利用函数的最值求不等式恒成立问题
考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题
例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3．
（1）求b a ,的值；
（2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+
依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k
()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a
（2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f
17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x
要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A
2004≥∴A
变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈
（Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a .
（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为
自然对数的底数）.
【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a
f x x a x x a x x x
-=-+=-+-￠ 因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠
解得a e =或3a e =．
经检验，符合题意，所以a e =，或3a e =
（II ）①当031a
4f x e ?成
立，即1
03a
符合题意 ②当31a >时即1
3
a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下
研究函数在(1,3]a 上的最大值，
首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应
有
224ln34a a e ￡，即22ln3a a e ￡
故参数a 的取值范围是1
03
a
或13a >，且22ln3a a e ￡.
同步训练
1、(2011·荆州质检题)函数3()31f x ax x =-+对于[1,1]x ?总有()0f x 3成立，则a 的取值为( ) A ．[2，＋∞)
B ．[4，＋∞)C．{4}
D ．[2,4]
【解析】2()33f x ax =-￠，当0a ￡时，min ()(1)20f x f a ==-?，2a 3，不合题意； 当01a
=-=-
￠，)(x f 在[－1,1]上为减函数，
min ()(1)20f x f a ==-?，2a 3，不合题意；当1a >时，(1)40f a -=-+?且
10f
=-+?，解得4a =.综上所述，4a =，故选C.答案：C
2、设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ,定义函数
??
?>≤=K x f K K
x f x f x f k )(,)(),()(取函数x e x x f ---=2)(.若对任意的),(+∞-∞∈x ,恒有)()(x f x f k =,则( )
A.K 的最大值为2
B.K 的最小值为2
C.K 的最大值为1
D.K 的最小值为1 【解析】 因为()()K f x f x =恒成立，所以K ≥()f x =2x x e ---
01
1)(=+
-='x e
x f 时，解得0=x 故)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ；),0(+∞∈x 时0)(<'x f
所以),(x f 在)0,(-∞∈x 上为单调递增函数；在),0(+∞∈x 上为单调递减函数。 在0=x 处取得最大值1)0(max =f ，即1≥K 。答案：D
3、设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ￠，且22()()f x xf x x +>￠，下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）
A 、()0f x >
B 、()0f x <
C 、()f x x >
D 、()f x x < 【解析】可令211
()22
f x x =+，则()f x 满足条件，验证各个选项，知B 、C 、D 都不恒成
立，故选A.
4、（2012辽宁文）设()ln 1f x x ，证明： （1）当1x >时，3
()(1)2
f x x <- （2）当13x <<时，9(1)
()5
x f x x -<
+
【解析】（1）记3
()ln 1(1)2
g x x x =--
-，则当1x >时， 13()0
2
g x x =-<￠，又(1)0g =，故 ()0g x <，即3
()(1)2
f x x <-
（2）记9(1)
()()5x h x f x x -=-+，则当13x <<时，由（1）得
22
15454()(5)(5)h x x x x =
-=-++￠ 322
554(5)2164(5)4(5)
x x x
x x x x ++-<-=++ 令3()(5)216,13l x x x x =+-<<，
2()3(5)2160l x x =+-<￠
因此()l x 在(1,3)内是递减函数，又由(1)0l =，得()0l x <，所以()0h x <￠. 所以，()h x 在(1,3)内是递减函数，又(1)0h =，所以()0h x <
于是，当13x <<时，9(1)
()5
x f x x -<
+. 5、（2012辽宁理）设()(
)()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线()=y f x 与直线
3
=
2y x
在()0,0点相切.
（1）求,a b 的值；
（2）证明：当0<<2x 时，()9<
+6
x
f x x 【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得=-1b
由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为
32
，又=0=013'==++12
x x y a a x ??
