +1 2 ×2√3×1= 3√3 2 . 点睛：该题考查的是有关动四边形的面积的最大值的求解问题，在解题的过程中，关键的一步是转化为点B 到AC 距离最短时即为所求，从而得到此时BP 和AC 垂直，所以，在求解的时候，可以找四边形的面积，而不是化为两个三角形的面积和，应用四边形的两条对角线互相垂直，从而利用公式求得结果. 17．（1）a n =2n +1，b n =2n?1；（2）3 2?1 n+1?1 n+2 【解析】 【分析】 （1）可以通过a 1=3、b 1=1、b 2+S 2=10、a 5?2b 2=a 3以及等差数列与等比数列的性质列式解出公差和公比，再求出对应的通项公式。 （2）可以先通过写出S n 解析式来得出数列{c n }的通项公式，再通过裂项相消法得出数列{c n }的前n 项和T n 。 【详解】 （1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 因为a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5?2b 2=a 3， 所以{q +3+3+d =103+4d ?2q =3+2d ， 所以d =2，q =2，所以a n =2n +1，b n =2n?1。 （2）由（1）知，S n =n (3+2n+1) 2 =n (n +2)， 所以c n =1 n ? 1n+2， 所以T n =1?1 3+1 2?1 4+1 3?1 5+...+1 n?1?1 n+1+1 n ?1 n+2=3 2?1 n+1?1 n+2。 【点睛】 对于等差数列有a n =a m +(n ?m )d ，对于等比数列有a n =a m q n?m 。 18．（1）y ?=2x +3；（2）见解析 【解析】 试题分析： （I ）由题意可得x =4，y =11，则b ?=2，a ?=3，y 关于x 的线性回归方程为y ?=2x +3． （II ）由题意可知二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：P (X =0)=1 4，P (X =300)=1 3，P (X =600)=5 18，P (X =900)=1 36．据此可得分布列，计算相应的数学期望为EX =400元． 试题解析： （I ）依题意：x =1 7(1+2+3+4+5+6+7)=4， y =17(5+8+8+10+14+15+17)=11，∑x i 27 i=1=140，∑x i y i =3647i=1， b ?=∑x i y i ?7xy 7 i=1∑ x i 2?7x 2 7i=1 = 364?7×4×11140?7×16 =2，a ?=y ?b ?x =11?2×4=3， 则y 关于x 的线性回归方程为y ?=2x +3． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为： P (X =0)=1 2 ×1 2 =1 4 ，P (X =300)=2×1 2 ×1 3 =1 3 ，P (X =600)=1 3 ×1 3 +2×1 2 ×1 6 = 518 ， P (X =900)=2×13×16=19，P (X =1200)=16×16=1 36． 所以，总金额X 的分布列如下表： 总金额X 的数学期望为EX =0×1 4+300×1 3+600×5 18+900×1 9+1200×1 36=400元． 19．（1）见解析；（2）9 7 【解析】分析：（1）线线垂直的证明通常证明线面垂直即可，证BC ⊥平面ACEF 即可得出结论；（2）求二面角的正切值则直接建立空间坐标系求出两面的法向量然后借助向量交角公式求出余弦值再反求正切值即可. （1）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =2√3，AB =4， ∵BC =2，∴AC 2+BC 2=AB 2，即BC ⊥AC ， ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACEF ， 而AE ?平面ACEF ，∴AE ⊥BC ， 连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE ⊥FC ，∴AE ⊥平面BCF ， ∵BF ?平面BCF ，∴BF ⊥AE ． （2）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形ACEF 是菱形，且∠CAF =60°， 所以由平面几何易知MC ⊥AC ， ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，∴MC ⊥平面ABCD ． 故可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为C(0,0,0)，A(2√3,0,0)，B(0,2,0)，D(√3,?1,0)，E(?