???，得=0a （2）（证法一）由均值不等式，当>0x 时，
+1+1=+2x x
+12
x
记()()9=-+6x h x f x x ，则(
)(
)()()()222
15454+654
'=<-+14+1+6+6+6x h x x x x x x ()()()()
3
2
+6-216+1=4+1+6x x x x ，令()()()3=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时，
()()2
'=3+6-216<0g x x
因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，
于是当0<<2x 时， ()9<
+6
x
f x x 6、（2012新课标理）已知函数()f x 满足满足12
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+
； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x ax b ≥
++，求(1)a b +的最大值。 【解析】（1）12
11()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f =
12
11()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e x x f f e f e --'''=-+
?==?= 得：2
1()()()12
x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+
()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<
得：()f x 的解析式为21()2
x f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +<时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增
x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +=时，0x b e b ≤?≤
③当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+
22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>
令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>?<
当x =max ()2
e F x =
当1,a b ==(1)a b +的最大值为2
e
7、已知函数()2(),f x x bx c b c R =++∈，对任意的R x ∈，恒有()()x f x f ≤'。 （Ⅰ）证明：当0≥x 时，()()2
f x x c <+；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意,,c b 不等式()()()22b c M b f c f -≤-恒成立，求M 的最小值. 【解析】（Ⅰ）∵对任意的R x ∈，恒有()()'f x f x ≤∴2()2f x x b x bx c =+≤++￠
即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立， ∴22(2)4()440b c b b c ---=+-≤
①
∴2444,1c b c >+≥∴>
又224(1)4,22b c c c b c <-<∴-<<
222()()(2)x c x bx c c b x c c +-++=-+-，∵0,2x b c ≥<
∴2222()()(2)(1)0x c x bx c c b x c c c c c c +-++=-+-≥-=-> 所以2()()f x x c <+.
（Ⅱ）222222()()()()()(2)()f c f b c bc c b b c c b bc b c b c b -=++-++=-+-=+-
22()()()M c b M c b c b -=+-
因为2(2)4()0b c b ---≤，即2
(2)
()04
b c b --≥
≥，因此有0c b -≥ 不等式()()()22b c M b f c f -≤-恒成立，即2()c b M c b +≤+， ∴(1)()b M c b ≤-+ ②
由①式得2
44c b ≥+，则
114c b b b ≥+≥=，∴c b ≥ ∴2c b b +≥ ③
由②③式得2(1)1M -≥，解得3
2
M ≥，所以M 的最小值为32.
8、设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 【解析】（Ⅰ）由题意)(x f 的定义域为(0,)+?
2222()2a x ax a f x x a x x
-++=-+=￠
令2
2
()2g x x ax a =-++，222
2max 9()()04848
a a a g x g a a ==-++=> ∴()0f x >￠，即)(x f 的单调减函数区间为(0,)+? （Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 在(0,)+?上单调递增
则222
(1)11
()f a e f e a e ea e
ì=-+??í=-+???，解得：a e = 所以，当a e =时，2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立.
9、（2012湖北）设函数()(1)(0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，,a b 为常数，曲线
()y f x =
在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. （1）求,a b 的值；
（2）求函数()f x 的最大值；
（3）证明：1
()f x ne
<.
【解析】（1）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =，
∵1()(1)n n f x anx a n x -=-+￠ ∴(1)f a =-￠ 又∵切线1x y +=的斜率为1-∴1a = 故0b =，1a =
（2）由（1）知1()(1)n n n f x x x x x +=-==∴1()(1)()1
n n
f x n x x n -=+-+￠ 令()0f x =￠，解得1n x n =+，即()f x ￠在(0,)+?上有唯一零点01
n x n =+. 在(0,
)1n
n +上()0f x >￠，故()f x 单调递增； 而在(,)1
n
n +?+上，()0f x <￠，()f x 单调递减.
故()f x 在(0,)+?上的最大值为1
()()(1)111(1)
n
n n n n n n f n n n n +=-=++++. （3）令1()ln 1(0)t t t t j =-+>，则22111
()(0)t t t t t t
j -=-=>￠
在(0,1)上，()0t j <￠，故()t j 单调递减； 而在(1,)+?上，()0t j >￠，()t j 单调递增. ∴()t j 在(0,)+?上的最小值为(1)0j =. ∴()0(1)t t j >>，
即1
ln 1(1)t t t >->
令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln n n e n ++>，所以1
1()n n e n
++>，
即1
1(1)
n n n ne n +<+. 由（2）知，1
1
()(1)n
n n f x ne
n +?
+故所证不等式成立.
利用函数的最值求不等式恒成立问题
考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题 例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3． （1）求b a ,的值； （2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为 自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠ 因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠ 解得a e =或3a e =． 经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下 研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应
函数不等式恒成立问题经典总结
函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒 编号：2007-HX-001 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 [文档副标题] [日期] 福建省长乐第一中学教科室 [公司地址] 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++= 对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例 3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2, 0πθ时，有() ()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数. （1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤，不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围 例7、已知函数32 3()(1)132 a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2. 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围. 4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围． 不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A （2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f 2、主参换位法 例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围. 例7.已知函数1)1(2 33)(2 3+++-= x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值； （3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。 例8．当)2,1(∈x 时，不等式042 <++mx x 恒成立，求m 的取值范围. 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设，<1）上恒成立 ；<2）上恒成立。 类型2：设 <1）当时，上恒成立 ， 上恒成立 <2）当时，上恒成立 上恒成立 类型3： 。 类型4： 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有： 例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范 围。 解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为： ，；令，则时， 恒成立，所以只需即，所以x的范围是。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有： <1）上恒成立； <2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 <1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； <2）时，只需，所以，。 三、利用函数的最值<或值域） <1）对任意x都成立； <2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在ABC中，已知恒 成立，求实数m的范围。 解读：由 ， ，恒成立，，即 恒成立， 例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读：因为函，显然函数有最 大值，。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： <2）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变 化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知，求实数a的取值范围。 解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数 在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在 在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 专题一： 函数与不等式恒成立 （一） 利用判别式 本类型题源自初中，对x ∈R 适用。 例1 若y=lg ［x 2 +（k+2）x+5 4］的定义域为R ，则求k 的取值范围。 解：转化为x 2 +（k+2）x+5 4＞0对x ∈R 恒成立。 ?= （k+2）2-4 ·5 4 ＜0 （k+2）2＜5 ∴k ∈（-2-5，5-2） 练习1若ax 2+x+a ＜0解集为?，求a 范围。 解：转化为ax 2+x+a ≥0解集为R 。 ①a=0，x ≥0（舍） ②a ＞0，?≤0 ∴a ≥12 综合得：a ≥ 12 2 若x ∈R ，sin x 2 +2kcosx-2k-2＜0恒成立,求k 的取值范围。 解：转化为cosx 2-2k cosx+2k+1＞0 ①?＜0 即k ∈（1-2，1+2）成立 ②?=0 即k=1-2，1+2代入得k=1+2 ?＞0 ③ f （1）＞0 得k ＞1+2 k ≥1 综合得①②③：k ＞1-2 （二） 利用变量分离 练习2的另解：2k ＞2cos 1 cos 1 x x +- 令t=cosx-1∈【-2,0】 当cosx-1=0代回原式成立 当t= cosx-1∈【-2,0）时 2k ＞t+ 2t +2 （t+ 2 t +2）最大值为2-22 ∴k ＞1- 2 注：利用变量分离要擅长求各种基本函数的值域，诸如一次函数，二次函数， 反比例函数，耐克函数，幂指对数函数，三角及利用单调性求值域。 练习 1 已知f （x ）= 2x - 12 x ∣∣ 。①若f （x ）=2，求x 的值。②若2t f （2t ）+m f （t ）≥0 对于t ∈【1,2】恒成立，求实数m 的取值范围。（2008上海市高考题19） 解：①x ＜0，f （x ）=0（舍）； x ＞0，f （x ）=2x -1 2 x =2, ∴x=㏒2(12)+ ②t ∈【1, 2】，2,t （2,2t - 212t ）+m （2t - 1 2 t ）≥0 2,t （2,t +1 2 t ）+m ≥0 2,2t +1≥-m ∴m ∈【-5,+∞】 注：去绝对值和对含字母代数式因式分解是基本功。 2 已知二次函数f （x ）=x 2+bx+1（b ∈R ）满足f （-1）= f （3）。x ＞1时f （x ）反 函数为f ,-1（x ），且f ,-1（x ）＞m （m-x ）在x ∈【14,1 2 】恒成立，求实数m 的取值 范围。 解：- 2 b =1 ∴b=-2 ∴f （x ）= x 2-2x+1=（x-1）2 当x ＞1时，f ,-1（x ）= x +1（x ＞0） x +1＞m 2-m x （m+1）x ＞m 2-1 ① m= -1（舍） ② m ＞-1， x ＞m-1 ∴m -1＜12 ∴-1＜m ＜3 2 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 不等式恒成立求参数的取值范围 武汉市第四十九中学 李清华 邮政编码；430080 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固 练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x∈[-1，1]，所以a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 2.8 函数图象高与低差值正负恒成立 【题型综述】 恒成立问题常见类型及解法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。 一、一次函数型 给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的 图象（线段）可得①0()0>??>?k f m 或②0()0?k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>??>?， 同理，若在[,]m n 内恒有()0 及二次函数的图象求解。 典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。 【解析】方法1（利用韦达定理） 设3x =t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2 +(4+a )t+4=0有正根。 