√3,0,3)，F(√3,0,3)， 设平面BEF 和平面DEF 的一个法向量分别为n 1???? =(a 1,b 1,c 1)，b 2???? =(a 2,b 2,c 2)， ∵BF ????? =(√3,?2,3)，EF ????? =(2√3,0,0)， ∴由{BF ????? ?n 1???? =0,EF ????? ?n 1???? =0, 即{√3a 1?2b 1+3c 1=0,2√3a 1=0, 即{a 1=0,2b 1=3c 1, 不妨令b 1=3，则n 1???? =(0,3,2)， 同理可求得n 2???? =(0,3,?1)， ∴cosθ=n 1????? ?n 2 ????? |n 1 ????? |?|n 2 ????? | =√ 130 ，故二面角B ?EF ?D 的平面角的正切值为9 7． 点睛：考查立体几何中的线线垂直、二面角问题，这都是比较常见的题型和方法，熟悉判定定理和常规解题思路即可，属于一般题. 20．（1）x 24 + y 23 =1；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由离心率为12可知a =2c ，再通过点P (1，3 2)在椭圆E 上可得椭圆E 的方程； （2）可先将直线l 的方程设出，再通过椭圆E 方程联立得x 1+x 2与x 1x 2的值，再解出k 1+k 2以及k 3的值，即可证明得出结论。 【详解】 （1）因为椭圆E:x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)的离心率为1 2 ， 所以e = c a =12 ?a =2c ， 因为a 2=b 2+c 2，所以b =√3c ．故可设椭圆E 的方程为：x 2 4c 2+ y 23c 2 =1， 因为点P (1，3 2)在椭圆E 上， 所以将其代入椭圆E 的方程得1 4c 2+9 4 3c 2 =1?c 2=1． 所以椭圆E 的方程为x 2 4+ y 23 =1． （2）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：y ?1=k (x ?1)， 即y =kx ?k +1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)为l 与椭圆E 的两个交点． 将y =kx ?k +1代入方程3x 2+4y 2?12=0化简得： (4k 2+3)x 2?8(k 2?k )x +4k 2?8k ?8=0． 所以x 1+x 2= 8k 2?8k 4k +3 ，x 1x 2= 4k 2?8k?84k +3 ． 所以k 1+k 2= y 1? 32 x 1?1+ y 2? 32 x 2?1 = k (x 1?1)?12 x 1?1 + k (x 2?1)?12 x 2?1 =2k ?12( 1 x 1?1 + 1x 2 ?1 ) =2k ?1 2?x 1+x 2?2x 1x 2?(x 1+x 2)+1 =2k ?12 ? 8k 2?8k?2(4k 2+3) 4k 2?8k?8?(8k 2?8k )+(4k 2+3) = 6k?3 5 ． 又由{y =kx ?k +13x +4y ?12=0 ?3x +4(kx ?k +1)?12=0，解得x =4k+84k+3，y =9k+3 4k+3， 即C 点的坐标为C ( 4k+8 4k+3 ，9k+3 4k+3)，所以k 3= 9k+34k+3?3 24k+8 4k+3 ?1= 6k?310 ． 因此，k 1+k 2与k 3的关系为：k 1+k 2=2k 3。 【点睛】 本题是圆锥曲线中的椭圆类题目，在解决这类题目时，需要对相关的性质有着足够的了解以及扎实的计算能力，并且能够对x 1+x 2与x 1x 2进行灵活运用。 21．（1）当a ≤0时，x ∈(0,1+√1?4a 2 )，f(x)单调递增，当x ∈( 1+√1?4a 2 ,+∞)时， f(x)单调递 减；当0 4 时，f(x)在（ 1?√1?4a 2 ， 1+√1?4a 2 ）上单调递增，在（0， 1?√1?4a 2 ），( 1+√1?4a 2 ,+∞) 上单调递减；当a ≥14 时，f(x)在(0,+∞)上单调递减； （2）5. 【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论a ≤0、0 4 、a ≥1 4 时三种情况的单调性(2)分离含 参量a > xlnx+2x?1 x?1 ，构造新函数，g(x)= xlnx+2x?1 x?1 ，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，x >0，f ′ (x)=1 x ?a x 2?1=?x 2+x?a x 2 ， 方程?x 2+x ?a =0对应的Δ=1?4a ， 当Δ=1?4a ≤0，即a ≥1 4时，当x ∈(0,+∞)时，f ′(x)≤0， ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；K 5 D ． K 6与K 7均为K n 的最大值
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