1212 Δ0 (4)040 ≥?? ∴+=-+>??=>?g x x a x x ，即2(4a)160a 4?+-≥?<-?，a 0a 8a 4≥≤-?∴?<-?或，解得a ≤-8. 方法2（利用根与系数的分布知识） 即要求t 2 +(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2 +(4+a )t+4. 当?=0时，即（4+a ）2 -16=0,∴a =0或a =-8. 当a =0时，f(t)=(t+2)2=0,得t=－2<0，不合题意； 当a =－8时，f(t)=(t-2)2 =0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。 当?>0，即a <-8或a >0时， ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a 02 +->，即a <－4.∴a <－8. 综上可得a ≤－8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例3设函数2 ()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 【解析】依据题意得2 2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成 立，即2 2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53 -， 所以 221543-≤-m m ，即22(31)(43)0+-≥m m ，解得2≤-m 或2 ≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数 函数恒成立 专题01：可求最值型 基础知识：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立，等价于()0≥min x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立，等价于()0≤max x f 。 【例1】【重庆文】若对任意的0>x ，24423ln 12)(c c x x x x f ->--=恒成立，求c 的取值范 围。 【例2】函数1)1ln()1()(+-++=kx x x x f 在区间),1(+∞-上恒有0)(>x f ，求k 可以取到的最 大整数。 【变式1】函数)0(ln )(,42)(2>=+-=a x a x g x x x f ，若)(4)(x g x x f -≤恒成立，求a 的取值 范围。 【变式2】【2012新课标文】设函数()2--=ax e x f x Ⅰ 求)(x f 的单调区间； Ⅱ 若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最大值。 【变式3】【2012新课标理】已知函数)(x f 满足212 1)0()1()(x x f e f x f x +-'=- Ⅰ 求)(x f 的解析式及单调区间； Ⅱ 若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的值。 专题02：分离变量型 基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟 【例1】【2010天津】函数1)(2-=x x f ，对任意 )(4)1()(4)(,,232m f x f x f m m x f x +-≤-?? ? ???+∞∈ 恒成立，求实数m 的取值范围。 【变式1】【2010安徽】若不等式0)1)((22≤++-x x a a 对一切(]2,0∈x 恒成立，求a 的取值范 围。 【例2】若函数x ax x x f 1)(2++=在?? ? ???+∞,21上单调递增，求a 的取值范围。 【变式2】【2012湖北】若)2ln(2 1 )(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，求b 的取值范围。 【变式3】【2014江西】已知函数)(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=，若)(x f 在区间)3 1 ,0(上单 调递增，求b 的取值范围。 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值围。 例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试数a 的取值围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当 ??? ??∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒 成立，数m 的取值围. 例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对 []1,2x ∈恒成立，数a 的取值围 例6、若对于任意 1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，数x 的取值围 例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，数x 的取值围． 3、分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为 ()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值围是 . 例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值围. 4、数形结合 例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值围是________ 例11、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x - 例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。 关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下： 析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。 解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1） 若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+?=，4a ∴≥（2） 若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3） 由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。导数中恒成立问题(最值问题)
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
不等式恒成立问题
用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案
恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)
函数、不等式恒成立问题完整解法
导数中恒成立问题(最值问题)
函数与不等式恒成立1
不等式有解和恒成立问题
不等式恒成立求参数的取值范围
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.8 函数图象高与低差值正负恒成立
数形结合好方法：
对于函数 f (x) 与 g(x) 的函数值大小问题，常常转化为函数 y f x 的图象在 y g x 上方（或下
方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数 y f (x) g(x) ，即利用作差法，转化为论证恒成
立问题. 【典例指引】
例 1．设函数 f x 1 mxln 1 x .
（1）若当 0 x 1时，函数 f x 的图象恒在直线 y x 上方，求实数 m 的取值范围；
（2）求证：
e
1001 1000
1000.4
.
【思路引导】
（1）将问题转化为不等式 1 mx ln 1 x x 在 0 x 1上恒成立，求实数 m 的取值范围的问题。可构
造函数 F x f x x 1 mx ln 1 x x ，经分类讨论得到 F x 0 恒成立时 m 的取值范围即可。
（2）先证明对于任意的正整数 n ，不等式 1
1 n
n 2 5
e
恒成立，即
n
2 5
ln
1
1 n
1
0 恒成立，也
即
1
2 5n
ln 1
1 n
1 n
0
恒成立，结合（1）③的结论，当
m2 5
，
1 x0 2
时
F
x
1
2 5
x
ln
1
x
x
0
在
x
0,
1 2
上成立，然后令
x 1 n 2
n
可得
n
2 5
ln
1
1 n
1
0
成立，再令
n
1000
即可得不等式成立。
1微专题不等式恒成立问题常见类型及解法
(完整版)函数恒成立问题(端点效应)
高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒成立问题及能成立问题
- 不等式有解和恒成立问题
- 函数、不等式恒成立问题经典总结
- 函数与不等式中的恒成立问题PPT优秀课件
- 含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法
- 函数、方程、不等式恒成立问题
- (完整word版)高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案
- 高中数学不等式的恒成立问题
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